NIEPEWNOŚĆ
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności von Neumann a  Morgenstern a
Rynek ubezpieczeniowy
Kontrakty futures i inne kontrakty długoterminowe jako forma ubezpieczenia
Roszczenia warunkowe (Contingent claims) i model preferencji zależnych od stanu
Pełne ubezpieczenie konsumenta neutralnego względem ryzyka
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
 Prawdopodobieństwo obiektywne i subiektywne
 Wartość oczekiwana i wariancja
 Niezależność zdarzeń
 Własności prawdopodobieństwa
 Paradoks Petersburski
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Własności prawdopodobieństwa
Zał.: za każdym razem rezultat jest jednym z n niezależnych i
różnych wyników.
Niech:
" xi : wartość i-tego wyniku
" �i : prawdopodobieństwo zaistnienia i-tego wyniku
�
�
�
Dwie własności p-stwa:
n
" i
� = 1
i
"
i
" p-stwo xi oraz xj = (�i)( �j)
� �
� �
� �
n
Dwie definicje:
i
"� xi = x
" Wartość oczekiwana = E{x} =
i
n
i
"� (xi - x)2
" Wariancja = var{x} =
i
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Paradoks Petersburski
Masz możliwość zapłacić $100 i wziąć udział w jednej z trzech
(sprawiedliwych) gier:
1. Otrzymujesz z powrotem $100;
2. Rzucam sprawiedliwą monetą. Ty otrzymujesz:
" $200 jeżeli jest to orzeł
" 0 jeżeli jest to reszka
3. Rzucam sprawiedliwą kością. Ty otrzymujesz:
" $400 jeżeli jest to 1
" $70 : 2
" $55 : 3
" $25 : 4
" $40 : 5
" $10 : 6
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Wszystkie te gry mają wartość oczekiwaną $100,
ale różne wariancje:
1. 0
2. � (200  100)2 + � (0 - 100)2 = 10.000
3. (1/6)(3002 + 302 + 452 + 752 + 602 + 902) = 18.375
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Tą kwestię ilustruje Paradoks Petersburski sformułowany przez
Bernoulli ego w XVIII wieku.
Bernoulli zaproponował wariancję następującej gry.
Rzucamy kostką aż do otrzymania orła.
Wygrana zależy od liczby rzutów zanim pojawi się orzeł.
Rzuty sprawiedliwą kostką są niezależne i prawdopodobieństwo
jest iloczynem prawdopodobieństw kolejnych rzutów.
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Wygrane w tej grze są konstruowane następująco:
" $2 : jeżeli orzeł pojawi się przy pierwszym rzucie (� = � )
�
�
�
" $4 : jeżeli orzeł pojawi się przy drugim rzucie (� = 1/4)
�
�
�
" $8 : jeżeli orzeł pojawi się przy trzecim rzucie (� = 1/8)
�
�
�
" $16 : jeżeli orzeł pojawi się przy czwartym rzucie (� = 1/16)
�
�
�
" $2n : jeżeli orzeł pojawi się przy n-tym rzucie [1/(2n)]
Teoria prawdopodobieństwa i preferencje względem ryzyka
Wartość oczekiwana gry:
"
1
(�) 2 + (1/4)4 + ... = = 1 + 1 + .... = "
"
"
"
=
2n
"
2n
n=1
Nikt nie zapłaci nieskończenie wiele aby wziąć udział w tej grze.
Niewiele osób zapłaci więcej niż kilka $ aby wziąć udział w tej
grze.
Przyczyną jest wariancja również równa ", a większość osób
"
"
"
preferuje mniejsze wariancje  mniejszą niepewność.
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności
von Neumann a  Morgenstern a
 Twierdzenia dotyczące użyteczności oczekiwanej
 Postawa wobec ryzyka
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
Z Paradoksu Petersburskiego wynika, że potrzebujemy czegoś
więcej niż wartość oczekiwana do analizowania decyzji
podejmowanych przez ludzi w warunkach ryzyka.
Użyteczność oczekiwana : przedstawia preferencje w
warunkach niepewności w ujęciu wartości oczekiwanej zbioru
użyteczności względem możliwych wyników, xi:
n
E{U} = (liniowa względem p-stwa)
i
"� U (xi )
i
(6 twierdzeń dotyczących E{U})
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
Postawa wobec ryzyka
Zał.: możliwe są trzy wyniki i dwie działalności.
Wyniki są następujące:
" Wynik 1: $50 i U = 30
" Wynik 2: $100 i U = 80
" Wynik 3: $150 i U = 110
Czyli: U($50) = 30, U($100) = 80, U($150) = 110.
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
Dwie działalności dają te wyniki z różnymi prawdopodobieństwami:
" Działalność A daje $100 na pewno:
E{U(A)} = (1)U(100) = 80
" Działalność B daje $50 z p-stwem � i $150 z p-stwem � :
E{U(B)} = � U(50) + � U(150) = 70 < 80.
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
A więc, pomimo że każda z działalności daje
oczekiwaną wygraną = $100,
to E{U(B)} < E{U(A)}.
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
$100 otrzymywane na pewno dostarcza U=80,
$50 i $150 dostarcza U=30 i U=110 formując wklęsłą funkcję
użyteczności.
EU gry 50/50 z wynikiem 100-50 i 100+50 znajduje się w połowie
kombinacji liniowej U(50) i U(150), czyli EU=70.
EU=70 jest mniejsza od użyteczności otrzymania $100 na pewno.
Dlatego jednostkę z taką funkcją użyteczności określamy mianem
niechętnej ryzyku (asekurantem).
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
U=70 < U=80: osoba
jest niechętna
wobec ryzyka.
Co więcej osoba ta
będzie gotowa
zapłacić ł aby
ł
ł
ł
uniknąć ryzyka.
Przy niższej wypłacie
($100 - ł) jednostka
ł
ł
ł
w dalszym ciągu ma
U = 70 i nie musi
podejmować ryzyka.
Kwotę ł nazywamy
ł
ł
ł
składką od ryzyka
(risk premium).
Wybór asekuranta między kwotą otrzymywaną
na pewno i grą
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
Osoby mogą być niechętne ryzyku, neutralne wobec ryzyka lub lubić
ryzyko (ryzykanci).
Dla każdej z tych osób porównujemy użyteczność sumy otrzymywanej na
pewno , czyli U( )
X X
z EU(x) gry, w której wygranymi są: ( - a) z p-stwem � oraz
X
( + a) z p-swem �.
X
Użyteczność oczekiwana i funkcja użyteczności vN M
Postawy wobec ryzyka
Rynek ubezpieczeniowy
 Model zakupu ubezpieczenia
 Wykup pełnego ubezpieczenia i pewna konsumpcja
Rynek ubezpieczeniowy
Zastosowaniem teorii awersji wobec ryzyka jest
rynek ubezpieczeń.
Ubezpieczenie jest sposobem ochrony przeciw ryzyku i jednostki
niechętne wobec ryzyka chcą zapłacić
składkę od ryzyka (risk premium)
aby go uniknąć.
Rynek ubezpieczeniowy
Przykład
Posiadasz budynek wart $50.000 i inne aktywa warte $50.000.
Z p-stwem 10% budynek ulegnie zniszczeniu .
A więc z p-stwem 10% masz aktywa o wartości $50.000
I z p-stwem 90% masz aktywa o wartości $100.000.
Użyteczność oczekiwana gry:
" E{U} = (0,10)U(50.000) + (0,90)U(100.000);
Wartość oczekiwana:
" E{x} = 0,10(50.000) + 0,90(100.000) = 95.000.
Awersja wobec ryzyka i gra o stratę, przeciw której
można się ubezpieczyć
Rynek ubezpieczeniowy
E{U} gry można obliczyć rysując linię prostą między U($50.000) i
U($100.000) (liniowa kombinacja użyteczności tych wielkości).
Użyteczność oczekiwana jest w 9/10 odległości od U($50.000) i
U($100.000) wzdłuż tej linii.
Przy awersji do ryzyka użyteczność oczekiwana gry o EX= $95.000
jest mniejsza od posiadania $95.000 na pewno.
Co więcej przy wartości oczekiwanej gry o $95.000 chcesz
zapłacić pewną składkę od ryzyka ł (risk premium) aby
ł
ł
ł
uniknąć gry.
Rynek ubezpieczeniowy
Jeżeli masz możliwość wykupienia ubezpieczenia musisz zapłacić
składkę ubezpieczeniową
(insurance premium).
W przypadku zaistnienia strat firma ubezpieczeniowa wypłaci
wcześniej uzgodnione odszkodowanie.
Zał.: składka ubezpieczeniowa = wartość oczekiwana straty
0,10 (50.000) = $5.000.
Rynek ubezpieczeniowy
Mówimy, że składka jest aktuarialnie sprawiedliwa jeżeli
równa się wartości oczekiwanej straty.
Kolejny problem: Jakie ubezpieczenie wykupi osoba niechętna
ryzyku?
Rynek ubezpieczeniowy
Model wykupu ubezpieczenia
Oznaczenia:
" x0 : aktywa bez straty
" L : strata
" � : p-stwo zaistnienia straty
�
�
�
" A : odszkodowanie
Rynek ubezpieczeniowy
Jeżeli składka ubezpieczeniowa jest sprawiedliwa:
" �A = oczekiwane odszkodowanie = całkowita składka
�
�
�
ubezpieczeniowa
" xl = x0  L + A - �A = aktywa po stracie
�
�
�
" xn = x0 - �A = aktywa bez straty
�
�
�
Rynek ubezpieczeniowy
Zał.: użyteczność zależy wyłącznie od aktywa.
Użyteczność oczekiwana: E{U} = � �
�U(xl) + (1 - �)U(xn).
� �
� �
Aby wyznaczyć optymalne ubezpieczenie różniczkujemy E{U}
.
.
względem A i przyrównujemy do 0:
" " "
E{U} = �(1- �) U (xl ) - �(1- �) U (xn ) = 0
"A "A "A
Po uproszczeniu:
" "
U (xl ) = U (xn )
"A "A
Rynek ubezpieczeniowy
Przy funkcji ściśle wklęsłej pierwsze pochodne są takie same,
gdyż są wyznaczane dla tych samych aktywów netto przy
stracie i bez niej.
A więc użyteczności i aktywa netto muszą być takie same w
każdej sytuacji:
x0  L + A - �A = x0 - �A.
� �
� �
� �
Po rozwiązaniu: A* = L.
Rynek ubezpieczeniowy
Pełne ubezpieczenie i pewna konsumpcja
Przy aktuarialnie sprawiedliwym ubezpieczeniu konsument
zamienia potencjalną stratę na pewien wynik (taką samą
wartość aktyw niezależnie od zaistnienia straty).
Oznacza to, że użyteczność oczekiwana będzie równała
się użyteczności wartości oczekiwanej.
Rynek ubezpieczeniowy
Dzięki wykupowi
pełnego ubezpieczenia
konsument może
konsumować
xn w obu sytuacjach:
xl = x0  A + A - �A
�
�
�
= x0 - �A = xn,
�
�
�
czyli konsument
otrzymuje xn na pewno,
a więc użyteczność
oczekiwana jest
użytecznością
odpowiadającą xn.
Pewność aktywów i użyteczność przy pełnym
ubezpieczeniu