��mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
10.1 Zginanie czyste i zginanie proste
Podstaw dla opisu zginania prt�w bdzie rozwizanie nastpujcego zagadnienia:
" ELEMENT I MATERIAA:
�% Dany jest niewa|ki, pryzmatyczny prt prosty o dBugo[ci L.
�% Prt wykonany jest z jednorodnego, izotropowego materiaBu liniowo
spr|ystego (materiaBu Hooke'a).
" OBCI{ENIE:
�% Prt obci|ony jest na obydwu [ciankach poprzecznych (w przekrojach
x= L i x=0 ) obci|eniem cigBym liniowo zmiennym wzdBu| osi z
lokalnego ukBadu gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci, normalnym
(prostopadBym) do tych [cianek, redukujcym si do par le|cych w
pBaszczyznie (xz) (zerowa suma ukBadu oraz wektor momentu r�wnolegBy
do osi y).
-[cianka pocztkowa:
�=[-1 ;0 ;0]T q(0, y , z)=[-qz ; 0 ; 0]T
-[cianka koDcowa:
�=[1;0 ; 0]T q( L , y , z)=[qz ; 0 ; 0]T
�% Prt jest nieobci|ony na swojej powierzchni bocznej.
�=[0 ; �y ;�z]T
q=[0 ; 0 ; 0]T
" PODPARCIE:
x=0
�% Zrodek ci|ko[ci [cianki poprzecznej prta w przekroju , tj. punkt
O(0 ;0 ; 0) jest utwierdzony, tj. nie mo|e dozna |adnych przemieszczeD i
|adnych obrot�w.
-brak przemieszczenia: u(0,0 ,0)=[u ; u ; uz ]T=[0 ;0 ;0]T
x y
" uz " uz " uy
-brak obrotu wok�B osi x, y, z: =0 =0 =0
#" #" #"
" y " x " x
O O O
x=0
�% PozostaBe punkty przekroju podparte s w ten spos�b, |e nie mog
doznawa przemieszczeD na kierunku osi prta, ale mog swobodnie
przemieszcza si w pBaszczyznie tego przekroju
u (0, y , z)=0
x
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 1
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
Zagadnienie powy|sze nazywamy zagadnieniem czystego zginania. Rozwizanie tego
zagadnienia, na mocy zasady Saint-Venanta, bdzie mogBo r�wnie| posBu|y do opisu
innych przypadk�w, w kt�rych obci|enie zewntrzne redukuje si do dw�ch par
zginajcych, przyBo|onych do [cianek poprzecznych prta.
Zadanie rozwizuje si tzw. metod p�Bodwrotn, podej[ciem statycznym.
Rozwizanie to ma nastpujcy schemat:
1. Przypu[ci rozkBad napr|eD w prcie, speBniajcy r�wnania r�wnowagi Naviera,
statyczne (obci|eniowe) warunki brzegowe i r�wnowa|ny w ka|dym przekroju
ukBadowi siB zewntrznych przyBo|onych do my[lowo odcitej cz[ci ciaBa.
2. Dla zaBo|onych napr|eD wyznaczy odksztaBcenia na podstawie r�wnaD
uog�lnionego prawa Hooke'a.
3. Sprawdzi czy wyznaczone odksztaBcenia speBniaj warunki nierozdzielno[ci.
4. Dla obliczonych odksztaBceD wyznaczy przemieszczenia na podstawie r�wnaD
geometrycznych Cauchy'ego.
5. Sprawdzi czy wyznaczone przemieszczenia speBniaj kinematyczne (podporowe)
warunki brzegowe.
Je|eli przypuszczone rozwizanie speBnia bdzie wszystkie r�wnania i warunki, to
poniewa| dowodzi si jednoznaczno[ci rozwizaD zagadnieD liniowej teorii spr|ysto[ci
bdzie ono wBa[nie tym jedynym, poszukiwanym rozwizaniem.
1. Przypuszczenie rozkBadu napr|eD
Uzasadnione wydaje si przypuszczenie, |e cigle rozBo|one obci|enie liniowo zmienne,
bdce w istocie gsto[ci siB na jednostk powierzchni (o wymiarze Pa), powodowa
bdzie wewntrz prta analogiczny rozkBad napr|eD normalnych na kierunku osi prta.
Brak obci|enia poprzecznego i swoboda deformacji w kierunkach poprzecznych do osi
prta sugeruje, |e pozostaBe skBadowe tensora napr|enia bd r�wne 0. Przyjmujemy
zatem:
� ��xy ��xz q z 0 0
xx
� = =
�yy ��yz 0 0
[ ]
[ ]
sym �zz sym 0
Sprawdzi nale|y czy taki rozkBad napr|eD speBnia statyczne (obci|eniowe) warunki
brzegowe ��"� = q .
Dla [cianek poprzecznych - pocztkowej (wzory ze znakiem - ) i koDcowej ( + ):
" wektor obci|enia q = [�q ; 0 ; 0]T
" normalna zewntrzna � = [�1 ; 0 ; 0 ]T
q z 0 0 �1 �q z
��"� = �" = = q
0 0 0 0
[ ][ ] [ ]
sym 0 0 0
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 2
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
Dla pobocznicy:
" wektor obci|enia q = [0 ; 0 ; 0]T
" normalna zewntrzna � = [0 ; �y ; �z]T
0
q z 0 0 0
��"� = �" �y = = q
0 0 0
[ ] [ ]
[ ]
sym 0 0
�z
Wida zatem, |e zaBo|ony rozkBad napr|eD speBnia wszystkie statyczne warunki
brzegowe. Aatwo sprawdzi r�wnie|, |e speBnione s r�wnania r�wnowagi Naviera:
" �xx "� "�
xy xz
+ + = 0
" x " y " z
"� "� " �yz
yx yy
+ + = 0
" x " y " z
" �zx " �zy "�zz
{
+ + = 0
" x " y " z
�xx , ��xy , ��xz
Poniewa| napr|enia opisane s tymi samymi funkcjami co skBadowe
qx ,qy , qz
obci|enia , std oczywista jest r�wnowa|no[ ukBadu siB przekrojowych w
dowolnym przekroju prta z ukBadem siB zewntrznych przyBo|onych do jego odcitej
cz[ci.
F (W ) = �xx dA = qx dA = F (Z ) M (W )= (��xz y-��xy z )dA= (qz y-qy z)dA=M (Z )
," ," ," ,"
x 1 x 2 x 1 x 2
A A
A A
F (W ) = ��xy dA = qy dA = F (Z ) M (W ) = �xx z dA = qx z dA = M (Z2)
," ," ," ,"
y 1 y 2 y 1 y
A A A A
F (W ) = ��xz dA = q dA = F (Z ) M (W ) = (-�xx y)dA = (-qx y)dA = M ( Z )
," ," ," ,"
z 1 z z 2 z 1 z 2
A A A A
Poka|emy, |e dane obci|enie redukuje si do pary zginajcej w pBaszczyznie (xz) :
F = dA = q z dA = q z dA = 0
,"q ," ,"
x x
A A A
�#
S =0
y
F = dA = dA = 0
,"q ,"0
y y
A A
F = dA = dA = 0
,"q ,"0
z z
A A
M = y-qy z)dA =
,"(q ,"0dA = 0
x z
A A
M = z dA = z2 dA = q z2 dA = q I
,"q ,"q ,"
y x y
A A A
�#
I
y
M = q z ydA = q z y dA = 0
,"(-q y)dA = -," ,"
z x
A A A
�#
Dyz=0
W powy|szych obliczeniach skorzystali[my z faktu, |e rozpatrywany ukBad wsp�Brzdnych
jest ukBadem gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci, w kt�rym zar�wno momenty
statyczne, jak i moment dewiacji s r�wne 0.
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 3
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
2. Wyznaczenie odksztaBceD
Na podstawie r�wnaD fizycznych prawa Hooke'a wyznaczamy odksztaBcenia:
��yz
1
�xx = (1+�)�xx-�(�xx+� +� ) �yz =
[ ]
yy zz
E 2G
��zx
1
�yy = (1+�)�yy-�(�xx+�yy+�zz) �zx =
[ ]
E 2G
��xy
1
�zz = (1+�)�zz-�(�xx+� +�zz) �xy =
[ ]
yy
E 2G
q �q�"z �zz = - �q�"z
�xx = z �yy = -
E E E
�yz = 0 �zx = 0 �xy = 0
3. Sprawdzenie warunk�w nierozdzielno[ci
Warunki nierozdzielno[ci:
"2�yy "2�zz "2�yz "�yz "�zx "�xy "2�xx
"
+ = 2 , - + + =
( )
" x " x " y " z " y " z
" z2 " y2 " y " z
"2�zz "2�xx "2�zx " �yz "�zx "�xy "2�yy
"
+ = 2 , - + =
( )
" y " x " y " z " z " x
" x2 " z2 " z " x
"2�xx "2�yy "2�xy "�yz "�zx "�xy "2�zz
"
+ = 2 , + - =
( )
" z " x " y " z " x " y
" y2 " x2 " x" y
Poniewa| odksztaBcenia maj liniowy rozkBad w przestrzeni, a w r�wnaniach
nierozdzielno[ci wystpuj jedynie drugie pochodne odksztaBceD, std r�wnania powy|sze
speBnione s w spos�b to|samo[ciowy.
4. Wyznaczenie przemieszczeD
SkBadowe wektora przemieszczenia s rozwizanie ukBadu r�wnaD geometrycznych
Cauchy'ego:
" ux " u " uz
y
= �xx = �yy = �zz
" x " y " z
" u "uz " u "ux " ux " uy
1 1 1
y z
+ = � + = �zx + = �xy
{
yz
( ) ( ) ( )
2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x
Rozwizanie powy|szego niejednorodnego ukBadu liniowych, czstkowych r�wnaD
r�|niczkowych pierwszego rzdu bdzie sum rozwizania og�lnego ukBadu jednorodnego
(z zerowymi prawymi stronami) oraz dowolnego szczeg�lnego rozwizania ukBadu
niejednorodnego. Wyznaczymy je kolejno.
Rozwizanie og�lne ukBadu jednorodnego:
Rozwizanie to jest najog�lniejszym przemieszczeniem ciaBa nieodksztaBconego, tj. bryBy
sztywnej w og�lno[ci jest to zBo|enie translacji i obrotu wok�B chwilowego [rodka obrotu.
Funkcj t wyznaczamy w identyczny spos�b, jak w przypadku rozwizania zagadnienia
czystego rozcigania:
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 4
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
u (x , y , z) = a-d y+e z
x ,og
u ( x , y , z) = b- f z+d x
y , og
{
u ( x , y , z) = c-e x+ f y
z , og
Rozwizanie szczeg�lne ukBadu niejednorodnego:
Poszukujemy og�lnego rozwizania ukBadu r�wnaD:
" ux q " uy �q " uz � q
= �"z =- �"z = - �"z
" x E " y E " z E
"uy "uz " uz " u " u " u
1 1 1
x x y
+ = 0 + = 0 + = 0
{
( ) ( ) ( )
2 " z " y 2 " x " z 2 " y " x
Rozwizanie powy|szego ukBadu r�wnaD znalez caBkujc pierwsze trzy r�wnania
caBkujc pamita musimy, |e w og�lno[ci ka|da z poszukiwanych funkcji zale|y od
wszystkich trzech zmiennych niezale|nych. StaBa caBkowania jest mo|e by zatem funkcj
zale|n od wszystkich zmiennych niezale|nych r�|nych od tej, wzgldem kt�rej caBkujemy:
q �q �q
u = zx + �( y , z) u = - zy + �(z , x) uz ,sz = - z2 + �( x , y)
x , sz y , sz
E E 2 E
Nieznane funkcje � , � ,� wyznaczymy na podstawie pozostaBych r�wnaD dla odksztaBceD
postaciowych:
" � "� "� " �
� q " � q "�
- y+ + =0 x+ + =0 + =0
E " z " y E " z " x " y " x
Poniewa| rozwizanie szczeg�lne mo|na przyj dowolnie, std mo|na zaBo|y:
�( y , z) a" 0, �(z , x) a" 0
Ostatnie r�wnanie jest speBnione to|samo[ciowo. Z pozostaBych dw�ch mo|emy napisa:
" � � q � q
= y �! �( x , y) = y2+� ( x)
" y E 2 E
"� q " � q q q
=- x �! = - x �! �( x)=- x2 �! �( x) = (� y2-x2)
" x E " x E 2 E 2 E
Std:
q �q q
u = zx u = - zy uz , sz = (� y2-� z2- x2)
x , sz y , sz
E E 2 E
RozkBad przemieszczeD, bdcy rozwizaniem niejednorodnego ukBadu r�wnaD Cauchy'ego
jest zatem dany funkcjami:
q
ux = ux ,og+ux , sz = a-d y+e z + zx
E
� q
uy = uy ,og+uy , sz = b- f z+d x - zy
E
q
{
( )
uz = uz ,og+uz ,sz = c-e x+ f y + � y2-� z2-x2
2 E
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 5
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
5. Sprawdzenie warunk�w podporowych
u (0,0 ,0) = a=0
x
Warunek braku przemieszczeD punktu O(0,0,0) daje: u (0,0 ,0) = b=0
y
{
u (0,0 ,0) = c=0
z
Warunek braku obrot�w wok�B osi y i z w punkcie O(0,0,0) daje :
"uz " uy " uz
= f =0 = d =0 = -e=0
#" #" #"
" y " x " x
(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)
Wobec powy|szych zale|no[ci, speBniony jest tak|e warunek braku przemieszczeD na
kierunku osi x w przekroju x=0 . Ostatecznie wic rozkBad przemieszczeD dany jest
funkcjami:
q � q q
( )
u = z x uy = - z y u = � y2-� z2-x2
x z
E E 2 E
Przyjte rozwizanie speBnia wszystkie r�wnania i warunki brzegowe, jest zatem [cisBym
rozwizaniem zagadnienia czystego rozcigania.
Zgodnie z zasad Saint-Venanta, rozwizanie zagadnienia zginania czystego mo|na
zastosowa z dobrym przybli|eniem dla jakiegokolwiek przypadku, w kt�rym prt
obci|ony jest na [ciankach poprzecznych ukBadem siB redukujcym si w ich [rodku
ci|ko[ci do pary zginajcej. Takie zagadnienia nazywamy zginaniem prostym.
Ponadto, powszechnie, z dobr dokBadno[ci, stosuje si powy|sze rozwizanie r�wnie| dla
prt�w o przekroju i obci|eniu rozcigajcym zmiennym na dBugo[ci. Nale|y przy tym
mie jednak [wiadomo[, |e stosowane rozwizanie ma w takim przypadku jedynie
charakter przybli|ony szczeg�lnie dotyczy to obszar�w bliskich skokowej zmiany
geometrii lub obci|enia, w kt�rych z reguBy wystpuje koncentracja napr|eD.
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 6
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
PODSUMOWANIE ROZWIZANIA:
Wykorzystujc zale|no[ midzy momentem zginajcym a napr|eniem normalnym,
przemieszczenie, odksztaBcenie i napr|enie mo|na wyrazi w nastpujcy spos�b:
Tensor napr|enia: Tensor odksztaBcenia:
1
� 0 0
� 0 0 E
M
N
y
�
�= �= �"z =[MPa] �= -� 0
0 0
E
[ ]
I
m2
[ ]
z
�
sym 0
[ ]
sym -�
E
gdzie:
E moduB Younga (moduB sztywno[ci podBu|nej) [Pa]
� wsp�Bczynnik Poissona [-]
I moment bezwBadno[ci przekroju poprzecznego prta [m4]
y
RozkBad napr|eD normalnych w ka|dym przekroju zmienia si liniowo koDc�wki
wektor�w napr|enia w ka|dym punkcie przekroju tworz pBaszczyzn nachylon do
pBaszczyzny przekroju i przecinajc j wzdBu| osi y. M�wi si tak|e o bryle napr|eD
jest to bryBa ograniczona powierzchni przekroju, pobocznic prta oraz powierzchni,
kt�r tworz koDc�wki wektor�w napr|enia
Na osi y (dla kt�rej z=0 ) napr|enia normalne s r�wne 0 miejsce geometryczne
wszystkich takich punkt�w, w kt�rych napr|enia s r�wne 0 nazywamy osi obojtn
jest to linia prosta. Napr|enia normalne s tym wiksze im dalej dany punkt jest odlegBy
od osi obojtnej. Oznaczajc odlegBo[ punktu najbardziej oddalonego od osi obojtnej
zmax
przez mo|emy napisa:
M M I
y y y
�max = �( z=zmax) = �"zmax = gdzie W =
y
I W zmax
y y
W
Parametr nazywamy wskaznikiem wytrzymaBo[ci na zginanie i dla zadanej
y
pBaszczyzny zginania jest charakterystyk geometryczn przekroju. Dla przekroj�w
niesymetrycznych odlegBo[ od skrajnych wB�kien dolnych i g�rnych, w kt�rych wystpuj
ekstremalne napr|enia rozcigajce i [ciskajce (lub na odwr�t), mo|e by r�|na. Dla
prta obci|onego dodatnim momentem zginajcym, zorientowanym w ten spos�b, |e o[ z
zorientowana jest w d�B (co jest powszechnie stosowan praktyk) ekstremalne napr|enia
s r�wne:
M M
y y
�d = �"zd �g = �"zg
I I
y y
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 7
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
ZASADA PAASKICH PRZEKROJ�W BERNOULLIEGO
Trzeba r�wnie| zwr�ci uwag na wa|n cech uzyskanego rozwizania. Rozpatrzmy
dowolny pBaski przekr�j poprzeczny, prostopadBy do osi prta x. Przyjmijmy, |e odpowiada
xo = const.
on wsp�Brzdnej
UGICIE OSI BELKI
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 8
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
10.2 Zginanie uko[ne
Zginaniem uko[nym nazywamy przypadek obci|enia, w kt�rym
wektor momentu zginajcego nie jest r�wnolegBy do |adnej z
gB�wnych centralnych osi bezwBadno[ci przekroju prta, jak byBo to
w przypadku zginania czystego. Wektor ten mo|emy jednak rozBo|y na
skBadowe r�wnolegBe do tych osi je[li wektor momentu tworzy z osi y
kt � (orientacja jak na rysunku!) wtedy:
M
M =M cos�
z
y
tg � =
M =M sin �
M
z y
Zgodnie z zasad superpozycji rozkBad napr|eD normalnych w takim przypadku mo|na
zapisa w nastpujcej formie:
M M
y z
�xx( y , z) = �"z - �"y
I I
y z
Wz�r ten okre[la bryB napr|eD powierzchni bryBy tej jednoznacznie wyznaczaj
dowolne trzy niewsp�Bliniowe punkty.
Je[li stosuje si ukBad osi zorientowany inaczej ni| to przyjto w tym opracowaniu, wtedy
znak przy odpowiednim skBadniku we wzorze okre[la si w ten spos�b, |e sprawdza si w
jaki spos�b wektor momentu zorientowany zgodnie z odpowiadajc mu osi oddziaBuje na
pierwsz wiartk ukBadu wsp�Brzdnych je[li rozciga, wtedy we wzorze przyjmuje si
+ , je[li [ciska, przyjmuje si . PrzykBadowo:
M M
x y
�( x , y) = �"y - �"x
I I
x y
Dla przypadku zginania uko[nego, o[ obojtna w ukBadzie gB�wnych centralnych osi
bezwBadno[ci okre[lona jest wzorem:
M I I
z y y
�( y , z)=0 �! z = �" y = �"tg��" y
M I I
y z z
O[ obojtna przechodzi przez punkt (0,0) i jest nachylona
do osi y pod ktem �
I M I
y z y
tg � = �" = �"tg�
I M I
z y z
M i M I `"I
A zatem, je[li tylko s r�|ne od 0 oraz , to o[ obojtna nigdy nie bdzie
z y y z
pokrywa si z kierunkiem wektora momentu. Sytuacja taka mo|e mie miejsce tylko dla
przypadk�w zginania prostego lub dla przekroj�w, kt�re posiadaj wicej ni| dwie osie
symetrii (kwadrat, koBo wielokty foremne itp.).
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 9
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
10.3 Zginanie poprzeczne (zginanie ze [cinaniem)
Dotychczas rozwa|ali[my tylko przypadki, w kt�rych ukBad siB zewntrznych redukowaB
si jedynie do momentu zginajcego. Z reguBy jednak zginanie prt�w odbywa si wskutek
dziaBania siB poprzecznych ich obecno[ powoduje wystpowanie napr|eD stycznych i
odksztaBceD postaciowych. Ich obecno[ sprawia, |e zasada pBaskich przekroj�w
Bernoulli'ego nie jest w tym przypadku speBniona przekr�j poprzeczny pod
wpBywem napr|eD stycznych ulega deplanacji. ZcisBe rozwizanie tego zagadnienia
jest wyjtkowo trudne stosuje si zatem rozwizanie przybli|one. Przyjmowa
bdziemy, |e przemieszczenia i rozkBad napr|eD normalnych s takie same jak w
przypadku zginania czystego, jednak|e w tensorze napr|enia uwzgldnimy napr|enia
styczne.
NAPR{ENIA STYCZNE
Rozwa|my wycinek prta o dBugo[ci � x obci|ony siBami poprzecznymi. Nastpnie
dokonajmy cicia przez ten wycinek pBaszczyzn prostopadB do osi z, przecinajc t o[ w
pewnym ustalonym punkcie z. Ta odcita cz[ obci|ona jest ukBadem napr|eD s to
�xx
napr|enia normalne (o kt�rych zakBadamy, |e maj rozkBad liniowy, taki jak w
�xz = �zx
przypadku zginania czystego) oraz napr|enia styczne bdce wynikiem
dziaBania siB poprzecznych. Dla uproszczenia przyjmijmy, |e rozkBad tych napr|eD na
�
poziomej powierzchni cicia jest staBy, r�wny pewnemu [redniemu napr|eniu :
xz
Zapiszmy r�wnanie r�wnowagi siB na kierunku osi x:
� X = - � (x)dA - � x�"b (z)�"xz + � (x+� x)dA = 0
�
," ,"
A(z ) A(z )
Wykorzystujemy zale|no[ci opisujce rozkBad napr|eD normalnych przy zginaniu:
M ( x) M ( x+� x)
- z dA - � x�"b(z)�"� + z dA = 0
xz
," ,"
I I
A (z ) x A( z) y
1
M (x+� x)-M (x ) �" z dA - � x�"b( z)�"xz = 0
�
[ ]
,"
I
y
A(z)
�#
S (z)
y
Dzielc obie strony r�wnania przez � x otrzymujemy:
S (z)
M ( x+� x)-M (x)
y
�" - b( z)�"�xz = 0
I � x
y
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 10
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
Po przeksztaBceniach:
S ( z)
M ( x+� x)-M (x)
� = �"
xz y
I �"b( z) � x
y
Dokonujc przej[cia granicznego � x �! 0 i wykorzystujc zale|no[ r�|niczkow midzy
momentem zginajcym i siB poprzeczn, otrzymujemy:
S ( z) S (z) dM Qz�"S ( z)
M (x+� x)-M (x)
y y y
� = �" lim = �" =
xz y
I �"b( z) � x I �"b(z) dx I �"b( z)
� x �!0
y y y
Przyjmujc, |e napr|enia styczne s faktycznie r�wne zaBo|onemu napr|eniu [redniemu,
otrzymujemy ostatecznie wz�r opisujcy rozkBad napr|eD stycznych przy zginaniu
poprzecznym tzw. wz�r {urawskiego:
Qz (x)�"S (z)
y
�xz (x , z) =
b(z)�"I
y
S (z)
Funkcja oznacza moment statyczny odcitej
y
cz[ci przekroju (w odlegBo[ci z) wzgldem gB�wnej
centralnej (przechodzcej przez [rodek ci|ko[ci) osi
bezwBadno[ci y, przy czym bierzemy t cz[ przekroju,
kt�ra jest po stronie wikszych warto[ci z. Niekiedy jednak
wygodniej jest skorzysta z nastpujcej zale|no[ci:
z dA = z dA + z dA �! S ( z) = z dA = - z dA
," ," ," ," ,"
y
A A1 A2 A1 A2
�#
�#
S =0
S (z )
y
y
RozkBad napr|eD stycznych przy staBej szeroko[ci przekroju b jest kwadratow funkcj
zmiennej z. Napr|enia styczne przyjmuj lokalnie maksymaln warto[ na
wysoko[ci [rodka ci|ko[ci, tj. dla z=0. Ponadto rozkBad napr|eD stycznych jest
odwrotnie proporcjonalny do szeroko[ci przekroju dla danego z. Typowy rozkBad
napr|eD stycznych dla przekroju dwuteowego widoczny jest na rysunku.
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 11
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
ZGINANIE PRT�W O PRZEKROJU PROSTOKTNYM
NAPR{ENIA NORMALNE
b h3
Moment bezwBadno[ci przekroju: I =
y
12
�xx
RozkBad napr|eD normalnych :
M 12 M
y y
�xx = z = z
I
b h3
y
Maksymalne napr|enia normalne dla z = �h/2:
M M
y y
�max = , �min = - ,
W W
y y
I
b h2
y
W = =
gdzie wskaznik wytrzymaBo[ci na zginanie:
y
zmax 6
NAPR{ENIA STYCZNE
Szeroko[ przekroju: b( z) = b
S (z)
Funkcja dla przekroju prostoktnego:
y
h 1 h b h h
S (z) = b�" - z �" z+ - z = -z +z =
y
( ) ( ) ( )( )
[ ]
2 2 2 2 2 2
b h2
= - z2
( )
2 4
��xz
RozkBad napr|eD stycznych
Qz�"S ( z) 6Qz 1 z2
y
��xz = = -
( )
b (z)�"I bh 4
h2
y y
��xy
Brak napr|eD !
Qz
3
Maksymalne napr|enia styczne dla z = 0: ��max =
2 A
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 12
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
ZGINANIE PRT�W O PRZEKROJU KOAOWYM
NAPR{ENIA NORMALNE
� R4 � D4
Moment bezwBadno[ci przekroju: I = =
y
4 64
�xx
RozkBad napr|eD normalnych :
M 4 M 64 M
y y y
�xx = z = z = z
I
� R4 � D4
y
Maksymalne napr|enia normalne dla z = R:
M M
y y
�max = , �min = - ,
W W
y y
I
� D3 � R3
y
W = = =
gdzie wskaznik wytrzymaBo[ci na zginanie:
y
zmax 32 4
NAPR{ENIA STYCZNE
R2- z2
"
Z rysunku:
cos� =
R
R2- z2 = 2 R2-z2
"
Szeroko[ przekroju:
b( z) = 2R cos � = 2 R�"
"
R
S (z)
Funkcja dla przekroju prostoktnego:
y
S (z) = S (z)-S (z)
y y1 y2
1�"b(z)�"z�"2�"z = 2
S ( z) = z2 R2-z2
"
y2
2 3 3
R �-� R �-�
S ( z) = z dA = [(r sin �)r]d � dr = r2 dr sin � d � =
," +" +" +" +"
y1
�
A1 r =0 �=� 0
R
r3 R3 2 2
= [-cos�]�-� = [-cos(�-�)+cos �] = R3cos � = R2 R2- z2
"
�
[ ]
3 3 3 3
0
2
S (z) = S (z)-S (z) = ( R2-z2) R2-z2
"
y y1 y2
3
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 13
mgr in|. PaweB SzeptyDski Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w i mechaniki ukBad�w prtowych
10 Zginanie
��xz
RozkBad napr|eD stycznych :
( )
Qz�"S ( z) 4 Qz R2- z2
y
��xz = =
b (z)�"I
3 � R4
y y
Statyczne warunki brzegowe wymagaj, aby wypadkowe
napr|enia styczne na powierzchni bocznej przekroju byBy
styczne do tej powierzchni. Musz zatem wystpowa
�xy
dodatkowe napr|enia . Dla punkt�w konturu
mo|emy napisa:
Qz�"z�"y
z�"�� 4
��xy = -tg ��"�xz = - = -
xz
y 3
� R4
Wz�r nale|y stosowa tylko dla punkt�w konturu przekroju. Napr|enia te
zmieniaj warto[ wewntrz przekroju, jednak swoj makysmaln warto[ przyjmuj
wBa[nie na konturze.
Napr|enia wypadkowe na konturze (styczne do konturu):
�� = ��2 +��2
"
xy xz
Qmax
4
z
Maksymalne napr|enia styczne dla z = 0:
��max =
3 A
� Copyright: PaweB SzeptyDski - Creative Commons CC BY-NC-SA 3.0 PL 14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
10 zginanie uwaga o znakowaniu My i Mz10 Z Zginanie10 Z Zginanie10 Odkształcenia w belkach zginanych sprawozdanieWSM 10 52 pl(1)VA US Top 40 Singles Chart 2015 10 10 Debuts Top 10010 35więcej podobnych podstron