6. Współczynnik restytucji przy zderzeniu dwóch kul
W.R. jest to stosunek prędkości względnych obu kul po i przed zderzeniem. Prędkości względne mają
różne znaki gdyż kule przed zderzeniem się zbliża-ją a po zderzeniu oddalają się od siebie k=ćłv12-
v22/v11-v21ćł
9. Åšrodek uderzenia
Jest to punkt, w którym nie zaobserwuje się wstrząsu wywołanego uderzeniem ciała. Współrzędna
tego punktu: ya=kx2/yc Uderzenie nie wywoła wstrząsu, jeżeli: (1) kierunek jego jest prostopadły do
płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu i środek masy, (2) Oś obrotu jest osią główną punktu
będącego rzutem punktu uderzenia na oś obrotu oraz (3) punkt uderzenia leży w odległości danej od
osi obrotu. Wykorzystuje się to przy projektowaniu narzędzi i maszyn.
11,12. Energia kinetyczna ciała sztywnego względem dowolnego punktu i środka masy. (tw.
Koniga).
E=1/2 (mV2 + IlcÉ2) Energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postÄ™powego z
C
prędkością środka masy i energii ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek masy.
Energia kinetyczna ciała skł się więc z dwóch części. Pierwsza to energia ruchu postępowego ciała z
prędkością środka masy. Jeżeli prędkość środka masy = 0, to ruch bryły jest jest chwilowym ruchem
obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy. Druga część wzoru przedstawia więc energię
kinetycznÄ… w ruchu obrotowym.
13. Niewyrównoważenie statyczne i dynamiczne ciała sztywnego. W maszynach zawierających
elementy wirujące występuje okresowa zmiana siły działającej na łożyska, co wywołuje drgania.
Dynamiczne  występują gdy środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz oś ta nie jest
osią główną, ponieważ przy wykonywaniu ele nie zawsze da się to spełnić, więc każdy ele jest
poddawany spr. Dodając lub odejmując masę można wpłynąć na położenie środka masy i rozkład
momentów bezwładności  wyrównoważenie.
14. Reakcje dynamiczne łożysk. Jeżeli środek masy ciała leży na osi obrotu i jednocześnie oś ta jest
osią główną ciała dla dowolnego jej punktu to reakcje dynamiczne są równe 0. Reakcje dynamiczne
występują, jeżeli środek masy ciała wirującego nie leży na osi obrotu oraz jeżeli oś ta nie jest osią
główną. Do reakcji statycznych wynikających z obciążenia siłami dochodzą reakcje dynamiczne
konieczne do utrzymania ciała w określonym ruchu obrotowym. Reakcje te wynikają ze zmian pędu i
krętu ciała. Gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała występuje okresowa zmiana siły
działającej na łożyska. Siła ta przenosząc się na elementy fundamentu wywołuje drgania.
15. Zjawisko żyroskopowe.
Żyroskop jest to ciało mające kształt bryły obrotowej obracającej się szybko wokół swej osi symetrii.
OÅ› obrotu oprócz prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É1 ma jeszcze prÄ™dkość kÄ…towÄ… É2 wokół osi z przechodzÄ…cej
przez środek masy O. Ciało wykonuje ruch kulisty i ruch ten jest precesją regularną. Dla wywołania
ruchu przykÅ‚adamy moment siÅ‚ zewnÄ™trznych Mo. ZakÅ‚adamy, że É2 obrotu osi wirujÄ…cej jest dużo
mniejsza od É1 obrotu wÅ‚asnego a wiÄ™c krÄ™t nie zależy od É2 tylko od É1 i leży na osi obrotu
własnego. Żyroskop wykorzystywany jest jako wskaz
nik położenia i zmian kierunku ruchu oraz do
sterowania ruchem obiektów ruchomych. W tym celu zostaje on zamocowany w przegubach
umożliwiających swobodny ruch żyroskopu względem obiektu ruchomego. Stosow w samolotach
(sztuczny horyzont) statki (stabilizacja)
21. Zasda d Lamberta, sformuowanie i zastosowanie.
Suma iloczynów skalarnych sum sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na punkty układu oraz
wektorów (-mipi) i przesunięć przygotowanych punktów układu materialnego jest równa 0. "(Fi+Wi-
mipi)Å"´ri=0. Do badania ruchu ukÅ‚adu swobodnego pod dziaÅ‚aniem siÅ‚ zewnÄ™trznych może być
zastosowana zasada: Układ sił zewnętrznych działających na punkty układu materialnego swobodnego
równo-waży się w każdej chwili z układem sił bezwładności S+SB=0 MO+MBO=0 Dla układu
nieswobodnego: Układ wektorów złożony z sił bezwładności układu materialnego sił zewnętrznych
działających na ten układ oraz z sił reakcji ograniczających ruchy tego układu jest układem
równoważnym 0. S+SB+R=0 MO+MBO+HO=0
22+. Określenie przemieszczenia przygotowanego i pracy przygotowanej.
Przesunięciem przygotowanym nazywamy takie dowolnie pomyślane przez obserwatora przesunięcie
będące jednym z przesunięć możliwych niezwiązane ani z działającymi siłami ani z czasem. Jeżeli na
punkt materialny dziaÅ‚a siÅ‚a Fi to po nadaniu punktom przesuniÄ™cia przygotowanego ´ri zostanie
wykonana praca elementarna ´Li=FiÅ"´ri PracÄ™ elementarnÄ… siÅ‚y na przesuniÄ™ciu przygotowanym
nazywamy pracą przygotowaną. W położeniu równowagi układu suma prac przygotowanych
wszystkich sił zew i reakcji = 0. Zasada ta przedstawia warunek konieczny i dostateczny równowagi
układu mechanicznego. Zastosowanie  dla dowolnych układów materialnych
23. Zderzenia proste, centralne
Przy zderzeniu dwóch ciał powierzchnie tych ciał zetkną się w jednym punkcie. Punkt A I ciała
zetknął się z punktem D II ciała. Powierzchnie tych ciał w punkcie zetknięcia mają wspólną normalną
(linia zderzenia). Prędkość względna punktu A w stosunku do punktu D jest równa i przeciwna
prędkości względnej punktu D w stosunku do punktu A. Jeżeli te prędkości względne są położone na
linii zderzenia to zderzenie nazywamy prostym w przeciwnym razie ukośnym. Przy zderzeniu prostym
siły chwilowe działają na linii zderzenia. Jeżeli linia zderzenia przechodzi przez środek masy ciała to
zderzenie nazywamy centralnym w odróżnieniu od zderzenia mimośrodowego w przypadku
przeciwnym.
25. Co to jest ruch kulisty bryły. Precesja regularna.
Ruch kulisty ciała sztywnego występuje, gdy jeden z punktów układy związanego z ciałem jest
nieruchomy. Ruch ten jest ruchem o trzech stopniach swobody. K =M. (można zrzutować na osie
x,y,z w ukÅ‚adzie nieruchomym). W ukÅ‚adzie ruchomym K ^+ÉxK0=M0
Precesja regularna jest to szczególny przypadek ruchu kulistego ciała, w którym prędkości kątowe
obrotu wÅ‚asnego i precesji sÄ… staÅ‚e Õ =É1=const È =É2=const a prÄ™dkość kÄ…towa nutacji jest równa 0,
więc kąt nutacji jest stały Ń =0 Ń=Ń0=const Ruch ten cechuje się tym, że ciało obraca się wokół osi
wÅ‚asnej Å› z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É1 a oÅ› ta obraca siÄ™ wokół osi staÅ‚ej z z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…t-owÄ… É2. KÄ…t
miÄ™dzy osiami jest staÅ‚y. StaÅ‚e prÄ™dkoÅ›ci oznaczajÄ…, że kÄ…ty È i Õ zmieniajÄ… siÄ™ w sposób jednostajny.
Ruch opisany jest równaniami ruchu Õ=É1t È=É2t Ń=Ń0 przy zaÅ‚ożeniu, że w chwili poczÄ…tkowej t=0
kÄ…ty Õ i È sÄ… równe 0 É=É1+É2
29. Równanie Lagrangea II rodzaju
d/dtÅ""E/"q j-"E/"qj=Qj j=1,2,...,s
Są to równania różniczkowe zwyczajne II rzędu. Rozwiązanie tych równań stanowi najkrótszy sposób
badania ruchu. Liczba równań różniczkowych jest przy tej metodzie najmniejsza i rów-na liczbie
stopni swobody układu. W równaniach tych występuje s niewiadomych przedstawiających s
współrzędnych uogólnionych określających ruch układu. Równania te nie zawierają reakcji toteż nie
pozwalają one na wyznaczenie wartości tych reakcji
32. Dynamika toczącego się koła.
Ruch taki wykonują koła pojazdu, jeżeli pudło pojazdu wykonuje ruch postępowy po linii prostej.
Przy takim ruchu koło toczy się po jezdni obracając się jednocześnie. Koło obciążone jest siłami
przekazanymi przez oś, na której zostało osadzone oraz reakcjami prostej (jezdni) i własną siłą
ciężkości. Przyjmujemy, że siły obciążające koło przekazane przez oś z uwzględnieniem własnego
ciężaru sprowadzają się do dwóch składowych pionowej P i poziomej F oraz pary sił o momencie M.
Siły te przyłożone są w punkcie C. Zakładamy, że punkt ten pokrywa się ze środkiem masy koła. Ze
strony toru (jezdni) działa na koło reakcja normalna N i siła tarcia T. Reakcja normalna ze względu na
opór toczny przesunięta jest o f w kierunku ruchu a siła tarcia skierowana w dodatnią stronę osi x gdyż
przeciwstawia się poślizgowi koła po szynie przy wskazanym kierunku działania momentu M. Jeżeli
koło toczy się bez poślizgu to między prędkością środka masy C a prędkością kątową istnieje związek
rÉ-vc=0 czyli É=vc/r Równania ruchu sÄ… nastÄ™pujÄ…ce mv c=F+T 0=N-P IÉ =M-Nf-Tr
mVC =F+T=F+(M.-Qfr-k2F)/r2+k2 k-ramię bezwładności
36. Prawo ruchu środka masy układu punktów materialnych.
Środek masy układu materialnego porusza się tak jak punkt materialny, w którym skupiona jest masa
całego ciała i do której przyłożone są siły równe wektorom głównym sił zewnętrznych i reakcji
działających na dany układ. MpC=S+R mx  ="Fix+"Rix Prawo to upraszcza roapatrywanie ruchu
C
układu p.m. ale zarazem nie możemy określić stosunku ruchu tych p względem środka masy.
37. Prawo zmienności pędu i krętu układu p.m.
Pochodna wektora pędu układu materialnego względem czasu równa jest sumie geometrycznej sił
zewnętrznych i reakcji działających na układ dB/dt="Fi+"Ri Pochodna względem czasu krętu
układu materialnego względem dowolnego stałego punktu równa jest sumie momentu głównego sił
zewnętrznych i momentu głównego reakcji względem tego samego punktu. dKo/dt=Mo+Ho Całka
wektorowa krętu L0+H0=0 dK0/dt=0 K0=const K0= stała C
44. Prawo zmienności pędu ciała sztywnego. B=mVC Pęd ciała sztywnego równy jest iloczynowi
masy ciała i prędkości środka masy. Jeżeli ruch opisany jest w układzie współrzędnych (ruchomych-
nieruchomych- środka masy)to korzystając ze wzoru na prędkość możemy obliczyć wektor B ze
wzoru B= m.(VA+ÉxÁ)
45. Prawo zmienności krętu ciała sztywnego. Kręt względem punktu O może być obliczony na
podstawie znanego krÄ™tu wzglÄ™dem p. A K0= rAxB+KA KA= caÅ‚ka(m.)ÁxVdm
1. PrÄ™dkość p. w ruchu zÅ‚ożonym. Wzór r=rA+Á v=r u=r +ÉxÁ Á =Á^+ÁxÉ Á^(lokalna)
A
v=w+u