Test zgodności Kołmogorow a
Test stosowany do sprawdzenia zgodności rozkładu empirycznego z
rozkładem hipotetycznym. Warunkiem zastosowania jest to aby
hipotetyczna dystrybuanta była ciągła a próba losowa liczna ( duże n).
Hipoteza zerowa H0 : F(x)=F0(x) - rozkład empiryczny jest zgodny z
ciągłym rozkładem hipotetycznym o dystrybuancie określonej funkcją
F0(x)
Hipoteza alternatywna: H0 : F(x)`"
`"F0(x)
`"
`"
 = D n ; D = sup F (x) - F0(x)
Statystyka testowa :
n
x
Przy założeniu prawdziwości H0 statystyka  ma asymptotyczny rozkład
-Kołmogorowa , gdzie n  liczebność próby rozkładu empirycznego,



i
ns
F (x) = dla xi d" x d" xi+1
Fn(x)  dystrybuanta empiryczna ( z def. )
"
n
n
s=1
Odrzucenie hipotezy zerowej, gdy stat.  "&! { : P[ e" kryt(ą)]= ą}
Rozkład -Kołmogorowa



1.0
0.9
0.8
Dystrybuanta
0.7
rozkładu
0.6
0.5
0.4
-Kołmogo-
0.3
rowa
0.2
0.1
0.0
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Przykład. Zakłada się że sonda pomiarowa temperatury podaje wyniki pomiarów o
rozkładzie normalnym, gdy pomiary są powtarzane wielokrotnie, dla tych samych
warunków eksperymentu. Za pomocą sondy wykonano 200 pomiarów temperatury,
otrzymując rozkład empiryczny w Tabeli 1 (II,IV  kolumny). Zweryfikuj postawioną
hipotezę, o normalności rozkładu temperatury, w oparciu o uzyskane wyniki.
Uwagi do tablicy: Parametry hipotetycznego rozkładu normalnego są szacowane na
podstawie próbki. Dystrybuanta hipotetycznego rozkładu N(0,1) wyznaczana na
podstawie tablic dystrybuanty Ś(u) standaryzowanego rozkładu normalnego.
Wniosek: Wyznaczona wartość D=0.0469 , pozwala na obliczenie statystyki testu
=D"n=0.663 . Przyjąwszy poziom istotności ą=0.05 , z tablic rozkładu Kołmogorowa
pobieramy wartość krytyczną kryt = 1.36. Wobec faktu, że =0.663 < kryt = 1.36 , nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, że rozkład jest normalny, ze średnią
957.3 i błędem standardowym �=2.44 .
Test zgodności �2
�
�
�
Test stosowany do sprawdzenia zgodności rozkładu empirycznego z
rozkładem hipotetycznym. Warunkiem zastosowania jest
odpowiednio duża próba losowa ( n liczebność próby).
Hipoteza zerowa H0 : F(x)=F0(x) - rozkład empiryczny jest zgodny z
rozkładem hipotetycznym o dystrybuancie określonej funkcją F0(x)
Hipoteza alternatywna: H0 : F(x)`"
`"F0(x)
`"
`"
2
k
ni - npi
( )
Statystyka testowa : Z =
"
2
i=1 npi
( )
Przy założeniu prawdziwości H0 statystyka Z ma asymptotyczny
rozkład �2 o r = (k m 1) stopniach swobody, gdzie k  liczba klas
�
�
�
wartości zmiennej empirycznej, m  liczba parametrów rozkładu
F0(x), pi  prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienna losową
wartości z przedziału dla klasy i (obliczać można ze znanej
dystrybuanty F0(x) ). Symbol ni oznacza liczebność w klasie i.
Odrzucenie hipotezy zerowej, gdy stat. Z "&! [z: P{ze"�2(ą,r)}= ą]
Test zgodności �2  cd.
�
�
�
Przykład. Przez rok rejestrowano liczbę awarii urządzenia, zapisując liczbę
uszkodzeń w ciągu jednego dnia roboczego. Otrzymano empiryczny rozkład
(Tabela). Zweryfikować hipotezę, iż rozkład jest zgodny z rozkładem Poissone a.
Na początek z próbki empirycznej szacujemy parametr  rozkładu Poissone a (  =
średnia wartość z próby empirycznej ). Zmienna X jest skokowa, zatem
k
P(X = k) = e- k = 0,1,2,3,4
k !
Tabela 1
UWAGI: pi dla X=4 wyznaczone
jako 1 (p0+p1+p2+p3) aby Łpi=1.
Ponieważ wartość oczekiwana dla
X=4 wynosi 2.7 < 5 , dokonujemy
połączenia danych z sąsiednich klas,
stąd ostatecznie powstaje Tabela 2.
Tabela 2
Wniosek: Ponieważ statystyka
testowa Z=7.001 > �2(0.05,2)=5.991
odrzucamy hipotezę H0  oznacza to
że rozkład empiryczny istonie różni
się od rozkładu Poissone a. Liczba
stopni swobody = k m 1= 4 1 1= 2
Jak to zrobić w STATISTICA
Program domyślnie wykonuje test Chi-kwadrat na podstawie liczności
obserwowanych i oczekiwanych. Kategorie, w obrębie których liczności
oczekiwane są niższe od 5, są łączone tak, aby utworzyły klasy o wyższej
liczności. Jeżeli test wykazuje istotność (tzn. wartość p jest mniejsza od
założonego poziomu istotności, zazwyczaj równego 0,05 lub 0,01), wówczas
odrzucamy hipotezę zakładającą, że obserwowane dane podlegają
określonemu rozkładowi.
ą1> ą2 - małe typowo 0.05, 0.01
ą1=P( � > �2(ą1,k) )
ą2 = P( � > �2(ą2,k) )
�2(ą1,k) �2(ą2,k)
�
Jeśli statystyka � z próby jest:
�> �2(ą1,k)  odrzuć H0 ( prawdopodobieństwo otrzymania � wynosi mniej niż ą1)
= ISTOTNOŚĆ testu
Odległość emp. rozkładu od teoretycznego tak duża, że szansa na to jest mniejsza ą1