Kierunek MECHATRONIKA, Rok I
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 19.12.2013 r.
Zadanie 1
Suwmiarką cyfrową o błędzie granicznym ą0,03 mm wykonano 10-krotnie pomiary
średnicy wałka. Wartość średnia tych wyników wynosiła 12,54 mm, a obliczone odchylanie
standardowe wartości średniej 0,15 mm. Poprawki dla wskazań suwmiarki były nieznane.
Obliczyć niepewność standardową złożoną i rozszerzoną wyniku pomiaru średnicy wałka na
poziomie ufności 0,95, zakładając rozkład normalny. Zapisać wynik pomiaru z niepewnością
rozszerzonÄ….
ROZWI
ZANIE
Niepewność standardowa typa A pomiaru średnicy d wałka uA(d ) jest równa odchyleniu
standardowemu wartości średniej z 10 wyników pomiarów średnicy s(d ), czyli:
uA(d )= s(d )= 0,15 mm .
Niepewność standardowa typa B pomiaru średnicy d:
"gd
0,03 mm
uB(d )= = = 0,0173 mm .
1,73
3
Niepewność standardowa złożona
2 2
u(d)= uA(d)+ uB(d) = 0,152 + 0,01732 = 0,151 mm .
W powyższym wyrażeniu decydującą wartość ma niepewność typu A uA(d ), a niepewność
typu B uB(d ) jest praktycznie pomijalnie mała.
Dla 10-krotnie powtórzonych pomiarów niepewność typu A ma rozkład
prawdopodobieństwa t-Studenta, dla którego - przy poziomie ufności 0,95  współczynnik
rozszerzenia kp = 2,26. W zadaniu jednak, dla uproszczenia, podano żeby przyjąć rozkład
prawdopodobieństwa normalny Gaussa dla którego kp = 2. Niepewność typu B, obliczana z
błędu granicznego ma rozkład prostokątny. Rozkład prawdopodobieństwa dla złożonej
niepewności jest splotem obydwu rozkładów. Ponieważ niepewność typu B jest praktycznie
pomijalnie mała, to wypadkowy rozkład prawdopodobieństwa dla niepewności złożonej
będzie również rozkładem takim jaki ma niepewność typu A, a więc normalny. Dla rozkładu
normalnego współczynnik kp = 2, zatem niepewność rozszerzona pomiaru średnicy wałka:
U(d )= k u(d )= 2Å"0,151 mm = 0,302 mm E" 0,30 mm *.
p
Wynik końcowy niepewności rozszerzonej zaokrąglono do dwóch miejsc znaczących, tj.
0,30 mm gdyż zwykle niepewność końcową podaje się z dwoma cyframi znaczącymi. Tego
 0 po  3 nie można pomijać, choć z matematycznego punktu widzenia nie ma ono
znaczenia. Ma ono znaczenie metrologiczne i informuje nas, że na drugim miejscu po
przecinku jest wartość zerowa, a nie jakaś inna. Zatem gdybyśmy pozostawili wartość
0,3 mm, mielibyśmy informację, że wynik został zaokrąglony do pierwszego miejsca po
przecinku i nie mielibyśmy żadnej informacji o tym jaka jest cyfra na drugim miejscu po
przecinku, mogłaby zatem występować tam dowolna cyfra od 0 do 9.
Wynik pomiaru średnicy wałka z niepewnością rozszerzoną na poziomie ufności P=0,95
zapisujemy w postaci:
d = (12,54 Ä… 0,30) mm , przy P=0,95
lub d =12,54 mm Ä… 0,30 mm przy P=0,95.
Liczba cyfr po przecinku w wyniku i niepewności powinna być taka sama.
_______________________________________________
*Gdybyśmy poprawnie przyjęli kp = 2,26, to niepewność rozszerzona pomiaru średnicy
waÅ‚ka, przy poziomie ufnoÅ›ci 0,95, wynosiÅ‚aby: U(d )= kpu(d )= 2,26Å"0,151 mm = 0,34 mm.
1
Zadanie 2
Mikrometrem laserowym o rozdzielczoÅ›ci 1 µm i bÅ‚Ä™dzie granicznym Ä…3 µm wykonano
10-krotnie pomiary grubości folii. Wartość średnia tych wyników wynosiła 0,254 mm,
a obliczone odchylanie standardowe wartości średniej 0,005 mm. Poprawki dla wskazań
mikrometru były nieznane. Obliczyć niepewność standardową i rozszerzoną wyniku pomiaru
grubości folii na poziomie ufności 0,95. Zapisać wynik pomiaru grubości folii z niepewnością
rozszerzonÄ….
ROZWI
ZANIE
Niepewność standardowa typa A pomiaru grubości h folii uA(h) jest równa odchyleniu
standardowemu wartości średniej z 10 wyników pomiarów grubości s(h), czyli:
uA(h)= s(h)= 0,005 mm = 5µm .
Niepewność standardowa typa B pomiaru grubości folii h:
"gh
3µm
uB(h)= = = 1,73µm .
1,73
3
Niepewność standardowa złożona
2 2
u(h)= uA(h)+ uB(h)= 52 +1,732 = 5,3µm .
W powyższym wyrażeniu decydującą wartość ma niepewność typu A uA(h), a niepewność
typu B uB(h) ma praktycznie mały udział.
Dla 10-krotnie powtórzonych pomiarów niepewność typu A ma rozkład t-Studenta, dla
którego - przy poziomie ufności 0,95  współczynnik rozszerzenia kp = 2,26. Niepewność
typu B, obliczana z błędu granicznego ma rozkład prostokątny. Rozkład prawdopodobieństwa
dla złożonej niepewności jest splotem obydwu rozkładów. Ponieważ niepewność typu B jest
znacznie mniejsza od niepewności typu A, to wypadkowy rozkład prawdopodobieństwa dla
niepewności złożonej będzie również rozkładem takim jaki ma niepewność typu A, a więc
t-Studenta. Dla takiego rozkładu niepewność rozszerzona pomiaru grubości folii
U(h)= kpu(h)= 2,26Å"5,3µm = 12µm
Gdybyśmy założyli, że niepewność ma rozkład normalny, dla którego przy poziomie
ufności P=0,95, współczynnik rozszerzenia kp = 2, niepewność rozszerzona pomiaru grubości
folii wynosiłaby:
U(h)= kpu(h)= 2Å"5,3µm = 10,6µm E" 11µm .
Różni siÄ™ wiÄ™c ona tylko o 1 µm od obliczonej poprawnie dla rozkÅ‚adu prawdopodobieÅ„stwa
t-Studenta. Taka mała różnica, mniejsza niż 10 %, nie ma istotnego znaczenia dla wartości
niepewności.
Wynik pomiaru średniej grubości folii z niepewnością rozszerzoną na poziomie ufności
P=0,95 zapisujemy w postaci:
h = (254 Ä…12)µm , przy P=0,95
lub h = 254µm Ä…12µm przy P=0,95,
albo h = (0,254 Ä… 0,012)mm , przy P=0,95
lub h = 0,254 mm Ä… 0,012 mm przy P=0,95.
Liczba cyfr po przecinku w wyniku i niepewności powinna być taka sama.
Prof. dr hab. inż. Michał Lisowski
2