21 22 Ł
0
Nazwisko
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 11, 8.01.2013, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 21. (9 punktów)
W każdym z dziewięciu poniższych zadań podaj wartość granicy funkcji (liczba rze-
czywista) lub granicy niewłaściwej (+" lub -").
Wpisz literkę R, jeśli nie istnieje granica ani granica niewłaściwa.
Za każdą poprawną odpowiedz
otrzymasz 1 punkt.
Przypomnienie: Zapis {y} oznacza część ułamkową liczby y.
21.1. lim {log4x} = 1
x16-
21.2. lim {log4x} = 0
x16+
21.3. lim {log8x} = 1/3
x16-
21.4. lim {log8x} = 1/3
x16+
x
2
21.5. lim 1+ = e2
x+"
x
x
3
21.6. lim 1+ = e3
x+"
x
x
(x+4)
1
4
21.7. lim 1+ = ee
x+"
xx
�ł �ł
(x+27)x
1
27
�ł łł
21.8. lim 1+ = ee
x+"
xx
�ł �ł
(x+256)x
1
256
�ł łł
21.9. lim 1+ = ee
x+"
xx
Zadanie 22. (5 punktów)
Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby
rzeczywistej x zachodzą nierówności
18x6 +19x4 +20
C 10�C .
21x6 +20x2 +19
Rozwiązanie:
W przypadku, gdy |x| 1, wykonujemy następujące szacowania:
3 18 18x6 +0+0 18x6 +19x4 +20 18x6 +19x6 +20x6 57 19
= = = = .
10 60 21x6 +20x6 +19x6 21x6 +20x2 +19 21x6 +0+0 21 7
Natomiast w przypadku, gdy |x| < 1, oszacowania wyglądają następująco:
1 0+0+20 18x6 +19x4 +20 18+19+20
= = 3 .
3 21+20+19 21x6 +20x2 +19 0+0+19
Zauważamy, że
3 1
<
10 3
oraz
19
< 3 .
7
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą nierówności
3 18x6 +19x4 +20
3 ,
10 21x6 +20x2 +19
można więc przyjąć C = 3/10.