Kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE,
19 XII 2003, 08:00, B
1. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
g(x) =C · x2e-x · 1(0,")(x).
a) Wyznaczyć stałą C (czy stała C da się otrzymać jako produkt uboczny
innych rachunków w tym zadaniu?)
1
b) Wykazać, że funkcją tworzącą momenty dla X jest MX(t) = , gdzie
(1-t)3
t <1.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X, tj. EXn dla n =1, 2, ...
d) obliczyć Á(-X, X +1).
e) wyznaczyć gęstość dla zm. los. -2X.
2. W pewnym kraju płaca roczna ma rozkład o gęstości
g(x) =C(1000 - x) · 1(0,1000)(x).
a) Wyznaczyć stałą C.
b) Obliczyć średnią płacę.
c) Król podwyższył do 100 talarów płace wszystkim tym, którzy zarabiali
mniej niż 100 talarów. O ile wzrosła średnia płaca?
d) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany poddany dostanie
podwyżkę?
e) Czy płaca ma nadal rozkład ciągły?
3*. Ania i Bartek obserwują ciąg rzutów (niekoniecznie symetryczną) mo-
netą. Ania wygra, jeśli ciąg OO pojawi się przed RO, w przeciwnym razie wygra
Bartek. Jakie sÄ… szanse wygranej dla obu graczy?
RozwiÄ…zania
1. a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

" "
1 = g(x)dx = C x2e-xdx = C · “(3) = 2C,
-" 0
1
zatem C = .
2
Ten szybki sposób wymaga znajomości funkcji gamma, zdefiniowanej tak:

"
“(a) = xa-1e-xdx, a > 0,
0
a także jej podstawowych wÅ‚asnoÅ›ci, czyli wzoru “(a) =(a - 1)“(a - 1), który
otrzymujemy caÅ‚kujÄ…c przez części. Z niego wÅ‚aÅ›nie wynika, że “(n) =(n - 1)!
dla n =1, 2, . . .
1
Można oczywiście obliczyć całkę z gęstości całkując dwukrotnie przez części,
albo zauważyć, że jest ona równa EZ2, gdzie Z ma rozkład wykładniczy z
parametrem 1. Wtedy EZ =1, D2Z =1, zatemEZ2 = D2Z +(EZ)2 =2.
b) Poniższe całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy t <1. Jedynym chwy-
tem jest podstawienie z =(1 - t)x, dz =(1 - t)dx:
2
" " "
z dz
MX(t) = etx · x2e-xdx = x2e-(1-t)xdx = e-z =
1 - t 1 - t
0 0 0
2
" "
z dz 1 1
= e-z = · z2e-zdz = .
1 - t 1 - t (1 - t)3 (1 - t)3
0 0
Ostatnia całka jest równa 1 jako całka na przedziale (-", ") z gęstości.
c) Momenty sÄ… pochodnymi f.t.m w zerze. Mamy

MX(t) =3 · (1 - t)-4, MX(t) =3 · 4 · (1 - t)-5, MX (t) =3 · 4 · 5 · (1 - t)-6,
zatem ogólnie
1
(n)
MX (t) = · n! · (1 - t)-(n+3),
2
a stÄ…d
1
EXn = · n!.
2
Wynik ten można bez wysiłku otrzymać z definicji funkcji gamma.
d) Á(-X, X+1) = Á(-X, X) =-Á(X, X) =-1. Wynik ten można otrzymać
na wiele sposobów, zauważając np. że cov(X, X) =D2X.
1 t
e) g-2X(t) = gX(- ). Jeśli nie znamy tego wzoru, możemy wyznaczyć
2 2
gęstość bezpośrednio. Wystarczy obliczyć dystrybuantę zm. los. -2X dla ujem-
nych wartości argumentu t:
F-2X(t) =P (-2X t) =P (X -t/2) = P (X>-t/2) = 1 - FX(-t/2).
Zwróćmy uwagę, że X ma rozkład ciągły, zatem nie ma znaczenia, czy operujemy
nierównościami ostrymi, czy nieostrymi. Różniczkując prawą stronę powyższej
równości otrzymujemy żądany wynik:
1 1 t2
g-2X(t) = · (-t/2)2et/21(-",0](t) = et/21(-",0](t).
2 2 16
2. Przyjmiemy, że płaca jest zmienną losową X o gęstości g.
a) Ponieważ g jest gęstością, musi być

" 1000
1 1
1 = g(x)dx = C(1000 - x)dx = · 1000C · 1000 = C · · 106,
2 2
-" 0
zatem C = 2 · 10-6. Nie musimy znać funkcji pierwotnej, wystarczy bowiem
zauważyć, że całka jest równa polu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
1000C i 1000.
2
b) Obliczamy EX:

" 1000
EX = xg(x)dx = C x(1000 - x)dx =
-" 0

1000 1000

1000 1000

1

= C 1000xdx - x2dx = C 500x2 - x3 =

3
0 0
0 0
10 1
= 2 · 10-6 · [5 · 108 - · 108] = 333 .
3 3
c) Po podwyżce płaca jest równa max(X, 100), a sama podwyżka Z =
max(X, 100) - X =max(0, 100 - X). Wzrost średniej płacy to
EZ = E max(X, 100) - EX = E max(0, 100 - X) =

1000
= C max(0, 100 - x)(1000 - x)dx =
0

100
= C (100 - x)(1000 - x)dx =
0


100
= 2 · 10-6 · (105 - 1100x = x2)dx =
0
1 2 2
= 2 · 10-6 · [107 - 550 · 104 + · 106] =20 - 11 + =9 .
3 3 3

1000
d) Prawdopodobieństwo nieotrzymania podwyżki jest równe g(x)dx.
100
Jest to pole trójkąta podobnego do rozpatrywanego w punkcie a), przy czym
skala podobieństwa jest równa 0,9. Dlatego szansa nieotrzymania podwyżki wy-
nosi 0,9 · 0,9 =0,81, a otrzymania 0,19.
Nawiasem mówiąc, można teraz skontrolować prawidłowość wyników: jeśli
ok. 20% poddanych dostanie średnio ok. 50 talarów podwyżki, to średnia płaca
wzrośnie o ok. 10 talarów, i tak właśnie jest.
e) Płaca po podwyżce nie ma rozkładu ciągłego, bo z dodatnim prawdopo-
dobieństwem (równym 0,19) przyjmuje wartość 100.
3*. Zadanie można rozwiązać, badając prawdopodobieństwa pochłonięcia w
łańcuchu Markowa o pięciu stanach: S, O, OO, R, RO (stany pochłaniające wy-
różniono tłustym drukiem). Można jednak zauważyć (rysując w razie potrzeby
odpowiedni diagram), że Ania wygra wtedy i tylko wtedy, gdy w pierwszych
dwóch rzutach pojawi się orzeł. Pojawienie się reszki w pierwszym lub drugim
rzucie prowadzi do wygranej Bartka. Dlatego Ania wygrywa z prawdopodobień-
stwem p2, gdzie p jest prawdopodobieństwem otrzymania orła.
3