ÿþm g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
1 0 . 1 Z g i n a n i e c z y s t e i z g i n a n i e p r o s t e
P o d s t a w d l a o p i s u z g i n a n i a p r t ó w b d z i e r o z w i z a n i e n a s t p u j c e g o z a g a d n i e n i a :
" E L E M E N T I M A T E R I A A:
ª% D a n y j e s t n i e w a |k i , p r y z m a t y c z n y p r t p r o s t y o d Bu g o [c i L .
ª% P r t w y k o n a n y j e s t z j e d n o r o d n e g o , i z o t r o p o w e g o m a t e r i a Bu l i n i o w o
s p r |y s t e g o ( m a t e r i a Bu H o o k e ' a ) .
" O B C I {E N I E :
ª% P r t o b c i |o n y j e s t n a o b y d w u [c i a n k a c h p o p r z e c z n y c h ( w p r z e k r o j a c h
x = L i x = 0 ) o b c i |e n i e m c i g By m l i n i o w o z m i e n n y m w z d Bu | o s i z
l o k a l n e g o u k Ba d u g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h o s i b e z w Ba d n o [c i , n o r m a l n y m
( p r o s t o p a d By m ) d o t y c h [c i a n e k , r e d u k u j c y m s i d o p a r l e |c y c h w
p Ba s z c z y zn i e ( x z ) ( z e r o w a s u m a u k Ba d u o r a z w e k t o r m o m e n t u r ó w n o l e g By
d o o s i y ) .
- [c i a n k a p o c z t k o w a :
½= [ - 1 ; 0 ; 0 ] T q ( 0 , y , z ) = [ - q z ; 0 ; 0 ] T
- [c i a n k a k o Dc o w a :
½= [ 1 ; 0 ; 0 ] T q ( L , y , z ) = [ q z ; 0 ; 0 ] T
ª% P r t j e s t n i e o b c i |o n y n a s w o j e j p o w i e r z c h n i b o c z n e j .
½= [ 0 ; ½y ; ½z ] T
q = [ 0 ; 0 ; 0 ] T
" P O D P A R C I E :
x = 0
ª% Zr o d e k c i |k o [c i [c i a n k i p o p r z e c z n e j p r t a w p r z e k r o j u , t j . p u n k t
O ( 0 ; 0 ; 0 ) j e s t u t w i e r d z o n y , t j . n i e m o |e d o z n a |a d n y c h p r z e m i e s z c z e D i
|a d n y c h o b r o t ó w .
- b r a k p r z e m i e s z c z e n i a : u ( 0 , 0 , 0 ) = [ u ; u ; u z ] T = [ 0 ; 0 ; 0 ] T
x y
" u z " u z " u y
- b r a k o b r o t u w o k ó B o s i x , y , z : = 0 = 0 = 0
#" #" #"
" y " x " x
O O O
x = 0
ª% P o z o s t a Be p u n k t y p r z e k r o j u p o d p a r t e s w t e n s p o s ó b , |e n i e m o g
d o z n a w a p r z e m i e s z c z e D n a k i e r u n k u o s i p r t a , a l e m o g s w o b o d n i e
p r z e m i e s z c z a s i w p Ba s z c z y zn i e t e g o p r z e k r o j u
u ( 0 , y , z ) = 0
x
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 1
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
Z a g a d n i e n i e p o w y |s z e n a z y w a m y z a g a d n i e n i e m c z y s t e g o z g i n a n i a . R o z w i z a n i e t e g o
z a g a d n i e n i a , n a m o c y z a s a d y S a i n t - V e n a n t a , b d z i e m o g Bo r ó w n i e | p o s Bu |y d o o p i s u
i n n y c h p r z y p a d k ó w , w k t ó r y c h o b c i |e n i e z e w n t r z n e r e d u k u j e s i d o d w ó c h p a r
z g i n a j c y c h , p r z y Bo |o n y c h d o [c i a n e k p o p r z e c z n y c h p r t a .
Z a d a n i e r o z w i z u j e s i t z w . m e t o d p ó Bo d w r o t n , p o d e j [c i e m s t a t y c z n y m .
R o z w i z a n i e t o m a n a s t p u j c y s c h e m a t :
1 . P r z y p u [c i r o z k Ba d n a p r |e D w p r c i e , s p e Bn i a j c y r ó w n a n i a r ó w n o w a g i N a v i e r a ,
s t a t y c z n e ( o b c i |e n i o w e ) w a r u n k i b r z e g o w e i r ó w n o w a |n y w k a |d y m p r z e k r o j u
u k Ba d o w i s i B z e w n t r z n y c h p r z y Bo |o n y c h d o m y [l o w o o d c i t e j c z [c i c i a Ba .
2 . D l a z a Bo |o n y c h n a p r |e D w y z n a c z y o d k s z t a Bc e n i a n a p o d s t a w i e r ó w n a D
u o g ó l n i o n e g o p r a w a H o o k e ' a .
3 . S p r a w d z i c z y w y z n a c z o n e o d k s z t a Bc e n i a s p e Bn i a j w a r u n k i n i e r o z d z i e l n o [c i .
4 . D l a o b l i c z o n y c h o d k s z t a Bc e D w y z n a c z y p r z e m i e s z c z e n i a n a p o d s t a w i e r ó w n a D
g e o m e t r y c z n y c h C a u c h y ' e g o .
5 . S p r a w d z i c z y w y z n a c z o n e p r z e m i e s z c z e n i a s p e Bn i a j k i n e m a t y c z n e ( p o d p o r o w e )
w a r u n k i b r z e g o w e .
J e |e l i p r z y p u s z c z o n e r o z w i z a n i e s p e Bn i a b d z i e w s z y s t k i e r ó w n a n i a i w a r u n k i , t o
p o n i e w a | d o w o d z i s i j e d n o z n a c z n o [c i r o z w i z a D z a g a d n i e D l i n i o w e j t e o r i i s p r |y s t o [c i
b d z i e o n o w Ba [n i e t y m j e d y n y m , p o s z u k i w a n y m r o z w i z a n i e m .
1 . P r z y p u s z c z e n i e r o z k Ba d u n a p r |e D
U z a s a d n i o n e w y d a j e s i p r z y p u s z c z e n i e , |e c i g l e r o z Bo |o n e o b c i |e n i e l i n i o w o z m i e n n e ,
b d c e w i s t o c i e g s t o [c i s i B n a j e d n o s t k p o w i e r z c h n i ( o w y m i a r z e P a ) , p o w o d o w a
b d z i e w e w n t r z p r t a a n a l o g i c z n y r o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h n a k i e r u n k u o s i p r t a .
B r a k o b c i |e n i a p o p r z e c z n e g o i s w o b o d a d e f o r m a c j i w k i e r u n k a c h p o p r z e c z n y c h d o o s i
p r t a s u g e r u j e , |e p o z o s t a Be s k Ba d o w e t e n s o r a n a p r |e n i a b d r ó w n e 0 . P r z y j m u j e m y
z a t e m :
à Éàx y Éàx z q z 0 0
x x
à = =
Ãy y Éày z 0 0
[ ]
[ ]
s y m Ãz z s y m 0
S p r a w d z i n a l e |y c z y t a k i r o z k Ba d n a p r |e D s p e Bn i a s t a t y c z n e ( o b c i |e n i o w e ) w a r u n k i
b r z e g o w e ÃÅ"½ = q .
D l a [c i a n e k p o p r z e c z n y c h - p o c z t k o w e j ( w z o r y z e z n a k i e m - ) i k o Dc o w e j ( + ) :
" w e k t o r o b c i |e n i a q = [ ± q ; 0 ; 0 ] T
" n o r m a l n a z e w n t r z n a ½ = [ ± 1 ; 0 ; 0 ] T
q z 0 0 ± 1 ± q z
ÃÅ"½ = Å" = = q
0 0 0 0
[ ] [ ] [ ]
s y m 0 0 0
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m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
D l a p o b o c z n i c y :
" w e k t o r o b c i |e n i a q = [ 0 ; 0 ; 0 ] T
" n o r m a l n a z e w n t r z n a ½ = [ 0 ; ½y ; ½z ] T
0
q z 0 0 0
ÃÅ"½ = Å" ½y = = q
0 0 0
[ ] [ ]
[ ]
s y m 0 0
½z
W i d a z a t e m , |e z a Bo |o n y r o z k Ba d n a p r |e D s p e Bn i a w s z y s t k i e s t a t y c z n e w a r u n k i
b r z e g o w e . Aa t w o s p r a w d z i r ó w n i e |, |e s p e Bn i o n e s r ó w n a n i a r ó w n o w a g i N a v i e r a :
" Ãx x "Ã "Ã
x y x z
+ + = 0
" x " y " z
"Ã "Ã " Ãy z
y x y y
+ + = 0
" x " y " z
" Ãz x " Ãz y "Ãz z
{
+ + = 0
" x " y " z
Ãx x , Éàx y , Éàx z
P o n i e w a | n a p r |e n i a o p i s a n e s t y m i s a m y m i f u n k c j a m i c o s k Ba d o w e
q x , q y , q z
o b c i |e n i a , s t d o c z y w i s t a j e s t r ó w n o w a |n o [ u k Ba d u s i B p r z e k r o j o w y c h w
d o w o l n y m p r z e k r o j u p r t a z u k Ba d e m s i B z e w n t r z n y c h p r z y Bo |o n y c h d o j e g o o d c i t e j
c z [c i .
F ( W ) = Ãx x d A = q x d A = F ( Z ) M ( W ) = ( Éàx z y - Éàx y z ) d A = ( q z y - q y z ) d A = M ( Z )
," ," ," ,"
x 1 x 2 x 1 x 2
A A
A A
F ( W ) = Éàx y d A = q y d A = F ( Z ) M ( W ) = Ãx x z d A = q x z d A = M ( Z 2 )
," ," ," ,"
y 1 y 2 y 1 y
A A A A
F ( W ) = Éàx z d A = q d A = F ( Z ) M ( W ) = ( - Ãx x y ) d A = ( - q x y ) d A = M ( Z )
," ," ," ,"
z 1 z z 2 z 1 z 2
A A A A
P o k a |e m y , |e d a n e o b c i |e n i e r e d u k u j e s i d o p a r y z g i n a j c e j w p Ba s z c z y zn i e ( x z ) :
F = d A = q z d A = q z d A = 0
,"q ," ,"
x x
A A A
ß#
S = 0
y
F = d A = d A = 0
,"q ,"0
y y
A A
F = d A = d A = 0
,"q ,"0
z z
A A
M = y - q y z ) d A =
,"( q ,"0 d A = 0
x z
A A
M = z d A = z 2 d A = q z 2 d A = q I
,"q ,"q ,"
y x y
A A A
ß#
I
y
M = q z y d A = q z y d A = 0
,"( - q y ) d A = - ," ,"
z x
A A A
ß#
D y z = 0
W p o w y |s z y c h o b l i c z e n i a c h s k o r z y s t a l i [m y z f a k t u , |e r o z p a t r y w a n y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h
j e s t u k Ba d e m g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h o s i b e z w Ba d n o [c i , w k t ó r y m z a r ó w n o m o m e n t y
s t a t y c z n e , j a k i m o m e n t d e w i a c j i s r ó w n e 0 .
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 3
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
2 . W y z n a c z e n i e o d k s z t a Bc e D
N a p o d s t a w i e r ó w n a D f i z y c z n y c h p r a w a H o o k e ' a w y z n a c z a m y o d k s z t a Bc e n i a :
Éày z
1
µx x = ( 1 + ½) Ãx x - ½( Ãx x + Ã + Ã ) µy z =
[ ]
y y z z
E 2 G
Éàz x
1
µy y = ( 1 + ½) Ãy y - ½( Ãx x + Ãy y + Ãz z ) µz x =
[ ]
E 2 G
Éàx y
1
µz z = ( 1 + ½) Ãz z - ½( Ãx x + Ã + Ãz z ) µx y =
[ ]
y y
E 2 G
q ½q Å"z µz z = - ½q Å"z
µx x = z µy y = -
E E E
µy z = 0 µz x = 0 µx y = 0
3 . S p r a w d z e n i e w a r u n k ó w n i e r o z d z i e l n o [c i
W a r u n k i n i e r o z d z i e l n o [c i :
"2 µy y "2 µz z "2 µy z "µy z "µz x "µx y "2 µx x
"
+ = 2 , - + + =
( )
" x " x " y " z " y " z
" z 2 " y 2 " y " z
"2 µz z "2 µx x "2 µz x " µy z "µz x "µx y "2 µy y
"
+ = 2 , - + =
( )
" y " x " y " z " z " x
" x 2 " z 2 " z " x
"2 µx x "2 µy y "2 µx y "µy z "µz x "µx y "2 µz z
"
+ = 2 , + - =
( )
" z " x " y " z " x " y
" y 2 " x 2 " x " y
P o n i e w a | o d k s z t a Bc e n i a m a j l i n i o w y r o z k Ba d w p r z e s t r z e n i , a w r ó w n a n i a c h
n i e r o z d z i e l n o [c i w y s t p u j j e d y n i e d r u g i e p o c h o d n e o d k s z t a Bc e D, s t d r ó w n a n i a p o w y |s z e
s p e Bn i o n e s w s p o s ó b t o |s a m o [c i o w y .
4 . W y z n a c z e n i e p r z e m i e s z c z e D
S k Ba d o w e w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a s r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D g e o m e t r y c z n y c h
C a u c h y ' e g o :
" u x " u " u z
y
= µx x = µy y = µz z
" x " y " z
" u "u z " u "u x " u x " u y
1 1 1
y z
+ = µ + = µz x + = µx y
{
y z
( ) ( ) ( )
2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x
R o z w i z a n i e p o w y |s z e g o n i e j e d n o r o d n e g o u k Ba d u l i n i o w y c h , c z s t k o w y c h r ó w n a D
r ó |n i c z k o w y c h p i e r w s z e g o r z d u b d z i e s u m r o z w i z a n i a o g ó l n e g o u k Ba d u j e d n o r o d n e g o
( z z e r o w y m i p r a w y m i s t r o n a m i ) o r a z d o w o l n e g o s z c z e g ó l n e g o r o z w i z a n i a u k Ba d u
n i e j e d n o r o d n e g o . W y z n a c z y m y j e k o l e j n o .
R o z w i z a n i e o g ó l n e u k Ba d u j e d n o r o d n e g o :
R o z w i z a n i e t o j e s t n a j o g ó l n i e j s z y m p r z e m i e s z c z e n i e m c i a Ba n i e o d k s z t a Bc o n e g o , t j . b r y By
s z t y w n e j w o g ó l n o [c i j e s t t o z Bo |e n i e t r a n s l a c j i i o b r o t u w o k ó B c h w i l o w e g o [r o d k a o b r o t u .
F u n k c j t w y z n a c z a m y w i d e n t y c z n y s p o s ó b , j a k w p r z y p a d k u r o z w i z a n i a z a g a d n i e n i a
c z y s t e g o r o z c i g a n i a :
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 4
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
u ( x , y , z ) = a - d y + e z
x , o g
u ( x , y , z ) = b - f z + d x
y , o g
{
u ( x , y , z ) = c - e x + f y
z , o g
R o z w i z a n i e s z c z e g ó l n e u k Ba d u n i e j e d n o r o d n e g o :
P o s z u k u j e m y o g ó l n e g o r o z w i z a n i a u k Ba d u r ó w n a D:
" u x q " u y ½q " u z ½ q
= Å"z = - Å"z = - Å"z
" x E " y E " z E
"u y "u z " u z " u " u " u
1 1 1
x x y
+ = 0 + = 0 + = 0
{
( ) ( ) ( )
2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x
R o z w i z a n i e p o w y |s z e g o u k Ba d u r ó w n a D z n a l e z c a Bk u j c p i e r w s z e t r z y r ó w n a n i a
c a Bk u j c p a m i t a m u s i m y , |e w o g ó l n o [c i k a |d a z p o s z u k i w a n y c h f u n k c j i z a l e |y o d
w s z y s t k i c h t r z e c h z m i e n n y c h n i e z a l e |n y c h . S t a Ba c a Bk o w a n i a j e s t m o |e b y z a t e m f u n k c j
z a l e |n o d w s z y s t k i c h z m i e n n y c h n i e z a l e |n y c h r ó |n y c h o d t e j , w z g l d e m k t ó r e j c a Bk u j e m y :
q ½q ½q
u = z x + Æ( y , z ) u = - z y + È( z , x ) u z , s z = - z 2 + Ñ( x , y )
x , s z y , s z
E E 2 E
N i e z n a n e f u n k c j e Æ , È , Ñ w y z n a c z y m y n a p o d s t a w i e p o z o s t a By c h r ó w n a D d l a o d k s z t a Bc e D
p o s t a c i o w y c h :
" È "Æ "Æ " È
½ q " Ñ q "Ñ
- y + + = 0 x + + = 0 + = 0
E " z " y E " z " x " y " x
P o n i e w a | r o z w i z a n i e s z c z e g ó l n e m o |n a p r z y j d o w o l n i e , s t d m o |n a z a Bo |y :
Æ( y , z ) a" 0 , È( z , x ) a" 0
O s t a t n i e r ó w n a n i e j e s t s p e Bn i o n e t o |s a m o [c i o w o . Z p o z o s t a By c h d w ó c h m o |e m y n a p i s a :
" Ñ ½ q ½ q
= y Ò! Ñ( x , y ) = y 2 + ¶ ( x )
" y E 2 E
"Ñ q " ¶ q q q
= - x Ò! = - x Ò! ¶( x ) = - x 2 Ò! Ñ( x ) = ( ½ y 2 - x 2 )
" x E " x E 2 E 2 E
S t d :
q ½q q
u = z x u = - z y u z , s z = ( ½ y 2 - ½ z 2 - x 2 )
x , s z y , s z
E E 2 E
R o z k Ba d p r z e m i e s z c z e D, b d c y r o z w i z a n i e m n i e j e d n o r o d n e g o u k Ba d u r ó w n a D C a u c h y ' e g o
j e s t z a t e m d a n y f u n k c j a m i :
q
u x = u x , o g + u x , s z = a - d y + e z + z x
E
½ q
u y = u y , o g + u y , s z = b - f z + d x - z y
E
q
{
( )
u z = u z , o g + u z , s z = c - e x + f y + ½ y 2 - ½ z 2 - x 2
2 E
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 5
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
5 . S p r a w d z e n i e w a r u n k ó w p o d p o r o w y c h
u ( 0 , 0 , 0 ) = a = 0
x
W a r u n e k b r a k u p r z e m i e s z c z e D p u n k t u O ( 0 , 0 , 0 ) d a j e : u ( 0 , 0 , 0 ) = b = 0
y
{
u ( 0 , 0 , 0 ) = c = 0
z
W a r u n e k b r a k u o b r o t ó w w o k ó B o s i y i z w p u n k c i e O ( 0 , 0 , 0 ) d a j e :
"u z " u y " u z
= f = 0 = d = 0 = - e = 0
#" #" #"
" y " x " x
( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 )
W o b e c p o w y |s z y c h z a l e |n o [c i , s p e Bn i o n y j e s t t a k |e w a r u n e k b r a k u p r z e m i e s z c z e D n a
k i e r u n k u o s i x w p r z e k r o j u x = 0 . O s t a t e c z n i e w i c r o z k Ba d p r z e m i e s z c z e D d a n y j e s t
f u n k c j a m i :
q ½ q q
( )
u = z x u y = - z y u = ½ y 2 - ½ z 2 - x 2
x z
E E 2 E
P r z y j t e r o z w i z a n i e s p e Bn i a w s z y s t k i e r ó w n a n i a i w a r u n k i b r z e g o w e , j e s t z a t e m [c i s By m
r o z w i z a n i e m z a g a d n i e n i a c z y s t e g o r o z c i g a n i a .
Z g o d n i e z z a s a d S a i n t - V e n a n t a , r o z w i z a n i e z a g a d n i e n i a z g i n a n i a c z y s t e g o m o |n a
z a s t o s o w a z d o b r y m p r z y b l i |e n i e m d l a j a k i e g o k o l w i e k p r z y p a d k u , w k t ó r y m p r t
o b c i |o n y j e s t n a [c i a n k a c h p o p r z e c z n y c h u k Ba d e m s i B r e d u k u j c y m s i w i c h [r o d k u
c i |k o [c i d o p a r y z g i n a j c e j . T a k i e z a g a d n i e n i a n a z y w a m y z g i n a n i e m p r o s t y m .
P o n a d t o , p o w s z e c h n i e , z d o b r d o k Ba d n o [c i , s t o s u j e s i p o w y |s z e r o z w i z a n i e r ó w n i e | d l a
p r t ó w o p r z e k r o j u i o b c i |e n i u r o z c i g a j c y m z m i e n n y m n a d Bu g o [c i . N a l e |y p r z y t y m
m i e j e d n a k [w i a d o m o [, |e s t o s o w a n e r o z w i z a n i e m a w t a k i m p r z y p a d k u j e d y n i e
c h a r a k t e r p r z y b l i |o n y s z c z e g ó l n i e d o t y c z y t o o b s z a r ó w b l i s k i c h s k o k o w e j z m i a n y
g e o m e t r i i l u b o b c i |e n i a , w k t ó r y c h z r e g u By w y s t p u j e k o n c e n t r a c j a n a p r |e D.
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 6
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
P O D S U M O W A N I E R O Z W I Z A N I A :
W y k o r z y s t u j c z a l e |n o [ m i d z y m o m e n t e m z g i n a j c y m a n a p r |e n i e m n o r m a l n y m ,
p r z e m i e s z c z e n i e , o d k s z t a Bc e n i e i n a p r |e n i e m o |n a w y r a z i w n a s t p u j c y s p o s ó b :
T e n s o r n a p r |e n i a : T e n s o r o d k s z t a Bc e n i a :
1
à 0 0
à 0 0 E
M
N
y
½
Ã= Ã= Å"z = [ M P a ] µ= - Ã 0
0 0
E
[ ]
I
m 2
[ ]
z
½
s y m 0
[ ]
s y m - Ã
E
g d z i e :
E m o d u B Y o u n g a ( m o d u B s z t y w n o [c i p o d Bu |n e j ) [ P a ]
½ w s p ó Bc z y n n i k P o i s s o n a [ - ]
I m o m e n t b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o p r t a [ m 4 ]
y
R o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h w k a |d y m p r z e k r o j u z m i e n i a s i l i n i o w o k o Dc ó w k i
w e k t o r ó w n a p r |e n i a w k a |d y m p u n k c i e p r z e k r o j u t w o r z p Ba s z c z y z n n a c h y l o n d o
p Ba s z c z y z n y p r z e k r o j u i p r z e c i n a j c j w z d Bu | o s i y . M ó w i s i t a k |e o b r y l e n a p r |e D
j e s t t o b r y Ba o g r a n i c z o n a p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u , p o b o c z n i c p r t a o r a z p o w i e r z c h n i ,
k t ó r t w o r z k o Dc ó w k i w e k t o r ó w n a p r |e n i a
N a o s i y ( d l a k t ó r e j z = 0 ) n a p r |e n i a n o r m a l n e s r ó w n e 0 m i e j s c e g e o m e t r y c z n e
w s z y s t k i c h t a k i c h p u n k t ó w , w k t ó r y c h n a p r |e n i a s r ó w n e 0 n a z y w a m y o s i o b o j t n
j e s t t o l i n i a p r o s t a . N a p r |e n i a n o r m a l n e s t y m w i k s z e i m d a l e j d a n y p u n k t j e s t o d l e g By
o d o s i o b o j t n e j . O z n a c z a j c o d l e g Bo [ p u n k t u n a j b a r d z i e j o d d a l o n e g o o d o s i o b o j t n e j
z m a x
p r z e z m o |e m y n a p i s a :
M M I
y y y
Ãm a x = Ã( z = z m a x ) = Å"z m a x = g d z i e W =
y
I W z m a x
y y
W
P a r a m e t r n a z y w a m y w s k a zn i k i e m w y t r z y m a Bo [c i n a z g i n a n i e i d l a z a d a n e j
y
p Ba s z c z y z n y z g i n a n i a j e s t c h a r a k t e r y s t y k g e o m e t r y c z n p r z e k r o j u . D l a p r z e k r o j ó w
n i e s y m e t r y c z n y c h o d l e g Bo [ o d s k r a j n y c h w Bó k i e n d o l n y c h i g ó r n y c h , w k t ó r y c h w y s t p u j
e k s t r e m a l n e n a p r |e n i a r o z c i g a j c e i [c i s k a j c e ( l u b n a o d w r ó t ) , m o |e b y r ó |n a . D l a
p r t a o b c i |o n e g o d o d a t n i m m o m e n t e m z g i n a j c y m , z o r i e n t o w a n y m w t e n s p o s ó b , |e o [ z
z o r i e n t o w a n a j e s t w d ó B ( c o j e s t p o w s z e c h n i e s t o s o w a n p r a k t y k ) e k s t r e m a l n e n a p r |e n i a
s r ó w n e :
M M
y y
Ãd = Å"z d Ãg = Å"z g
I I
y y
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 7
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
Z A S A D A P AA S K I C H P R Z E K R O J Ó W B E R N O U L L I E G O
T r z e b a r ó w n i e | z w r ó c i u w a g n a w a |n c e c h u z y s k a n e g o r o z w i z a n i a . R o z p a t r z m y
d o w o l n y p Ba s k i p r z e k r ó j p o p r z e c z n y , p r o s t o p a d By d o o s i p r t a x . P r z y j m i j m y , |e o d p o w i a d a
x o = c o n s t .
o n w s p ó Br z d n e j
U G I C I E O S I B E L K I
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m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
1 0 . 2 Z g i n a n i e u k o [n e
Z g i n a n i e m u k o [n y m n a z y w a m y p r z y p a d e k o b c i |e n i a , w k t ó r y m
w e k t o r m o m e n t u z g i n a j c e g o n i e j e s t r ó w n o l e g By d o |a d n e j z
g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h o s i b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u p r t a , j a k b y Bo t o
w p r z y p a d k u z g i n a n i a c z y s t e g o . W e k t o r t e n m o |e m y j e d n a k r o z Bo |y n a
s k Ba d o w e r ó w n o l e g Be d o t y c h o s i j e [l i w e k t o r m o m e n t u t w o r z y z o s i y
k t ² ( o r i e n t a c j a j a k n a r y s u n k u ! ) w t e d y :
M
M = M c o s ²
z
y
t g ² =
M = M s i n ²
M
z y
Z g o d n i e z z a s a d s u p e r p o z y c j i r o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h w t a k i m p r z y p a d k u m o |n a
z a p i s a w n a s t p u j c e j f o r m i e :
M M
y z
Ãx x ( y , z ) = Å"z - Å"y
I I
y z
W z ó r t e n o k r e [l a b r y B n a p r |e D p o w i e r z c h n i b r y By t e j j e d n o z n a c z n i e w y z n a c z a j
d o w o l n e t r z y n i e w s p ó Bl i n i o w e p u n k t y .
J e [l i s t o s u j e s i u k Ba d o s i z o r i e n t o w a n y i n a c z e j n i | t o p r z y j t o w t y m o p r a c o w a n i u , w t e d y
z n a k p r z y o d p o w i e d n i m s k Ba d n i k u w e w z o r z e o k r e [l a s i w t e n s p o s ó b , |e s p r a w d z a s i w
j a k i s p o s ó b w e k t o r m o m e n t u z o r i e n t o w a n y z g o d n i e z o d p o w i a d a j c m u o s i o d d z i a Bu j e n a
p i e r w s z w i a r t k u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h j e [l i r o z c i g a , w t e d y w e w z o r z e p r z y j m u j e s i
+ , j e [l i [c i s k a , p r z y j m u j e s i . P r z y k Ba d o w o :
M M
x y
Ã( x , y ) = Å"y - Å"x
I I
x y
D l a p r z y p a d k u z g i n a n i a u k o [n e g o , o [ o b o j t n a w u k Ba d z i e g Bó w n y c h c e n t r a l n y c h o s i
b e z w Ba d n o [c i o k r e [l o n a j e s t w z o r e m :
M I I
z y y
Ã( y , z ) = 0 Ò! z = Å" y = Å"t g ²Å" y
M I I
y z z
O [ o b o j t n a p r z e c h o d z i p r z e z p u n k t ( 0 , 0 ) i j e s t n a c h y l o n a
d o o s i y p o d k t e m ³
I M I
y z y
t g ³ = Å" = Å"t g ²
I M I
z y z
M i M I `"I
A z a t e m , j e [l i t y l k o s r ó |n e o d 0 o r a z , t o o [ o b o j t n a n i g d y n i e b d z i e
z y y z
p o k r y w a s i z k i e r u n k i e m w e k t o r a m o m e n t u . S y t u a c j a t a k a m o |e m i e m i e j s c e t y l k o d l a
p r z y p a d k ó w z g i n a n i a p r o s t e g o l u b d l a p r z e k r o j ó w , k t ó r e p o s i a d a j w i c e j n i | d w i e o s i e
s y m e t r i i ( k w a d r a t , k o Bo w i e l o k t y f o r e m n e i t p . ) .
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 9
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
1 0 . 3 Z g i n a n i e p o p r z e c z n e ( z g i n a n i e z e [c i n a n i e m )
D o t y c h c z a s r o z w a |a l i [m y t y l k o p r z y p a d k i , w k t ó r y c h u k Ba d s i B z e w n t r z n y c h r e d u k o w a B
s i j e d y n i e d o m o m e n t u z g i n a j c e g o . Z r e g u By j e d n a k z g i n a n i e p r t ó w o d b y w a s i w s k u t e k
d z i a Ba n i a s i B p o p r z e c z n y c h i c h o b e c n o [ p o w o d u j e w y s t p o w a n i e n a p r |e D s t y c z n y c h i
o d k s z t a Bc e D p o s t a c i o w y c h . I c h o b e c n o [ s p r a w i a , |e z a s a d a p Ba s k i c h p r z e k r o j ó w
B e r n o u l l i ' e g o n i e j e s t w t y m p r z y p a d k u s p e Bn i o n a p r z e k r ó j p o p r z e c z n y p o d
w p By w e m n a p r |e D s t y c z n y c h u l e g a d e p l a n a c j i . Zc i s Be r o z w i z a n i e t e g o z a g a d n i e n i a
j e s t w y j t k o w o t r u d n e s t o s u j e s i z a t e m r o z w i z a n i e p r z y b l i |o n e . P r z y j m o w a
b d z i e m y , |e p r z e m i e s z c z e n i a i r o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h s t a k i e s a m e j a k w
p r z y p a d k u z g i n a n i a c z y s t e g o , j e d n a k |e w t e n s o r z e n a p r |e n i a u w z g l d n i m y n a p r |e n i a
s t y c z n e .
N A P R {E N I A S T Y C Z N E
R o z w a |m y w y c i n e k p r t a o d Bu g o [c i ” x o b c i |o n y s i Ba m i p o p r z e c z n y m i . N a s t p n i e
d o k o n a j m y c i c i a p r z e z t e n w y c i n e k p Ba s z c z y z n p r o s t o p a d B d o o s i z , p r z e c i n a j c t o [ w
p e w n y m u s t a l o n y m p u n k c i e z . T a o d c i t a c z [ o b c i |o n a j e s t u k Ba d e m n a p r |e D s t o
Ãx x
n a p r |e n i a n o r m a l n e ( o k t ó r y c h z a k Ba d a m y , |e m a j r o z k Ba d l i n i o w y , t a k i j a k w
Äx z = Äz x
p r z y p a d k u z g i n a n i a c z y s t e g o ) o r a z n a p r |e n i a s t y c z n e b d c e w y n i k i e m
d z i a Ba n i a s i B p o p r z e c z n y c h . D l a u p r o s z c z e n i a p r z y j m i j m y , |e r o z k Ba d t y c h n a p r |e D n a
Ä
p o z i o m e j p o w i e r z c h n i c i c i a j e s t s t a By , r ó w n y p e w n e m u [r e d n i e m u n a p r |e n i u :
x z
Z a p i s z m y r ó w n a n i e r ó w n o w a g i s i B n a k i e r u n k u o s i x :
£ X = - Ã ( x ) d A - ” x Å"b ( z ) Å"x z + Ã ( x + ” x ) d A = 0
Ä
," ,"
A ( z ) A ( z )
W y k o r z y s t u j e m y z a l e |n o [c i o p i s u j c e r o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h p r z y z g i n a n i u :
M ( x ) M ( x + ” x )
- z d A - ” x Å"b ( z ) Å"Ä + z d A = 0
x z
," ,"
I I
A ( z ) x A ( z ) y
1
M ( x + ” x ) - M ( x ) Å" z d A - ” x Å"b ( z ) Å"x z = 0
Ä
[ ]
,"
I
y
A ( z )
ß#
S ( z )
y
D z i e l c o b i e s t r o n y r ó w n a n i a p r z e z ” x o t r z y m u j e m y :
S ( z )
M ( x + ” x ) - M ( x )
y
Å" - b ( z ) Å"Äx z = 0
I ” x
y
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 1 0
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
P o p r z e k s z t a Bc e n i a c h :
S ( z )
M ( x + ” x ) - M ( x )
Ä = Å"
x z y
I Å"b ( z ) ” x
y
D o k o n u j c p r z e j [c i a g r a n i c z n e g o ” x ’! 0 i w y k o r z y s t u j c z a l e |n o [ r ó |n i c z k o w m i d z y
m o m e n t e m z g i n a j c y m i s i B p o p r z e c z n , o t r z y m u j e m y :
S ( z ) S ( z ) d M Q z Å"S ( z )
M ( x + ” x ) - M ( x )
y y y
Ä = Å" l i m = Å" =
x z y
I Å"b ( z ) ” x I Å"b ( z ) d x I Å"b ( z )
” x ’!0
y y y
P r z y j m u j c , |e n a p r |e n i a s t y c z n e s f a k t y c z n i e r ó w n e z a Bo |o n e m u n a p r |e n i u [r e d n i e m u ,
o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n i e w z ó r o p i s u j c y r o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h p r z y z g i n a n i u
p o p r z e c z n y m t z w . w z ó r {u r a w s k i e g o :
Q z ( x ) Å"S ( z )
y
Äx z ( x , z ) =
b ( z ) Å"I
y
S ( z )
F u n k c j a o z n a c z a m o m e n t s t a t y c z n y o d c i t e j
y
c z [c i p r z e k r o j u ( w o d l e g Bo [c i z ) w z g l d e m g Bó w n e j
c e n t r a l n e j ( p r z e c h o d z c e j p r z e z [r o d e k c i |k o [c i ) o s i
b e z w Ba d n o [c i y , p r z y c z y m b i e r z e m y t c z [ p r z e k r o j u ,
k t ó r a j e s t p o s t r o n i e w i k s z y c h w a r t o [c i z . N i e k i e d y j e d n a k
w y g o d n i e j j e s t s k o r z y s t a z n a s t p u j c e j z a l e |n o [c i :
z d A = z d A + z d A Ò! S ( z ) = z d A = - z d A
," ," ," ," ,"
y
A A 1 A 2 A 1 A 2
ß#
ß#
S = 0
S ( z )
y
y
R o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h p r z y s t a Be j s z e r o k o [c i p r z e k r o j u b j e s t k w a d r a t o w f u n k c j
z m i e n n e j z . N a p r |e n i a s t y c z n e p r z y j m u j l o k a l n i e m a k s y m a l n w a r t o [ n a
w y s o k o [c i [r o d k a c i |k o [c i , t j . d l a z = 0 . P o n a d t o r o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h j e s t
o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n y d o s z e r o k o [c i p r z e k r o j u d l a d a n e g o z . T y p o w y r o z k Ba d
n a p r |e D s t y c z n y c h d l a p r z e k r o j u d w u t e o w e g o w i d o c z n y j e s t n a r y s u n k u .
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 1 1
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
Z G I N A N I E P R T Ó W O P R Z E K R O J U P R O S T O K T N Y M
N A P R {E N I A N O R M A L N E
b h 3
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u : I =
y
1 2
Ãx x
R o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h :
M 1 2 M
y y
Ãx x = z = z
I
b h 3
y
M a k s y m a l n e n a p r |e n i a n o r m a l n e d l a z = ± h / 2 :
M M
y y
Ãm a x = , Ãm i n = - ,
W W
y y
I
b h 2
y
W = =
g d z i e w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a z g i n a n i e :
y
z m a x 6
N A P R {E N I A S T Y C Z N E
S z e r o k o [ p r z e k r o j u : b ( z ) = b
S ( z )
F u n k c j a d l a p r z e k r o j u p r o s t o k t n e g o :
y
h 1 h b h h
S ( z ) = b Å" - z Å" z + - z = - z + z =
y
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2 2 2 2 2 2
b h 2
= - z 2
( )
2 4
Éàx z
R o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h
Q z Å"S ( z ) 6 Q z 1 z 2
y
Éàx z = = -
( )
b ( z ) Å"I b h 4
h 2
y y
Éàx y
B r a k n a p r |e D !
Q z
3
M a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e d l a z = 0 : Éàm a x =
2 A
© C o p y r i g h t : P a w e B S z e p t y Ds k i - C r e a t i v e C o m m o n s C C B Y - N C - S A 3 . 0 P L 1 2
m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
Z G I N A N I E P R T Ó W O P R Z E K R O J U K O AO W Y M
N A P R {E N I A N O R M A L N E
À R 4 À D 4
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i p r z e k r o j u : I = =
y
4 6 4
Ãx x
R o z k Ba d n a p r |e D n o r m a l n y c h :
M 4 M 6 4 M
y y y
Ãx x = z = z = z
I
À R 4 À D 4
y
M a k s y m a l n e n a p r |e n i a n o r m a l n e d l a z = R :
M M
y y
Ãm a x = , Ãm i n = - ,
W W
y y
I
À D 3 À R 3
y
W = = =
g d z i e w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a z g i n a n i e :
y
z m a x 3 2 4
N A P R {E N I A S T Y C Z N E
R 2 - z 2
"
Z r y s u n k u :
c o s ± =
R
R 2 - z 2 = 2 R 2 - z 2
"
S z e r o k o [ p r z e k r o j u :
b ( z ) = 2 R c o s ± = 2 R Å"
"
R
S ( z )
F u n k c j a d l a p r z e k r o j u p r o s t o k t n e g o :
y
S ( z ) = S ( z ) - S ( z )
y y 1 y 2
1 Å"b ( z ) Å"z Å"2 Å"z = 2
S ( z ) = z 2 R 2 - z 2
"
y 2
2 3 3
R À- ± R À- ±
S ( z ) = z d A = [ ( r s i n Æ) r ] d Æ d r = r 2 d r s i n Æ d Æ =
," +" +" +" +"
y 1
±
A 1 r = 0 Æ= ± 0
R
r 3 R 3 2 2
= [ - c o s Æ] À- ± = [ - c o s ( À- ±) + c o s ±] = R 3 c o s ± = R 2 R 2 - z 2
"
±
[ ]
3 3 3 3
0
2
S ( z ) = S ( z ) - S ( z ) = ( R 2 - z 2 ) R 2 - z 2
"
y y 1 y 2
3
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m g r i n |. P a w e B S z e p t y Ds k i P o d s t a w y w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w i m e c h a n i k i u k Ba d ó w p r t o w y c h
1 0 Z g i n a n i e
Éàx z
R o z k Ba d n a p r |e D s t y c z n y c h :
( )
Q z Å"S ( z ) 4 Q z R 2 - z 2
y
Éàx z = =
b ( z ) Å"I
3 À R 4
y y
S t a t y c z n e w a r u n k i b r z e g o w e w y m a g a j , a b y w y p a d k o w e
n a p r |e n i a s t y c z n e n a p o w i e r z c h n i b o c z n e j p r z e k r o j u b y By
s t y c z n e d o t e j p o w i e r z c h n i . M u s z z a t e m w y s t p o w a
Äx y
d o d a t k o w e n a p r |e n i a . D l a p u n k t ó w k o n t u r u
m o |e m y n a p i s a :
Q z Å"z Å"y
z Å"Éà 4
Éàx y = - t g ±Å"Äx z = - = -
x z
y 3
À R 4
W z ó r n a l e |y s t o s o w a t y l k o d l a p u n k t ó w k o n t u r u p r z e k r o j u . N a p r |e n i a t e
z m i e n i a j w a r t o [ w e w n t r z p r z e k r o j u , j e d n a k s w o j m a k y s m a l n w a r t o [ p r z y j m u j
w Ba [n i e n a k o n t u r z e .
N a p r |e n i a w y p a d k o w e n a k o n t u r z e ( s t y c z n e d o k o n t u r u ) :
Éà = Éà2 + Éà2
"
x y x z
Q m a x
4
z
M a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e d l a z = 0 :
Éàm a x =
3 A
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