POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ
1. Każdemu układowi fizycznemu odpowiada funkcja
falowa (funkcja stanu)
¨ = ¨(x, y, z,t)
która jest ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w
całym zakresie zmienności funkcji.
2. Prawdopodobieństwo znalezienia układu
¨
opisywanego funkcjÄ… falowÄ… w elemencie
przestrzeni dÄ
2
P = ¨ dÄ
3. Każdej dynamicznej wielkości fizycznej F
$
F
odpowiada operator . W wyniku pomiaru
otrzymuje się zawsze jedną z wartości własnych
$
F
operatora .
Ć
F fn = an fn
4. Funkcja falowa speÅ‚nia równanie Schrödingera
"¨
$
¨ = ih
"t
5. Wartość oczekiwana przy pomiarze wielkości
$
A
fizycznej opisywanej operatorem w układzie
¨
opisywanym funkcjÄ… falowÄ… , jest dana przez
$
< A >= ¨"A¨dÄ
+"
&!
EWR mechanika kwantowa 2
1
FUNKCJA FALOWA
Funkcja falowa
¨(x, y, z,t)
" zawiera w sobie wszystkie informacje o stanie
czÄ…stki
" pozwala znalez
ć prawdopodobieństwo
otrzymania określonego wyniku dowolnego
pomiaru
Sens fizyczny ma
2
¨(x, y, z,t)
równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia
czÄ…stki w danym punkcie.
Warunek unormowania
2
¨(x, y, z,t) dÄ = 1
+"+"+"
Funkcja falowa i jej pochodne muszą być
określone i ciągłe.
EWR mechanika kwantowa 2
2
OPERATORY
Równanie własne operatora:
Âfn = an fn
fn  funkcja własna
an  wartość własna
Przykłady operatorów w reprezentacji położeniowej:
" Operatory składowych pędu
h "
h " h "
Ć
Ć pz =
Ć py =
px =
i "y
i "x i "z
" Operatory położenia
Ć
x = x, w
= y, Ä™ = z,
" Operator energii kinetycznej
h2
Ć
T = - "
2m
" operator Hamiltona
h2 r
$
= - " +Û (r )
2m
EWR mechanika kwantowa 2
3
WYNIKI POMIARÓW
Dla układu opisywanego funkcją falową
¨(x, y, z,t)
Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku an
2
*
P(an) =
an
+"u (x, y, z,t)¨(x, y, z,t)dÄ
Wartość średnia dużej ilości pomiarów
2
*
Ć
< a >=
+"¨ (x, y, z,t)Ä™¨(x, y, z,t)dÄ
EWR mechanika kwantowa 2
4
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
h " ¨ " ¨ " ¨ "¨
ìÅ‚ ÷Å‚ - U¨ = -ih
+ +
2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2m "x "y "z "t
íÅ‚ Å‚Å‚
U - energia potencjalna
Jeżeli U jest niezależne od czasu
¨(x, y, z,t) =È (x, y, z) f (t)
to równanie to daje się rozdzielić na dwa równania
" równanie opisujące zależność od czasu
"f
- ih = -E Å" f
"t
" stacjonarne równanie Schrödingera
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
h " È " È " È
ìÅ‚ ÷Å‚
+ + + (E - U )È = 0
2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2m "x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
W jednym wymiarze
2
" È 2m
+ (E - U )È = 0
2 2
"x h
EWR mechanika kwantowa 2
5
ELEKTRON SWOBODNY
Stacjonarne równanie Schrödingera
2
" È 2m
+ (E - U )È = 0
2 2
"x h
dla elektronu swobodnego (dla U = 0)
2
d È p2
+ È = 0
dx2 h2
RozwiÄ…zanie jest w postaci
È (x) = A exp(Ä…1 x) + B exp(Ä… x)
2
gdzie
p p
Ä… = i , Ä… = -i
1 2
h h
Po podstawieniu p = '
k i rozwiązania równania
czasowego f(t) otrzymuje siÄ™ falÄ™ de Broglie a:
È (x) = Aexp[i(kx -Ét)]+ Bexp[i(-kx -Ét)]
EWR mechanika kwantowa 2
6
ELEKTRON SWOBODNY
wektor falowy
k = p/'

częstość
kołowa
É = E / '

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu
2
È (x) = A2
nie zależy od położenia.
Dozwolone są dowolne wartości energii kinetycznej
p2
E =
2m
na wykresie W a" E oznacza energię całkowitą
EWR mechanika kwantowa 2
7
SKOK POTENCJAA
U
stacjonarne równanie Schrödingera
2
" È 2m
+ (E - U )È = 0
2 2
"x h
Obszar I E - U > 0
2
2m
d È
1
k1 = (E - U )
= -k12È
1
2
h2
dx
rozwiÄ…zanie w postaci
È1(x) = Aexp(ik1x) + Bexp(-ik1x)
Obszar II E - U < 0
2
d È
2m
2
1
= k È
k2 = (U - E)
2 1
2
dx h2
rozwiÄ…zanie w postaci
È2(x) = C exp(-k2x) + D exp(k2x)
EWR mechanika kwantowa 2
8
SKOK POTENCJAA
U
D = 0
È1(x) = Aexp(ik1x) + Bexp(-ik1x)
È2(x) = C exp(-k2x)
Warunki dopasowania dla x = 0
È1(0) =È (0)
2
dÈ1 dÈ
2
=
dx dx
x=0 x=0
dajÄ… amplitudy A, B i C
Jan Hennel, rys 2/4
EWR mechanika kwantowa 2
9
BARIERA POTENCJAA
U
Istnieje różne od zera prawdopodobieństwo
przeniknięcia cząstki przez barierę potencjału.
Współczynnik transmisji:
T H" e-2kd k = 8Ä„2m(U0 - E)
h2
EWR mechanika kwantowa 2
10
ZJAWISKO TUNELOWE
przechodzenie czÄ…stek
alfa przez barierÄ™
potencjału w jądrze
atomowym
Mikroskop
tunelowy
Skaningowy mikroskop tunelowy (STM od
Scanning Tunneling Microscope) - umożliwia
uzyskanie obrazu powierzchni materiałów
przewodzących ze zdolnością rozdzielcza rzędu
pojedynczego atomu.
EWR mechanika kwantowa 2
11
TUNELOWY MIKROSKOP
SKANINGOWY
EWR mechanika kwantowa 2
12
NIESKOC
CZONA STUDNIA POTENCJAA
U
È (x) = Aeikx + Be-ikx
2mW
k =
h2
RozwiÄ…zaniem równania Schrödingera sÄ… funkcje
falowe o postaci:
È(x) = A'sin(kx)
Ä„
kn = n
a
funkcje falowe:
EWR mechanika kwantowa 2
13
NIESKOC
CZONA STUDNIA POTENCJAA
U
Gęstość prawdopodobieństwa:
E
Poziomy energetyczne:
2mE
k =
h2
h2k2 h2
E = = n2
2m
8ma2
Wa"E
EWR mechanika kwantowa 2
14
SKOC
CZONA STUDNIA POTENCJAA
U
E
Funkcje falowe
gęstość prawdopodobieństwa
EWR mechanika kwantowa 2
15
POZIOMY ENERGETYCZNE
E
E
E Wa"E
Zasada lokalizacji
Lokalizacji fali w przestrzeni prowadzi
do kwantyzacji, a więc do powstania
dyskretnych stanów o dyskretnych
energiach. Zlokalizowana cząstka może
mieć tylko takie energie.
Zasada korespondencji
Dla dostatecznie dużych liczb kwantowych
przewidywania fizyki kwantowej przechodzÄ…
w sposób ciągły w przewidywania fizyki
klasycznej.
EWR mechanika kwantowa 2
16
STANY ZWI
ZANE
U0 = 450 eV L =100 pm
EWR mechanika kwantowa 2
17