Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy
zredukowanej wierszowo
W. Kubacka, J. Brzozowski
18 grudnia 2012
Plan prezentacji
1
Sprowadzanie macierzy w postaci wierszowej schodkowej
2
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
3
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego Ax = b
4
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych Ax = 0
5
Pełne rozwiązanie Ax = b
6
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
7
Rozwiązania równania Ax = b. Analiza przypadków.
8
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 2 / 30
Macierz w postaci wierszowej schodkowej
Macierz schodkowa
Macierz schodkowa to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych
niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach. Powstałe wiersze
zerowe umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać przekształcona do
postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych. Poniżej znajduje się
przykład macierzy schodkowej.
îÅ‚ Å‚Å‚
4 3 0 2
ïÅ‚ śł
0 2 2 7
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 -1 2
0 0 0 8
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 3 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
Å„Å‚
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = b1
òÅ‚
2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 = b2
ół
3x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 = b3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 4 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
Å„Å‚
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = b1
òÅ‚
2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 = b2
ół
3x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 = b3
Wiersze po lewej stronie macierzy odpowiadają kolejnym lewym stronom równań.
Po prawej stronie zapisujemy kolumnę, której współczynnikami są wyrazy wolne
tudzież rozwiązania równań. Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą
rozszerzonÄ….
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1
ðÅ‚
[A|b] = 2 4 6 8 b2 ûÅ‚
3 6 8 10 b3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 4 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
Å„Å‚
x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = b1
òÅ‚
2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 = b2
ół
3x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 = b3
Wiersze po lewej stronie macierzy odpowiadają kolejnym lewym stronom równań.
Po prawej stronie zapisujemy kolumnę, której współczynnikami są wyrazy wolne
tudzież rozwiązania równań. Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą
rozszerzonÄ….
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1
ðÅ‚
[A|b] = 2 4 6 8 b2 ûÅ‚
3 6 8 10 b3
Należy zwrócić uwagę, że ostatni wiersz tej macierzy jest sumą dwóch
poprzednich wierszy. Dwie pierwsze kolumny określają ten sam kierunek.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 4 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone niebieskim kolorem.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1
ðÅ‚
[A|b] = 2 4 6 8 b2 ûÅ‚ -
3 6 8 10 b3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 5 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone niebieskim kolorem.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1 1 2 2 2 b1
ðÅ‚ ðÅ‚
[A|b] = 2 4 6 8 b2 ûÅ‚ - 0 0 2 4 b2 - 2b1 ûÅ‚ -
3 6 8 10 b3 0 0 2 4 b3 - 3b1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 5 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone niebieskim kolorem.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1 1 2 2 2 b1
ðÅ‚ ðÅ‚
[A|b] = 2 4 6 8 b2 ûÅ‚ - 0 0 2 4 b2 - 2b1 ûÅ‚ -
3 6 8 10 b3 0 0 2 4 b3 - 3b1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 b1
ðÅ‚
- 0 0 2 4 b2 - 2b1 ûÅ‚ = U
0 0 0 0 b3 - b2 - b1
Macierz została doprowadzona do formy schodkowej.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 5 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 17
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 17
NIE!
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 17
NIE! PodstawiajÄ…c go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 17
NIE! PodstawiajÄ…c go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 11
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 17
NIE! PodstawiajÄ…c go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 6 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
TAK!
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
TAK! PodstawiajÄ…c go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
TAK! PodstawiajÄ…c go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
TAK! PodstawiajÄ…c go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
b1 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b = b2 ûÅ‚ = 5
b3 6
TAK! PodstawiajÄ…c go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniowÄ… kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 7 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 8 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Kolumny zaznaczone kolorem niebieskim nazywamy kolumnami osiowymi,
ponieważ zawarte są w nich elementy osiowe.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 8 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Kolumny zaznaczone kolorem niebieskim nazywamy kolumnami osiowymi,
ponieważ zawarte są w nich elementy osiowe.Kolumny zaznaczone kolorem
czerwonym nazywamy kolumnami swobodnymi, ponieważ nie zawierają
elementów osiowych.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 8 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne xp rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolnÄ… liczbÄ™. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiÄ…zaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 9 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne xp rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolnÄ… liczbÄ™. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiÄ…zaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Zmiennymi swobodnymi w powyższej macierzy są elementy x2 i x4, ponieważ
znajdują się w kolumnach swobodnych. Można sformułować wniosek:
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 9 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne xp rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolnÄ… liczbÄ™. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiÄ…zaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Zmiennymi swobodnymi w powyższej macierzy są elementy x2 i x4, ponieważ
znajdują się w kolumnach swobodnych. Można sformułować wniosek:
Zmienne swobodne i osiowe
Zmienne, które odpowiadają kolumnom osiowym nazywamy zmiennymi osiowymi.
Zmienne, które odpowiadają kolumnom swobodnym definiujemy jako zmienne
swobodne i sÄ… dowolnymi liczbami.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 9 / 30
Zatem zapisujemy, że:

x2 = 0
x4 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 10 / 30
Zatem zapisujemy, że:

x2 = 0
x4 = 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:

x1 + 2x3 = 1
2x3 = 3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 10 / 30
Zatem zapisujemy, że:

x2 = 0
x4 = 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:

x1 + 2x3 = 1
2x3 = 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:

x1 = -2
3
x3 =
2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 10 / 30
Zatem zapisujemy, że:

x2 = 0
x4 = 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:

x1 + 2x3 = 1
2x3 = 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:

x1 = -2
3
x3 =
2
Mając wyliczone wszystkie zmienne możemy zapisać wektor xp:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 -2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
xp = =
3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
x3
2
x4 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 10 / 30
Przestrzeń zerowa macierzy
Wróćmy do zredukowanej postaci macierzy z pierwszego przykładu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 11 / 30
Przestrzeń zerowa macierzy
Wróćmy do zredukowanej postaci macierzy z pierwszego przykładu:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Mając macierz w tej postaci możemy określić przestrzeń zerową tej macierzy.
Będzie ona płaszczyzną w przestrzeni R4. Ma ona 2 wymiary, ponieważ tyle jest
zmiennych swobodnych.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 11 / 30
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Rozważmy teraz równanie Ax = 0. Jak wiadomo z poprzednich slajdów za
zmienne swobodne (w tym wypadku x2, x4) można podstawić dowolne liczby.
Rozważymy dwa specjalne przypadki. W pierwszym x2 = 1, x4 = 0, w drugim, na
odwrót: x2 = 0, x4 = 1. Tym przypadkom odpowiadają rozwiązania specjalne
(oznaczone przez xs), które uzyskujemy dzięki metodzie podstawiania wstecz.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 12 / 30
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 3
0 0 0 0 0
Rozważmy teraz równanie Ax = 0. Jak wiadomo z poprzednich slajdów za
zmienne swobodne (w tym wypadku x2, x4) można podstawić dowolne liczby.
Rozważymy dwa specjalne przypadki. W pierwszym x2 = 1, x4 = 0, w drugim, na
odwrót: x2 = 0, x4 = 1. Tym przypadkom odpowiadają rozwiązania specjalne
(oznaczone przez xs), które uzyskujemy dzięki metodzie podstawiania wstecz.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
xs1 = xs2 =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 -2
0 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 12 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znalez
liśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znalez
liśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Axp = b
+Axn = 0
A(xp + xn) = b
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znalez
liśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Axp = b
+Axn = 0
A(xp + xn) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znalez
liśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Axp = b
+Axn = 0
A(xp + xn) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-2 -2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x = + c1 + c2
3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 -2
2
0 0 1

xn
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 13 / 30
Graficzne przedstawienie rozwiązań Ax = b w R4
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 14 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4 = U
3 6 8 10 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4 = U
3 6 8 10 0 0 0 0
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 -
0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4 = U
3 6 8 10 0 0 0 0
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 - 0 0 1 2 -
0 0 0 0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4 = U
3 6 8 10 0 0 0 0
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 - 0 0 1 2 - 0 0 1 2 = R
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 4 6 8 - 0 0 2 4 = U
3 6 8 10 0 0 0 0
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
U = 0 0 2 4 - 0 0 1 2 - 0 0 1 2 = R
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzÄ… schodkowÄ… wierszowo
zredukowanÄ….
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 15 / 30
Macierz schodkowa wierszowo zredukowana
To macierz schodkowa, która spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy (współczynnikiem
wiodÄ…cym) jest jedynka,
jeśli wyraz aij znajduje się w tej samej kolumnie, co pewien współczynnik
wiodący i w wierszu powyżej tego współczynnika, to aij = 0.
Przykład takiej macierzy zamieszczony jest poniżej:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 5 0
ïÅ‚ śł
0 1 0 1 3
ïÅ‚ śł
R =
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1 2 4
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 16 / 30
Określanie rzędu macierzy schodkowej
RzÄ…d macierzy schodkowej
Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, czyli niezerowych
wierszy.
Przykładowo, rząd macierzy R będzie wynosił 2, ponieważ ma 2 niezerowe wiersze.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
R = 0 0 1 2
0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 17 / 30
Rozwiązania Ax = b - analiza przypadków
Ilość rozwiązań jakie możemy znalez
ć w macierzy jest uzależniona od m x n oraz
od rzędu r macierzy. Wniosek z tego jest następujący: możemy ocenić ile
rozwiązań otrzymamy bez wykonywania żadnych rachunków, wystarczy
przeanalizować kształt i rząd macierzy. Przeanalizujemy 4 przypadki.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 18 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Wez
my
przykład:

1 2
A =
3 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 19 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Wez
my
przykład:

1 2
A =
3 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa na tej macierzy uzyskamy macierz
identycznościową I.

1 0
R = I =
0 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 19 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Wez
my
przykład:

1 2
A =
3 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa na tej macierzy uzyskamy macierz
identycznościową I.

1 0
R = I =
0 1
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Tym samym równanie typu Ax = b będzie miało w takim
przypadku zawsze jedno rozwiÄ…zanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 19 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3
ïÅ‚ śł
2 1
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
6 1
5 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 20 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3
ïÅ‚ śł
2 1
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
6 1
5 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, która w górnej
części posiada macierz identycznościową I, a w dolnej same zera:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0

ïÅ‚ śł
0 1 I
ïÅ‚ śł
R = =
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0
0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 20 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 3
ïÅ‚ śł
2 1
ïÅ‚ śł
A =
ðÅ‚ ûÅ‚
6 1
5 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, która w górnej
części posiada macierz identycznościową I, a w dolnej same zera:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0

ïÅ‚ śł
0 1 I
ïÅ‚ śł
R = =
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0
0 0
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Równanie typu Ax = b będzie miało w takim przypadku
zero lub jedno rozwiÄ…zanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 20 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:

1 2 6 5
A =
3 1 1 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 21 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:

1 2 6 5
A =
3 1 1 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, której kolumny
oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową I, a kolumny swobodne
macierz składającą się z pewnych liczb - tzw. macierz swobodną oznaczoną literą
F.

-4 -3

1 0
5 5
R = = I F
17 14
0 1
5 5
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 21 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:

1 2 6 5
A =
3 1 1 1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, której kolumny
oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową I, a kolumny swobodne
macierz składającą się z pewnych liczb - tzw. macierz swobodną oznaczoną literą
F.

-4 -3

1 0
5 5
R = = I F
17 14
0 1
5 5
Równanie typu Ax = b przy takiej macierzy A będzie miało nieskończenie wiele
rozwiązań.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 21 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 1 0 -1
3 2 3 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 22 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 1 0 -1
3 2 3 0
Po dokonaniu elimacji metodą Jordana-Gaussa uzyskaliśmy macierz, której
kolumny oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową, a kolumny
swobodne macierz swobodnÄ…, a ostatni wiersz jest zerowy:
îÅ‚ Å‚Å‚

1 0 -3 -2
I F
ðÅ‚ ûÅ‚
R = 0 1 6 3 =
0 0
0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 22 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 1 0 -1
3 2 3 0
Po dokonaniu elimacji metodą Jordana-Gaussa uzyskaliśmy macierz, której
kolumny oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową, a kolumny
swobodne macierz swobodnÄ…, a ostatni wiersz jest zerowy:
îÅ‚ Å‚Å‚

1 0 -3 -2
I F
ðÅ‚ ûÅ‚
R = 0 1 6 3 =
0 0
0 0 0 0
Równanie Ax = b z macierzą takiego typu nie będzie miało rozwiązań w ogóle
lub będzie miało ich nieskończenie wiele.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 22 / 30
Zadanie 1
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + x4 = 2
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1
ół
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 5
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 23 / 30
Zadanie 1
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + x4 = 2
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1
ół
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 1 -2 1 -1 -1 -
1 -2 1 3 5
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 23 / 30
Zadanie 1
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + x4 = 2
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1
ół
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 1 2 1 -2 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 1 -2 1 -1 -1 - 0 0 0 -2 -3 -
1 -2 1 3 5 0 0 0 2 3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 23 / 30
Zadanie 1
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + x4 = 2
x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1
ół
x1 - 2x2 + x3 + 3x4 = 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 1 2 1 -2 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 1 -2 1 -1 -1 - 0 0 0 -2 -3 -
1 -2 1 3 5 0 0 0 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚
- 0 0 0 -2 -3 = U
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 23 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0
,
x3 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚
1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
òÅ‚
x2 = 0
=Ò!
x3 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3
x4 =
2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x2 = 1
,
x3 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x2 = 1 x1 - 1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x2 = 1 x1 - 1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚
3
x1 =
ôÅ‚
2
òÅ‚
x2 = 1
=Ò!
x3 = 0
ôÅ‚
ół
3
x4 =
2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x2 = 0 x1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x2 = 1 x1 - 1 + x4 = 2
,
x3 = 0 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 3
x1 =
ôÅ‚
2 2
òÅ‚
x2 = 1 ïÅ‚ śł
1
=Ò! xn1 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 24 / 30
II.

x2 = 0
,
x3 = 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
II.

x2 = 0 x1 + 1 + x4 = 2
,
x3 = 1 -2x4 = -3
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
II.

x2 = 0 x1 + 1 + x4 = 2
,
x3 = 1 -2x4 = -3
Å„Å‚
1
x1 =
ôÅ‚ -
ôÅ‚ 2
òÅ‚
x2 = 0
=Ò!
x3 = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3
x4 =
2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
II.

x2 = 0 x1 + 1 + x4 = 2
,
x3 = 1 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚ - -
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xn2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
II.

x2 = 0 x1 + 1 + x4 = 2
,
x3 = 1 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚ - -
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xn2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Pełne rozwiązanie
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
II.

x2 = 0 x1 + 1 + x4 = 2
,
x3 = 1 -2x4 = -3
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
x1 =
ôÅ‚ - -
ôÅ‚ 2 2
òÅ‚
ïÅ‚ śł
x2 = 0 0
ïÅ‚ śł
=Ò! xn2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3 3
x4 =
2 2
Pełne rozwiązanie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3
-1
2 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1 0
ïÅ‚ śł
x = + c1 ïÅ‚ śł + c2 ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 1
3 3 3
2 2 2
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 25 / 30
Zadanie 2
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + 2x4 = 1
2x1 + x2 + x3 + x4 = 6
ół
3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 7
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 26 / 30
Zadanie 2
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + 2x4 = 1
2x1 + x2 + x3 + x4 = 6
ół
3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 2 1 1 1 6
3 -1 -2 1 7
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 26 / 30
Zadanie 2
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + 2x4 = 1
2x1 + x2 + x3 + x4 = 6
ół
3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 2 1 1 -2 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 2 1 1 1 6 - 0 5 -1 -5 4 -
3 -1 -2 1 7 0 5 -1 -5 4
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 26 / 30
Zadanie 2
Znajdz
wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
Å„Å‚
x1
òÅ‚ - 2x2 + x3 + 2x4 = 1
2x1 + x2 + x3 + x4 = 6
ół
3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 2 1 1 -2 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
[A|b] = 2 1 1 1 6 - 0 5 -1 -5 4 -
3 -1 -2 1 7 0 5 -1 -5 4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
- 0 5 -1 -5 4 = U
0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 26 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0
,
x4 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚
13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5
òÅ‚
4
x2 =
5
=Ò!
ôÅ‚ x3 = 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x3 = 1
,
x4 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x3 = 1 x1 - 2x2 + 1 = 1
,
x4 = 0 5x2 - 1 = 4
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x3 = 1 x1 - 2x2 + 1 = 1
,
x4 = 0 5x2 - 1 = 4
Å„Å‚
x1 = 2
ôÅ‚
òÅ‚
x2 = 1
=Ò!
x3 = 1
ôÅ‚
ół
x4 = 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego

x3 = 0 x1 - 2x2 = 1
,
x4 = 0 5x2 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
4 4
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xp =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.

x3 = 1 x1 - 2x2 + 1 = 1
,
x4 = 0 5x2 - 1 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 = 2 2
ôÅ‚
òÅ‚
x2 = 1 ïÅ‚ śł
1
=Ò! xn1 =
ðÅ‚ ûÅ‚
x3 = 1 1
ôÅ‚
ół
x4 = 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 27 / 30
II.

x3 = 0
,
x4 = 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 28 / 30
II.

x3 = 0 x1 - 2x2 + 2 = 1
,
x4 = 1 5x2 - 5 = 4
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 28 / 30
II.

x3 = 0 x1 - 2x2 + 2 = 1
,
x4 = 1 5x2 - 5 = 4
Å„Å‚
13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5
òÅ‚
9
x2 =
5
=Ò!
ôÅ‚ x3 = 0
ôÅ‚
ół
x4 = 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 28 / 30
II.

x3 = 0 x1 - 2x2 + 2 = 1
,
x4 = 1 5x2 - 5 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
9 9
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xn2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 1 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 28 / 30
II.

x3 = 0 x1 - 2x2 + 2 = 1
,
x4 = 1 5x2 - 5 = 4
Å„Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
x1 =
ôÅ‚
ôÅ‚ 5 5
òÅ‚
9 9
ïÅ‚ śł
x2 =
5 ïÅ‚ 5 śł
=Ò! xn2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ x3 = 0 0
ôÅ‚
ół
x4 = 1 1
Pełne rozwiązanie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
13 13
2
5 5
4 9
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ 5 śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ 5 śł
x = + c1 + c2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 0
0 0 1
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 28 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5 -
3 4 5 6
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5 - 0 -1 -2 -3 -
3 4 5 6 0 -2 -4 -6
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5 - 0 -1 -2 -3 - 0 1 2 3
3 4 5 6 0 -2 -4 -6 0 -2 -4 -6
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5 - 0 -1 -2 -3 - 0 1 2 3
3 4 5 6 0 -2 -4 -6 0 -2 -4 -6
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
- 0 1 2 3 -
0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Zadanie 3
Sprowadz
macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rzÄ…d.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5
3 4 5 6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = 2 3 4 5 - 0 -1 -2 -3 - 0 1 2 3
3 4 5 6 0 -2 -4 -6 0 -2 -4 -6
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 3 4 1 0 -1 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
- 0 1 2 3 - 0 1 2 3 = R
0 0 0 0 0 0 0 0
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 29 / 30
Określenie rzędu macierzy R:
Rząd macierzy R jest równy r = 2, ponieważ ta macierz ma 2 elementy
osiowe.
W. Kubacka, J. Brzozowski Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo 18 grudnia 2012 30 / 30