2009-10-19
Geodezja i astronomia geodezyjna
Ćwiczenie 1
Trójkąty sferyczne
Podstawy trygonometrii sferycznej
LITERATURA
" Janusz Śledziński:  Geodezja satelitarna . PPWK, Warszawa, 1978.
" Rocznik Astronomiczny na rok 2008 (www.igik.edu.pl).
" Jan Kryński, Jerzy Rogowski:  Systemy i układy współrzędnych w
y , y g  y y y p Ä™ y
geodezji, geodynamice i astronomii
" Eugeniusz Rybka:  Astronomia ogólna
" Wiesław Opalski, Ludosław Cichowicz:  Astronomia Geodezyjna
" Barbara Kołaczek:  Astronomia sferyczna z ćwiczeniami
" Ludosław Cichowicz:  Astronomia sferyczna
 y
" Tadeusz Jarzębowski:  Elementy astronomii
" Internet (n.p. www.geoforum.pl,
www.nauticalissues.com/astronomy.html)...
1
2009-10-19
Trójkąt sferyczny  figura powstała z trzech łuków kół wielkich (kąty i boki
mierzone w mierze kÄ…towej)
W każdym z trójkątów rozważa się sześć elementów:
3 kąty A, B, C i 3 boki (kąty środkowe oparte na łukach kół wielkich) a, b, c.
2
2009-10-19
GEOMETRIA SFERY
GEOMETRIA SFERY
3
2009-10-19
GEOMETRIA SFERY
GEOMETRIA SFERY
Pomiędzy elementami trójkąta danego
(bokami a, b, c i kÄ…tami A, B, C),
a elementami trójkąta biegunowego
(bokami a , b , c i kÄ…tami A , B , C )
zachodzą zależności:
a + A = 180°; A + a = 180°
b + B = 180°; B + b = 180°
c + C = 180°; C + c = 180°
4
2009-10-19
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA
Wzory sinusowe:
sin b · sin A = sin a · sin B (1a)
sin c · sin B = sin b · sin C (1b)
sin a · sin C = sin c · sin A (1c)
Wzory cosinusowe:
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A ( )
(2a)
cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos B (2b)
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C (2c)
Wzory mieszane:
sin a · cos B = cos b · sin c  sin b · cos c · cos A (3a)
sin b · cos C = cos c · sin a  sin c · cos a · cos B (3b)
sin c · cos A = cos a · sin b  sin a · cos b · cos C (3c)
sin a · cos C = cos c · sin b  sin c · cos b · cos A (3d)
sin b · cos A = cos a · sin c  sin a · cos c · cos B (3e)
sin c · cos B = cos b · sin a  sin b · cos a · cos C (3f)
Wzory na podstawie zależności trójkąta biegunowego (przykłady):
sin A · sin b = sin a · sin B (4a)
cos A = - cos B · cos C + sin B · sin C · cos a (4b)
sin A · cos b = cos B · sin C + sin B · cos C · cos a (4c)
sin A · cos c = cos C · sin B + sin C · cos B · cos a (4d) & & .
ROZWI
ZYWANIE TRÓJK
TÓW SFERYCZNYCH
DANE OPIS DANYCH WYZNACZANE
Wariant 1 a, b, c 3 boki A, B, C
Wariant 2 a, b, C 2 boki i kąt między nimi A, B, c
Wariant 3 a, b, A 2 boki i kąt przyległy do jednego z nich B, C, c
Wariant 4 B, C, c 2 kąty i bok przyległy do jednego z nich A, a, b
Wariant 5 A, , c2 ką y pomiędzy nimi C, a, b
, B, Ä…ty i bok p Ä™ y , ,
Wariant 6 A, B, C 3 kÄ…ty a, b, c
WARIANT 1
DANE: a, b, c WYZNACZANE: A, B, C
cos a -ð cos b cos c
Wzór cosinusowy:
cos a =ð cos b cos c +ð sin b sin c cos A Þð cos A =ð
sin b sin c
Wzór cosinusowy:
cosb -ð cos c cos a
cosb =ð cos c cos a +ð sin csin a cos B Þð cos B =ð
sin csin a
Wzór cosinusowy:
cosc -ð cosa cosb
cosc =ð cosa cosb +ð sin asin bcosC Þð cosC =ð
sin asin b
5
2009-10-19
WARIANT 2
DANE: a, b, C WYZNACZANE: a, b, C
cos c =ð cos a cosb +ð sin a sin b cos C
Wzór cosinusowy:
Wzory sinusowo-cosinusowe
cosb sin a - sin b cos a cos C
sin c cos B =ð cosb sin a -ð sin b cos a cos C Þð cos B =
sin c
cos a sin b -ð sin a cosb cos C
sin c cos A =ð cos a sin b -ð sin a cosb cos C Þð cos A =ð
sin c
WARIANT 3
DANE: a, b, A WYZNACZANE: B, C, c
sin B sin A sin bsin A
Wzór sinusowy:
=ð Þð sin B =ð
sin b sin a sin a
Warunek: b > a Þð B>A lub bWzory sinusowo-cosinusowe
sin c cos A =ð cos a sin b -ð sin a cos b cos C
ìð
íð
îðsin c cos B =ð cos b sin a -ð sin b cos a cos C
cos a sin b cos B -ð cos b sin a cos A
cos C =ð
sin cos b cos B sin b cos cos A
sin a cos b cos B -ð sin b cos a cos A
2 2 2
sin a cos b -ð cos2 a sin b
sin c =ð
sin a cos b cos B -ð cos a sin b cos A
Warunek: C > B Þð c >b lub C6
2009-10-19
WARIANT 4
DANE: B, C, c WYZNACZANE: a, b, A
Wzór sinusowy:
sin B sin C sin B sin C
=ðÞð sin b =ð
sin b sin c sin c
Warunek: B > C Þð b>c lub BWzory sinusowo-cosinusowe
sin a cos B =ð cosb sin c -ð sin b cos c cos A
ìð
íð
îðsin a cos C =ð cos c sin b -ð sin c cosb cos A
cos c sin b cos B -ð cosb sin c cos C
cos A =ð
sin c cosb cos B -ð sin b cos c cos C
i b B i b C
sin2 b cos2 c -ð cos2 b sin2 c
sin a =ð
sin b cos c cos C -ð cosb sin c cos B
Warunek: A > C Þð a>c lub AWARIANT 5
DANE: A, B, c WYZNACZANE: C, a, b
Wzór na  trójkąt biegunowy :
cos C =ð cos c sin A sin B -ð cos A cos B
Wzory sinusowe:
sin A sin C sin Asin c
=ð Þð sin a =ð
sin a sin c sinC
Warunek: A > C Þð a >c lub Asin B sin C sin Bsin c
=ð Þð sin b =ð
sin b sin c sin C
Warunek: B > C Þð b >c lub B7
2009-10-19
WARIANT 6
DANE: A, B, C WYZNACZANE: a, b, c
Wzory na  trójkąt biegunowy :
cosA + cosBcosC
cos A =ð cos a sin B sin C -ð cos B cos C Þð cosa =
sin B sin C
cos B +ð cos C cos A
cos B =ð cosb sin C sin A -ð cos C cos A Þð cosb =ð
sin C sin A
cos C +ð cos A cos B
cos C =ð cos c sin A sin B -ð cos A cos B Þð cos c =ð
sin A sin B
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA - PRZYKA
ADY
Przykład 1:
Dane: b, c, A
Szukane: a, B
Korzystamy ze wzorów:
sin b · sin A = s a s (1a)
s b s sin a · sin B ( a)
sin a · cos B = cos b · sin c  sin b · cos c · cos A (3a)
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A (2a)
Przykład 2:
Wzory sinusowe: Ze wzorów sinusowych korzystamy, gdy
sin b · sin A = sin a · sin B
znamy trzy elementy trójkąta, z których dwa
sin c · sin B = sin b · sin C sÄ… do siebie przeciwlegÅ‚e
sin c · sin B = sin b · sin C sÄ… do siebie przeciwlegÅ‚e.
sin a · sin C = sin c · sin A
Dane: sin B = sin b * sin A / sin a
Z analizy
wielkości trójkąta
a = 61º 42 sin B = 0,989144*0,631578/0,880477 = 0,709527
wynika, że obie
b = 81º 33 B = arcsin (0,709527)
wartości są
poprawne
A = 39º 10 B = 45º 12 lub B = 134º 48
8
2009-10-19
TRYGONOMETRIA SFERYCZNA - PRZYKA
ADY
Przykład 3:
Wzory cosinusowe:
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos b = cos c · cos a + sin c · sin a · cos B
cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos C
Ze wzorów cosinusowych korzystamy, gdy
Dane:
mamy trzy boki trójkąta lub gdy znamy dwa
boki i kąt między nimi zawarty (wtedy
a = 59º 13
znajdujemy trzeci bok)
znajdujemy trzeci bok).
b = 117º 45
C = 76º 23
cos c = 0,511793*(-0,465615)+0,859109*0,884988*0,235425 = -0,059305
c =93º24 (c2 = 266º36 )
9