mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
NAJWAŻNIEJSZE WZORY:
Rozkład naprężeń normalnych w przekroju zginanym
M
y
�x(z) = �"z
" zginanie proste:
I
y
M M
y z
�x( y , z) = �"z- �"y
" zginanie ukośne:
I I
y z
Dla głównego centralnego układu współrzędnych xy obróconego o kąt Ć
względem pewnego przyjętego układu centralnego YZ:
M = M �"cosĆ + M �"sin Ć
y Y Z
�% Rozkład wektora momentu:
M = M �"cosĆ - M �"sin Ć
z Z Y
y = Y�"cos Ć + Z�"sin Ć
�% Transformacja współrzędnych:
z = Z�"cosĆ - Y�"sin Ć
I I
y z
Wskaz
nik wytrzymałości na zginanie: W = , W =
y z
zmax ymax
b h2 b2 h
" przekrój prostokątny: W = , W =
y z
6 6
Ą R3 Ą D3
" przekrój kołowy: W = W = =
y z
4 32
Q( x)�"S ( z)
y
Rozkład naprężeń stycznych w przekroju zginanym poprzecznie: �xz =
I �"b(z)
y
6 Q 1 z2 �max = � (z=0) = 3Q
�xz (z) = -
" przekrój prostokątny:
( )
b h 4 2 A
h2
4 Q z2 �max = � (z=0) = 4Q
�xz (z) = 1-
" przekrój kołowy:
( )
3 A
3 Ą R2 R2
4 Q y z
�xy( y , z) = (tylko dla punktów konturu!)
3 Ą R2
�wyp = �2 + �2
"
xy xz
Zginanie proste
ZADANIE 1
Dany jest wspornik o długości L = 3,5 m obciążony na końcu siłą skupioną P = 50 kN.
Dobrać minimalny przekrój IPN zdolny przenieść to obciążenie, jeśli wytrzymałość na
f = 215 MPa
rozciąganie/ściskanie .
d
M = PL = 175 kNm
Maksymalny moment zginający (w przekroju utwierdzenia):
max
Wymagany wskaz
nik wytrzymałości na zginanie:
M M
max max
�max = < f �! W > = 813,95 cm3
d y
W f
y d
Najmniejszym profilem IPN o większym wskaz
niku wytrzymałości jest IPN 160:
M
IPN360 max
W = 1090 cm3 �! �max = = 165,55 MPa
y
IPN360
W
y
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 2
Dany jest stalowy pręt zginany o średnicy D = 16 mm ,
obciążony jak na rysunku. Dobrać maksymalną wartość
f = 210 MPa
parametru obciążenia P, jeśli .
d
Ą D3
Wskaz
nik wytrzymałości na zginanie: W = = 0,402cm3
y
32
Układ jest symetryczny  reakcja na każdej z podpór jest równa połowie sumy układu sił, a
maksymalny moment zginający występować będzie w połowie przęsła
1
RA = RE = (3 P+2 P+3 P) = 4 P
2
M = RA�"2-3 P�"1 = 5 P
max
Maksymalną wartość parametru obciążenia P wyznaczamy z warunku wytrzymałości:
M f �"W
210�"106�"0,402�"10-6 = 16,884 [N ]
max d y
�max = < f �! P < =
d
W 5 5
y
ZADANIE 3
Dana jest belka swobodnie podparta długości 4 m o przekroju
skrzynkowym, kwadratowym, obciążona obciążeniem
równomiernym q=1,65 kN/m na całej długości i siłą
skupioną P = 10 kN w środku przęsła. Dobrać wymiary
przekroju ( przyjąć b=6a ), jeśli graniczne naprężenie
kr = 80 MPa
normalne . Wyznaczyć rozkład naprężeń
normalnych w przekroju maksymalnego momentu zginającego.
Charakterystyki geometryczne przekroju:
(6 a)4 (4 a)4
260
Moment bezwładności przekroju: I = - = a4 H" 86,667 a4
y
[ ] [ ]
12 12 3
I
86,667 a4 = 28,889 a3
y
Wskaz
nik wytrzymałości na zginanie: W = =
y
zmax 3a
Maksymalny moment zginający występuje w środku przęsła. Jego wartość możemy określić
korzystając ze znanych wzorów na maksymalny moment pod obciążeniem ciągłym i pod
siłą skupioną oraz z zasady superpozycji:
PL qL2
M = + = 13,3 kNm
max
4 8
Minimalną wielkość wymiaru a dobieramy z warunku wytrzymałości:
M M
3
max max
�max = < kr �! a > = 1,79 cm
W 28,889�"kr
"
y
Przyjęto: a = 2 cm .
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 4
Dana jest betonowa, niezbrojona belka o przekroju teowym,
obciążona jak na rysunku. Dobrać minimalny wymiar a
przekroju z uwagi na jego zginanie. W obliczeniach przyjąć
f = 2,9 MPa ,
wytrzymałość na rozciąganie i wytrzy-
ctm
f = 38 MPa
małość na ściskanie .
cm
Charakterystyki geometryczne przekroju symetrycznego 
przyjmujemy pomocniczy układ współrzędnych o osi
poziomej y' pokrywającej się z górną krawędzią przekroju.
[ ] [ ]
A = 2 a�"5 a + a�"4 a = 14 a2
S
13
y '
S = [2 a�"5 a�"a]+[a�"4 a�"4 a] = 26 a3 �! z'C = = a H" 1,857 a
y '
A 7
2 2
5 a�"(2 a)3 a�"(4 a)3
13 13 722
I = +5 a�"2 a�" a- a + +a�"4 a�" 4 a- a = a4 H" 34,381 a4
y
( ) ( )
[ ] [ ]
12 7 12 7 21
I I
722
y y
Wskaz
nik wytrzymałości dla włókien górnych: W = = = a3 H" 18,513 a3
yg
zg z'C 39
I I
722
y y
Wskaz
nik wytrzymałości dla włókien dolnych: W = = = a3 H" 8,299 a3
yd
zd (6 a-z 'C) 87
Przekrój zginany jest tylko w płaszczyz
nie xz  nie ma potrzeby wyznaczania
charakterystyk geometrycznych związanych z osią z.
Reakcje podporowe:
Ł X = H = 0
A
Ł M = -2�"4�"2+V �"4-4�"6 = 0 �! V = 10 [kN]
A B B
ŁY = V -2�"4+V -4 = 0 �! V = 2 [kN]
A B A
Rozkład sił poprzecznych i momentów zginających:
Przedział AB Przedział BC
Ekstremum lokalne M :
Q = 2-2x
Q = 4
Q( xe)=0 �! xe=1
{
M = 2 x-2 x�"x
M = 4(6- x)
{
2 M ( xe)=1
Rozpatrujemy dwa przekroje:
M = 1 kNm
" przekrój ą-ą - maksymalny moment przęsłowy .
ą
Rozciąganie dołem, ściskanie górą.
\
M = 8 kNm
�-� - maksymalny moment podporowy
" Przekrój .
�
Rozciąganie górą, ściskanie dołem.
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
PRZEKRÓJ ą-ą
M M
3
ą ą
Rozciąganie dołem: �max = < f �! a > = 3,46cm
ctm
W 8,299 f
"
yd ctm
M M
3
ą ą
Ściskanie górą: �min = < f �! a > = 1,12cm
cm
W 18,513 f
"
yg cm
PRZEKRÓJ �-�
M M
3
� �
Rozciąganie górą:
�max = < f �! a > = 5,30 cm
ctm
W 18,513 f
"
yg ctm
M M
3
� �
Ściskanie dołem:
�min = < f �! a > = 2,93 cm
cm
W 8,299 f
"
yd cm
Przyjęto: a=5,5 cm .
ZADANIE 5
Dana jest belka swobodnie podparta o przekroju ceowym C200
f = 215 MPa
wykonana za stali o , która obciążona będzie siłą
d
skupioną P = 50 kN tak jak na rysunku. Obciążenie to przekracza
wartość dopuszczalną. Nośność belki można zwiększyć poprzez
przyspawanie do półek ceownika dodatkowych blach. Jaka powinna
być ich grubość i na jakiej długości należy wzmocnić przekrój belki?
Grubość nakładek
Minimalną grubość nakładek wyznaczymy na podstawie znajomości maksymalnego
momentu zginającego.
Reakcje podporowe:
Ł X = H = 0
A
Ł M = -50�"3+V �"5 = 0 �! V = 30 [ kN]
A B B
ŁY = V -50+V = 0 �! V =20 [kN ]
A B A
Rozkład sił poprzecznych i momentów zginających:
AB: x"(0 ;3) BC : x"(3 ;5)
Q( x) = 20 Q (x) = -30
{ {
M (x) = 20�"x M ( x) = 30�"(5- x)
M = 60 kNm
Maksymalny moment zginający:
max
M
max
Wymagany wskaz
nik wytrzymałości przekroju: W = = 279,07 cm3
min
f
d
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
Przyjmujemy, że nakładki o grubości t przyspawane są z obydwu stron
ceownika oraz, że ich szerokość jest równa szerokości półki ceownika
b = 7,5 cm
. Wszystkie obliczenia prowadzimy w centymetrach. Moment
f
bezwładności wzmocnionego przekroju:
3
2
bf�"t hC200 t 2
7,5 t3+7,5t 20+ t
I = IC200 + 2�" +bf�"t�" + = 1910+2�" =
wzm
( )
[ ] ( )
[ ]
12 2 2 12 2 2
= 5t3+150 t2+1500 t+1910
1
zmax, wzm = hC200+t = 10+t
Odległość do skrajnych włókien w przekroju wzmocnionym:
2
Żądamy, aby wskaz
nik wytrzymałości przekroju wzmocnionego był równy minimalnemu
wymaganemu wskaz
nikowi  z tej zależności wyznaczamy minimalną grubość nakładek:
I
wzm
W = = W �! t3+30t2+224 t-178 = 0 �! t = 0,723 [cm]
wzm
zmax , wzm min
Przyjmujemy: t = 8 mm .
I = 3208,56 cm4, zmax ,wzm = 10,8 cm , W = 297,09 cm3
wzm wzm
M
max
Naprężenia maksymalne w przekroju wzmocnionym: �max = = 201,96 MPa < f
d
W
wzm
Długość nakładek
Długość nakładek wyznaczymy na podstawie znajomości maksymalnego dopuszczalnego
momentu zginającego dla przekroju niewzmocnionego:
M = f �"W = 215�"106�"191�"10-6 = 41,065�"103 [ Nm]
dop d C200
W obydwu przedziałach charakterystycznych wyznaczyć musimy taki przekrój, w którym
moment zginający osiąga tę graniczną wartość:
M = M �! 20�"x = 41,065 �! x = 2,05 [m]
AB dop
M = M �! 30�"(5- x) = 41,065 �! x = 3,63 [m]
BC dop
Przyjęto, że przekrój wzmocniony zostanie od punktu x = 2 m do punktu x=3,7 m .
Całkowita wymagana długość nakładek: L = 3,7 - 2,0 = 1,7 [m]
M (x=2) = 40 kN , M ( x=3,7) = 39 kN
Maksymalne naprężenia od zginania w punktach wzmocnienia lub
osłabienia przekroju:
M ( x=2) M (x=2)
AB AB
= 209,42 MPa = 134,64 MPa
W W
C200 wzm
M ( x=3,7) M ( x=3,7)
BC BC
= 204,19 MPa = 131,27 MPa
W W
C200 wzm
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
Zginanie ukośne
ZADANIE 6
Dany jest wspornik o przekroju prostokątnym
b�h = 10 cm � 25 cm obciążony na końcu siłą skupioną
P = 20 kN, nachyloną pod kątem ą = 30" do mocniejszej
osi przekroju. Wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych
w przekroju utwierdzenia, ekstremalne naprężenie
normalne oraz położenie osi obojętnej.
Momenty bezwładności przekroju:
bh3 b3 h
I = = 13020,83 cm4 , I = = 2083,33 cm3
y z
12 12
Wskaz
niki wytrzymałości przekroju na zginanie:
bh2 b2 h
W = = 1041,67 cm3 , W = = 416,67 cm3
y z
6 6
F = P sin ą = 10 kN
Siła poprzeczna zginająca w płaszczyz
nie xz:
z
F = P cosą = 17,32 kN
Siła poprzeczna zginająca w płaszczyz
nie xy:
y
Maksymalne momenty zginające (w przekroju utwierdzenia):
M = -F �"L = -30 kNm
y z
M = F �"L = 51,96 kNm
z y
Kąt nachylenia wektora wypadkowego momentu gnącego do osi y:
M
z
� = 180" - arctg = 120"
#" #"
M
y
M M
y z
Rozkład naprężeń normalnych: �( y , z) = �"z - �"y
I I
y z
Naprężenia w narożach przekroju:
b h
�A = � , = -153,50 MPa
( )
2 2
b h
�B = � - , = -95,90 MPa
( )
2 2
h
�C = � -b ,- = 153,50 MPa
( )
2 2
b h
�D = � ,- = 95,90 MPa
( )
2 2
#"M #" #"M #"
y z
Naprężenia maksymalne: #"�max#"= + = 153,50 MPa
W W
y z
Równanie osi obojętnej w układzie głównych centralnych osi bezwładności:
M M M I
y z z y
�( y , z) = �"z - �"y = 0 �! z = y �! z=-10,83 y
I I M I
y z y z
I M I
y z y
ł=180" - arctg �" =180" - arctg �"tg� = 95,27"
[ ] [ ]
I M I
z y z
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 7
Dana jest belka o długości L=5m swobodnie podparta, obciążona
w środku przęsła siłą skupioną P=40 kN nachyloną pod kątem
ą=40" do słabszej głównej centralnej osi bezwładności profilu
IPE. Dobrać minimalny profil IPE zdolny przenieść zadane
kr = 225 MPa .
obciążenie., jeśli
Rozkład siły poprzecznej:
F = P cosą = 30,64 kN
z
F = P sin ą = 25,71 kN
y
Maksymalne momenty zginające (w środku przęsła):
F L
P L
z
M = = cos ą = 38,3 kNm
y
4 4
F L
P L
z
M = - = - sin ą = -32,14 kNm
z
4 4
Maksymalne naprężenia normalne w przekroju bisymetrycznym są równe:
#"M #" #"M #"
y z
�max = +
W W
y z
�max < k .
Należy dobrać taki profil IPE, dla którego Mamy do dyspozycji tylko jedno
r
W i W . W /W =5,6�9,6
równanie z dwoma niewiadomymi Dla profili IPE stosunek .
y z y z
W = 7,6W
Na potrzeby obliczeń przyjmujemy .
y z
#"M #" #"M #" #"M #"+7,6#"M #"
y z y z
�max = + < kr �! W > = 165,24 cm3
z
7,6W W 7,6 kr
z z
Najmniejszym profilem IPE o W >165,24 cm3 jest IPE 450.
z
IPE450
W = 1499,69 cm3
y
IPE450
W = 176,41 cm3
z
#"M #" #"M #"
y z
�max = + = 207,73 MPa
SPRAWDZENIE: Naprężenia maksymalne:
W W
y z
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 8
Dana jest belka obciążona jak na rysunku. Belka
wykonana jest z kątownika równoramiennego
L 120�120�10 ułożonego w ten sposób, że jedno
z jego ramion leży w płaszczyz
nie obciążenia, drugie
zaś jest do niej prostopadłe. Wyznaczyć rozkład
naprężeń w przekroju występowania maksymalnego
momentu zginającego.
Na początku trzeba zlokalizować przekrój występowania największego momentu
zginającego.
Reakcje podporowe:
Ł X = H = 0
A
Ł M = -0,3�"4�"2+6�"V = 0 �! V = 0,4
A B B
ŁY = V -0,3�"4+V = 0 �! V = 0,8
A B B
Rozkład sił poprzecznych i momentów zginających:
AB: x"(0 ; 4) BC : x"(4 ; 6)
Q( x) = 0,8-0,3�"x
Q(x) = -0,4
x
{
M (x) = 0,8 x-0,3�"x�"
M (x) = 0,4�"(6-x)
{
2
Na przedziale AB może występować lokalne ekstremum rozkładu momentów zginających
pod obciążeniem ciągłym:
8H"2,667 " AB �! M = M 8 16H"1,067 [kNm]
QAB = 0 �! x = =
max
( )
3 3 15
Osie równoległe do ramion kątownika nie są jego głównymi osiami bezwładności  wektor
momentu jest równoległy do ramion kątownika, jest to zatem przypadek zginania ukośnego.
Konieczny jest rozkład obciążenia na kierunku osi głównych, wyznaczenie momentów
bezwładności względem tych osi oraz wyznaczenie współrzędnych punktów skrajnych w
układzie osi głównych.
Rozkład momentu zginającego:
M = M �"cosĆ + M �"sin Ć
y Y Z
M = M �"cosĆ - M �"sin Ć
z Z Y
Zmiana współrzędnych punktu przy obrocie układu współrzędnych:
y = Y�"cos Ć + Z�"sin Ć
z = Z�"cosĆ - Y�"sin Ć
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
Dla kątownika równoramiennego w orientacji jak na rysunku mamy Ć = 45".
Charakterystyki geometryczne L 120�120�10 :
I = I = 497 cm4 a = 12 cm
y max
I = I = 129 cm4 e = 3,31 cm
z min
Rozkład momentów zginających:
M = M M = M �"cos Ć = 754,2 Nm
Y max y max
�!
M = 0 M =-M �"sin Ć =-754,2 Nm
Z z max
Współrzędne punktów skrajnych w układzie centralnym YZ:
A (a-e ; -e) = (8,69 ; -3,31)
(-e
) [cm]
B ; a-e = (-3,31 ; 8,69)
C (-e ; -e) = (-3,31 ; -3,31)
Współrzędne punktów skrajnych w układzie głównym centralnym yz:
A Y �"cos Ć + Z �"sin Ć ; Z �"cosĆ - Y �"sin Ć = (3,80 ; -8,49)
( )
A A A A
B Y �"cos Ć + Z �"sin Ć ; Z �"cos Ć - Y �"sin Ć = (3,80 ; 8,49)
[cm]
( )
B B B B
A Y �"cos Ć + Z �"sin Ć ; Z �"cosĆ - Y �"sin Ć = (-4,68 ; 0)
( )
A A A A
M M
y z
Naprężenia w punktach skrajnych: �( y , z) = �"z - �"y
I I
y z
�A = � ( yA , zA) = 9,36 MPa
�B = � ( yB , zB) = 35,12 MPa
�C = �( yC , zC) = -27,37 MPa
M I
z y
Równanie osi obojętnej: z = �"y �! z=-3,853 y
M I
y z
M I
z y
Kąt nachylenia osi obojętnej: ł = arctg = -75,45"
M I
y z
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 9
Dobrać maksymalną wartość parametru obciążenia
q żeliwnego wspornika długości L = 1,5 m o
przekroju trójkątnym jak na rysunku. Dla żeliwa
przyjąć:
k = 130 MPa
wytrzymałość na rozciąganie:
r
k = 180 MPa
wytrzymałość na ściskanie :
c
Charakterystyki geometryczne przekroju: b = 5 cm h = 15 cm
1
Y 'C =- b = -1,666 cm
Położenie środka ciężkości:
3
1
Z 'C = h = 5 cm
3
Główne centralne momenty bezwładności:
bh
I = I = [b2+h2+ h4-h2 b2+b4] = 482,917 cm4
"
y max
72
bh
I = I = [b2+h2-"
h4-h2 b2+b4] = 37,917 cm4
z min
72
h2-b2-"
h4-b2 h2+b4 = -10,278�%
Ć = arctg
bh
Współrzędne wierzchołków trójkąta przekroju w układzie centralnym YZ:
A (1,666 ; -5) B (1,666 ; 10) C (-3,333 ; -5) [cm]
Współrzędne wierzchołków trójkąta przekroju w układzie głównym centralnym yz:
A Y cosĆ+Z sin Ć ; Z cosĆ-Y sin Ć = (2,531 ; -4,623) [cm]
( )
A A A A
B Y cosĆ+Z sin Ć ; Z cos Ć-Y sin Ć = (-0,145 ; 10,137) [cm ]
( )
B B B B
C Y cosĆ+ZC sin Ć ; Z cos Ć-Y sin Ć = (-2,387 ; -5,514) [cm]
( )
C C C
Maksymalny moment zginający belkę (w przekroju utwierdzenia)
q L2
M = - = -1,125q
max
2
Rozkład momentu zginającego:
M = M �"cos Ć = -1,107 q M = -M �"sin Ć = -0,201 q
y max z max
M M
y z
Rozkład naprężeń normalnych: �( y , z) = �"z - �"y
I I
y z
M M
y z
Równanie osi obojętnej: �( y , z) = �"z - �"y = 0
I I
y z
M I
z y
z = �"y �! z = 2,313 y
M I
y z
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
Ekstremalne naprężenia pojawiają się w punktach skrajnych przekroju. Wartości naprężeń
w narożach (wartości wszystkich parametrów podstawiamy w jednostkach układu SI):
�A = 24014,356 q
�B = -24005,894 q
�C = -13,763 q
Maksymalną wartość parametru obciążenia q wyznaczamy przyrównując ekstremalne
naprężenia do wartości granicznych:
Największe naprężenie rozciągające (punkt A):
130�"106
#"�A#"}* k �! q}* = 5,413,429 [ N/m]
r
24014,356
Największe naprężenie ściskające (punkt B):
180�"106 = 7498,159 [N/m]
#"�B#"}* kc �! q}*
24005,894
Przyjmując obciążenie q = 5,4 kN/ m :
M = -6,075 kNm
max
M = -5,978 kNm
y
M = -1,085 kNm
z
�A = 129,678 MPa
�B = -129,632 MPa
�C = -0,074 MPa
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
ZADANIE 10
Sprawdzić, jak zmieniłaby się wartość maksymalnego naprężenia normalnego we
wzmocnionym profilu zginanym z zadania nr 5, gdyby zamiast dwóch nakładek o grubości
t=8mm przyspawanych po obu stronach C200, zastosować tylko jedną o dwukrotnie
większej grubości.
Po dołączeniu do profilu C200 nakładki tylko z jednej strony (np. do górnej półki) przekrój
staje się niesymetryczny  zmienia ulegają nie tylko wartości charakterystyk
geometrycznych, ale również orientacja głównych centralnych osi bezwładności. W takiej
sytuacji wektor momentu zginającego nie jest już równoległy do którejś z takich osi i
zagadnienie zginania prostego przechodzi w zginanie ukośne.
Charakterystyki geometryczne profilów składowych:
C200: Nakładka:
AC200 = 32,2 cm2 t=16 mm
b = 7,5cm
I = 1910 cm4
y ,C200
I = 148 cm2
z ,C200
Dyz , C200=0
h=20 cm
b = 7,5 cm
f
e = 2,01 cm
Charakterystyki geometryczne przekroju wzmocnionego:
Pole powierzchni:
[ ] [ ]
A = 32,2 + 1,6�"7,5 = 44,2 [cm2]
Momenty statyczne względem pomocniczych osi Y'Z':
[ ]
SY '= 32,2�"10 +[1,6�"7,5�"(-0,8)] = 312,4 [cm3]
S =[32,2�"(-2,01)]+[1,6�"7,5�"(-3,75)] = -109,722 [cm3]
Z '
Położenie środka ciężkości:
S SY '
Z '
Y 'C = = -2,482 [cm ], Z 'C = = 7,068 [cm ]
A A
Centralne momenty bezwładności i moment dewiacji:
1,63�"7,5
IY = [1910+32,2�"(10-7,068)2]+ +1,6�"7,5�"(-0,8-7,068)2 = 2932,236 [cm4]
[ ]
12
1,6�"7,53
I = [148+32,2�"(-2,01+2,482)2]+ +1,6�"7,5�"(-3,75+2,482)2 = 230,718 [cm4]
Z
[ ]
12
( )(-2,01+2,482 ]+[0+1,6�"7,5�"-0,8-7,068
) ( )(-3,75+2,482 ]=164,281 [cm4]
)
DYZ=[0+32,2�" 10-7,068
Główne centralne momenty bezwładności:
2
IY+ I I -I
Z Y Z
I = I = + + D2 = 2942,190 [cm4]
max y YZ
( )
2 2
"
2
IY +I IY-I
Z Z
I = I = - + D2 = 220,764 [cm4]
min z YZ
( )
2 2
"
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
10  Zginanie - ZADANIA
DYZ
Ć = arctg = -3,467"
I - Imax
Z
Rozkład maksymalnego momentu zginającego
(wg zadania 5) w osiach głównych:
M = 60 kNm
max
M = M �"cos Ć = 59,890 kNm
y max
M = -M �"sin Ć = 3,628 kNm
z max
Maksymalne naprężenia występować będą w punktach położonych
najdalej od osi obojętnej. Sprawdzamy wartości naprężeń w
wybranych skrajnych punktach przekroju:
Współrzędne punktów skrajnych w układzie centralnym YZ:
A (2,482 ; -8,668) , B (2,482 ; 12,932) , C (-5,018 ; 12,932) , D(-5,018 ; -8,668)
Współrzędne punktów skrajnych w układzie głównym centralnym yz:
A Y Ć+Z sin Ć ; Z cosĆ-Y sin Ć = (3,002 ; -8,502)
( )
A A A A
B Y Ć+Z sin Ć ; Z cosĆ-Y sin Ć = (1,695 ; 13,058)
( )
B B B B
C Y Ć+Z sin Ć ; Z cosĆ-Y sin Ć = (-5,791 ; 12,605)
( )
C C C C
D Y Ć+Z sin Ć ; Z cos Ć-Y sin Ć = (-4,485 ; -8,956)
( )
D D D D
M M
y z
Naprężenia w punktach skrajnych: �( y , z) = �"z - �"y
I I
y z
�A = -222,393 MPa
�B = 237,950 MPa
�C = 351,746 MPa
�D = -108,597 MPa
Przekrój musiał być wzmocniony, ponieważ maksymalne naprężenia w niewzmocnionym
profilu C200 w przekroju występowania maksymalnego momentu zginającego wyniosłyby:
M
max
�max = = 314,136 MPa ,
W
C200
f = 215 MPa
co znacznie przekracza dopuszczalną wartość (patrz: zadanie 5). Zastoso-
d
wanie symetrycznie ułożonych nakładek grubości 8 mm, pozwoliło zredukować naprężenia
do poziomu 201,96 MPa. Zastosowanie pojedynczej nakładki grubości 16 mm w
rzeczywistości doprowadziło do osłabienia przekroju  zastosowanie grubej blachy z jednej
tylko strony, przesunęło środek ciężkości przekroju w jej stronę, co doprowadziło, do
znacznego oddalenia włókien skrajnych od osi obojętnej. Zwiększenie bezwładności
przekroju okazało się względnie mniejsze niż oddalenie tych włókien, co spowodowało, że
naprężenia w przekroju  wzmocnionym uległy nawet powiększeniu w stosunku do
przekroju niewzmocnionego o blisko 12%.