Zadania z geometrii
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 2, 3), która jest równoległa
do prostych
x =ð -ð3 +ð 2t x =ð 1+ð s
ìð ìð
ïð ïð
l : =ð 2 -ð 3t gdzie t Îð R k : =ð 2 -ð s gdzie s Îð R
íðy íðy
ïðz =ð 5 ïðz =ð 5s
îð îð
2. Wyznaczyć sinus lub kosinus kąta między prostymi
x =ð 1+ð t x =ð 1-ð s
ìð ìð
ïðy ïðy
l : =ð 1-ð t gdzie t Îð R k : =ð 1+ð 2s gdzie s Îð R
íð íð
ïðz =ð 1+ð 2t ïðz =ð 1
îð îð
3. Dany jest punkt P (1, 1, 1) i płaszczyzna Ą: x + 2y - z + 3 = 0. Znalez
ć rzut prostokątny punktu P
na płaszczyznę Ą.
4. Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (4, 7, 2) i prostopadłej
do prostej
3x +ð 2y -ð z -ð 3 =ð 0
ìð
l :
íðx -ð y -ð 3z -ð 6 =ð 0
îð
5. Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (1, 2, 3) i równoległej
do prostej
x +ð y +ð z -ð 3 =ð 0
ìð
l :
íð2x +ð y +ð 5 =ð 0
îð
6. Znalez
ć punkt symetryczny do punktu A (6, -3, 0) względem płaszczyzny Ą: x + y + z = 0.
7. Punkty A (2, 3, 2) i B (0, 1, 1) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD, zaś wektor AD jest
zgodnie równolegÅ‚y do wektora a =ð [0,1,0]. Obliczyć pole tego rombu.
8. Obliczyć kąt między prostymi
x -ð 4y +ð 3 =ð 0
ìð x -ð1 y +ð 3 z -ð 2
l :
íðx +ð y -ð z +ð 2 =ð 0 k : =ð =ð
1 2 3
îð
9. Dany jest punkt P (1, 1, 1) i prosta
x =ð 1+ð t
ìð
ïðy
l : =ð 2 -ð t gdzie t Îð R
íð
ïðz =ð 3 +ð t
îð
Znalez
ć rzut prostokątny punktu P na prostą l.
10. Napisać równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz i przechodzącej przez punkty P (2, 3, -1),
Q (-1, 2, 4).
11. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P (3, 2, -5)
i prostopadłej do płaszczyzny
x =ð 4 +ð 2s +ð t
ìð
ïð
pð : =ð 3s -ð t s Îð R, t Îð R
íðy
ïðz =ð -ð7 -ð 5s +ð 6t
îð
12. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnych
z płaszczyzną Ą: 2x + y + 3z = 6
13. Obliczyć odległość punktu P (2, 3, -1) od prostej
x =ð -ð3 +ð t
ìð
ïð
l : =ð 1+ð t gdzie t Îð R .
íðy
ïðz =ð -ð3 +ð 3t
îð
14. Obliczyć pole trójkąta utworzonego na płaszczyz
nie x + y + z = 10 w wyniku jej przecięcia
płaszczyznami x = 1, y = 2 oraz z = 3.
15. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (1, -1, 2) i prostą
x -ð z -ð 2 =ð 0
ìð
l :
íðx +ð y +ð 4 =ð 0
îð
16. Napisać równanie płaszczyzny rozpiętej na przecinających się prostych
x +ð y -ð z -ð1 =ð 0 2x +ð z -ð 3 =ð 0
ìð ìð
l : k :
íðx -ð 2y +ð z =ð 0 íðx +ð y +ð 3z -ð 5 =ð 0
îð îð