Temat 1
Rozwiązanie trójkąta sferycznego
na kuli o promieniu R=6371000m
1. Rozwiązać duży trójkąt sferyczny znając współrzędne prostokątne przestrzenne
XYZ jego wierzchoÅ‚ków. Obliczyć współrzÄ™dne geograficzne Õ,,h. WielkoÅ›ci
kątowe podać z dokładnością 0.0013 , a liniowe z dokładnością 0.01m
Dane:
Współrzędne XYZ trójkąta ABC: A(5200000.00m, 455000.00m, 3655000.00m),
B(3850000.00m, 1400000.00m, 4880000.00m),
C(2650000.00m, 470000.00m, 5775000.00m)
WspółrzÄ™dne (X,Y) zróżnicować wg. wzoru: (XY)N = (XY) + G×10m + N×1000m
G-numer grupy, N-numer z dziennika
RozwiÄ…zanie:
a) obliczyć indywidualne dane  zmienić XY wg. powyższego wzoru,
b) obliczyć Õ,,h na podstawie XYZ (wzory z wykÅ‚adu)
c) narysować szkic rozmieszczenia wierzchołków A,B,C w stosunku do bieguna G
kuli,
d) utworzyć trójkąty sferyczne zawierające: bok " ABC oraz biegun G, oznaczyć
boki i kąty takiego trójkąta i rozwiązać go obliczając bok " ABC i kąty przy tym
boku, np. dla boku AC (rys.)
G
90°-ÕC
90°-ÕA
C-A
C
A
B
e) z różnicy odpowiednich kątów obliczyć kąty " ABC
f) podać wyniki obliczeń tj. wartości kątów " ABC i długości jego boków z
odpowiednią dokłądnością.
2. Rozwiązać metodą Legendre a i addidamentów mały trójkąt sferyczny, w którym
dane są wszystkie kąty oraz jeden bok. Rozwiązanie poprzedzić wyrównaniem kątów,
zakładając, że są one jednakowo dokładne.
Dane:
TrójkÄ…t KLM: kÄ…ty: K(58°522 21.5403 )
L(65°282 39.1503 )
M(55°392 02.2803 )
Bok LM = 35000.00 m +N×10m + G×1000m
RozwiÄ…zanie:
a) obliczyć indywidualne dane  zmienić długość boku wg. wzoru,
b) obliczyć nadmiar sferyczny µ oraz poprawkÄ™ do kÄ…ta ½, wyrównać dane
kąty (przykład),
c) rozwiązać trójkąt metodą Legendre a jako płaski ze zmniejszonymi kątami
i identycznymi bokami (przykład),
d) rozwiązać trójkąt metodą addidamentów (przykład):
 obliczyć addidament ´LM boku LM wg. wzoru (przykÅ‚ad),
 zredukować bok krzywoliniowy LM do boku prostoliniowego
LM2
 rozwiązać trójkąt płaski obliczając boki KL2 oraz KM2 ,
 obliczyć addidamenty ´KL2 , ´KM2 ,
 obliczyć boki krzywoliniowe KL oraz KM,
e) podać wyniki obliczeń z odpowiednią dokładnością
Przykład:
Rozwiązać trójkąt sferyczny "ABC metodą Legendre a i addidamentów na kuli o
promieniu R=6371 km. Przed rozwiązaniem wyrównaj kąty zakładając, że ich błędy są
jednakowe.
Dane: kÄ…ty z pomiaru:
AP = 60°422 26.4403 , BP = 60°332 29.2103 , CP = 58°442 07.3203
Oraz bok BC = a = 30000.00 m
C
Obliczamy nadmiar sferyczny "ABC za pomocÄ… wzoru
(np. przybliżonego:
a
Pole"ABC( paskiego) bcsin A
b
µ H" µ1 = =
R2 2R2
µ = 1.9523
B
c
Wzór na sumę kątów w trójkącie sferycznym:
A P
AP + vA + BP + vB + C + vc = Ä„ + µ
dla obserwacji jednakowo dokładnych będzie: vA = vB = vc = v
P
czyli AP + BP + C + 3v = Ä„ + µ
Obliczamy poprawkę do kąta: v = -0.3393 i uwzględniamy ją w każdym kącie
A = AP + v,....... itd.
Wyrównane kąty w trójkącie sferycznym wyniosą:
A = 60°422 26.1013 , B = 60°332 28.8713 , C = 58°442 06.9813
Metoda Legendre a:
Zredukowane kÄ…ty w trójkÄ…cie pÅ‚askim o 1/3µ:
A2 = 60°422 25.4503 , B2 = 60°332 28.2203 , C2 = 58°442 06.3303
Obliczone pozostałe boki z trójkąta płaskiego: b = 29956.06 m, c = 29403.09 m
Metoda addidamentów:
Addidament boku danego a: ´a = 0.11 m, bok w trójkÄ…cie pÅ‚askim a2 = a - ´a = 29999.89 m
Rozwiązanie trójkąta płaskiego prowadzi do wyznaczenia boków b2 , c2 , następnie obliczamy
odpowiedni addidament i bok w trójkącie sferycznym.
bok w trójkącie Obliczony bok w
Addidament boku
Bok płaskim trójkącie
[m]
[m] sferycznym [m]
b 29955.95 0.11 29956.06
c 29402.98 0.11 29403.09