2009-10-19
Geodezja i astronomia geodezyjna
Ćwiczenie 2
Przeliczenia układów sferycznych
Przeliczenia układów sferycznych
Część rysunków została zaczerpnięta ze stron internetowych m.in. www.nauticalissues.com/astronomy.html)
1
2009-10-19
UKA
AD HORYZONTALNY
UKA
AD RÓWNIKOWY
2
2009-10-19
UKA
AD RÓWNIKOWY GODZINNY
UKA
ADY WSPÓA
RZ
DNYCH  zakresy współrzędnych
Nazwa Zakres
að  rektascensja
0h ð¸ð 24h
dð d kli j
dð  deklinacja
-90°¸ð 90°
t  kÄ…t godzinny
0h ð¸ð 24h
h  wysokość
-90°¸ð 90°
z  odległość zenitalna
0°¸ð 180°
A  azymut
0°¸ð 360°
fð geograficzna
fð  szerokość g g
-90°¸ð 90
90 ¸ð 90°
lð  dÅ‚ugość geograficzna
-12h ð¸ð 12h
3
2009-10-19
TRÓJK
T PARALAKTYCZNY
z = 90º-h
TRÓJK
T PARALAKTYCZNY
ZnajÄ…c kÄ…t godzinny Punktu
Barana (inaczej czas gwiazdowy,
oblicza siÄ™ go na podstawie
danych z rocznika) można
wyznaczyć kat godzinny
interesujÄ…cej nas gwiazdy
korzystajÄ…c zewzoru:
tł =t* +ą*
Å‚
(przejÅ›cie do ukÅ‚adu godzinnego ´, t na podstawie
danych katalogowych ´, Ä…  ukÅ‚ad równikowy).
4
2009-10-19
TRÓJK
T PARALAKTYCZNY JAKO TRÓJK
T SFERYCZNY
Dowolny trójkąt sferyczny Trójkąt paralaktyczny
Liczenie kÄ…ta godzinnego
5
2009-10-19
Liczenie azymutu
TRÓJK
T PARALAKTYCZNY
6
2009-10-19
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
UKA
AD ORTOKARTEZJAC
SKI Þð UKA
AD ORTOKARTEZJAC
SKI
Przypadek ogólny:
Transformacja 7-parametrowa:
" translacja o wektor Dð [Dðx, Dðy, Dðz];
" obroty o kÄ…ty Eulera (fð, yð, qð);
" skala m
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
W astronomii:
Transformacja 3-parametrowa
(transformacja przez obroty):
" obroty o kÄ…ty Eulera (fð yð qð);
" obroty o kÄ…ty Eulera (fð, yð, qð);
Ten sam poczÄ…tek, skala siÄ™ nie zmienia
7
2009-10-19
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
Transformacja przez obroty  etap 1:
1) Obrót o kÄ…t fð  kÄ…t obrotu ukÅ‚adu xyz
dookoła osi z  otrzy j y układ x y z .
ymujemy y
x'=ð x ×ðcosjð +ð y ×ðsinjð
y'=ð -ðx ×ðsinjð +ð y ×ðcosjð
z'=ð z
'
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
Transformacja przez obroty  etap 2:
2) Obrót o kÄ…t yð  kÄ…t obrotu
układu x y z dookoła osi x
układu xyz dookoła osi x 
otrzymujemy układ x  y  z  .
x''=ð x'
y''=ð -ðy'×ðcosyð +ð z'×ðsinyð
z''=ð -ðy'×ðsinyð +ð z'×ðcosyð
8
2009-10-19
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
Transformacja przez obroty  etap 3:
3) Obrót o kÄ…t qð  kÄ…t obrotu
układu x  y z  dookoła osi z 
układu x y  z dookoła osi z 
otrzymujemy układ x   y   z   .
x'''=ð x''×ðcosqð +ð y''×ðsinqð
y'''=ð -ðx''×ðsinqð +ð y''×ðcosqð
z'''=ð z''
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW KARTEZJAC
SKICH (X, Y, Z)
Transformacja xyz na x y z przez obroty - podsumowanie
" obroty o kÄ…ty Eulera (fð, yð, qð);
cosjð ×ðcosqð -ð cosyð ×ðsinjð ×ðsinqð sinjð ×ðcosqð +ð cosjð ×ðcosyð ×ðsinqð sinqð ×ðsinyð
éðx'Å‚ð éð Å‚ð éðxÅ‚ð
Ä™ðy'Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ðyÅ›ð
=ð ×ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð cosjð ×ðsinqð -ð sinjð ×ðcosyð ×ð cosqð -ð sinjð ×ðsinqð +ð cosjð ×ð cosyð ×ðcosqð sinyð ×ðcosqð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Ä™ð sinjð ×ðsinyð -ð cosjð ×ðsinyð cosyð Å›ð Ä™ð
ûð ûð
ëðz'Å›ð ëð ûð ëðzÅ›ð
9
2009-10-19
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW SFERYCZNYCH
UKA
AD SFERYCZNY Þð UKA
AD ORTOKARTEZJAC
SKI
x cosu ×ðcosv
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ðsin u ×ðcosvÅ›ð
yÅ›ð =ð i
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð zÅ›ðu,v Ä™ð sin v Å›ð
ëð ûð ëð ûð
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW HORYZONTALNEGO I
RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY
Zamiana współrzędnych z układu
horyzontalnego A , h na współrzędne
równikowe ´, t:
1) W ół d f A h l ż
1) Współrzędne sferyczne A, h należy
wyrazić w układzie ortokartezjańskim:
x cos A ×ð cosh
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðyÅ›ð Ä™ðsin A×ð coshÅ›ð
=ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðzÅ›ð Ä™ð sin h Å›ð
ëð ûð ëð ûð
A,h
2) Wyznaczenie współrzędnych
ortokartzejańskich układu równikowego:
x' x
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðy'Å›ð Ä™ðyÅ›ð
=ð R2(ðjð -ð 90°ð)ð×ð R3(ð180°ð)ð×ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðz'Å›ðt,dð Ä™ðzÅ›ð
ëð ûð ëð ûð
A,h
y'
t =ð arctan
3) Wyznaczenie współrzędnych sferycznych
x'
układu równikowego:
dð =ð arcsin z'
10
2009-10-19
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW HORYZONTALNEGO I
RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY
Zamiana współrzędnych z układu
równikowego ´, t na współrzÄ™dne
horyzontalne A , h:
1) W ół d f ´ t l ż
1) WspółrzÄ™dne sferyczne ´, t należy
wyrazić w układzie ortokartezjańskim:
x cost ×ð cosdð
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðyÅ›ð Ä™ðsin t ×ð cosdð Å›ð
=ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðzÅ›ðt,dð Ä™ð sindð Å›ð
ëð ûð ëð ûð
2) Wyznaczenie współrzędnych
ortokartzejańskich układu horyzontalnego:
x' x
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ðy'Å›ð Ä™ðyÅ›ð
=ð R3(ð-ð180°ð)ð×ð R2(ð90°ð -ðjð)ð×ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðz'Å›ð Ä™ðzÅ›ðt,dð
ëð ûð ëð ûð
A,h
y'
A =ð arctan
3) Wyznaczenie współrzędnych sferycznych
x'
układu horyzontalnego:
h =ð arcsin z'
TRANSFORMACJA UKA
ADÓW HORYZONTALNEGO I
RÓWNIKOWEGO PRZEZ OBROTY
MACIERZE OBROTÓW:
éð1 0 0 Å‚ð
Ä™ð0 Å›ð
R1(ðqð )ð =ð cosqð sinqð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð0 -ð sinqð cosqð Å›ð
ëð ûð
0 i
éð Å‚ð
éðcosyð 0 -ð sinyð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
R2(ðyð )ð =ð 0 1 0
Ä™ð Å›ð
Ä™ðsinyð 0 cosyð Å›ð
ëð ûð
cosjð sinjð 0
éð Å‚ð
Ä™ð
R3(ðjð)ð=ð sinjð cosjð 0Å›ð
Ä™ð-ð Å›ð
Ä™ð 0 0 1Å›ð
ëð ûð
11