Zad. 6
Szereg generujÄ…cy dla ciÄ…gu dany jest wzorem:
2ƒÄ…3tƒÄ…5t2
Aśąt źą=
1-3tƒÄ…t3
Podaj wzór rekurencyjny tego ciągu oraz jego 5 pierwszych wyrazów.
Aby rozwiązać to zadanie trzeba jedynie wiedzieć jak powstaje taki szereg. Szeregi generujące
śąanźą"
tworzy się tak, że mnoży się ciąg przez oraz sumuje po wszystkich n. (Wcześniej
tn
n=0
jeszcze trzeba zadbać o to aby wzór był prawdziwy dla wszystkich n"$! . Ale w tym zadaniu
jest to nieistotne bo my idziemy od tyłu ;) ). Stąd szereg taki z definicji wygląda tak:
"
Aśąt źą= antn .
"
n=0
Żeby otrzymać funkcję taką jak mamy w zadaniu należy pomnożć te ciągi przez jakieś
wielokrotności gdzie i"! . A potem odjąć do siebie. Takie mnożenie po prostu przesuwa
ti
wyrazy ciągu względem siebie (przy odejmowaniu wielomianów). Potem korzysta się z wzoru
rekurencyjnego z którego wyszlismy tak aby zwinąć jakoś sensownie współczynniki przy
potęgach t. Na końcu pozostaje mieć nadzieje, że będziemy taką funkcję potrafili rozwinąć w szereg
aby sprawdzić jaki jest współczynnik przy bo byłby to wzór zwarty.
tn
Na szczęście my robimy tu inżynierię wstezcną która jest znacznie prostsza. Na początek trzeba
pomnożyć obie strony przez mianownik 1-3tƒÄ…t3 . Otrzymamy: śą1-3tƒÄ…t3źą Aśątźą=2ƒÄ…3tƒÄ…5t2 .
Teraz, biorąc pod uwagę to co przed chwilą napisałem, widać, że przy jak wymnożymy A(t) przez
nawias to otrzymamy kolejno A(t), -3tA(t) oraz . Jak widać mnożenie przez 1 nie
t3 Aśątźą
 przesuwa nam ciągu specjalnie stąd wnioskujemy, że ktoś tworzący funkcję mnożył ją przez
-3t oraz . To dodatkowe A(t) jest nam po tej stronie niepotrzebne, ale przyda siÄ™ po
t3
drugiej ;)
śą-3tƒÄ…t3źą Aśąt źą=-AśątźąƒÄ…2ƒÄ…3tƒÄ…52
Zastanówmy sią jak wyglądałoby A(t) gdybyśmy mieli wyrazy ciągu. Z definicji wyglądałoby to
tak:
Aśąt źą=a0ƒÄ…a1 tƒÄ…a2 t2ƒÄ…...ƒÄ…antnƒÄ…...
Zatem jeśli pomnożymy A(t) kolejno przez -3t oraz otrzymamy dwa ciągi:
t3
-3t Aśątźą=-3 a0 t-3 a1 t2-3 a2 t3-...-3an-1 tn-...
t3 Aśątźą=a0 t3ƒÄ…a1t4ƒÄ…a2 t5ƒÄ…...ƒÄ…an-3 tn
Teraz jeśli oba ciągi dodamy sobie stronami to otrzymamy:
śą-3tƒÄ…t3źą Aśąt źą=-3 a0 t-3a1t2ƒÄ…śąa0-3a2źą t3ƒÄ…śą a1-3a3źąt4ƒÄ…...ƒÄ…śąan-3-3an -1źątnƒÄ…...
WczeÅ›niej ustaliliÅ›my że śą-3tƒÄ…t3źą Aśąt źą=-AśątźąƒÄ…2ƒÄ…3tƒÄ…52 a zatem:
-AśątźąƒÄ…2ƒÄ…3tƒÄ…52=-3 a0 t-3a1t2ƒÄ…śąa0-3a2źą t3ƒÄ…śąa1-3a3źąt4ƒÄ…...ƒÄ…śąan-3-3an-1źątnƒÄ…... (*)
RozpisujÄ…c lewÄ… stronÄ™ otrzymujemy:
-AśątźąƒÄ…2ƒÄ…3tƒÄ…52=2-a0ƒÄ…śą3-a1źątƒÄ…śą5-a2źąt2-a3t3-a4 t4-...-an tn-... (**)
Teraz już tylko wystarczy porównać wielomiany. Oczywiście nie ma co robić tego nieskończenie
wiele razy ;) Interesuje nas tylko początek i n-ty wyraz. Z porównania pierwszych kilku
początkowych wyrazów otrzymamy początkowe wyrazy ciągu rekurencyjnego. Porównując
wspólcznniki przy ortzymamy równanie rekurencyjne, o które nam chodzi.
tn
2-a0
W wielomianie (**) wyraz wolny jest równy natomiast w (*) wyraz wolny jest 0. Z
a0=2
porównania ich wychodzi, że . Analogicznie porównujemy współczynniki przy kolejnych
a1=9, a2=32
dwóch wyrazach otrzymując wartości: .
Na końcu porównamy współczynniki przy otrzymując równanie:
tn
-an=an -3-3 an-1
Po podzieleniu przez -1 otrzymujemy wreszcie końcową postać wzoru rekurencyjnego:
a0=2
a1=9
a2=32
{ }
an=3an-1ƒÄ…an-3
Na końcu pozostało nam już tylko wyznaczyć jeszcze dwa wyrazy ciągu żeby dokończyć zadanie:
a3=3Å"32ƒÄ…2=98
a4=3Å"98ƒÄ…9=303
I koniec ^^