Oddziaływania grawitacyjne
Ireneusz Pakuła
15 czerwca 2002
Grawitacja to chyba najciekawsze ze wszystkich oddziaływań. Po pierwsze - jest najsłabsze - dwa
elektrony odpychają się z siłą o wiele rzędów wielkości większą, niż przyciągają (dokładnie - w próżni
odpychają się 4 � 1042 raza silniej, niż przyciągają). Po drugie - jak dotąd nie udało się skonstruować
kwantowej teorii grawitacji. Współcześnie opisuje się tę siłę używając całkiem innej matematyki, niż w
pozostałych oddziaływaniach. Rozpocznijmy jednak od kilku słów na temat historii. . .
W starożytności wiedziano tylko jedno - wszystkie ciała spadały. Możemy być pewni, że Newton
nie był pierwszym, który dostał jabłkiem w głowę ;-) - według znanej opowieści - jednak to właśnie on
skonstruował pierwszą ogólną teorię grawitacji, opisaną porządną matematyką. W starożytności panował
Platoński pogląd, iż rzeczy cieższe spadają szybciej, niż lekkie - czemu zaprzeczył Galileusz - oraz, że
niebem rządzą inne prawa, niż zjawiskami na Ziemi - obalenie tego mitu to z kolei zasługa Keplera (jego
orbity eliptyczne) i Newtona - prawo powszechnego ciążenia. Otóż i podany przez Newtona przepis
na siłę grawitacji pomiędzy dwoma ciałami (mam nadzieję, że czytelnik wybaczy mi, iż w związku z
oczywistością jej kierunku pominę subtelności związane z jej znakiem):
GM1M2

F12 = (1)
2

R12

gdzie F12 to wektor siły, Mi to masy ciał, R12 to wektor łączący te ciała, zaś G jest stałą grawitacji,
jedną z fundamentalnych stałych przyrody (G = 6, 673�10-11[m3kg-1s-2]). Ciekawym może się wydawać
fakt, że przez słabość grawitacji G jest chyba najmniej dokładnie znaną stałą przyrody.
W oparciu o ten wzór wyliczono orbity planet, komet i innych ciał niebieskich. Dzięki temu wzorowi
wysłano sondy poza granice Układu Słonecznego, wykorzystując grawitację i moment pędu planet. Ale
niestety ten wzór okazał się nie być dokładnym. . . Przede wszystkim - nie uwzględniał efektów Szczególnej
Teorii Wzgledności (STW). Poza tym - odkryto, że orbita Merkurego wykonuje precesję, obraca się -
teoria Newtona wyjaśniała tylko część tego zjawiska. Po ponad dwustu latach powstała w XVII wieku
teoria Newtona musiała odejść do lamusa, gdyż była tylko przybliżeniem dla małych pól grawitacyjnych
i małych prędkości.
Po odkryciu STW, która opisywała jedynie układy poruszające się ze stałą prędkością względem
siebie (inercjalne), Einstein zaczął pracować nad teorią, która zawierałaby w sobie opis także układów
podlegających przyspieszeniom. Okazało się, że taka teoria jest również teorią grawitacji - nazwano ją
Ogólną Teorią Wzgledności (OTW). Obie teorie traktowały czas jako kolejny wymiar, operując pojęciem
czasoprzestrzeni, jednak o ile STW zajmowała się czasoprzestrzenią płaską [Minkowskiego, z metryką
(+, -, -, -)], o tyle przestrzeń właściwa dla OTW była czasoprzestrzenią zakrzywioną. Przyjrzyjmy się
może, na czym owa różnica polega.
Jak mierzymy odległość w normalnej przestrzeni? Otóż na płaszczyz
nie korzystamy z twierdzenia
Pitagorasa:
ds2 = dx2 + dy2 (2)
gdzie przez ds oznaczyłem odległość, a dx i dy to przesunięcia w kierunku x i y. Kwadrat odległości
ds2 nazywamy interwałem.
W przestrzeni trójwymiarowej mamy trzy kierunki, więc nasz wzór na kwadrat odległości wygląda
tak:
1
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3)
zapiszemy teraz ten wzór nieco inaczej:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx � dx + dy � dy + dz � dz = gijdxidxj (4)
gdzie w ostatnim zapisie użyłem dwóch nowych rzeczy:
" Konwencji sumacyjnej Einsteina - jeśli ten sam wskaz
nik powtarza się raz w indeksie dolnym, a raz
w górnym, to znaczy, że sumujemy po nim, po wszystkich możliwych wartościach, innymi słowy:
xiyi = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn (5)
Ponadto, jeśli litera jest grecka, to sumowanie rozciąga cię na 0, 1, 2, 3, zaś gdy łacińska - 1, 2, 3.
Takie sumowanie czasami nazywa się kontrakcją lub zwężeniem - gdyż zmniejsza ilość wskaz
ników
o 2 (zauważmy, że suma xiyi nie ma już żadnego wolnego wskaz
nika).
" Symbol gij oznacza tensor metryczny (inaczej - metrykę), który w tym przypadku ma wartość 1,
gdy i = j, zaś zero gdy i = j - tzn. ma postać macierzy jednostkowej, jeszcze inaczej mówiąc -

tzw. delty Kroneckera �ij:
�ł łł
1 0 0
�ł �ł
gij = �ij = 0 1 0 (6)
0 0 1
Wspomnieć tu trzeba o tym, że tensor gij = (gij)-1. Ponadto - metryka będąca deltą Kroneckera
nazywana jest metryką Euklidesową, niezależnie od wymiaru przestrzeni.
Używana w STW czasoprzestrzeń Minkowskiego to czterowymiarowa przestrzeń, gdzie x0 = ct jest
współrzędną związaną z czasem (oczywiście c to prędkość światła). Metryka tej przestrzeni (metryka
Minkowskiego) ma postać macierzową:
�ł łł
1 0 0 0
�ł śł
0 -1 0 0
�ł śł
g�� = (7)
�ł �ł
0 0 -1 0
0 0 0 -1
a więc teraz nasz interwał wygląda tak:
ds2 = g��dx�dx� = (dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 (8)
Wszystkie te przestrzenie nazywamy płaskimi - mają stałe na całej przestrzeni metryki, będące
macierzami diagonalnymi (mają różne od zera wartości jedynie na głównej przekątnej).
Ogólna Teoria Względnosci zajmuje się przestrzeniami zakrzywionymi - ich metryka może mieć ele-
menty pozadiagonalne (opisujące skręcenie przestrzeni - np. przy czarnej dziurze Kerra - obracającej się),
zależna jest także od jakichś zmiennych (np. odległości od pewnego ustalonego punktu). Inna różnica
polega także na tym, że w przestrzeniach płaskich metryka jest stała w całej przestrzeni, natomiast w
OTW zależy ona od miejsca (jest funkcją położenia).
Bardzo mnie teraz kusi, by podać tu wyprowadzenie równań Einsteina z równań Eulera-Lagrange a,
jednak nie bedę okrutny [;-)] i podam je  na talerzu . Otóż układ 10 równań różniczkowych można za
pomoca notacji tensorowej [takiej, jaką wprowadziłem ;-)] zapisać w zwartej postaci:
G�� = �T�� (9)
gdzie T to tak zwany tensor energii-pędu, G nazywamy tensorem Einsteina (możemy chwilowo, dla up-
roszczenia, przyjąć, że taki  tensor to pewne uogólnienie macierzy; dlaczego uogólnienie? - napotkamy
2
tutaj tensory mające więcej, niż dwa wskaz
niki. . . ; ważne są własności transformacyjne tensorów - więcej
danych na ten temat umieszczę w opisie mechaniki relatywistycznej, i być może w dodatku matematy-
cznym), zaś � to stała określająca siłę oddziaływania, ma ona taką wartość, by po rozwiązaniu równań
stała grawitacji była równa stałej grawitacji [;-)]. W rzeczywistości całe piękno tego równania tkwi w
tym, iż po pierwsze - opisuje ono oddziaływania jako czystą geometrię, po drugie - ten prosty wzorek to
w zasadzie iluzja; stoi za nim potężny aparat geometrii różniczkowej i analizy tensorowej. Teraz zajmę
się opisywaniem kolejnych jego fragmentów.
Tensor Einsteina G�� - opisuje on geometrię przestrzeni. Jego postać:
1
G�� = R�� - g��R - g��� (10)
2
zawiera w sobie, oprócz tensora metrycznego, kilka nowych rzeczy:
" stałą kosmologiczną � - wprowadzoną przez Einsteina by zachować statyczność Wszechświata;
sam Einstein nazwał ją swoją największą pomyłką, lecz obecnie powraca się do niej w niektórych
teoriach kosmologicznych; jest pomijana przy rozpatrywaniu np. modeli gwiazd;
" tensor Ricciego R�� - jest on skontrahowanym tensorem krzywizny Riemanna; po rozpisaniu ma
postać:
ą
R�� = R��ą = "��ą - "ą�ą - �� �� - �� �� (11)
�ą �� �� �� �� ��
widoczne tutaj symbole �ą to tzw. symbole Christoffela (nie są tensorami!!! - inaczej się trans-
�ł
formują), one z kolei po rozpisaniu wyglądają tak:
1
� = g�("�g�� + "� g�� - "�g�� ) (12)
��
2
Ponadto:
"
"� = (13)
"x�
" skalar Ricciego R - to tensor Ricciego skontrahowany z tensorem metrycznym:
R = R��g�� (14)
Tak więc cały tensor Einsteina można zbudować z tensora metrycznego i pochodnych (oczywiś-
cie jawna postać takiego zapisu byłaby potwornie skomplikowana. . . ), ostatecznie jeszcze stałej
kosmologicznej - jest to czysta geometria.
Tensor energii-pędu T�� - poprzez równość z tensorem Einsteina opisuje on wpływ gęstości energii i
pędu na zakrzywienie przestrzeni. Zależy on od tzw. funkcji Lagrange a (lagrangianu), który dla OTW
ma postać:
L = Lg + Lm (15)
1
Lg = - R (16)
2�
gdzie Lg - to część pochodząca od grawitacji (tu w zwykle stosowanym przybliżeniu liniowym ze
względu na R), zaś Lm to wkład materii. Teraz mogę podać już wzór na T��:
"Lm
T�� = 2 - g��Lm (17)
"g��
3
I to już w zasadzie wszystko [;-)))]. Równania Einsteina otrzymuje się z funkcji Lagrange a, wstawia-
jąc ją do odpowiednich równań wynikających z tzw. zasady ekstremalnego działania - znikania wariacji
wielkości fizycznej zwanej działaniem, będącej całką z funkcji Lagrange a (dokładniej - z jej gęstości) po
całej czasoprzestrzeni - to jeden z wyników klasycznej teorii pola. Równania Einsteina są równaniami
klasycznymi - innymi słowy nie uwzględniają efektów kwantowych. Poszukiwanie kwantowej teorii graw-
itacji to jeden z głównych kierunków prac w OTW i kwantowej teorii pola. Jak dotąd nie udało się to,
choć jest już kilka teorii kandydujących do tego miana - są to np. teoria superstrun, membran, czy tzw.
supergrawitacja - jednak co do żadnej z nich nie ma pewności (w zasadzie są one bardziej matematyką,
niż fizyką, gdyż nie są weryfikowalne). Jeśli kwantowa teoria grawitacji faktycznie istnieje, to grawitacja
przenoszona jest przez bezmasowe cząstki o spinie 2 zwane grawitonami - obecnie poszukuje się ich,
jak również przewidzianych przez klasyczną OTW fal grawitacyjnych - rozchodzących się z prędkością
światła przenoszących energię zaburzeń przestrzeni, powstających np. przy wybuchu supernowej lub w
układzie dwóch orbitujących wokół siebie nawzajem gwiazd neutronowych (w takim układzie zostały
zresztą pośrednio odkryte - układ traci energię i gwiazdy zacieśniają orbity).
4