MATEMATYKA I ROK
Algebra liniowa
Zestaw VI
Wyznacznik macierzy
Z. 1. Obliczyć wyznaczniki:

1 3 2 1 4 4 2 3 1 5
1 0 1 1
2 1 5 1 2 3 4 1 1 1
7 21 -14
1 - i i 0 3 9 27
-10 -30 20 3 4 1 0 1 , 2 1 5 1 2 .
, ,
1 9 28 19 ,
-2i 1 + i
2 1 1 5 2 2 1 1 5 2
8 10 12
1 27 19 82
3 -1 1 -1 1 3 -1 1 -1 1
Z. 2. Obliczyć wyznaczniki

1 1 1 . . . 1
1 1 1 . . . 1 0 0 0 . . . 0 a1,n

1 2 1 . . . 1 -1 1 1 . . . 1
0 0 0 . . . a2,n-1 0

1 1 3 . . . 1 , -1 -1 1 . . . 1 ,
. . . . . .
. . . . . .
.
. . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . 0 an-1,2 0 . . . 0 0
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1 1 1 . . . n -1 -1 -1 . . . 1 an,1 0 0 . . . 0 0
Z. 3. Niech n " N oraz an, an-1, . . . , a1, a0 " K. Wykazać równość


x 0 0 . . . 0 0 a0

-1 x 0 . . . 0 0 a1


0 -1 x . . . 0 0 a2

= anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0.
. . . . . . .
. . . . . . .

. . . . . . .


0 0 0 . . . -1 x an-1


0 0 0 . . . 0 -1 an
Z. 4. Niech n " N oraz n 2. Obliczyć tzw. wyznacznik Vandermonde a

1 x1 x2 xn-1
. . .
1 1

1 x2 x2 xn-1
. . .
2 2

Vn = . . . . . .
. . . . .
. . . . .

1 xn x2 xn-1
. . .
n n

Wskazówka. Wykazać, że Vn = (xj - xi).
1 iZ. 5. Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Niektóre z podanych niżej wzorów nie są
ogólnie prawdziwe. Wskazać prawdziwe wzory, a do każdego nieprawdziwego wzoru podać kontrprzykład.
(a) det(A + B) = det A + det B;
(b) det(Ä…A) = Ä… det A;
(c) det A2 = det A · det AT ;
(d) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;
(e) A2 = O Ô! A = O, gdzie O-macierz zerowa.
2
Macierz odwrotna
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
ðÅ‚0 ûÅ‚?
Z. 6. Dla jakich x " R odwracalna jest macierz A = x 1 Wyznaczyć A-1 dla x = 1.
1 1 x + 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 3 1 2 3 4
ïÅ‚2 -1 0 1 śł ïÅ‚0 1 2 3śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł.
Z. 7. Niech A = C2BCT , gdzie B = oraz C =
ðÅ‚3 1 -2 1 ûÅ‚ ðÅ‚0 0 1 2ûÅ‚
0 2 -3 -1 0 0 0 1
Czy macierz A jest odwracalna?
Z. 8. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy

2 0 1 -1 -2 -1 3 -2
A = , B = , C = , D = .
3 1 0 3 -1 2 1 -1
Z. 9. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie AXB + C = D, gdy

1 -1 2 0 3 -2 -2 -1
A = , B = , C = , D = .
0 3 3 1 1 -1 -1 2

1 3
Z. 10. Obliczyć wartość funkcji f : X X3 - 3X2 + 5X-1, gdy X = .
-1 2
I + X A
Z. 11. Niech f(X) = oraz = A · B-1. Czy istnieje [f(A)]-1, gdy:
I - X B

1 2
A = ?
2 1
Z. 12. W zbiorze wszystkich macierzy nieosobliwych dana jest funkcja f taka, że jeśli X jest taką właśnie macierzą
to:
f(X) = X2 - 4X + 2X-1.
Obliczyć wartość tej funkcji, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ðÅ‚-2
X = 1 1ûÅ‚ .
0 1 2

5 - i 2 + i
Z. 13. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy A = .
3 + i i

-i 1 - i
Z. 14. Znalez
ć macierz odwrotną do macierzy B = .
4 + i 1 + i
Z. 15. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie: AX + 2B = C, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 2 2 0 2 4 1 2
ðÅ‚3 ðÅ‚1 ðÅ‚3
A = 1 2ûÅ‚ , B = 1 3ûÅ‚ , C = 0 7ûÅ‚ .
2 0 1 1 0 4 3 3 1
Z. 16. W zbiorze wszystkich macierzy nieosobliwych dana jest funkcja f taka, że jeśli X jest taką właśnie macierzą
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1
ðÅ‚0 ûÅ‚
to: f(X) = X2 + 3X - X-1. Obliczyć wartość tej funkcji, gdy X = 1 2 .
2 3 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a b - 3 c 1 2 -1
ðÅ‚3b c 2aûÅ‚ speÅ‚nia równanie X · ðÅ‚0ûÅ‚ ðÅ‚-3ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Z. 17. Wyznaczyć macierz X-1, jeżeli X = + = 10 .
b a 2c 2 4 -1
3
Z. 18. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie: AX - 2B = C, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 2 2 0 2 4 1 2
ðÅ‚3 ðÅ‚1 ðÅ‚
A = 1 2ûÅ‚ , B = -1 3ûÅ‚ , C = 3 0 7ûÅ‚ .
2 0 1 1 0 4 -3 3 1

"
1 3
-
2 2
"
Z. 19. Obliczyć det(D2 + D11), jeżeli D = .
3 1
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 z
ðÅ‚0
Z. 20. Dla jakich z " C macierz A = 1 + z 0ûÅ‚ jest nieosobliwa? Wyznaczyć A-1 dla z = i.
z 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
z2 z 1
ðÅ‚ ûÅ‚?
Z. 21. Dla jakich z " C odwracalna jest macierz A = 1 z2 z Wyznaczyć A-1 dla z = i.
z 1 z2

-41 48
Z. 22. Niech A = oraz n " N. Obliczyć An wykorzystując równość
-36 43

-41 48 4 1 -5 0 1 -1
= .
-36 43 3 1 0 7 -3 4

-14 20
Z. 23. Niech A = oraz n " N. Obliczyć An wykorzystując równość
-12 17

-14 20 4 5 1 0 4 -5
= .
-12 17 3 4 0 2 -3 4
Z. 24. Wykazać, że jeśli macierz B = [bij] jest odwrotna do macierzy górnotrójkątnej A = [aij] " Mn(K), to
macierz B jest górnotrójkątna i zachodzą równości
j-1

1 1
bii = dla i " {1, 2, . . . , n}, bij = - bikakj dla j " {i + 1, i + 2, . . . , n}.
aii ajj k=i
Z. 25. Wykazać, że jeśli macierz B = [bij] jest odwrotna do macierzy dolnotrójkątnej A = [aij] " Mn(K), to macierz
B jest dolnotrójkątna i zachodzą równości
i-1

1 1
bii = dla i " {1, 2, . . . , n}, bij = - aikbkj dla i " {j + 1, j + 2, . . . , n}.
aii aii k=j
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 3 -4 5 1 0 0 0
ïÅ‚ ïÅ‚-1 1 0 0 śł
0 1 -1 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł.
Z. 26. Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy A = oraz B =
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 -1 0ûÅ‚ 1 -1 1 0
0 0 0 1 -1 1 6 -1