plik


��mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie 10.1 Zginanie czyste i zginanie proste Podstaw dla opisu zginania prt�w bdzie rozwizanie nastpujcego zagadnienia: " ELEMENT I MATERIAA: �% Dany jest niewa|ki, pryzmatyczny prt prosty o dBugo[ci L. �% Prt wykonany jest z jednorodnego, izotropowego materiaBu liniowo spr|ystego (materiaBu Hooke'a). " OBCI{ENIE: �% Prt obci|ony jest na obydwu [ciankach poprzecznych (w przekrojach x= L i x=0 ) obci|eniem cigBym liniowo zmiennym wzdBu| osi z lokalnego ukBadu gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci, normalnym (prostopadBym) do tych [cianek, redukujcym si do par le|cych w pBaszczyznie (xz) (zerowa suma ukBadu oraz wektor momentu r�wnolegBy do osi y). -[cianka pocztkowa: �=[-1 ;0 ;0]T q(0, y , z)=[-qz ; 0 ; 0]T -[cianka koDcowa: �=[1;0 ; 0]T q( L , y , z)=[qz ; 0 ; 0]T �% Prt jest nieobci|ony na swojej powierzchni bocznej. �=[0 ; �y ;�z]T q=[0 ; 0 ; 0]T " PODPARCIE: x=0 �% Zrodek ci|ko[ci [cianki poprzecznej prta w przekroju , tj. punkt O(0 ;0 ; 0) jest utwierdzony, tj. nie mo|e dozna |adnych przemieszczeD i |adnych obrot�w. -brak przemieszczenia: u(0,0 ,0)=[u ; u ; uz ]T=[0 ;0 ;0]T x y " uz " uz " uy -brak obrotu wok�B osi x, y, z: =0 =0 =0 #" #" #" " y " x " x O O O x=0 �% PozostaBe punkty przekroju podparte s w ten spos�b, |e nie mog doznawa przemieszczeD na kierunku osi prta, ale mog swobodnie przemieszcza si w pBaszczyznie tego przekroju u (0, y , z)=0 x � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 1 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie Zagadnienie powy|sze nazywamy zagadnieniem czystego zginania. Rozwizanie tego zagadnienia, na mocy zasady Saint-Venanta, bdzie mogBo r�wnie| posBu|y do opisu innych przypadk�w, w kt�rych obci|enie zewntrzne redukuje si do dw�ch par zginajcych, przyBo|onych do [cianek poprzecznych prta. Zadanie rozwizuje si tzw. metod p�Bodwrotn, podej[ciem statycznym. Rozwizanie to ma nastpujcy schemat: 1. Przypu[ci rozkBad napr|eD w prcie, speBniajcy r�wnania r�wnowagi Naviera, statyczne (obci|eniowe) warunki brzegowe i r�wnowa|ny w ka|dym przekroju ukBadowi siB zewntrznych przyBo|onych do my[lowo odcitej cz[ci ciaBa. 2. Dla zaBo|onych napr|eD wyznaczy odksztaBcenia na podstawie r�wnaD uog�lnionego prawa Hooke'a. 3. Sprawdzi czy wyznaczone odksztaBcenia speBniaj warunki nierozdzielno[ci. 4. Dla obliczonych odksztaBceD wyznaczy przemieszczenia na podstawie r�wnaD geometrycznych Cauchy'ego. 5. Sprawdzi czy wyznaczone przemieszczenia speBniaj kinematyczne (podporowe) warunki brzegowe. Je|eli przypuszczone rozwizanie speBnia bdzie wszystkie r�wnania i warunki, to  poniewa| dowodzi si jednoznaczno[ci rozwizaD zagadnieD liniowej teorii spr|ysto[ci  bdzie ono wBa[nie tym jedynym, poszukiwanym rozwizaniem. 1. Przypuszczenie rozkBadu napr|eD Uzasadnione wydaje si przypuszczenie, |e cigle rozBo|one obci|enie liniowo zmienne, bdce w istocie gsto[ci siB na jednostk powierzchni (o wymiarze Pa), powodowa bdzie wewntrz prta analogiczny rozkBad napr|eD normalnych na kierunku osi prta. Brak obci|enia poprzecznego i swoboda deformacji w kierunkach poprzecznych do osi prta sugeruje, |e pozostaBe skBadowe tensora napr|enia bd r�wne 0. Przyjmujemy zatem: � ��xy ��xz q z 0 0 xx � = = �yy ��yz 0 0 [ ] [ ] sym �zz sym 0 Sprawdzi nale|y czy taki rozkBad napr|eD speBnia statyczne (obci|eniowe) warunki brzegowe ��"� = q . Dla [cianek poprzecznych - pocztkowej (wzory ze znakiem  - ) i koDcowej ( + ): " wektor obci|enia q = [�q ; 0 ; 0]T " normalna zewntrzna � = [�1 ; 0 ; 0 ]T q z 0 0 �1 �q z ��"� = �" = = q 0 0 0 0 [ ][ ] [ ] sym 0 0 0 � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 2 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie Dla pobocznicy: " wektor obci|enia q = [0 ; 0 ; 0]T " normalna zewntrzna � = [0 ; �y ; �z]T 0 q z 0 0 0 ��"� = �" �y = = q 0 0 0 [ ] [ ] [ ] sym 0 0 �z Wida zatem, |e zaBo|ony rozkBad napr|eD speBnia wszystkie statyczne warunki brzegowe. Aatwo sprawdzi r�wnie|, |e speBnione s r�wnania r�wnowagi Naviera: " �xx "� "� xy xz + + = 0 " x " y " z "� "� " �yz yx yy + + = 0 " x " y " z " �zx " �zy "�zz { + + = 0 " x " y " z �xx , ��xy , ��xz Poniewa| napr|enia opisane s tymi samymi funkcjami co skBadowe qx ,qy , qz obci|enia , std oczywista jest r�wnowa|no[ ukBadu siB przekrojowych w dowolnym przekroju prta z ukBadem siB zewntrznych przyBo|onych do jego odcitej cz[ci. F (W ) = �xx dA = qx dA = F (Z ) M (W )= (��xz y-��xy z )dA= (qz y-qy z)dA=M (Z ) ," ," ," ," x 1 x 2 x 1 x 2 A A A A F (W ) = ��xy dA = qy dA = F (Z ) M (W ) = �xx z dA = qx z dA = M (Z2) ," ," ," ," y 1 y 2 y 1 y A A A A F (W ) = ��xz dA = q dA = F (Z ) M (W ) = (-�xx y)dA = (-qx y)dA = M ( Z ) ," ," ," ," z 1 z z 2 z 1 z 2 A A A A Poka|emy, |e dane obci|enie redukuje si do pary zginajcej w pBaszczyznie (xz) : F = dA = q z dA = q z dA = 0 ,"q ," ," x x A A A �# S =0 y F = dA = dA = 0 ,"q ,"0 y y A A F = dA = dA = 0 ,"q ,"0 z z A A M = y-qy z)dA = ,"(q ,"0dA = 0 x z A A M = z dA = z2 dA = q z2 dA = q I ,"q ,"q ," y x y A A A �# I y M = q z ydA = q z y dA = 0 ,"(-q y)dA = -," ," z x A A A �# Dyz=0 W powy|szych obliczeniach skorzystali[my z faktu, |e rozpatrywany ukBad wsp�Brzdnych jest ukBadem gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci, w kt�rym zar�wno momenty statyczne, jak i moment dewiacji s r�wne 0. � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 3 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie 2. Wyznaczenie odksztaBceD Na podstawie r�wnaD fizycznych prawa Hooke'a wyznaczamy odksztaBcenia: ��yz 1 �xx = (1+�)�xx-�(�xx+� +� ) �yz = [ ] yy zz E 2G ��zx 1 �yy = (1+�)�yy-�(�xx+�yy+�zz) �zx = [ ] E 2G ��xy 1 �zz = (1+�)�zz-�(�xx+� +�zz) �xy = [ ] yy E 2G q �q�"z �zz = - �q�"z �xx = z �yy = - E E E �yz = 0 �zx = 0 �xy = 0 3. Sprawdzenie warunk�w nierozdzielno[ci Warunki nierozdzielno[ci: "2�yy "2�zz "2�yz "�yz "�zx "�xy "2�xx " + = 2 , - + + = ( ) " x " x " y " z " y " z " z2 " y2 " y " z "2�zz "2�xx "2�zx " �yz "�zx "�xy "2�yy " + = 2 , - + = ( ) " y " x " y " z " z " x " x2 " z2 " z " x "2�xx "2�yy "2�xy "�yz "�zx "�xy "2�zz " + = 2 , + - = ( ) " z " x " y " z " x " y " y2 " x2 " x" y Poniewa| odksztaBcenia maj liniowy rozkBad w przestrzeni, a w r�wnaniach nierozdzielno[ci wystpuj jedynie drugie pochodne odksztaBceD, std r�wnania powy|sze speBnione s w spos�b to|samo[ciowy. 4. Wyznaczenie przemieszczeD SkBadowe wektora przemieszczenia s rozwizanie ukBadu r�wnaD geometrycznych Cauchy'ego: " ux " u " uz y = �xx = �yy = �zz " x " y " z " u "uz " u "ux " ux " uy 1 1 1 y z + = � + = �zx + = �xy { yz ( ) ( ) ( ) 2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x Rozwizanie powy|szego niejednorodnego ukBadu liniowych, czstkowych r�wnaD r�|niczkowych pierwszego rzdu bdzie sum rozwizania og�lnego ukBadu jednorodnego (z zerowymi prawymi stronami) oraz dowolnego szczeg�lnego rozwizania ukBadu niejednorodnego. Wyznaczymy je kolejno. Rozwizanie og�lne ukBadu jednorodnego: Rozwizanie to jest najog�lniejszym przemieszczeniem ciaBa nieodksztaBconego, tj. bryBy sztywnej  w og�lno[ci jest to zBo|enie translacji i obrotu wok�B chwilowego [rodka obrotu. Funkcj t wyznaczamy w identyczny spos�b, jak w przypadku rozwizania zagadnienia czystego rozcigania: � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 4 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie u (x , y , z) = a-d y+e z x ,og u ( x , y , z) = b- f z+d x y , og { u ( x , y , z) = c-e x+ f y z , og Rozwizanie szczeg�lne ukBadu niejednorodnego: Poszukujemy og�lnego rozwizania ukBadu r�wnaD: " ux q " uy �q " uz � q = �"z =- �"z = - �"z " x E " y E " z E "uy "uz " uz " u " u " u 1 1 1 x x y + = 0 + = 0 + = 0 { ( ) ( ) ( ) 2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x Rozwizanie powy|szego ukBadu r�wnaD znalez caBkujc pierwsze trzy r�wnania  caBkujc pamita musimy, |e w og�lno[ci ka|da z poszukiwanych funkcji zale|y od wszystkich trzech zmiennych niezale|nych.  StaBa caBkowania jest mo|e by zatem funkcj zale|n od wszystkich zmiennych niezale|nych r�|nych od tej, wzgldem kt�rej caBkujemy: q �q �q u = zx + �( y , z) u = - zy + �(z , x) uz ,sz = - z2 + �( x , y) x , sz y , sz E E 2 E Nieznane funkcje � , � ,� wyznaczymy na podstawie pozostaBych r�wnaD dla odksztaBceD postaciowych: " � "� "� " � � q " � q "� - y+ + =0 x+ + =0 + =0 E " z " y E " z " x " y " x Poniewa| rozwizanie szczeg�lne mo|na przyj dowolnie, std mo|na zaBo|y: �( y , z) a" 0, �(z , x) a" 0 Ostatnie r�wnanie jest speBnione to|samo[ciowo. Z pozostaBych dw�ch mo|emy napisa: " � � q � q = y �! �( x , y) = y2+� ( x) " y E 2 E "� q " � q q q =- x �! = - x �! �( x)=- x2 �! �( x) = (� y2-x2) " x E " x E 2 E 2 E Std: q �q q u = zx u = - zy uz , sz = (� y2-� z2- x2) x , sz y , sz E E 2 E RozkBad przemieszczeD, bdcy rozwizaniem niejednorodnego ukBadu r�wnaD Cauchy'ego jest zatem dany funkcjami: q ux = ux ,og+ux , sz = a-d y+e z + zx E � q uy = uy ,og+uy , sz = b- f z+d x - zy E q { ( ) uz = uz ,og+uz ,sz = c-e x+ f y + � y2-� z2-x2 2 E � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 5 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie 5. Sprawdzenie warunk�w podporowych u (0,0 ,0) = a=0 x Warunek braku przemieszczeD punktu O(0,0,0) daje: u (0,0 ,0) = b=0 y { u (0,0 ,0) = c=0 z Warunek braku obrot�w wok�B osi y i z w punkcie O(0,0,0) daje : "uz " uy " uz = f =0 = d =0 = -e=0 #" #" #" " y " x " x (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) Wobec powy|szych zale|no[ci, speBniony jest tak|e warunek braku przemieszczeD na kierunku osi x w przekroju x=0 . Ostatecznie wic rozkBad przemieszczeD dany jest funkcjami: q � q q ( ) u = z x uy = - z y u = � y2-� z2-x2 x z E E 2 E Przyjte rozwizanie speBnia wszystkie r�wnania i warunki brzegowe, jest zatem [cisBym rozwizaniem zagadnienia czystego rozcigania. Zgodnie z zasad Saint-Venanta, rozwizanie zagadnienia zginania czystego mo|na zastosowa z dobrym przybli|eniem dla jakiegokolwiek przypadku, w kt�rym prt obci|ony jest na [ciankach poprzecznych ukBadem siB redukujcym si w ich [rodku ci|ko[ci do pary zginajcej. Takie zagadnienia nazywamy zginaniem prostym. Ponadto, powszechnie, z dobr dokBadno[ci, stosuje si powy|sze rozwizanie r�wnie| dla prt�w o przekroju i obci|eniu rozcigajcym zmiennym na dBugo[ci. Nale|y przy tym mie jednak [wiadomo[, |e stosowane rozwizanie ma w takim przypadku jedynie charakter przybli|ony  szczeg�lnie dotyczy to obszar�w bliskich skokowej zmiany geometrii lub obci|enia, w kt�rych z reguBy wystpuje koncentracja napr|eD. � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 6 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie PODSUMOWANIE ROZWIZANIA: Wykorzystujc zale|no[ midzy momentem zginajcym a napr|eniem normalnym, przemieszczenie, odksztaBcenie i napr|enie mo|na wyrazi w nastpujcy spos�b: Tensor napr|enia: Tensor odksztaBcenia: 1 � 0 0 � 0 0 E M N y � �= �= �"z =[MPa] �= -� 0 0 0 E [ ] I m2 [ ] z � sym 0 [ ] sym -� E gdzie: E  moduB Younga (moduB sztywno[ci podBu|nej) [Pa] �  wsp�Bczynnik Poissona [-] I  moment bezwBadno[ci przekroju poprzecznego prta [m4] y RozkBad napr|eD normalnych w ka|dym przekroju zmienia si liniowo  koDc�wki wektor�w napr|enia w ka|dym punkcie przekroju tworz pBaszczyzn nachylon do pBaszczyzny przekroju i przecinajc j wzdBu| osi y. M�wi si tak|e o bryle napr|eD  jest to bryBa ograniczona powierzchni przekroju, pobocznic prta oraz powierzchni, kt�r tworz koDc�wki wektor�w napr|enia Na osi y (dla kt�rej z=0 ) napr|enia normalne s r�wne 0  miejsce geometryczne wszystkich takich punkt�w, w kt�rych napr|enia s r�wne 0 nazywamy osi obojtn  jest to linia prosta. Napr|enia normalne s tym wiksze im dalej dany punkt jest odlegBy od osi obojtnej. Oznaczajc odlegBo[ punktu najbardziej oddalonego od osi obojtnej zmax przez mo|emy napisa: M M I y y y �max = �( z=zmax) = �"zmax = gdzie W = y I W zmax y y W Parametr nazywamy wskaznikiem wytrzymaBo[ci na zginanie i dla zadanej y pBaszczyzny zginania jest charakterystyk geometryczn przekroju. Dla przekroj�w niesymetrycznych odlegBo[ od skrajnych wB�kien dolnych i g�rnych, w kt�rych wystpuj ekstremalne napr|enia rozcigajce i [ciskajce (lub na odwr�t), mo|e by r�|na. Dla prta obci|onego dodatnim momentem zginajcym, zorientowanym w ten spos�b, |e o[ z zorientowana jest w d�B (co jest powszechnie stosowan praktyk) ekstremalne napr|enia s r�wne: M M y y �d = �"zd �g = �"zg I I y y � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 7 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie ZASADA PAASKICH PRZEKROJ�W BERNOULLIEGO Trzeba r�wnie| zwr�ci uwag na wa|n cech uzyskanego rozwizania. Rozpatrzmy dowolny pBaski przekr�j poprzeczny, prostopadBy do osi prta x. Przyjmijmy, |e odpowiada xo = const. on wsp�Brzdnej UGICIE OSI BELKI � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 8 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie 10.2 Zginanie uko[ne Zginaniem uko[nym nazywamy przypadek obci|enia, w kt�rym wektor momentu zginajcego nie jest r�wnolegBy do |adnej z gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci przekroju prta, jak byBo to w przypadku zginania czystego. Wektor ten mo|emy jednak rozBo|y na skBadowe r�wnolegBe do tych osi  je[li wektor momentu tworzy z osi y kt � (orientacja jak na rysunku!) wtedy: M M =M cos� z y tg � = M =M sin � M z y Zgodnie z zasad superpozycji rozkBad napr|eD normalnych w takim przypadku mo|na zapisa w nastpujcej formie: M M y z �xx( y , z) = �"z - �"y I I y z Wz�r ten okre[la bryB napr|eD  powierzchni bryBy tej jednoznacznie wyznaczaj dowolne trzy niewsp�Bliniowe punkty. Je[li stosuje si ukBad osi zorientowany inaczej ni| to przyjto w tym opracowaniu, wtedy znak przy odpowiednim skBadniku we wzorze okre[la si w ten spos�b, |e sprawdza si w jaki spos�b wektor momentu zorientowany zgodnie z odpowiadajc mu osi oddziaBuje na pierwsz wiartk ukBadu wsp�Brzdnych  je[li rozciga, wtedy we wzorze przyjmuje si  + , je[li [ciska, przyjmuje si    . PrzykBadowo: M M x y �( x , y) = �"y - �"x I I x y Dla przypadku zginania uko[nego, o[ obojtna w ukBadzie gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci okre[lona jest wzorem: M I I z y y �( y , z)=0 �! z = �" y = �"tg��" y M I I y z z O[ obojtna przechodzi przez punkt (0,0) i jest nachylona do osi y pod ktem � I M I y z y tg � = �" = �"tg� I M I z y z M i M I `"I A zatem, je[li tylko s r�|ne od 0 oraz , to o[ obojtna nigdy nie bdzie z y y z pokrywa si z kierunkiem wektora momentu. Sytuacja taka mo|e mie miejsce tylko dla przypadk�w zginania prostego lub dla przekroj�w, kt�re posiadaj wicej ni| dwie osie symetrii (kwadrat, koBo wielokty foremne itp.). � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 9 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie 10.3 Zginanie poprzeczne (zginanie ze [cinaniem) Dotychczas rozwa|ali[my tylko przypadki, w kt�rych ukBad siB zewntrznych redukowaB si jedynie do momentu zginajcego. Z reguBy jednak zginanie prt�w odbywa si wskutek dziaBania siB poprzecznych  ich obecno[ powoduje wystpowanie napr|eD stycznych i odksztaBceD postaciowych. Ich obecno[ sprawia, |e zasada pBaskich przekroj�w Bernoulli'ego nie jest w tym przypadku speBniona  przekr�j poprzeczny pod wpBywem napr|eD stycznych ulega deplanacji. ZcisBe rozwizanie tego zagadnienia jest wyjtkowo trudne  stosuje si zatem rozwizanie przybli|one. Przyjmowa bdziemy, |e przemieszczenia i rozkBad napr|eD normalnych s takie same jak w przypadku zginania czystego, jednak|e w tensorze napr|enia uwzgldnimy napr|enia styczne. NAPR{ENIA STYCZNE Rozwa|my wycinek prta o dBugo[ci � x obci|ony siBami poprzecznymi. Nastpnie dokonajmy cicia przez ten wycinek pBaszczyzn prostopadB do osi z, przecinajc t o[ w pewnym ustalonym punkcie z. Ta odcita cz[ obci|ona jest ukBadem napr|eD  s to �xx napr|enia normalne (o kt�rych zakBadamy, |e maj rozkBad liniowy, taki jak w �xz = �zx przypadku zginania czystego) oraz napr|enia styczne bdce wynikiem dziaBania siB poprzecznych. Dla uproszczenia przyjmijmy, |e rozkBad tych napr|eD na � poziomej powierzchni cicia jest staBy, r�wny pewnemu [redniemu napr|eniu : xz Zapiszmy r�wnanie r�wnowagi siB na kierunku osi x: � X = - � (x)dA - � x�"b (z)�"xz + � (x+� x)dA = 0 � ," ," A(z ) A(z ) Wykorzystujemy zale|no[ci opisujce rozkBad napr|eD normalnych przy zginaniu: M ( x) M ( x+� x) - z dA - � x�"b(z)�"� + z dA = 0 xz ," ," I I A (z ) x A( z) y 1 M (x+� x)-M (x ) �" z dA - � x�"b( z)�"xz = 0 � [ ] ," I y A(z) �# S (z) y Dzielc obie strony r�wnania przez � x otrzymujemy: S (z) M ( x+� x)-M (x) y �" - b( z)�"�xz = 0  I � x y � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 10 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie Po przeksztaBceniach: S ( z) M ( x+� x)-M (x) � = �" xz y I �"b( z) � x y Dokonujc przej[cia granicznego � x �! 0 i wykorzystujc zale|no[ r�|niczkow midzy momentem zginajcym i siB poprzeczn, otrzymujemy: S ( z) S (z) dM Qz�"S ( z) M (x+� x)-M (x) y y y � = �" lim = �" = xz y I �"b( z) � x I �"b(z) dx I �"b( z) � x �!0 y y y Przyjmujc, |e napr|enia styczne s faktycznie r�wne zaBo|onemu napr|eniu [redniemu, otrzymujemy ostatecznie wz�r opisujcy rozkBad napr|eD stycznych przy zginaniu poprzecznym  tzw. wz�r {urawskiego: Qz (x)�"S (z) y �xz (x , z) = b(z)�"I y S (z) Funkcja oznacza moment statyczny odcitej y cz[ci przekroju (w odlegBo[ci z) wzgldem gB�wnej centralnej (przechodzcej przez [rodek ci|ko[ci) osi bezwBadno[ci y, przy czym bierzemy t cz[ przekroju, kt�ra jest po stronie wikszych warto[ci z. Niekiedy jednak wygodniej jest skorzysta z nastpujcej zale|no[ci: z dA = z dA + z dA �! S ( z) = z dA = - z dA ," ," ," ," ," y A A1 A2 A1 A2 �# �# S =0 S (z ) y y RozkBad napr|eD stycznych przy staBej szeroko[ci przekroju b jest kwadratow funkcj zmiennej z. Napr|enia styczne przyjmuj lokalnie maksymaln warto[ na wysoko[ci [rodka ci|ko[ci, tj. dla z=0. Ponadto rozkBad napr|eD stycznych jest odwrotnie proporcjonalny do szeroko[ci przekroju dla danego z. Typowy rozkBad napr|eD stycznych dla przekroju dwuteowego widoczny jest na rysunku. � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 11 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie ZGINANIE PRT�W O PRZEKROJU PROSTOKTNYM NAPR{ENIA NORMALNE b h3 Moment bezwBadno[ci przekroju: I = y 12 �xx RozkBad napr|eD normalnych : M 12 M y y �xx = z = z I b h3 y Maksymalne napr|enia normalne dla z = �h/2: M M y y �max = , �min = - , W W y y I b h2 y W = = gdzie wskaznik wytrzymaBo[ci na zginanie: y zmax 6 NAPR{ENIA STYCZNE Szeroko[ przekroju: b( z) = b S (z) Funkcja dla przekroju prostoktnego: y h 1 h b h h S (z) = b�" - z �" z+ - z = -z +z = y ( ) ( ) ( )( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 b h2 = - z2 ( ) 2 4 ��xz RozkBad napr|eD stycznych Qz�"S ( z) 6Qz 1 z2 y ��xz = = - ( ) b (z)�"I bh 4 h2 y y ��xy Brak napr|eD ! Qz 3 Maksymalne napr|enia styczne dla z = 0: ��max = 2 A � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 12 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie ZGINANIE PRT�W O PRZEKROJU KOAOWYM NAPR{ENIA NORMALNE � R4 � D4 Moment bezwBadno[ci przekroju: I = = y 4 64 �xx RozkBad napr|eD normalnych : M 4 M 64 M y y y �xx = z = z = z I � R4 � D4 y Maksymalne napr|enia normalne dla z = R: M M y y �max = , �min = - , W W y y I � D3 � R3 y W = = = gdzie wskaznik wytrzymaBo[ci na zginanie: y zmax 32 4 NAPR{ENIA STYCZNE R2- z2 " Z rysunku: cos� = R R2- z2 = 2 R2-z2 " Szeroko[ przekroju: b( z) = 2R cos � = 2 R�" " R S (z) Funkcja dla przekroju prostoktnego: y S (z) = S (z)-S (z) y y1 y2 1�"b(z)�"z�"2�"z = 2 S ( z) = z2 R2-z2 " y2 2 3 3 R �-� R �-� S ( z) = z dA = [(r sin �)r]d � dr = r2 dr sin � d � = ," +" +" +" +" y1 � A1 r =0 �=� 0 R r3 R3 2 2 = [-cos�]�-� = [-cos(�-�)+cos �] = R3cos � = R2 R2- z2 " � [ ] 3 3 3 3 0 2 S (z) = S (z)-S (z) = ( R2-z2) R2-z2 " y y1 y2 3 � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 13 mgr in|. PaweB SzeptyDski  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych 10  Zginanie ��xz RozkBad napr|eD stycznych : ( ) Qz�"S ( z) 4 Qz R2- z2 y ��xz = = b (z)�"I 3 � R4 y y Statyczne warunki brzegowe wymagaj, aby wypadkowe napr|enia styczne na powierzchni bocznej przekroju byBy styczne do tej powierzchni. Musz zatem wystpowa �xy dodatkowe napr|enia . Dla punkt�w konturu mo|emy napisa: Qz�"z�"y z�"�� 4 ��xy = -tg ��"�xz = - = - xz y 3 � R4 Wz�r nale|y stosowa tylko dla punkt�w konturu przekroju. Napr|enia te zmieniaj warto[ wewntrz przekroju, jednak swoj makysmaln warto[ przyjmuj wBa[nie na konturze. Napr|enia wypadkowe na konturze (styczne do konturu): �� = ��2 +��2 " xy xz Qmax 4 z Maksymalne napr|enia styczne dla z = 0: ��max = 3 A � Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 14

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 zginanie uwaga o znakowaniu My i Mz
10 Z Zginanie
10 Z Zginanie
10 Odkształcenia w belkach zginanych sprawozdanie
WSM 10 52 pl(1)
VA US Top 40 Singles Chart 2015 10 10 Debuts Top 100
10 35

więcej podobnych podstron