I. Więzy układy
Pojęcie dyskretnego układu mechanicznego:
1. Dany jest pewien zbiór n punktów materialnych [m,r], (i=1,2& n) zanurzonych w
przestrzeni trójwymiarowej xyz
2. Istnieje zbiór więzów ograniczających ruch punktów postaci pewnej liczby k równań
więzów ogólnej postaci:
3. Na każdy i-ty punkt układu działa pewna wypadkowa sił aktywnych ogólnej postaci
(i=1,2& n) Parametr V przyjmować może wszystkie wartości od v=1 do v=n, - wektor
wodzący, - prędkość, t- czas.
Więzy niestacjonarne stacjonarne
różniczkowe
nieholonomiczne
(kinematyczne)
skończone
holonomiczne
(geometryczne)
renomiczne skleronomiczne układy
Więzy mogą być:
Dwustronne
(Ä…=1,2& k)
Jednostronne (bardziej swobodne):
, (Ä…=1,2& k)
, (Ä…=1,2& k)
Układ holonomiczny- skrępowany jedynie więzami geometrycznymi,
Układ nieholonomiczny- jeżeli równania więzów zależą od prędkości,
Układ skleronomiczny- układ skrępowany jedynie więzami stacjonarnymi (czas nie
występuje).
II. Współrzędne uogólnione
Współrzędne uogólnione danego układu mechanicznego są to takie (dowolnie przyjęte)
zmienne, które w sposób jednoznaczny określają położenie tego układu. Liczbę
niezależnych współrzędnych uogólnionych potrzebnych do jednoznacznego określenia
położenia danego układu nazywamy liczbą stopni swobody N tego układu.
Do jednoznacznego opisu ruchu układu nie jest konieczne podawanie 3n równań
parametrycznych. x1=x1(t), y1=y1(t),& z1=z1(t), zn=zn(t)
III. Przemieszczenia możliwe i przygotowane (wirtualne)
Przemieszczenia możliwe to przemieszczenia dopuszczone przez więzy.
Dla ustalonej chwili t mamy ustalone (tzw. konfiguracja układu). Współczynniki
tych równań mogą zależeć od . Jeśli k=3n dałoby się wyznaczyć dla każdej chwili
położenia .
Jeśli układ ma więzy to II zasada dynamiki Newtona jest postaci:
Jest to ogólne równanie dynamiki zasada d Alemberta
IV. Siły uogólnione
Ruch układu materialnego, ograniczony pewną ilością więzów, możemy jednoznacznie
opisać za pomocą odpowiedniej (minimalnej) liczby tzw. współ. Uogólnionych równych
liczbie stopni swobody.
Definicja sił uogólnionych:
Praca wirtualna uogólnionych sił na odpowiednich przemieszczeniach uogólnionych
przygotowanych równa się pracy przygotowanej sił uogólnionych na układ, czyli:
Wzór ten jest praktycznym wzorem służącym do wyznaczania wszystkich współrzędnych
Qj wektora siły uogólnionej dla dowolnych n wektorów aktywnych .
Jeżeli układ jest w równowadze lub porusza się ruchem jednostajnym, to:
V. Równanie dynamiki w przypadku ruchu obrotowego
Jest to zasada d Alemberta dla ruchu obrotowego ciała sztywnego
VI. Ogólne równanie dynamiki w przypadku ruchu płaskiego
Ogólne równanie dynamiki jest w postaci:
VII. Parametry modalne
Tego nie będzie.
VIII. Dynamika ruchu kulistego
Rozkładając wektor krętu na główne osie bezwładności ciała mamy:
, itd.
Różniczkując równanie względem czasu, mamy:
Ze wzoru Eulera mamy:
- wektor prędkości w ruchu kulistym
, & itd.
Równania Eulera:
Gdy , to równania ruchu bezwładnościowego
IX. Żyroskop
Żyroskopem nazywamy ciało mające materialną oś symetrii i wykonujące obrót wokół
punktu znajdującego się na tej osi. W przybliżonej teorii żyroskopu zakłada się, że kręt
bryły względem nieruchomego punktu O leży na materialnej osi symetrii bryły. Kręt ten
jest równy K0=I1É, gdzie I1- jest momentem bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi symetrii, É-
prÄ™dkoÅ›ciÄ… wÅ‚asnÄ… żyroskopu. ZaÅ‚ożenie takie można zrobić przy przyjÄ™ciu, że É>>É1,
gdzie omega1 jest prędkością kątową precesji. Z zasady krętu mamy , gdzie
jest momentem głównym sił zewnętrznych względem punktu O. Pochodna krętu,
czyli prÄ™dkość koÅ„ca wektora jest równa É1xK, zatem (moment
żyroskopowy pochodzącym od sił bezwładności).
X. Zderzenie proste
Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie
styku obu ciał przechodzi przez środek masy tych ciał. Jeżeli prędkości obu ciał w chwili
przed zderzeniem są prostopadłe do płaszczyzny styku zderzenie nazywamy prostym,
kierunki dowolne, uderzenie skośne. W procesie zderzania rozróżniamy dwa
charakterystyczne okresy:
1. Do chwili zetknięcia się dwóch ciał, aż do chwili największego zbliżenia ich środków
mas, przy równoczesnym odkształceniu się obu ciał.
2. Od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas.
W wyniku odkształcenia się ciał przy zderzeniu występuje zmiana energii kinetycznej
układu w pewnej jej części na pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub
rzeczywista, w zależności od tego, czy
PrzechodzÄ…c do drugiego okresu mamy:
Prędkości W1 i W2 zależeć będą od tego czy strata energii kinetycznej została:
1. Zwrócona w 100% (ciała doskonale sprężyste)
2. Pochłonięta w 100% (ciała doskonale plastyczne)
3. Pochłonięta częściowo (ciała rzeczywiste)
Dla określenia start energii wprowadza się wsp. k.
Idealnie plastyczne idealnie sprężyste
Rzeczywista strata energii kinetycznej wynosi:
Zderzenie ukośne
Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku
Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu:
XI. Zderzenie mimośrodowe
Zastosujemy tu zasadę zachowania krętu ciał sztywnych, gdyż zgodnie z założeniem suma
momentów sił zewnętrznych jest równa zeru dla rozkładu dla ciał zderzających się. Dla
pierwszego okresu zderzenia mamy:
XII. Równania Lagrange a I rodzaju
Punkt pozostaje na powierzchni tzn. g(x,y,z)=0
Działanie więzów można zastąpić siłą normalną i siłą tarcia
Różniczka zupełna g(x,y,z)=0 przyjmuje postać
+ +
Wektor zapiszemy jako:
- mnożnik Lagrange a
, ,
, ,
I to siÄ™ podstawia i koniec.
Jeśli powierzchnia q(x,y,z) jest gładka, to T=0