Treść
Artykuły
Algebra abstrakcyjna/ Grupy - podstawy 1
Algebra abstrakcyjna/ Podgrupy 2
Algebra abstrakcyjna/ Warstwy 3
Algebra abstrakcyjna/ Dzielniki normalne i grupy ilorazowe 3
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy grup 4
Algebra abstrakcyjna/ Twierdzenie Cayleya 4
Algebra abstrakcyjna/ Pierścienie - podstawy 4
Algebra abstrakcyjna/ Elementy odwracalne i dzielniki zera 5
Algebra abstrakcyjna/ Dziedziny całkowitości i ciała 5
Algebra abstrakcyjna/ Działania 6
Algebra abstrakcyjna/ Struktury algebraiczne 8
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy 8
Przypisy
Article Sources and Contributors 9
Licencje artykułu
Licencja 10
Algebra abstrakcyjna/Grupy - podstawy
1
Algebra abstrakcyjna/ Grupy - podstawy
Grupy - podstawy
Definicja grupy
Grupą nazywamy parę (G,*), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, a * jest działaniem w zbiorze G
spełniającym warunki:
" (G1) działanie * jest łączne;
" (G2) działanie * ma element neutralny;
" (G3) dla każdego elementu zbioru G istnieje element odwrotny.
Grupa abelowa
Grupę (G,*) nazywamy grupą abelową, jeśli działanie * jest przemienne.
Rząd grupy; grupa skończona
Niech G będzie grupą. Jeśli zbiór G jest skończony, to grupę G nazywamy skończoną, a liczbę elementów zbioru G
nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy przez |G|. Jeśli zbiór G jest nieskończony, to mówimy, ze grupa G jest
nieskończona lub też, że grupa G ma rząd nieskończony. Piszemy wtedy |G|=".
Grupa przekształceń
Def.
Grupa symetryczna
Grupą symetryczną (grupą symetrii, grupą permutacji) zbioru X nazywamy zbiór wszystkich bijekcji z X na X z
działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy zazwyczaj przez .
Algebra abstrakcyjna/Podgrupy
2
Algebra abstrakcyjna/ Podgrupy
Podgrupy
Definicja podgrupy
Niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: dla
każdego"�a,b należą do G [ab-1 należy do H] i [a+(-b) należy do H].
Twierdzenie o podgrupach
Podzbiór H grupy G jest podgrupą grupy (G,*) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
" (pG1) e��H,
" (pG2) "�a,b��H [ab��H],
" (pG3) "�a��H [a-1��H].
Dowód:
��) Przypuśćmy, że niepusty podzbiór H grupy G spełnia warunek (pG). Biorąc dowolny element a��H, na mocy
warunku (pG) otrzymujemy, ze aa-1=e��H. Zatem spełniony jest warunek (pG1). Ponieważ e��H i a��H, więc z
warunku (pG) wynika, że ea-1=a-1��H. Spełniony jest więc warunek (pG3). Dla dowolnych a,b��H równość
ab=a(b-1)-1 oraz warunki (pG3) i (pG) pociągają przynależność ab��H. Zatem warunek (pG2) jest również spełniony.
��) oczywiste.
Działanie zawężone do podgrupy
Jeśli zbiór H jest podgrupą grupy G, to zawężenie działania w zbiorze G do podzbioru H jest działaniem w zbiorze
H. Co więcej, zbiór H z tym działaniem tworzy grupę Fakt, ze H jest podgrupą grupy G zapisuje się: HPodgrupy grupy liczb całkowitych
Każda podgrupa grupy Z jest postaci nZ, gdzie n��N��{0}.
Dowód:
Ponieważ {0}=0Z, więc podgrupa zerowa jest żądanej postaci. Przypuśćmy teraz, że H jest podgrupą niezerową
grupy Z. Do H należy więc pewna liczba całkowita mą�0. Ponieważ z warunku m��H wynika, że -m��H, więc zbiór
liczb naturalnych należących do H nie jest pusty. Niech n będzie najmniejszą liczbą naturalną należącą do H. Wtedy
dla każdego k��N mamy kn��H i na mocy warunku (pG3) również każda z liczb  kn należy do H. Zatem nZ��H.
Pokażemy, ze zachodzi też inkluzja przeciwna. Wez
my w tym celu dowolną liczbę a��H i podzielmy ją z resztą przez
n: a=nq+r, gdzie 0Ł�rnaturalną należącą do H, może jedynie być r=0. Stąd a=nq��nZ. A
ącząc obie inkluzje dostajemy żądany związek
H=nZ.
Algebra abstrakcyjna/Warstwy
3
Algebra abstrakcyjna/ Warstwy
Warstwy
Definicja warstwy
Niech H będzie podgrupą grupy G i niech a��G. Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną
przez element a nazywamy zbiór aH określony następująco: aH:={ah: h��H}. Warstwą prawostronną grupy G
względem podgrupy H wyznaczoną przez element a nazywamy zbiór Ha określony następująco: Ha:={ha: h��H}.
Indeks
def.
Twierdzenie Lagrange'a
Niech g będzie dowolną skończoną grupą, tzn. rząd grupy < i niech H bedzie podgrupą G. Zachodzi wówczas
nastepująca równość:
, gdzie - moc zbioru ilorazowego .
Algebra abstrakcyjna/ Dzielniki normalne i
grupy ilorazowe
Dzielniki normalne i grupy ilorazowe
Dzielnik normalny
Podgrupę H grupy G nazywamy dzielnikiem normalnym grupy G, jeśli spełniony jest warunek: "�a��G[aH=Ha]. Fakt
ten oznaczamy: Hv�G. Jeśli Hv�G, to zbiory warstw {aH: a��G} i {Ha: a��G} są równe i oznacza się je przez G/H.
Grupa ilorazowa
Grupę (G/H,*), gdzie * jest działaniem określonym wzorem (aH)(bH)=(ab)H, nazywamy grupą ilorazową grupy G
przez jej podgrupę
Algebra abstrakcyjna/Homomorfizmy grup
4
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy grup
Homomorfizmy grup
Niech (G,*) i (H,o) będą grupami. Odwzorowanie f: G H nazywamy:
a) homomorfizmem, jeśli f zachowuje działanie grupowe, to znaczy f(a*b) = f(a) o f(b) dla dowolnych a,b?G,
b) monomorfizmem lub zanurzeniem, jeśli f jest homomorfizmem różnowartościowym,
c) epimorfizmem, jeśli f jest homomorfizmem i jest sueirkcją,
d) izomorfizmem, jeśli f jest homomorfizmem i jest bijekcją,
e) endomorfizmem, jeśli G = H,
f) automorfizmem, jeśli f jest izomorfizmem i endomorfizmem.
Algebra abstrakcyjna/ Twierdzenie Cayleya
Twierdzenie Cayleya
Dla dowolnej grupy G istnieje monomorfizm grupy w grupie S(G). Gdzie S(G) jest grupą permutacji grupy G.
Algebra abstrakcyjna/ Pierścienie - podstawy
Pierścienie - podstawy
Pierścień - definicja
Zespół (A,+,*) składający się z niepustego zbioru A oraz dwóch działań + i * określonych w A nazywamy
pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:
" (P1) (A,+) jest grupą abelową;
" (P2) "�a,b,c��A[(ab)c=a(bc);
" (P3) "�a,b,c��A [a(b+c)=(ab)+(ac), (a+b)c=(ac)+(bc)].
Każdy pierścień jest strukturą algebraiczną
Zero i jedynka
Element neutralny dodawania w pierścieniu A nazywamy zerem pierścienia A, i oznaczamy zazwyczaj symbolem 0.
Def.Jeśli mnożenie * w pierścieniu A ma jedynkę, to jedynkę tę nazywamy jedynką pierścienia A. Jedynkę
pierścienia oznaczamy zazwyczaj symbolem 1.
Twierdzenie: W niezerowym pierścieniu z jedynką zachodzi związek 0ą�1.
Dowód: Przypuśćmy, że A jest niezerowym pierścieniem z 1, w którym 0=1. Wtedy dla każdego a��A zachodzą
równości a*1=a oraz a*1=a*0=0. Stąd A={0}. Sprzeczność.
Algebra abstrakcyjna/Pierścienie - podstawy
5
Rodzaje pierścieni
Pierścień (A,+,*) może być:
" przemienny - jeśli działanie * jest przemienne;
" zerowy - jeśli zbiór A jest jednoelementowy (w przeciwnym przypadku o pierścieniu A mówimy, ze jest
pierścieniem niezerowym);
" pierścień z jedynką - jeśli mnożenie * w pierścieniu A ma jedynkę;
Algebra abstrakcyjna/ Elementy odwracalne i
dzielniki zera
Elementy odwracalne i dzielniki zera
P pierścień, a należy do P. Element a nazywamy elementem odwracalnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b
należące do P takie, że ab=1.
P pierścień, a nalezy do P. Element a nazywamy dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b należące do P,
b różnie od zera takie, że ab=0.
Algebra abstrakcyjna/ Dziedziny całkowitości i
ciała
Ciałem nazywamy strukture algebraiczna (A,+,*) spełniajaca warunki
 (A, +) jest grupa abelowa,
 (A \ {e+}, *) jest grupa (e+ jest elementem neutralnym działania +),
 działanie * jest rozdzielne wzgledem działania +.
 Jesli ponadto działanie * jest przemienne, to takie ciało nazywamy ciałem przemiennym.
Algebra abstrakcyjna/Działania
6
Algebra abstrakcyjna/ Działania
Działania
Działanie wewnętrzne
Działaniem wewnętrznym (lub krócej działaniem) w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie produktu
kartezjańskiego AxA w zbiór A. Innymi słowy mówimy, że w zbiorze A określone jest działanie wewnętrzne, jeśli
każdej parze uporządkowanej (a,b) elementów zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A
(zwany wynikiem działania na elementach a i b).
Jeżeli *:AxAA jest działaniem wewnętrznym w A, to zazwyczaj wynik działania na elementach a,b"A
oznaczamy przez: a*b (nie zaś przez *(a,b) ).
Dla oznaczenia działań wewnętrznych stosujemy często symbole: . W przypadku użycia symbolu mówić
możemy o notacji addytywnej (działanie nazywamy wówczas dodawaniem, zaś wynik - sumą); w przypadku użycia
o multiplikatywnej (działanie nazywamy mnożeniem, zaś wynik iloczynem). Przy stosowaniu notacji
multiplikatywnej często symbol działania pomija się, tzn. zamiast piszemy .
Działanie zewnętrzne
Niech A i F będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne
odwzorowanie produktu kartezjańskiego FxA w zbiór A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.
Działanie łączne
Mówimy, że działanie w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c"A zachodzi równość
.
Działanie przemienne
Mówimy, że działanie w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b"A zachodzi równość
.
Jeżeli dane działanie jest przemienne, to zazwyczaj oznaczamy je addytywnie.
Działanie rozdzielne
Niech w zbiorze A określone będą działania oraz . Mówimy, ze działanie jest rozdzielne względem
działania , jeśli dla dowolnych zachodzą równości:
" (rozdzielność lewostronna działania względem działania ),
" (rozdzielność prawostronna działania względem działania ).
Element neutralny
Mówimy, że element jest elementem neutralnym działania określonego w A, jeśli dla każdego
zachodzi równość .
Element neutralny działania w A, o ile istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były
elementami neutralnymi działania , to: , bo e' jest elementem neutralnym oraz , bo e jest
elementem neutralnym, wobec czego: .
Algebra abstrakcyjna/Działania
7
Element odwrotny
Niech działanie w zbiorze A ma element neutralny e i niech a"A. Każdy element b"A spełniający równość
nazywamy elementem odwrotnym do a. Jeśli istnieje dokładnie jeden element odwrotny do a,
to oznaczamy go symbolem . W notacji addytywnej element odwrotny do a nazywamy elementem przeciwnym
do a i oznaczamy  a. Ponadto, zamiast pisać piszemy zazwyczaj .
Jasne jest, że jeśli element b jest odwrotny do a, to element a jest odwrotny do b.
Ponadto, jeżeli działanie w zbiorze A jest łączne, to element odwrotny do elementu , o ile istnieje, jest
wyznaczony jednoznacznie. Gdyby bowiem były odwrotne do a, to:
.
Element neutaralny zawsze posiada element odwrotny. Jest nim on sam.
Działania - przykłady
Działania wewnętrzne
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Działania
i są działaniami wewnętrznymi w . Działania te są łączne,
przemienne i każde z nich jest rozdzielne względem drugiego. Elementem neutralnym względem działania jest
. Elementem neutralnym względem działania jest X. Jedynymi elementami posiadającymi elementy odwrotne
względem tych działań są ich elementy neutralne.
Niech będzie zbiorem jednoelementowym. Jedynym działaniem wewnętrznym w X jest działanie
przyporządkowujące parze elementów (x,x) element x. Jest to oczywiście działanie łączne, przemienne, z elementem
neutralnym równym x i elementem odwrotnym do x równym x.
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Przez oznaczmy zbiór wszystkich bijekcji z X na X. Jako działanie
wewnętrzne w X przyjmijmy składanie funkcji. Jest to działanie łączne, nieprzemienne (o ile X jest co najmniej
3-elementowy). Elementem neutralnym jest funkcja identycznościowa na X. Elementem neutralnym do danej
funkcji jest jej funkcja odwrotna.
Działania zewnętrzne
Oznaczmy przez zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, zaś przez zbiór
wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych. Zdefiniujmy działanie
następująco: dla i przyjmujemy: . Funkcja jest działaniem
zewnętrznym w zbiorze .
Algebra abstrakcyjna/Struktury algebraiczne
8
Algebra abstrakcyjna/ Struktury algebraiczne
Struktury algebraiczne
Definicja
Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A nazywamy zespół ,
gdzie są zbiorami, są działaniami wewnętrznymi w zbiorze A oraz są
takimi działaniami zewnętrznymi w A, że dla każdego .
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy
Homomorfizmy
Niech (G,*) i (H,o) będą grupami. Odwzorowanie f: G H nazywamy:
a) homomorfizmem, jeśli f zachowuje działanie grupowe, to znaczy f(a*b) = f(a) o f(b) dla dowolnych a,b?G,
b) monomorfizmem lub zanurzeniem, jeśli f jest homomorfizmem różnowartościowym,
c) epimorfizmem, jeśli f jest homomorfizmem i jest suriekcją,
d) izomorfizmem, jeśli f jest homomorfizmem i jest bijekcją.
Article Sources and Contributors
9
Article Sources and Contributors
Algebra abstrakcyjna/ Grupy - podstawy Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70938 Contributors: Blindrood, Kuki, Lethern, Piotr, 1 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Podgrupy Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=93916 Contributors: Klapi, Lethern, Piotr, 1 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Warstwy Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70432 Contributors: Klapi, Lethern, Piotr, 2 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Dzielniki normalne i grupy ilorazowe Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70433 Contributors: Akira, Klapi, Lethern, Piotr, 3 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy grup Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70434 Contributors: Lethern, 3 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Twierdzenie Cayleya Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=76882 Contributors: Lethern, 2 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Pierścienie - podstawy Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70437 Contributors: Klapi, Lethern, Piotr
Algebra abstrakcyjna/ Elementy odwracalne i dzielniki zera Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70438 Contributors: Lethern, 1 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Dziedziny całkowitości i ciała Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=107630 Contributors: 1 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Działania Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70427 Contributors: Klapi, Kuki, Lethern, Piotr, 7 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Struktury algebraiczne Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70423 Contributors: Kuki, Lethern, Piotr, 1 anonimowe edycje
Algebra abstrakcyjna/ Homomorfizmy Source: http://pl.wikibooks.org/w/index.php?oldid=70425 Contributors: Lethern, Lucyferion, 2 anonimowe edycje
y
ródła, licencje i autorzy grafiki
10
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/