Krótkie wprowadzenie do teorii
elektrycznych obwodów stało-prądowych
Wprowadzenie
Poznawanie otaczającego nas świata może odbywać się (i zazwyczaj tak jest) poprzez
wprowadzanie modeli, zwykle uproszczonych, takich którym nadaje się elementarne, znane nam
cechy. Idąc tą drogą, dochodzimy to stworzenia podstawowych elementów o jednostkowych,
idealnych cechach, z których to elementów staramy się stworzyć model jak najwierniej
odtwarzający obserwowaną rzeczywistość i tym samym poznawać mechanizmy jakie nią rządzą. Z
drugiej strony, tak zdefiniowane elementy wykorzystywane są do tworzenia nowych rzeczy, których
zachowanie będzie zgodne z naszymi zamierzeniami. Rozpatrzmy dla przykładu układy/urządzenia
elektroniczne. Każde takie urządzenie do swego działania wymaga energii, która musi być czerpana
z jakiegoś z
ródła. Skupiając się wstępnie właśnie na problemie zasilania można go rozpatrywać (w
dużym uproszeniu) jako połączenie z
ródła energii (np. popularna bateria) oraz odbiornika tejże
energii (np. odtwarzacz MP3) jak to pokazuje rysunek 1.
+ +
Ux
y
ródło (zasilacz) Odbiornik
_ _
Rys. 1. Schemat blokowy: z
ródło  odbiornik.
y
ródłami energii elektrycznej są z
ródła napięcia lub prądu, odbiornikami są urządzenia/układy lub
proste elementy elektroniczne. A
ączone są one przy pomocy przewodów (np. drut metalowy). W
celu lepszego zrozumienia rozpatrzmy model składający się ze z
ródła energii oraz jej odbiornika.
Jako idealne z
ródło można rozpatrywać z
ródło napięcia lub z
ródło prądu natomiast jako najprostszy
odbiornik - element, który jest w stanie rozpraszać energię (czy też zamieniać energię elektryczną
na cieplną) jakim może być element zwany rezystorem lub inaczej opornikiem (stawiając opór
płynącemu przez niego prądowi, nagrzewa się wydzielając ciepło).
Przystępując zatem do zapoznania się z podstawami obwodów elektrycznych wypada
rozpocząć od zrozumienia podstawowych pojęć takich jak napięcie, prąd, z
ródła napięcia i prądu,
rezystor oraz przewód a następnie przejść do praw jakie rządzą w obwodach elektrycznych i
właściwie je stosować.
Podstawowe pojęcia
Działanie obwodów elektrycznych jest możliwe dzięki przepływowi oraz gromadzeniu się
ładunków elektrycznych. Zjawiska te natomiast wiążą się z takim wielkościami jak napięcie oraz
prąd, których definicje brzmią następująco:
Napięcie to różnica potencjałów, oznacza się je literą U i wyraża się w woltach (U=V [V]).
1-V
2
Prąd to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych, oznacza się go literą I a jego natężenie
wyraża się w amperach (I [A]).
y
ródłami tych wielkości są elementy zwane z
ródłami napięcia oraz prądu. Idealny model
z
ródła napięcia (rys. 2a) cechuje się stałym w czasie napięciem na swoich zaciskach, które nie
zależy od podłączonego do niego obciążenia, analogicznie jest z modelem z
ródła prądu (rys. 2b),
tyle że wytwarza ono prąd o stałym natężeniu.
ZŚ'03.2011 1
+
E I
R
_
b) c) d) e)
a)
Rys. 2. Schematy idealnego: z
ródła napięcia (a), z
ródła prądu (b),
rezystora (c), przewodu (d) oraz przerwy (rozwarcia) (e).
Chcąc przekazać energię ze z
ródła do odbiornika należy je ze sobą połączyć, czego
dokonuje się przy pomocy przewodów. Jako najprostszy idealny model odbiornika przyjmuje się
element zwany rezystorem (rys. 2c). Ma on tylko jedną cechę zwaną rezystancją, wyrażaną w
omach (�), oznaczaną literą R i określającą jak duży opór stawia on przepływającemu przez niego
prądowi. Sam przewód też można traktować jak specyficzny element (rys. 2d), podobny do
rezystora, tyle że jego rezystancja wynosi 0 �, dzięki temu prąd przez niego przepływa bez żadnych
przeszkód. Czasem wprowadza się też element określający przerwę (rozwarcie) w obwodzie
(rys. 2e), który cechuje się rezystancją równą nieskończoność i tym samym nie pozwala na
przepłynięcie przez siebie prądu. Dwa ostatnie elementy mogą być wykorzystane przy niektórych
analizach obwodów. Przykładowo jeśli w obwodzie występuje rezystor o zerowej rezystancji,
wtedy można zastąpić go przewodem natomiast jeśli występuje rezystor o nieskończonej rezystancji
lub mamy do czynienia z brakiem elementu (np. został usunięty), wtedy możemy w tym miejscu
użyć przerwy. Istotne by wiedzieć, że rezystancja jest cechą jaką można zauważyć w każdym
elemencie (analogicznie jak ciężar przedmiotów, które nas otaczają), w tym też we wspomnianych
z
ródłach. I tak, idealne z
ródło napięcia cechuje się zerową rezystancją a idealne z
ródło prądu
rezystancją nieskończoną. Rezystancje te określa się mianem rezystancji wewnętrznych z
ródeł.
Spróbujmy teraz wyjaśnić co oznacza fakt, że wartości generowane przez z
ródła nie zależą
od połączonego z nimi obciążenia. W przypadku z
ródła napięcia rozpatruje się to następująco.
Wartość napięcia na zaciskach wyjściowych takiego z
ródła jest równa sile elektromotorycznej U=E
(rys. 3a). Po podłączeniu przy pomocy przewodów obciążenia R do z
ródła E (rys 3b), wartość
napięcia na jego zaciskach dalej jest równa sile elektromotorycznej niezależnie od wartości R (poza
przypadkiem R=0). Zmiana R w tym przypadku wpływać będzie jedynie na wartość prądu w
obwodzie, co wynika z podstawowego zadania z
ródła napięcia czyli generowania i utrzymywania
stałego napięcia. Napięcie to jest ponadto jednakowe we wskazanych w obwodzie (rys. 3b)
miejscach.
I I
I
I
+ +
U U
E E
U I U
U
U
R U
R
_ _
a) b)
c)
Rys. 3. Idealne z
ródła napięcia i prądu: a) z
ródło napięcia w stanie jałowym, b) z
ródło napięcia z
podłączonym obciążeniem oraz c) z
ródło prądu z podłączonym obciążeniem
W przypadku podłączenia obciążenia do z
ródła prądu (rys. 3c) analogicznie, przy zmianie wartości
obciążenia R natężenie prądu się nie zmienia, ponieważ dba o to z
ródło prądu. Zmiana R w tym
przypadku wpływać będzie jedynie na wartość napięcia na obciążeniu.
Wyjaśnijmy sobie teraz kilka pojęć jakie używane są w kontekście obwodów elektrycznych
i które ułatwią nam dalsze analizy. Tak więc zauważmy, że na przedstawionych już schematach
ZŚ'03.2011 2
elementy i układy elektroniczne mają swoje końcówki (zwane też zaciskami) i w zależności od ich
liczby nazywa się je dwójnikami, trójnikami czy też czwórnikami. Używane do połączeń
elementów przewody, też należy traktować jak swego rodzaju elementy. Ponadto rozpatrując
zagadnienie energii w obwodach, która łączy się z jakąś aktywnością (przynajmniej potencjalną),
wprowadza się określenie układu (elementu) aktywnego dla wszystkich elementów lub układów
elektronicznych zawierających z
ródła energii. Natomiast każdy układ/element elektroniczny nie
zawierający z
ródła energii, a tylko je przetwarzający lub gromadzący, nazywamy pasywnym. Przy
okazji warto zauważyć pewną własność obwodów. Mianowicie prąd wypływający ze z
ródła musi
być równy prądowi doń wracającemu. Wynika z tego, że po to aby prąd płynął w obwodzie musi
istnieć z
ródło prądu lub napięcia oraz musi istnieć w obwodzie droga, którą prąd wypływający z
jednego zacisku z
ródła mógłby wrócić do tego z
ródła poprzez jego drugi zacisk. Taką zamkniętą
drogę w obwodach nazywamy oczkiem. Przy okazji wyjaśnijmy inne pojęcia jakie określają nam
elementy struktury obwodów. Mianowicie punkty połączeń elementów nazywamy węzłami, a
fragmenty pomiędzy węzłami nazywamy gałęziami.
Zwróćmy uwagę, że podłączając do rezystora napięcie ze z
ródła napięcia (rys 3b)
spowodowaliśmy (wymusiliśmy) płynięcie przez ten rezystor prądu, natomiast przepuszczając
przez rezystor prąd ze z
ródła prądu (rys 3c) spowodowaliśmy odłożenie się na nim spadku napięcia.
Jest to normalne zachowanie się rezystora, które ściśle wiąże się z podstawowym prawem
obwodów elektrycznych czyli prawem Ohma. Mówi ono, że wartość napięcia jakie odkłada się na
rezystorze do wartości natężenia prądu jaki przez niego przepływa równa się wartości rezystancji
tego rezystora co przedstawiają poniższe wzory
U
I =U R=
, U =I�"R , .
R I
Warto to prawo zastosować do przewodu aby stwierdzić, że spadek napięcia na nim jest zerowy
(U=I�R=I�0=0) czyli że potencjały na nim (w szczególności na jego końcach) są wszędzie
jednakowe. Analogicznie stosując to prawo dla rozwarcia (przerwy) wykazujemy, że prąd przez ten
element nie płynie czyli jego natężenie jest zerowe (I=U/R=U/"=0).
Rozpatrzmy teraz inne połączenia oraz wprowadz
my sobie kolejne podstawowe prawa.
I Prawo Kirchhoffa  suma prądów w węz
le jest równa zero (suma prądów wpływających
jest równa sumie prądów wypływających). Przykład obrazuje nam rys. 4, dla którego zgodnie
z tym prawem można zapisać:
I =I1+I2 I -I1-I2=0
, .
I
I2
I1
I
R1 U R2 U
Rys. 4. Obwód obrazujący I (prądowe) prawo Kirchhoffa.
II Prawo Kirchhoffa  suma napięć w oczku jest równa zero (suma napięć z
ródeł jest równa
sumie spadków napięć). Przykład obrazuje nam rys. 5, dla którego zgodnie z tym prawem
można zapisać:
E=U +U E-U -U =0
, .
1 2 1 2
Napięcie z
ródła E rozkłada się tutaj na spadki napięć na rezystorach U i U .
1 2
ZŚ'03.2011 3
I
I
+
R1 U1
E
U
_
R2 U2
Rys. 5. Obwód obrazujący II (napięciowe) prawo Kirchhoffa.
Analiza i rozwiązywanie prostych obwodów
Znając prawo Ohma oraz prawa Kirchhoffa, można już swobodnie opisywać co dzieje się w
rozpatrywanych przez nas obwodach stało-prądowych czy też wyznaczać wartości interesujących
nas wielkości.
Obwód z rys 3b.
Dla obwodu tego można zapisać napięciowe prawo Kirchhoffa (E=U) a dla rezystora R
można zapisać prawo Ohma. W ten sposób mając podane E oraz R można wyznaczyć U oraz I:
E
I =U I =
E=U ,
R R
Obwód z rys 3c.
Z prądowego prawa Kirchhoffa wynika że prąd wypływający ze z
ródła jest równy prądowi
płynącemu przez rezystor R. Zatem znając już wartość prądu (jest to dany parametr z
ródła) oraz
stosując prawo Ohma dla rezystora o znanej wartości R można wyznaczyć spadek napięcia na nim:
U =I�"R .
Obwód rys. 4.
Zwróćmy uwagę na fragment obwodu jaki tworzą elementy R i R na rys. 4. Jest to proste
1 2
oczko, więc suma napięć w tym oczku powinna być równa zero.
U +U =0 U =-U
1 2 1 2
Wskazuje to, że wartości napięć na obu elementach powinny różnić się tylko znakiem. Różnice w
znaku na schemacie przedstawia się kierunkiem strzałki. Stąd na rysunku zaznaczone jest
jednakowe napięcie na obu rezystorach. Występujące tutaj połączenie dwójników, w którym jedne
zaciski obu dwójników łączą się bezpośrednio (lub poprzez przewód) oraz identycznie drugie
zaciski obu dwójników, nazywamy połączeniem równoległym. Spadki napięć na elementach w
takim połączeniu są takie same, natomiast prądy przez nie płynące mogą być różne. Zauważmy
dodatkowo, że stosując w tym obwodzie prądowe prawo Kirchhoffa oraz prawo Ohma do każdego
z elementów, otrzymujemy:
U U
I 1 1 1
U U
1 2
= + =
I =I1+I2= + = +
, oraz .
U R1 R2 R
R1 R2 R1 R2
Ponieważ I/U ma wymiar odwrotności rezystancji, więc wynika z tego, że takie połączenie
rezystorów można zastąpić jednym rezystorem R (zwanym zastępczym lub wypadkowym), którego
wartość można obliczyć wyznaczonym właśnie wzorem, przy czym zastąpienie to nie zmieni
pozostałych warunków w obwodzie. Obwód z rys 4, będzie można wtedy przedstawić w postaci
obwodu z rys 3c. Przypadek ten można rozszerzyć na dowolną ilość elementów. Jeśli teraz
postępując jak w przypadku dla rys 3c, mając wartość I, wyznaczymy wartość napięcia U, to z
prawa Ohma dla każdego z rezystorów można wyznaczyć płynące przez nie prądy
ZŚ'03.2011 4
R1�"R2
1
U U
U =I�"R= I�"( )=I�"
U U
1 2
I = = I = =
1 1 R1+R2 , , .
1 2
+
R1 R1 R2 R2
R1 R2
Obwód rys. 5.
W obwodzie występują tylko węzły, które łączą tylko po dwie gałęzie. Zatem w każdym
przypadku prąd wpływający do węzła jest równy prądowi wypływającemu (zgodnie z prądowym
prawem Kirchhoffa). Czyli w całym obwodzie występuje tylko jeden prąd o wartości I. A w
szczególności przez oba elementy R i R przepływa prąd o tej samej wartości. Występujące tutaj
1 2
połączenie dwójników, w którym jeden zacisk jednego dwójnika łączy się bezpośrednio tylko z
jednym zaciskiem drugiego poprzez węzeł, z którego nie odchodzi żadna dodatkowa gałąz
(poza
tymi w których są omawiane dwójniki), oraz drugie zaciski obu dwójników się nie łączą,
nazywamy połączeniem szeregowym. W połączeniu takim wartości prądów płynących przez oba
elementy są jednakowe natomiast spadki napięć na każdym z nich mogą być różne. Podobnie jak
poprzednio, można zauważyć, że stosując prawo Kirchhoffa oraz prawo Ohma otrzymujemy:
U
E=U =U +U =I �"R1+I �"R2=I�"R1+ I�"R2 E = =R= R1+R2
, .
1 2 1 1
I I
Ponieważ U/I ma wymiar rezystancji, więc wynika z tego, że takie połączenie rezystorów można
zastąpić jednym rezystorem R (zwanym zastępczym lub wypadkowym), którego wartość można
obliczyć wyznaczonym właśnie wzorem. Obwód z rys 5, będzie można wtedy przedstawić w
postaci obwodu z rys 3b. Przypadek ten można rozszerzyć na dowolną ilość elementów. Jeśli teraz
postępując jak w przypadku dla rys 3b, wyznaczymy wartość prądu I, to z prawa Ohma dla każdego
z rezystorów można wyznaczyć spadki napięć na nich:
E E
I =U = =
U =I �"R1=I�"R1 U = I2�"R2=I�"R2
, .
1 1 2
R R R1+R2 ,
Obwody otwarte
Pokazaliśmy sobie jak zachowuje się idealne z
ródło napięcia w stanie jałowym (rys. 3a)
oraz jakie cechy ma przewód. Przewód nie podłączony do niczego, zgodnie z tym co było
powiedziane, ma w każdym puncie taki sam potencjał (zwykle przypadkowy), więc różnica
potencjałów pomiędzy jego końcówkami jest zerowa. Jeśli przewód taki podłączymy do punktu o
wymuszonym, ustalonym potencjale, takim jaki występuje na jednym z zacisków z
ródła
napięciowego (+), wtedy na przewodzie (w każdym jego punkcie) pojawi się ten potencjał.
Analogiczną sytuację mamy w przypadku rezystora. Jeśli jest on nie podłączony, to nie ma
wymuszenia na nim ani różnicy potencjału ani też prądu, czyli prąd przez niego nie płynie oraz
potencjały na obu końcówkach są takie same czyli napięcie pomiędzy końcówkami jest zerowe.
Podłączając rezystor jednym zaciskiem do punktu o wymuszonym potencjale, mamy sytuację w
której prąd przez rezystor nie płynie, ponieważ nie ma zamkniętej drogi. Jeśli prąd nie płynie,
oznacza to, że nie ma też różnicy potencjałów pomiędzy końcówkami, zatem druga końcówka
rezystora musi mieć potencjał taki sam jak ten wymuszony. Oba te przypadki obrazuje rysunek 6.
+ +
+
E
U U
_ R
_
_
Rys. 6. Rozkład potencjałów w przewodzie oraz rezystorze przy wymuszeniu potencjału tylko na jednym
zacisku.
ZŚ'03.2011 5
Uproszczenia
Mając ugruntowane podstawowe wiadomości o obwodach, można czasem stosować
uproszczenia w postaci nie zaznaczania nieistotnych węzłów, nie zaznaczania osobno przewodów
itp. Z tego też powodu obwód z rys. 6 może być narysowany tak jak to pokazuje rys. 7, czy też
obwód z rys. 5 tak jak na rys. 8.
+
E
_
U
Rw
Rys. 7. Rzeczywiste z
ródło napięcia w stanie jałowym.
I
+
E
_
Ro Uo
U
Rw
Uw
Rys. 8. Rzeczywiste z
ródło napięcia z podłączonym obciążeniem Ro.
Rzeczywiste z
ródło napięcia
Idealne z
ródło napięcia, jak można się domyślać, nie zawsze odzwierciedla rzeczywiste
urządzenia. Aby dopasować model z
ródła napięcia do przypadków z jakim spotykamy w
rzeczywistości, wprowadza się model rzeczywistego z
ródła napięcia, w którym zaznacza się, że
z
ródło takie nie ma zerowej rezystancji wewnętrznej (rys. 7). Jak to wynika z dotychczasowych
analiz, napięcie na zaciskach wyjściowych takiego z
ródła w stanie jałowym jest równe sile
elektromotorycznej z
ródła idealnego (które stanowi cześć tego modelu), więc tak samo jak dla
modelu idealnego (rys 3a). Sytuacja zmienia się po podłączeniu do niego obciążenia R (rys. 8).
o
Napięcie pomiędzy tymi samymi zaciskami (U) jest wtedy takie same jak na obciążeniu (U ).
o
U =U
o
Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa otrzymujemy
U =U = E-U `"E
,
o w
co pokazuje, że napięcie na zaciskach wyjściowych rzeczywistego z
ródła napięcia przy
podłączonym obciążeniu jest mniejsze niż w stanie jałowym, a dokładniej to:
Ro
U =U = I�"Ro=E�"
.
o
Ro+ Rw
Twierdzenie Thevenina
Na podstawie dotychczas przedstawionych informacji można zauważyć, że każdy dwójnik
pasywny można zastąpić równoważnym układem w postaci rezystora zastępczego. Dla przykładu
załóżmy, że mamy pewien obwód składający się z samych elementów pasywnych (rys. 9) i
ZŚ'03.2011 6
interesuje nas ten obwód z punktu wiedzenia dwóch wybranych punktów (A i B). Możemy w tych
punktach zaznaczyć sobie zaciski i traktować ten obwód jak dwójnik. Dla takiego dwójnika można
wyznaczyć równoważny obwód zastępczy, o jednej rezystancji równej w tym przypadku
R12�"R3
R12=R1+ R2
Rz=
, gdzie .
R12+R3
Powyższa zależność wynika z faktu, że R i R połączone są szeregowo a ich wypadkowa (R )
1 2 12
równolegle z R .
3
R2 R2
A A A
R1 R3 R1 R3 Rz
B B B
Rys. 9. Obwód pasywny i jego dwójnik zastępczy.
Wyznaczając rezystancję wypadkową dla obwodów warto pamiętać jakie wartości
otrzymuje się dla połączenia dowolnego rezystora R z rezystorem o wartości równej zero (0) lub
nieskończoność ("). Są to mianowicie:
" szeregowe połączenie R i 0 daje wypadkową R,
" szeregowe połączenie R i " daje wypadkową ",
" równoległe połączenie R i 0 daje wypadkową 0,
" równoległe połączenie R i " daje wypadkową R
co można oczywiście wykazać.
Dla dwójników aktywnych Thevenin wykazał, że każdy taki dwójnik można zastąpić
równoważnym układem zastępczym w postaci z
ródła rzeczywistego (rys. 7), zwanego czasem w
tym przypadku modelem Thevenina. Ujął to w następujące twierdzenie:
Każdy obwód widziany ze strony dwóch różnych zacisków (np. A i B) można przedstawić w
równoważnej postaci rzeczywistego z
ródła napięcia -szeregowo połączonego idealnego z
ródła
napięcia (E) i rezystancji wewnętrznej (R ). Aby układy te były równoważne napięcie E musi
w
być równe napięciu pomiędzy zaciskami A i B, natomiast rezystancja R musi być równa
w
rezystancji zastępczej obwodu widzianej ze strony zacisków A i B.
Celem przykładu rozważmy układ jak na rys. 10a. Chcemy dla tego obwodu wyznaczyć
równoważny obwód w postaci rys 7.
R1 R1
R3 A R3 A
+
E1
R2 UAB R2
_
B
B
a)
b)
Rys. 10. Obwód aktywny (a) i jego postać przy wyznaczaniu rezystancji zastępczej.
Przy czym napięcie E musi być równe U oraz R musi być równa rezystancji zastępczej obwodu
AB w
(rys. 10a) widzianej ze strony zacisków AB. Pozostaje zatem wyznaczyć te parametry. Dla napięcia
ZŚ'03.2011 7
można zauważyć, że U równe jest spadkowi napięcia na R . Natomiast napięcie na R
AB 2 2
wyznaczaliśmy już analizując obwód z rys 5.
R2
E=U =U =E1�"
AB 2
R1+R2
Dla rezystancji musimy spojrzeć na elementy w obwodzie, inne niż rezystory, zauważając tylko ich
rezystancję. Tak więc ponieważ idealne z
ródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną równą zero a
taką rezystancję można zastąpić przewodem, więc w miejscu tego z
ródła umieszczamy (tylko dla
celów wyznaczenia rezystancji zastępczej) przewód. Podobnie należałoby postąpić ze z
ródłem
prądu, tylko w tym przypadku zastępuje się je rozwarciem. Można zastosować inną, nie wnikającą
w zasady, regułę, która mówi że wyznaczając rezystancję zastępczą takich obwodów wszystkie
z
ródła napięcia zwieramy natomiast z
ródła prądu rozwieramy. Tak czy inaczej obwód będzie
wyglądał tak jak to przedstawia rys. 10b. I wtedy widzimy, że rezystory R i R połączone są ze
1 2
sobą równolegle natomiast ich zastępczy rezystor połączony jest z R szeregowo:
3
R1�"R2
Rw=RAB= + R3
R1+R2
Próbując uogólnić twierdzenie Thevenina, można zauważyć że model z rys 7 zastosowany
dla zasilacza z rys 1, wynika właśnie z tego twierdzenia. Zatem mając dowolny stało-prądowy
układ (dwójnik), którego struktury nie znamy ale znamy jego rezystancję wewnętrzną oraz napięcie
na jego zaciskach, możemy do celów analizy zastąpić modelem Thevenina. Ponadto zagadnienie
wyznaczania rezystancji zastępczej układów pasywnych może być postrzegane jako szczególny
przypadek tego twierdzenia, w którym napięcie na zaciskach ma wartość zero, więc i z
ródło E ma
wartość zero, co można zastąpić przewodem (zwarciem) a model Thevenina redukuje się do postaci
pojedynczego rezystora.
Dzielnik napięcia
Jest to czwórnik pasywny, którego napięcie wyjściowe (U )jest wynikiem podziału napięcia
wy
wejściowego (U ) jak to pokazuje rys. 11. Stopień podziału dzielnika (kd"1) zależy od stosunku
we
rezystancji wejściowej (R ) do rezystancji wyjściowej (R ).
we wy
I
I
Dzielnik
+
R1 U1
E
Uwe
_
R2 U2 Uwy
Rys. 11. Rezystancyjny dzielnik napięcia z podłączonym na wejście idealnym z
ródłem napięcia.
Ponieważ w najprostszym ujęciu, dzielnik taki stanowią dwa rezystory, więc można zapisać:
U Rwy R2
we
U = =U �" =U �"
.
wy we
k Rwe we R1+R2
Jego zachowanie można prześledzić identycznie jak dla obwodu z rys. 5 lub z rys 8. Ponadto często
widząc, że jakiś fragment naszego obwodu ma strukturę dzielnika, korzystamy z podanej zależności
dzielnika aby wyznaczyć napięcie, nie zajmując się wyznaczeniem prądu. Ciekawą może być
analiza zastosowania takiego dzielnika do podziału napięcia idealnego z
ródła napięcia (rys. 11).
ZŚ'03.2011 8
Wyznaczając obwód zastępczy układu widzianego ze strony zacisków wyjściowych dzielnika (wg
tw. Thevenina) otrzymuje się rzeczywiste z
ródło napięcia (rys. 7) o nowej sile elektromotorycznej
równej U oraz rezystancji równej równoległemu połączeniu R i R . Zatem konstruując taki
wy 1 2
dzielnik należy brać pod uwagę nie tylko stosunek podziału ale i wartości rezystorów (głównie
rezystancję wejściową) dzielnika, ponieważ jeśli tak powstałe nowe z
ródło ma zbyt dużą
rezystancję, wtedy przy podłączeniu na jego wyjście odbiornika (np. w postaci rezystora R) można
spowodować pojawienie się na nim napięcia znacznie niższego niż się spodziewamy. Zauważmy
również, że podłączając na wyjście rzeczywistego z
ródła napięcia obciążenia w postaci rezystora R
o
tworzy nam się właśnie dzielnik napięcia E. Dzięki temu możemy łatwo wyznaczyć napięcie na
obciążeniu z zależności:
Ro Ro
U =U =U �" = E�"
wy Ro we
Rw+Ro Rw+Ro
Przyrządy pomiarowe
Umieszczając w obwodach przyrządy pomiarowe musimy wiedzieć co wtedy się dzieje i jak
analizować takie obwody. Omówione zostaną tutaj tylko przyrządy do pomiaru natężenia prądu
oraz napięcia.
+ +
IA
A
_
+
UV
V V
UV RV
RA
IA
_
A
_ _ +
a)
b) c) d)
Rys. 12. Schematy przyrządów: woltomierz idealny (a), woltomierz rzeczywisty (b),
amperomierz idealny (c ) oraz amperomierz rzeczywisty (d).
Przyrządem do pomiaru napięcia jest woltomierz. Zgodnie z definicją napięcia, w celu jego
pomiaru powinniśmy podłączyć woltomierz pomiędzy punkty, na których występuje interesujące
nas napięcie. Ponieważ przyrząd taki staje się częścią badanego obwodu, więc w idealnym
przypadku powinien mieć cechy powodujące nie wpływanie na badany obwód. Taki warunek
będzie spełniony, jeśli woltomierz będzie miał rezystancję wewnętrzną równą nieskończoność. I tak
właśnie określony jest model idealnego woltomierza (rys. 12a). Dzięki temu nie płynie przez niego
prąd (analogicznie jak przez przerwę/rozwarcie). Rzeczywiste woltomierze mają jednak skończoną
rezystancję, którą w celach analiz powinniśmy uwzględniać (rys. 12b), ponieważ zmienia ona
warunki w obwodzie. Powoduje ona płynięcie prądu, przy czym prąd ten płynie tylko przez tą
rezystancję a nie przez część przedstawiającą idealny woltomierz (rys. 13). Napięcie jakie
przykładane jest na zaciski pomiarowe woltomierza jest tym, które woltomierz wskazuje (U ), a w
V
przypadku woltomierza rzeczywistego jest ono również równe napięciu jakie odłoży się na jego
rezystancji wewnętrznej.
Rw
+
+
E
V
UV RV
_
_
Rys. 13. Przykład schematu pomiarowego pomiaru napięcia.
ZŚ'03.2011 9
Każdy obwód, w którym mierzymy napięcie (U ) można (zgodnie z tw. Thevenina) zastąpić przez
x
obwód pokazany na rys 13 (gdzie E=U ). Analizując ten obwód wraz załączonym woltomierzem,
x
można zauważyć następujące przypadki:
- jeśli R =0, wtedy na wskazanie woltomierza nie będzie miała wpływu jego rezystancja
w
wewnętrzna R , czyli woltomierz pokaże nam U =E
V V
- jeśli R =", wtedy na wskazanie woltomierza nie będzie miała wpływu rezystancja obwodu
V
R , czyli woltomierz pokaże nam U =E
w V
- jeśli R `"0 oraz R `"", wtedy obie te rezystancje będą miały wpływ na wskazanie
w V
woltomierza, które będzie U `"E
V
Przyrządem do pomiaru natężenia prądu jest amperomierz. Zgodnie z definicją prądu, w
celu jego pomiaru powinniśmy podłączyć amperomierz przerywając obwód w miejscu, w którym
płynie interesujący nas prąd i wpinając go pomiędzy powstałe punkty. Ponieważ przyrząd taki staje
się częścią badanego obwodu, więc w idealnym przypadku powinien mieć cechy powodujące nie
wpływanie na badany obwód. Taki warunek będzie spełniony, jeśli amperomierz będzie miał
rezystancję wewnętrzną równą zero. I tak właśnie określony jest model idealnego amperomierza
(rys. 12c). Dzięki temu nie odkłada się na nim napięcie (analogicznie jak na przewodzie/zwarciu).
Rzeczywiste amperomierze mają jednak niezerową rezystancję, którą w celach analiz powinniśmy
uwzględniać (rys. 12d), ponieważ zmienia ona warunki w obwodzie. Powoduje ona odkładanie się
na niej spadku napięcia, przy czym spadek ten występuje tylko na tej rezystancji a nie na części
przedstawiającej idealny amperomierz (rys. 14). Prąd jaki płynie pomiędzy zaciskami pomiarowymi
amperomierza jest tym, który wskazuje amperomierz (I ), a w przypadku amperomierza
A
rzeczywistego jest on również równy prądowi jakie płynie przez jego rezystancję wewnętrzną.
RA
IA
_
A
+
+
E
Ro
_
Rys. 14. Przykład schematu pomiarowego pomiaru natężenia prądu.
Każdy obwód, w którym mierzymy prąd (I ) można (zgodnie z tw. Thevenina) pomiędzy punktami
x
gdzie będziemy wpinać amperomierz zastąpić przez obwód pokazany na rys 14 (gdzie I jest prądem
płynącym w obwodzie przed włączeniem do niego amperomierza). Analizując ten obwód wraz
załączonym woltomierzem, można zauważyć następujące przypadki:
- rezystancja obwodu R =0 nie może być ani zerowa (spowoduje to zwarcie i uszkodzenie
o
z
ródła) ani nieskończona (prąd nie będzie płynął)
- jeśli R =0, wtedy na wskazanie amperomierza nie będzie miała wpływu rezystancja obwodu
A
R , czyli amperomierz pokaże nam I =I
o A
- jeśli R `"0 oraz R `"0, wtedy obie te rezystancje będą miały wpływ na wskazanie
w A
amperomierza, które będzie I `"�
A
Zakończenie
Celem lepszego zrozumienia wspomnianych tutaj zagadnień można zapoznać się z
symulacjami obwodów elektrycznych, których w internecie jest całkiem sporo np.
http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics
ZŚ'03.2011 10
Uwagi:
1. Opisane tutaj zagadnienia są jedynie zbiorem niezbędnych informacji do zrobienia
pierwszych kroków w dziedzinie poznawania obwodów elektrycznych i nie wyczerpują
tematu
2. Zagadnienia dotyczą tylko liniowych obwodów stało-prądowych
ZŚ'03.2011 11