Przykład 6.4. Równania równowagi wewnętrznej
Równania równowagi wewnętrznej mają postać:
"Ãx "Ä "Ä
xy
xz
+ + + ÁX = 0
"x "y "z
"Ä "Ã "Ä
yx y yz
+ + + ÁY = 0
"x "y "z
"Ä
"Ä "Ãz
zy
zx
+ + + ÁZ = 0
"x "y "z
gdzie Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… materiaÅ‚u, natomiast X, Y, Z to skÅ‚adowe siÅ‚ masowych odniesione do
jednostki masy. Zatem siÅ‚y masowe odniesione do jednostki objÄ™toÅ›ci wynoszÄ… ÁX , ÁY ,
ÁZ . SiÅ‚Ä… masowÄ… w zagadnieniach statyki może być ciężar materiaÅ‚u, w zagadnieniach
dynamiki  siła d Alemberta.
ZADANIE 1. Czy podane poniżej pola naprężeń (płaski stan naprężenia) mogą wystąpić w
ciele sprężystym będącym w równowadze? Zakładamy, że siły masowe nie występują.
3
îÅ‚ Å‚Å‚
c1x + c2 y c5x - c1y
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚- x2 y2 xy3 śł
2
a) [Ã ] =
ij ïÅ‚c x - c1y c3x - c5 yśł b) [Ãij ] = ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚ 5 ûÅ‚
ïÅ‚ xy3 - y4 śł
ðÅ‚ 4 ûÅ‚
RozwiÄ…zanie
a) Sprawdzamy czy równania równowagi wewnętrznej są spełnione:
"Ãx "Ä
xy
+ = c1 + 0 + 0 - c1 = 0  spełnione
"x "y
"Ä "Ã
yx y
+ = c5 + 0 + 0 - c5 = 0  spełnione
"x "y
b) Sprawdzamy czy równania równowagi wewnętrznej są spełnione:
"Ãx "Ä
xy
+ = -3xy2 + 3xy2 = 0  spełnione
"x "y
"Ä "Ã
yx y
+ = y3 - y3 = 0  spełnione
"x "y
Odpowiedz
: podane pola naprężeń mogą wystąpić w ciele sprężystym będącym
w równowadze.
ZADANIE 2. Jakie są siły masowe, jeżeli wiadomo, że podane naprężenia opisują stan
równowagi ciała sprężystego?
à = -2x2 + 3y - 5z
Ä = 2 + 4xy - 7
x
xy
à = -2y2 Ä = -3x + y +1
y xz
Ä = 0
à = 3x + y - 6z - 5
yz
z
RozwiÄ…zanie
Podstawiamy naprężenia do równań równowagi wewnętrznej
"Ãx "Ä "Ä
xy
xz
+ + + ÁX = 0 ; - 4x + 4x + ÁX = 0 Ò! ÁX = 0 ,
"x "y "z
"Ä "Ã "Ä
yx y yz
+ + + ÁY = 0 ; 4y - 4y + ÁY = 0 Ò! ÁY = 0 ,
"x "y "z
"Ä
"Ä "Ãz
zy
zx
+ + + ÁZ = 0 ; - 3 + 0 - 6 + ÁZ = 0 Ò! ÁZ = 9 .
"x "y "z
Odpowiedz
: siÅ‚y masowe wynoszÄ… ÁX = 0 , ÁY = 0 , ÁZ = 9 .
2