15 16 Ł
0
Nazwisko
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 8, 4.12.2012, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 15. (5 punktów)
W każdym z dziewięciu poniższych zadań podaj wartość granicy (liczba rzeczywista)
lub granicy niewłaściwej (+" lub -").
Wpisz literkę R, jeśli granica nie istnieje (tzn. gdy ciąg występujący pod znakiem
granicy jest rozbieżny, ale nie jest to rozbieżność do +" ani do -").
Za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n-4) punktów.
n

1
15.1 lim = 1
n"
2k
k=1
n

1
1
15.2 lim =
n"
2k 2
k=2
"

1
15.3 lim = 0
n"
2k
k=n
n

1
1
15.4 lim =
n"
3k 2
k=1
n

1
1
15.5 lim =
n"
3k 18
k=3
"

1
15.6 lim = 0
n"
3k
k=n

"
15.7 lim n6 +2n2 -n3 = 0
n"

"
3
15.8 lim n6 +3n3 -n3 =
n"
2

"
15.9 lim n6 +4n4 -n3 = +"
n"
Zadanie 16. (5 punktów)
"

(-1)n �(3n-4)�(3n-1)
Rozstrzygnąć zbieżność szeregu .
n3 -n
n=2
Rozwiązanie:
Szereg jest zbieżny. Aby to udowodnić, skorzystamy z kryterium Leibniza o szeregach
naprzemiennych.
W tym celu musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium.
1ć% W szeregu na przemian występują wyrazy dodatnie i ujemne - oczywiste.
2ć% Ciąg wartości bezwzględnych wyrazów jest zbieżny do zera.
Sprawdzamy to następująco:

4 1 1
3- � 3- �
(3n-4)�(3n-1) 3�3�0
n n n
lim = lim = = 0 .
1
n" n"
n3 -n 1- 1-0
n2
3ć% Ciąg wartości bezwzględnych wyrazów jest nierosnący.
Ten warunek jest najmniej oczywisty. Aby go udowodnić, powinniśmy wykazać, że
dla dowolnej liczby naturalnej n 2 zachodzi nierówność
(3n-4)�(3n-1) (3n-1)�(3n+2)
,
n3 -n (n+1)3 -(n+1)
czyli po zastosowaniu tożsamości
x3 -x = (x-1)�x�(x+1)
dla x = n oraz x = n+1
(3n-4)�(3n-1) (3n-1)�(3n+2)
,
(n-1)�n�(n+1) n�(n+1)�(n+2)
co kolejno jest równoważne nierównościom
3n-4 3n+2

n-1 n+2
(3n-4)�(n+2) (3n+2)�(n-1)
3n2 +6n-4n-8 3n2 -3n+2n-2
3n2 +2n-8 3n2 -n-2
3n 6
n 2 .
Zatem dowodzona nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych n 2.
W konsekwencji szereg dany w treści zadania jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza
o szeregach naprzemiennych.