Politechnika Białostocka
Wydział Elektryczny
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii
Instrukcja do zajęć laboratoryjnych
ELEMENTY RLC W OBWODACH
PR
DU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Numer ćwiczenia
E03
Opracowanie:
dr inż. Anna Maria Białostocka
Białystok 2009
Spis treści
1. Wprowadzenie...........................................................................................3
1.1. Połączenie szeregowe elementów R, L, C ............................................4
1.2. Połączenie równoległe elementów R, L, C............................................5
1.3. Połączenie szeregowo-równoległe elementów R, L, C..........................6
2. Pomiary .....................................................................................................7
3. Wymagania bhp........................................................................................8
4. Opracowanie wyników..............................................................................9
5. Pytania sprawdzające .............................................................................10
6. Wykaz literatury .....................................................................................10
7. Dodatek  przykład obliczeń...................................................................10
_____________
Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB.
� Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, 2009
Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część tej publikacji nie może być kopiowana i odtwarzana
w jakiejkolwiek formie i przy użyciu jakichkolwiek środków bez zgody posiadacza praw
autorskich.
- 2 -
Cel ćwiczenia: doświadczalne potwierdzenie słuszności praw Kirchhoffa dla
złożonego obwodu elektrycznego zasilanego napięciem sinusoidalnie
zmiennym oraz wykonanie wykresu wektorowego dla układu z powyższego
doświadczenia.
1. Wprowadzenie
W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego zasadniczą rolę w rozpływie
prądów i rozkładzie napięć odgrywają poza elementami rezystancyjnymi również
elementy reaktancyjne. W elementach rezystancyjnych zachodzi przemiana
energii elektrycznej w energię cieplną, natomiast elementy reaktancyjne zwane
inaczej zachowawczymi posiadają właściwość gromadzenia energii. Rozróżnia
się elementy reaktancyjne indukcyjne (wszelkiego rodzaju cewki, dławiki itp.)
oraz elementy reaktancyjne pojemnościowe (kondensatory).
W rzeczywistości nie ma elementów tylko rezystancyjnych lub tylko
reaktancyjnych, można jednak w większości przypadków przypisać elementom
obwodu elektrycznego cechą dominującą, a więc rezystancję R, pojemność C lub
indukcyjność L.
W każdym obwodzie elektrycznym spełnione są prawa Kirchhoffa; w
obwodach prądu sinusoidalnego dotyczą one wartości chwilowych oraz wartości
skutecznych zespolonych i mają postać:
- dla wartości chwilowych
n m
uk =� 0 (1)
��i =� 0, ��
k
k =�1 k =�1
- dla wartości skutecznych zespolonych
n m
I =� 0,
�� ��U =� 0 (2)
k k
k =�1 k =�1
Bardzo często korzystne jest przedstawienie praw Kirchhoffa w postaci wykresu
wektorowego, co zostanie zilustrowane na przykładzie obwodów elektrycznych o
mieszanym połączeniu elementów R, L, C.
- 3 -
1.1. Połączenie szeregowe elementów R, L, C
Schemat szeregowego połączenia elementów R,L,C przedstawia rys. 1,
odpowiadający mu wykres wektorowy - rys. 1a.
UL
R L C
UC
U
I
U
j�
UR
I
UC
Rys. 1. Rys. 1a
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa
U = UR + UL + UC (3)
Przy zasilaniu dwójnika z rys. 1 napięciem sinusoidalnym, prąd płynący przez
ten dwójnik jest określony prawem Ohma i w postaci zespolonej wyraża się
wzorem
U
I = (4)
Z
przy czym
1
Z = R + j (XL - XC), XL = w�L, XC = (5)
w�C
Oznaczenia:
U - wartość skuteczna zespolona napięcia przyłożonego do dwójnika,
I - wartość skuteczna zespolona prądu w dwójniku,
Z - impedancja zespolona dwójnika szeregowego R, L, C,
XL, XC - reaktancja indukcyjna i reaktancja pojemnościowa,
w�- pulsacja napięcia sinusoidalnie zmiennego.
Wartość skuteczna prądu płynącego przez dwójnik wynosi
U U
I =� =� (6)
Z
R2 +� X -� XC 2
(� )�
L
przy czym
U - wartość skuteczna napięcia przyłożonego do dwójnika
Z - moduł impedancji dwójnika
- 4 -
Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem określa równanie
X -� XC
L
j� =� arctg (7)
R
1.2. Połączenie równoległe elementów R, L, C
Schemat równoległego połączenia elementów R,L,C przedstawia rys. 2a,
odpowiadający mu wykres wektorowy - rys. 2b.
I
IC
R L C
U
IL
I
j�
IR
U
IL
Rys. 2a Rys. 2b
Zgodnie z I prawem Kirchhoffa, wartości zespolone prądów związane są
następującą zależnością:
I = IR + IL + IC (8)
Uwzględniając prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego
otrzymamy
I = Y U (9)
przy czym
1
Y = G + j (BC - BL), BC = w�C, BL = (10)
w�L
Oznaczenia:
Y - admitancja zespolona dwójnika równoległego R, L, C,
G - konduktancja,
BC, BL - susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna.
Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem określa równanie
BC -� BL
��
j� =� arctgć� . (11)
�� ��
G
Ł� ł�
- 5 -
1.3. Połączenie szeregowo-równoległe elementów R, L, C
Układ o takim połączeniu elementów R, L, C badany będzie podczas
wykonywania ćwiczenia. Jego schemat przedstawia rys. 3a, zaś przykładowy
wykres wektorowy dla tego połączenia - rys. 3b.
Oznaczenia występujące na wykresie wektorowym:
ILc - składowa czynna prądu IL
ILb - składowa bierna prądu IL
U2c - składowa czynna napięcia U2
U2b - składowa bierna napięcia U2
UC1
I
U
UR1
R1
U2
C1
IL
IC
U IL
U2b
IR2
R3
I
U2
R2 C
IR2
IR2
L
IL
U2c
ILc
IC ILb
Rys. 3a Rys. 3b
Wykres wektorowy sporządza się na podstawie znajomości wartości prądów
płynących przez poszczególne gałęzie układu oraz wartości spadków napięć na
elementach znajdujących się w tych gałęziach. Wykres rozpoczyna się od
ustawienia w przestrzeni wektora napięcia U2 występującego na gałęziach
połączonych równolegle (patrz rys.3.). Następnie wrysowuje się wektory
prądów: wektor prądu IR2 w fazie z napięciem U2, wektor prądu Ic
p�
wyprzedzający wektor napięcia U2 o kąt oraz wektor prądu IL opóz
niony
2
względem napięcia U2 o kąt j� . Przy obliczaniu kąta j� należy pamiętać, że w
- 6 -
gałęzi o charakterze indukcyjnym występuje rezystancja R3 oraz rezystancja
uzwojeń cewki indukcyjnej określona jako RL. Sumując geometrycznie prądy IR2,
IC, IL wyznacza się prąd wypadkowy I. W następnej kolejności umieszcza się na
wykresie wektor napięcia UR1 będący w fazie z wektorem prądu wypadkowego I
p�
oraz wektor napięcia UC1 opóz
niający o względem tego prądu. Sumując
2
wektory napięć U2, UR1 i UC1 otrzymujemy wektor napięcia wypadkowego U.
2. Pomiary
1. Połączyć obwód elektryczny jak na rys.4. zwracając baczną uwagę, aby do
jednego zacisku nie były przyłączone więcej niż dwie końcówki przewodów.
2. Zgłosić gotowość do wykonania ćwiczenia prowadzącemu zajęcia, który
sprawdza poprawność połączenia i zasila napięciem odpowiednie stanowisko
laboratoryjne.
3. Przy pomocy autotransformatora laboratoryjnego AT nastawić pięć różnych
wartości napięcia zasilającego (w granicach 100-200 V) i dla każdej wartości
tego napięcia odczytać wskazania wszystkich przyrządów pomiarowych.
Wyniki odnotować w podanej poniżej tabeli.
AT
A1
R1
V1
~230 V
220 V
C1
50 Hz
50 Hz
V
A3 A2
A4
V2
R3
C
R2
L
Rys. 4.
Oznaczenia:
- 7 -
R1 - opornik suwakowy 40 W�,
R2, R3 - oporniki suwakowe 195 W�,
C, C1 - kondensatory 10 m�F,
L - dławik oświetleniowy. W zależności od typu dławika, jego rezystancja
wynosi RL = 24 W� lub RL = 33 W�. Właściwą wartość rezystancji poda
prowadzący lub na podstawie polecenia prowadzącego należy ją
zmierzyć. Reaktancję dławika xL i jego indukcyjność L należy obliczyć z
trójkąta impedancji, na podstawie wykonanych pomiarów.
A1, A2, A3, A4, V, V1, V2 - mierniki uniwersalne.
Tabela wyników
U U1 U2 U2c U2b I1 I2 I3 I3c I3b I4
Lp
V V V V V A A A A A A
1 100
2 125
3 150
4 175
5 200
3. Wymagania BHP
Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest
zapoznanie się z instrukcją BHP i instrukcją przeciw pożarową oraz
przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urządzenia dostępne na
stanowisku laboratoryjnym mogą posiadać instrukcje stanowiskowe. Przed
rozpoczęciem pracy należy zapoznać się z instrukcjami stanowiskowymi
wskazanymi przez prowadzącego.
W trakcie zajęć laboratoryjnych należy przestrzegać następujących zasad.
�� � Sprawdzić, czy urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym są w
stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie.
�� � Sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń.
�� � Załączenie napięcia do układu pomiarowego może się odbywać po
wyrażeniu zgody przez prowadzącego.
�� � Przyrządy pomiarowe należy ustawić w sposób zapewniający stałą
obserwację, bez konieczności nachylania się nad innymi elementami
układu znajdującymi się pod napięciem.
�� � Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiana
elementów składowych stanowiska pod napięciem.
- 8 -
�� � Zmiana konfiguracji stanowiska i połączeń w badanym układzie może się
odbywać wyłącznie w porozumieniu z prowadzącym zajęcia.
�� � W przypadku zaniku napięcia zasilającego należy niezwłocznie wyłączyć
wszystkie urządzenia.
�� � Stwierdzone wszelkie braki w wyposażeniu stanowiska oraz
nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprzętu należy przekazywać
prowadzącemu zajęcia.
�� � Zabrania się samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania z
urządzeń nie należących do danego ćwiczenia.
�� � W przypadku wystąpienia porażenia prądem elektrycznym należy
niezwłocznie wyłączyć zasilanie stanowisk laboratoryjnych za pomocą
wyłącznika bezpieczeństwa, dostępnego na każdej tablicy rozdzielczej w
laboratorium. Przed odłączeniem napięcia nie dotykać porażonego.
4. Opracowanie wyników
1. Na podstawie wyników pomiarów sprawdzić obydwa prawa Kirchhoffa dla
wszystkich pięciu punktów pomiarowych. Podać obliczenia dla jednego
punktu pomiarowego wskazanego przez prowadzącego.
2. Na podstawie obliczeń sporządzić wykres wektorowy prądów i napięć dla
jednej, wskazanej przez prowadzącego, wartości napięcia zasilającego.
Omówić sposób wykonania wykresu wektorowego.
UWAGA: Wykres wskazowy wykonać na papierze milimetrowym
formatu A4 w odpowiedniej skali (skalę podać pod wykresem
wskazowym) !
3. We wnioskach rozstrzygnąć następujące kwestie.
�� � Czy prawa Kirchhoffa stosuje się względem wartości skutecznych czy
skutecznych zespolonych (i dlaczego)?
�� � Od czego zależy zawartość składowych czynnych i biernych?
�� � W jaki sposób składowe decydują o mocy czynnej układu?
�� � Nieliniowość którego elementu decyduje o błędzie wnoszonym przez
metodę zespoloną?
�� � Co jest przyczyną innych błędów?
- 9 -
5. Pytania sprawdzające
1. Na podstawie szeregowego połączenia R, L, C wyprowadzić wzory na
postać algebraiczną oraz wykładniczą impedancji wynikającej z
powyższego połączenia elementów.
2. Podaj prawo Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu sinusoidalnego
na podstawie szeregowego bądz
równoległego układu elementów R, L, C.
3. Wyznacz impedancję zastępczą obwodu analizowanego w ćwiczeniu.
4. Narysuj wykres wektorowy napięć i prądów dla mieszanego połączenia
elementów R, L, C.
5. Podaj schematy zastępcze cewki i kondensatora rzeczywistego.
6. Jak obliczamy moc czynną, bierną i pozorną w obwodach zawierających
elementy R, L, C.
6. Wykaz literatury
[1] Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT 2008
[2] Bolkowski S.: Elektrotechnika. WNT 2005
[3] Frąckowiak J.: Elektrotechnika teoretyczna: laboratorium. Wydawnictwa
Politechniki Poznańskiej 2006
[4] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna. PWN 1999.
7. Dodatek  przykład obliczeń
Przykład sporządzania obliczeń wartości prądów i napięć z układu
przedstawionego na rysunku 4:
- kąt fazowy jednej wielkości można przyjąć dowolnie jako odniesienie.
j0o
U =�U2 e
Proponuje się przyjąć napięcie U2 jako , gdzie wielkość U2 jest
2
wskazaniem woltomierza V2.
- prąd w gałęzi z amperomierzem A2 jest w fazie z napięciem U2 i jego wartość
j 0o
I =� I2 e
oblicza się ze wzoru , gdzie wielkość I2 jest wskazaniem
2
amperomierza A2.
- prąd w gałęzi z amperomierzem A4 wyprzedza napięcie U2 o 90o i jego
j90o
I =� I4 e
wartość oblicza się ze wzoru , gdzie wielkość I4 jest
4
wskazaniem amperomierza A4.
- 10 -
- obliczenia dotyczące gałęzi z amperomierzem A3 rozpocząć od wyliczenia
U
2
2
2
Z3 =� =� (�R3 +� RL )� +� X
modułu impedancji z następującego wzoru ,
L
I3
gdzie U2 jest wskazaniem woltomierza V2 oraz I3 jest wskazaniem
amperomierza A3.
- na podstawie znajomości wartości Z3 wyliczyć wartość reaktancji cewki
2
2
X =� Z3 -�(�R3 +� RL )�
zgodnie ze wzorem .
L
- następnie obliczyć kąt przesunięcia pomiędzy prądem I3 oraz napięciem U2
X
L
j�3 =� arctg
(j�3) na podstawie wzoru
R3 +� RL oraz określić składowe prądu I3:
I =� I3 e-� jj�3 =� I3 (�cosj�3 -� j sin j�3 )�=� I3c -� j I3b
czynną (I3c) i bierną (I3b) .
3
Ś3
I3c
U2
I3b
I3
Rys.5.
jj�1
I1 =� I1 e =� I +� I +� I
- obliczyć wartość prądu I1 na podstawie wzoru
2 3 4
(I prawo Kirchhoffa), po czym porównać jej moduł ze wskazaniem
amperomierza A1 (wartość I1 powinna być zbliżona do wskazania
amperomierza).
- rozłożyć napięcie U2 na składowe czynną (U2c) i bierną (U2b), względem
całkowitego prądu trójgałęziowego dwójnika, tzn. względem prądu I1.
U2c =�U2 cosj�1
U2b =�U2 sinj�1
j�1
� gdzie: - kąt przesunięcia prądu I1
ż�
I1
U2c
U2b
Ś1
U2
Rys.6.
- 11 -
- obliczyć wartość napięcia U1 (z prawa Ohma) na podstawie znajomości
wartości impedancji znajdującej się w gałęzi z amperomierzem A1.
1 ć� ��
1
jj�
Z1 =� R1 -� j �� ��
U =� Z I =� R1 -� j I =�U1 e
w�C1 , więc 1 1 1 �� w�C1 �� 1
Ł� ł�
Porównać wartość U1 otrzymaną z obliczeń ze wskazaniem woltomierza V1
(wartości powinny być zbliżone).
jj�U
U =�U1 +�U =�U e
- obliczyć wartość napięcia U korzystając ze wzoru
2
(II prawo Kirchhoffa). Porównać wartość U ze wskazaniem woltomierza V.
- 12 -