POLITECHNIKA ŚWI
TOKRZYSKA
Katedra Urządzeń Elektrycznych i Techniki Świetlnej
Część II
Przepięcia i ochrona
przeciwprzepięciowa
Wykład 6
1. Wstęp
2. Rozchodzenie się fal
w liniach długich
1. Wstęp
W normalnych warunkach pracy sieci i urządzeń elektroenergetycznych na izolacji występuje
sinusoidalnie zmienne napięcie robocze. Wartość skuteczna napięcia międzyprzewodowego jest
bliska napięciu znamionowemu (Un).
Napięcie znamionowe to takie napięcie na jakie izolacja została obliczona i wykonana. Do
napięcia znamionowego odnosi się własności elektryczne urządzeń takie jak: moc znamionowa,
prąd znamionowy.
Napięcie robocze w sieciach elektroenergetycznych nie może długotrwale przekraczać wartości
dopuszczalnych (Um)zwanych najwyższym napięciem roboczym.
Tabela 1.1. Napięcia znamionowe i najwyższe dopuszczalne międzyprzewodowe
napięcia robocze w sieciach elektroenergetycznych
Un [kV] 3 6 10 15 20 30 40 60 110 220 400
Um [kV] 3,6 7,2 12,0 17,5 24,0 36,0 48,0 72,5 123,0 245,0 420,0
Każdy krótkotrwały wzrost napięcia powyżej najwyższej dopuszczalnej wartości napięcia
roboczego w normalnych warunkach pracy nazywamy przepięciem.
Wielkość przepięcia określa tzw współczynnik przepięć kp przedstawiający sobą stosunek
amplitudy przepięcia do wartości szczytowej najwyższego napięcia roboczego.
U 3 ��U
przep przep
U
przep
kp =� =�
k =�
Dla napięcia międzyprzewodowego dla napięcia fazowego
p
2 ��Um 2 ��Um
2 ��Um
3
Wspólczynnik przepięć jest wielkością na którą można wpływać przez odpowiedni dobór
wytrzymałości izolacji i środków jej ochrony.
O wymiarach izolacji urządzeń
decydują na ogół przepięcia do-
ziemne. W przypadku najwyż-
szych napięć urządzenia buduje
się zazwyczaj jako jednofazowe,
a zatem odstępy między fazami
są znaczne i duża jest wytrzyma-
łość izolacji międzyfazowej.
Rys. 1.1. Wpływ współczynnika przepięć na wymiary słupów
linii 765 kV: a) kp = 2,0, b) kp = 1,5
Podział przepięć ze względu na z
ródło ich powstawania
a) przepięcia zewnętrzne (zwane też atmosferycznymi lub piorunowymi),
 bezpośrednie (bezpośrednie uderzenie pioruna w linię lub stację),
 pośrednie (indukowane),
b) przepięcia wewnętrzne,
 łączeniowe (przy wykonywaniu manipulacji łączeniowych),
 zakłóceniowe (zwarcie, przerwanie przewodu),
1.1. Przepięcia wewnętrzne
1.1.1. Przykładowe z
ródła przepięć wewnętrznych
A. Przepięcia przy niesymetrycznych zwarciach z ziemią.
Są to przepięcia towarzyszące zwarciom jedno lub dwufazowym z ziemią. Miarą tych przepięć jest
współczynnik doziemienia równy stosunkowi wartości skutecznej napięcia (Uz) względem ziemi na fazie
zdrowej do wartości skutecznej fazowego dopuszczalnego napięcia roboczego
Uz
kz =� �� 3
Um
Stosunek Uz/Um = ku nazywamy współczynnikiem uziemienia sieci. Między współczynnika-mi kz i ku
istnieje zależność
kz = 3 ��ku
Wartości współczynników ku w dużym stopniu zależą od rodzaju zakłócenia (zwarcie jedno- lub dwufa-
zowe) oraz od parametrów sieci, głównie od wartości stosunków R1/X1, R0/X1 i X0/X1. Zatem współ-
czynniki ku zależą też od sposobu uziemienia punktu gwiazdowego sieci.
Rozróżniamy:
- sieci z punktem zerowym izolowanym, w których, punkty gwiazdowe wszystkich transformato-
rów są izolowane od ziemi,
- sieci skompensowane, w których punkty gwiazdowe niektórych transformatorów połączone są
z ziemią poprzez tzw. dławiki gaszące dostrojone do pojemności linii,
- sieci ze skutecznie uziemionym punktem zerowym, w których punkty gwiazdowe wszystkich
lub tylko niektórych transformatorów są połączone bezpośrednio z ziemią.
Sieci, w których ku < 0,8, nazywamy sieciami ze skutecznie uziemionym punktem zerowym.
B. Przepięcia przy zrzucie obciążenia
Przepięcia te powstają,gdy układy regulacji turbin generatorów nie nadążają za szybkimi zmianami
obciążenia. Najbardziej powolne są układy regulacji turbin wodnych, które dają największe przepięcia.
Szczególnie duże przepięcia powstają w przypadku, gdy obciążenie generatora zostanie wyłączone na
końcu długiej linii przesyłowej. Generatory elektrowni przechodzą wówczas z obciążenia indukcyjnego
na obciążenie pojemnościowe, które stanowi sama linia przesyłowa. Powoduje to dowzbudzenie genera-
torów i jeszcze większy wzrost napięcia na zaciskach generatorów.
Przepięcia te można ograniczyć przez wielokrotne powiązanie sieci, aby nie dopuścić do takiej sytu-
acji, w której cała moc elektrowni byłaby przesyłana jedną tylko linią przesyłową.
C. Przepięcia rezonansowe
Przepięcia rezonansowe występują, jeśli wskutek zmiany konfiguracji sieci (po wyłączeniu obciążenia
lub w stanach awaryjnych) utworzą się w niej słabo tłumione obwody złożone z szeregowo połączonej
indukcyjności i pojemności.
D. Przepięcia przy odłączaniu nieobciążonych transformatorów
y
ródłem tych przepięć jest energia pola magnetycznego pozostająca w obwodzie indukcyjnym po jego
odłączeniu od sieci przy nagłym przerwaniu prądu przed naturalnym przejściem przez zero. Pod wpły-
wem tej energii w odłączonym obwodzie indukcyjnym, który zawiera zawsze pewne pojemności - mogą
to być nawet pojemności własne samych uzwojeń - rozwijają się drgania prądu i napięcia dające niekie-
dy znaczne przepięcia.
E. Przepięcia przy odłączaniu kondensatorów
Na kondensatorze odłączonym od z
ródła napięcia przemiennego, przez wyłącznik dający zapłony
wielokrotne, może pozostać napięcie stałe niekiedy znacznie większe od wartości szczytowej napięcia
z
ródła.
F. Przepięcia przy załączania i wyłączaniu nieobciążonych linii
Szczególnie duże i niebezpieczne dla izolacji wartości tych przepięć powstają przy załączaniu i wyłą-
czaniu nieobciążonych długich linii przesyłowych wysokiego i najwyższego napięcia. Po przeskoku
iskry, która poprzedza metaliczne połączenie się styków wyłącznika, w linii pojawia się sinusoidalna
fala napięcia o bardzo stromym czole. Duża stromość czoła tej fali wynika z niewielkiego oporu iskry.
Mechanizm powstawania przepięć przy wyłączaniu linii jest podobny jak przy wyłączaniu kondensato-
rów. Przepięcia te osiągają największą wartość, jeśli łuk gaśnie w wyłączniku przy przejściu prądu przez
zero i zapala się ponownie przy wartości szczytowej napięcia powrotnego
1.1.2. A
ączeniowy poziom izolacji
Poziom izolacji urządzeń el-en na napięcia znamionowe powyżej 220 kV określany jest przez
przepięcia łączeniowe. Stają się one groz
niejsze od przepięć atmosferycznych. Wytrzymałość
izolacji w sieciach 400 i 750 kV spada poniżej wartości przepięć łączeniowych. Wynika stąd, że
wymiary izolacji w liniach o napięciach znamionowych wyższych od 220 kV determinują
przepięcia łączeniowe, a w związku z tym w sieciach tych zachodzi potrzeba stosowania oprócz
ochrony od przepięć piorunowych również ochrony od przepięć łączeniowych.
Przepięcia łączeniowe przy próbach izolacji urządzeń el-en reprezentowane są przez znorma-
lizowane udary łączeniowe o kształcie 250/2500 m�s.
u/Umax
1,0
0,9
T90
0,5
t
0
T1
T2
Rys. 1.2. Udar łączeniowy normalny pełny: T1 - czas do szczytu (250 ą� 20%),
T2 - czas do półszczytu (2500 ą� 60%), T90 - czas trwania wartości
napięcia 0,9 Umax
1.2. Przepięcia zewnętrzne
Przepięcia zewnętrzne (piorunowe), to krótkotrwałe wzrosty napięcia w sieci spowodowa-
ne uderzeniami piorunów bezpośrednio w obiekt elektroenergetyczny lub w jego pobliżu.
Wartości szczytowe przepięć piorunowych nie zależą od w zasadzie od napięcia roboczego
i na ogół przekraczają wytrzymałość izolacji urządzeń elektroenergetycznych. Izolacja ta
musi więc być chroniona ogranicznikami przepięć.
Udarowy poziom izolacji zależy od rodzaju izolacji i napięcia znamionowego. Jest on
określany przez wymagane przepisami napięcie probiercze.
Przepięcia piorunowe są reprezentowane przy próbach izolacji przez znormalizowane
udary atmosferyczne o kształcie 1,2/50 m�s.
u/Umax
1,0
0,9
0,5
Rys. 1.3. Udar napięciowy piorunowy
normalny pełny: T1 - czas trwania czoła
0,3
(1,2 m�s ą� 30%), T2 - czas do półszczytu
t
(50 m�s ą� 20%). Umowny początek udaru
0,0
T1
jest wyznaczany przez punkt przecięcia z
T
2
osią czasu prostej przechodzącej przez
punkty 0,3 i 0,9 Umax
1.3. Znamionowe napięcia probiercze izolacji
Izolacja każdego wysokonapięciowego urządzenia poddawana jest próbom napięciowym przed
dopuszczeniem do eksploatacji. Również w czasie eksploatacji przeprowadza się badania okresowe, których
częstość i zakres zależy od rodzaju urządzenia.
Tabela 1.2. Znormalizowane poziomy izolacji z zakresu I
Znamionowe napięcia probiercze izolacji
Norma PN EN 60071-1:2008
Napięcie znamiono- Najwyższe napięcie
Znormalizowane znamiono- Znormalizowane znamiono-
we sieci urządzenia
we napięcie wytrzymywane we napięcie wytrzymywane podaje napięcia probiercze izolacji
Un , kV Um , kV
50 Hz piorunowe
(wartość skuteczna) (wartość skuteczna)
urządzeń elektroenergetycznych o
kV (wartość skuteczna) kV (wartość szczytowa)
20
napięciu wyższym niż 1 kV. Norma ta
3 3,6 10
40
nie dotyczy izolacji maszyn
40
6 7,2 20
60
wirujących i kabli a także rozdzielnic
60
SF6. Dla izolacji zewnętrznej (np.
10 12 28 75
95
izolatory) podane wartości napięć
75
15 17,5 38
dotyczą warunków normalnych.
95
95 Norma dzieli znormalizowane
20 24 50 125
najwyższe napięcia urządzeń na dwa
145
145 zakresy. Zakres I obejmuje napięcia
30 36 70
170
od 1 do 245 kV a zakres II napięcia
60 72,5 140 325
powyżej 245 kV. Zbiory wartości
(185) (450)
110 123
znamionowych napięć
230 550
wytrzymywanych skojarzone z Um
(275) (650)
(podane w tabelach) stanowią
(325) (750)
220 245 360 850 znormalizowany poziom izolacji.
395 950
460 1050
Znormalizowane poziomy izolacji odzwierciedlają ogólnoświatowe doświadczenia w zakresie metod
ograniczania przepięć i budowy urządzeń ochrony. Przy wyborze znamionowego poziomu izolacji urządzenia
należy brać pod uwagę różne aspekty eksploatacyjne. Wybór ten powinien uwzględniać rodzaj urządzenia,
miejsce jego zainstalowania, wartości spodziewanych przepięć oraz zastosowanie (lub nie) urządzeń ochrony
przeciwprzepięciowej. Jeżeli wartości napięć wytrzymywanych podane w nawiasach są niezadowalające
konieczne jest przeprowadzenie dodatkowych prób wytrzymałości izolacji międzyfazowej.
Przy wyborze wartości napięć probierczych łączeniowych należy brać pod uwagę:
a) rodzaj, wartość i częstość
Tabela 1.3. Znormalizowane poziomy izolacji z zakresu II
występowania przepięć
Znormalizowane znamionowe napięcie wytrzymy- Znormalizowane
Napięcie znamio- Najwyższe na-
łączeniowych,
wane udarowe łączeniowe znamionowe napię-
nowe sieci pięcie urządzenia
Izolacja wzdłuż- Faza-ziemia Międzyfazowa cie wytrzymywane
b) rodzaj zastosowanej ochro-
Un , kV Um , kV
na a), kV kV (w stosunku do udarowe pioru-
(wartość (wartość
ny przeciwprzepięciowej,
(wartość (wartość wartości szczyto- nowe b), kV
skuteczna) skuteczna)
szczytowa) szczytowa) wej faza-ziemia) (wartość szczytowa)
c) dopuszczalne ryzyko
1050
850 850 1,60 przeskoków.
1175
Mniejsze wartości napięć
1175
400 420 950 950 1,50
probierczych stosować należy
1300
przy współczynniku zwarcia
1300
950 1050 1,50
1425
doziemnego kz <= 1,3.
1300 1675
Przy wyborze wartości napięć
1175 1,70
1800
probierczych piorunowych
1425 1800
należy brać pod uwagę rodzaj
750 800 1175 1,70
1950
i zasięg ochrony
1175 1950
1550 1,60
przeciwprzepięciowej.
1300 2100
a)
Mniejsze wartości należy
Wartość składowej napięcia probierczego udarowego odpowiadająca wartości szczytowej składowej częstotliwości siecio-
wej o przeciwnej biegunowości wynosi Um ��
stosować dla urządzeń
b)
Wartości te stosuje się zarówno dla izolacji faza-ziemia, jak i międzyfazowej; dla izolacji wzdłużnej stanowią one znamio-
nową znormalizowaną składową udaru napięciowego w znamionowym znormalizowanym kombinowanym napięciu wy- skutecznie chronionych
trzymywanym, podczas gdy wartość szczytowa składowej częstotliwości sieciowej o przeciwnej biegunowości wynosi
ogranicznikami przepięć.
0,7 �� Um ��
2. Rozchodzenie się fal w liniach długich
W wyniku występowania przepięć, szczególnie atmosferycznych, powstają w układach
elektroenergetycznych fale przepięciowe, które rozchodząc się wzdłuż linii przesyłowych
rozprzestrzeniają się na duży obszar. Dla fal przepięciowych o stromym czole linie przesy-
łowe muszą być traktowane jako linie długie.
2.1. Równania linii długiej
Dla dużych stromości fal przepięciowych wpływ rezystancji i konduktywności jest bardzo
mały, rozpatruje się więc linie bez strat złożone z elementów L i C. Dla uproszczenia rozważań
bierze się pod uwagę fale o nieograniczonej stromości  czyli fale o czole prostokątnym 
najbardziej niekorzystne z punktu widzenia zagrożeń dla izolacji.
Wartości chwilowe napięcia oraz prądu w danym punkcie linii są funkcjami dwu zmiennych
niezależnych: czasu  t i odległości  x , a więc mamy u(x,t) i i(x,t).
Rozpatrujemy odcinek linii bez strat D�x. Parametry rozłożone linii zastępujemy przez
elementy skupione L0 i C0 odniesione do jednostki długości linii (najczęściej do 1 km).
L0 x L0 x L0 x
D� D� D� L0 x L0 x L0 x
D� D� D�
C 0 x
D�
C 0 x C 0 x C0 x C 0 x C 0 x
D� D� D� D� D�
x x
D�
Rys.2.1. Schemat zastępczy linii bez strat
Na podstawie praw Kirchoffa, można
L x
0D� i(x+ x,t)
D�
i(x,t)
ułożyć następujące równania dla
napięć i prądów:
i (x,t)
c
ś� i( x,t )
u(x,t)
C x u(x+ x,t)
0D� D�
u( x,t ) =� L0D�x �� +� u( x +� D�x,t )
ś� t
ś� u( x +� D�x,t )
i( x,t ) =� C0D�x�� +� i( x +� D�x,t )
x
x
D�
ś� t
Rys. 2.2. Odcinek linii bez strat o długości D�x: L0 - indukcyj-
Po przekształceniu otrzymamy:
ność jednostkowa, C0 - pojemność jednostkowa linii
u( x +� D�x,t )-� u( x,t ) ś�i( x,t )
-� =� L0
D�x ś�t
(2.1)
i( x +� D�x,t )-� i( x,t ) ś�u( x +� D�x,t )
-� =� C0
D�x ś�t
Zakładając D�x �� 0 przechodzimy od układu łańcuchowego do linii rzeczywistej otrzymując
równania różniczkowe
ś� u ś� i
-� =� L0
ś� x ś� t
(2.2)
ś� i ś� u
-� =� C0
ś� x ś� t
Doprowadzając te równania do postaci z jedną zmienną otrzymujemy jednorodne równania
falowe (wzory 2.3), zwane również równaniami telegrafistów. Np., aby otrzymać równanie
falowe dla napięcia, należy zróżniczkować pierwsze z równań (2.2) względem  x a drugie
względem  t
2 2
ś� u ś� u
=� L0C0
ś�x2 ś� t2
(2.3)
2 2
ś� i ś� i
=� L0C0
ś�x2 ś� t2
Rozwiązanie powyższych równań metodą d Alemberta ma postać sumy fal:
- biegnącej w przód (zgodnie ze zwrotem osi x) oraz
- biegnącej wstecz (w kierunku przeciwnym).
Zatem napięcie i prąd w dowolnym punkcie linii i w dowolnej chwili czasowej jest sumą
dwóch fal: biegnącej w przód i biegnącej wstecz
u =� f1( x -� vt )+� f2( x +� vt ) =� u'+�u"
(2.4)
1 1
i =� f1( x -� vt )-� f2( x +� vt ) =� i'+�i"
Z Z
W równaniach tych
1
L0
v =� -� prędkość rozchodzenia się fali,
Z =� -� impedancja falowa,
L0C0 C0
u'
i' =�
u , i - fale (napięcia i prądu) biegnące w przód, przy czym
Z
u"
u , i - fale biegnące wstecz, przy czym
i" =� -�
Z
Znając impedancję falową linii i prędkość rozchodzenia się fali można obliczyć parametry
jednostkowe linii korzystając z wzorów:
1 Z
C0 =� , L0 =� . (2.5)
Zv v
Z drugiej strony, parametry linii można obliczyć wychodząc z wymiarów geometrycznych
i usytuowania przewodów.
Tab. 2.1. Parametry podstawowych układów linii bezstratnych: h - wysokość zawieszenia przewodu nad
ziemią, a - odległość między przewodami, r - promień przewodu, R - promień elektrody ze-
wnętrznej w układzie koncentrycznym, e� - przenikalność względna ośrodka, m�0 = 4p���10 7 H/m,
e�0 = (36p�) 1��10-9 F/m
Układ L0 C0 v
Z (W�)
2p�e�0
1 m
m�0 2h 2h
przewód - ziemia
=� c =� 300
ln 60ln
2h
m�s
2p� r ln r m�0e�0
r
2p�e�0e�'
przewód m�0
R 60 R 1 c
ln ln =�
R
koncentryczny
2p� r r
e�' m�0e�0e�' e�'
ln
r
2p�e�0
1 m
m�0
przewód a a
=� c =� 300
ln 60ln
a
m�s
symetryczny
m�0e�0
2p� r r
ln
r
2.2. Przejście fali na inną impedancję falową
Na końcu linii o impedancji Z1 znajduje się linia nieskończenie długa o impedancji Z2. Punkt
połączenia dwóch linii (punkt A) nazywamy punktem węzłowym lub punktem nieciągłości.
Rys. 2.3. Układ dwóch linii o różnych impe-
u1
dancjach falowych. Fala przepięcio-
A
wa u1 przesuwa się w kierunku punk-
tu węzłowego A od strony linii Z1
Z2
Z1
Napięcia i prądy w dowolnych punktach obydwu linii wynoszą:
dla linii Z1 u1 = u1 + u1 , i1 = i1 + i1 ,
dla linii Z2 u2 = u2 + u2 , i2 = i2 + i2 .
Fale u1 i i1 (biegnące wprzód w linii Z1) nazywać będziemy falami padającymi.
Fale u1 , i1 (biegnące wstecz) nazywać będziemy falami odbitymi,
Fale u2 i i2 biegnące w przód w linii Z2 będziemy nazywać falami przepuszczonymi.
Punkt węzłowy A to punkt wspólny dla obu linii. Dla tego punktu zachodzą więc relacje:
u1 = u2 , i1 = i2 ,
u1 + u1 = u2 + u2 . i1 + i1 = i2 + i2 .
Ponieważ linia Z2 posiada (z założenia) nieskończoną długość, więc u2 = 0 i i2 = 0 (brak fali
odbitej w linii Z2), otrzymamy więc zależności:
u1 + u1 = u2 dla napięć,
(2.6)
i1 + i1 = i2 dla prądów.
Pomiędzy prądami i napięciami zachodzą następujące zależności
u1 = i1 Z1, u1 = -�i1 Z1, u2 = i2 Z2 . (2.7)
W celu obliczenia fali przepuszczonej przedstawmy zależność (2.6) dla napięć w postaci
u2 = u1  i1 Z1 = u1  (i2  i1 )Z1 = u1  i2 Z1 + u1 = 2u1  i2 Z1 . (2.8)
Podstawiając i2 = u2 /Z2 otrzymamy ostatecznie wzór na falę przepuszczoną
2Z2
u2' =� ��u1' =� a� ��u1'
Z1 +� Z2
2Z2
gdzie nazywamy współczynnikiem przepuszczania fali (2.9)
a� =�
Z2 +� Z1
napięciowej z linii Z1 na linię Z2.
Wprowadzając współczynnik odbicia b�, możemy zależność (2.6) dla napięć napisać w postaci
u1 + b� �� u1 = a� �� u1 stąd 1 + b� = a�
Współczynniki a� i b� dotyczą fali napięcia, fale prądu należy określać z zależności (2.7).
Z1
"
1-�
u' 2Z2 u1 Z2 -� Z1
2
2 Z2
a� =� =� b� =� =�
' '
inna postać wzorów:
a� =� , b� =�
u1 Z2 +� Z1 u1 Z2 +� Z1
Z1 Z1
1+� 1+�
Z2 Z2
2.3. Trafienie fali na zwarty i rozwarty koniec linii
Z < Z
Z > Z 2 1
a) 2 1 b)
u "
1
u '
2
u '
Szczególnymi przypadkami ukła- 1
u '
1
u '
2
du linii są: linia rozwarta na końcu
Z
u " 2
Z1 Z 1 Z
2 1
A
A
Z2 = Ą� oraz linia zwarta Z2 = 0.
i "
1
W przypadku linii rozwartej po-
i '
2
i '
1
i '
1
i '
2
wstaje fala odbita napięcia o tej
i " Z
1 Z 2
Z 2 Z
1 1
samej amplitudzie i biegunowości
A
A
jak fala padająca. Podwojona fala
przepuszczona prądu powstaje przy
Z =
2 Ą�
c)
Współczynniki i
Z = 0 a� b�
2
d)
linii zwartej na końcu. dla fal napięciowych
u "
1
u '
1
1 < < 2
a�
Z < Z <
1 2 Ą�
u '
1
0 < < 1
A b�
Z
1
u "
1
Z
1
0 < < 1
a�
A
0 < Z < Z
2 1
-1 < < 0
b�
Rys. 2.4. Rozkłady fal napięciowych i prą-
i "
1
= 2
a�
dowych dla przypadków:
Z =
2 Ą�
i '
1
= 1
b�
i '
1
a) Z1 < Z2 < Ą�, b) 0 < Z2 < Z1,
= 0
a�
c) linia rozwarta na końcu,
Z
Z 1
1 A
i "
1 A Z = 0
2
= -1
b�
d) linia zwarta na końcu.
Rozkład wypadkowy zakreskowano
2.4. Schemat obliczeniowy Petersena
u2 = 2u1  i2 Z1
Zbudujmy schemat elektryczny odpowiadający wzorowi (2.8).
Ze z
ródła o sile elektromotorycznej 2u1 , po zamknięciu wyłącznika W, płynie prąd (i2 ) od-
powiadający fali przepuszczonej poza punkt węzłowy. Impedancjom falowym linii odpowia-
dają w tym schemacie elementy Z1 i Z2, które w przypadku linii bezstratnych odpowiadają
rezystorom (impedancja falowa w liniach bezstratnych jest liczbą rzeczywistą).
Przedstawiony schemat jest schematem
pozwalającym obliczyć fale przepusz-
W
czone. Nie odzwierciedla on fal odbitych
1 2
Z Z
A
2
i '
(u1 , i1 ), które można obliczać ze zna-
nych zależności (np. 2.6). Zastosowanie
obwodu ograniczone jest do tych przy-
padków układów, w których poza punk-
2
u '
1
2u '
tem węzłowym nie ma fal odbitych.
Mimo braku interpretacji fizycznej ob.-
wód obliczeniowy Petersena pozwala na
uproszczenie obliczeń w bardziej złożo-
nych układach, np. gdy w punkcie węzło-
Rys. 2.5. Obwód obliczeniowy Petersena dla układu dwóch
wym spotyka się kilka linii i są włączone
linii połączonych w punkcie węzłowym A
elementy skupione RLC.
2u1'
falę przepuszczoną napięcia, czyli napięcie u2 ,
u2' =� Z2i2' =� Z2 ��
można obliczyć (zgodnie z rys. 2.5) ze wzoru
Z1 +� Z2
W analizie zjawisk falowych wykorzystuje się zwykle fale padające o czole prostokątnym.
Fala ta określona jest przez amplitudę (u1 = U1 ), a obliczenia przy pomocy schematu zastęp-
czego wykonuje się rozpatrując załączenie napięcia stałego na układ elementów skupionych.
Fale padające o innych kształtach można przedstawić przy pomocy sumy fal prostokątnych
przesuniętych w fazie korzystając z zasady superpozycji
u '
1
u '
1
t
linia długa
Rys. 2.6. Podział fali o dowolnym kształcie na fale prostokątne oraz przebieg czaso-
wy tej fali
D�x = v��D�t
u1'
U1'
U1'
t
-U1'
-U1'
D�t
D�x D�x
Rys. 2.7. Fala samotna jako efekt sumowania dwóch fal o przeciwnych biegunowoś-
ciach oraz przebieg czasowy tych fal
Zadanie 2.1. Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, przechodzi z linii o
impedancji Z1 na linię o impedancji Z2. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia i prądu wzdłuż linii dla chwili czasowej t1 = 3 m�s oraz t2 = 6 m�s
- przebiegów napięcia i prądu w punkcie węzłowym A oraz w punktach B i C
Dane: Z1= 500 W�, Z2 = 50 W�, v1 = 300 m/m�s, v2 = 150 m/m�s, Tf = 10 m�s,
U'1max = 1000 kV, odległość AB i AC wynosi 600 m.
U'
1
kV
'
1000
U1
A C
B
t
s
10 m�
Z1 Z
2
Rys. A. Parametry fali samotnej oraz układ dwóch linii o impedancjach Z1 i Z2
Obliczenia:
Z2 -� Z1 ' 50 -� 500
" '
fala odbita napięcia U1 =� b� ��U1 =� ��U1 =� ��1000 � -�818kV ,
Z2 +� Z1 50 +� 500
2Z2 2 �� 50
' ' '
U2 =� a� ��U1 =�
fala przepuszczona napięcia ��U1 =� ��1000 � 182kV ,
Z2 +� Z1 50 +� 500
'
U1 1000
'
I1 =� =� =� 2 kA
fala padająca prądu ,
Z1 500
"
U1 -� 818
"
I1 =� -� =� -� =� 1,636 kA
fala odbita prądu ,
Z1 500
'
U 182
'
2
I2 =� =� =� 3,636 kA
fala przepuszczona prądu ,
Z2 50
długość fali w linii Z1 i Z2
d1 =v1��Tf = 300��10 = 3000 m, d2 = v2��Tf = 150��10 = 1500 m,
droga przebyta przez falę przepuszczoną w ciągu 3 i 6 m�s (w linii Z2)
(s2)3m�s = v2��t1 = 150��3 = 450 m, (s2)6m�s = v2��t2 = 150��6 = 900 m,
droga przebyta przez falę odbitą w ciągu 3 i 6 m�s (w linii Z1)
(s1)3m�s = v1��t1 = 300��3 = 900 m, (s1)6m�s = v1��t2 = 300��6 = 1800 m,
U
t = 0 m�s
I
kV kA
Wykresy:
4
1000
Przyjmujemy, że
U '
1
2
chwila czasowa
I '
1
t = 0 to moment
x x
A m A m
3000 2400 1800 1200 600 3000 2400 1800 1200 600
dojścia czoła fali
Z
2
Z Z Z
1 2 1
do punktu A
Rys. B. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t = 0
U
I
kV kA
t = 3 m�s
4
1000
U '
1
2 I '
2
I '
1
I "
1
U '
2
x x
A m A m
2400 1800 1200 600 600 1200 2400 1800 1200 600 600 1200
U "
1
Z Z Z Z
1 2 1 2
-1000
Rys. C. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t1 = 3 m�s
U
I
kV kA
t = 6 m�s
4
1000
U '
1
2 I '
2
I " I '
1 1
U '
2
x x
A m A m
2400 1800 1200 600 600 1200 2400 1800 1200 600 600 1200
Z Z Z Z
1 2 1 2
U "
1
-1000
Rys. D. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t1 = 6 m�s
U
punkt A
kV kA
I
'
U ' " '
4
1000 1
I + I = I
1 1 2
'
I
1
2
' " '
U + U U "
=
1 1 2
I
1
t t
m� m�
s s
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
"
U
1
-1000
Rys. E. Przebieg napięcia i prądu w punkcie A
U
I
kV kA
punkt B
U1'
4
1000
IB
I1'
2
UB
I1"
t t
m�s m�s
10 10
-2 0 2 4 6 8 -2 0 2 4 6 8
U1"
-1000
Rys. F. Przebieg napięcia i prądu w punkcie B
U
punkt C I
kV kA
4
1000
I2'
2
U2'
t t
m�s m�s
10 10
0 2 4 6 8 12 0 2 4 6 8 12
Rys. G. Przebieg napięcia i prądu w punkcie C
Zadanie 2.2. Samotna fala przepięciowa, o kształcie jak na rysunku, trafia na rozwarty
koniec linii o impedancji Z1. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia i prądu w układzie dla chwili czasowej t = 3 m�s oraz t = 6 m�s,
- przebiegów napięcia i prądu na końcu linii (punkt A) oraz w punkcie B.
Dane: Z1= 500 W�, v1 = 300 m/m�s, Tf = 10 m�s,
U'1max = 1000 kV, odległość AB wynosi 600 m.
U1'
t
ć�1 ��
kV
'
u1 =� 1000 �� -�
�� ��
U1'
10
Ł� ł�
1000
B A
t
Z2 =
Ą�
Z1
0
10
s
m�
600 m
Rys. A. Parametry fali samotnej trafiającej na rozwarty koniec linii o impedancji Z1
Obliczenia dla amplitudy fali:
Z1
1-�
t[źs]
��
'
Z2 ' 1-�0
" '
u1' =�1000ć�1-� kV
�� ��
U1 =� b� ��U1 =� ��U1 =� ��1000 =�1000 kV
fala odbita napięcia ,
10
Ł� ł�
Z1
1+�0
1+�
Z2
2 2
' ' '
fala przepuszczona napięcia U =�a� ��U1 =� Z1 ��U1 =� ��1000 =� 2000kV , (linia Z2 nie istnieje
2
1+�0
1+�
Z2
t[źs]
��
u' =� 2000ć�1-� kV
�� ��
2
10
 została zredukowana do jednego punktu, punktu węzłowego A), Ł� ł�
'
U1 1000
t[źs]
��
'
'
fala padająca prądu I1 =� =� =� 2 kA ,
i1 =� 2ć�1-� kA
�� ��
Z1 500 10
Ł� ł�
"
U1 1000
"
t[źs]
��
'
fala odbita prądu I1 =� -� =� -� =� -�2 kA ,
i1' =� -�2ć�1-� kA
�� ��
Z1 500
10
Ł� ł�
'
U2 2000
'
fala przepuszczona prądu I2 =� =� =�0 kA ,
Z2 Ą�
długość fali w linii Z1 d1 =v1��Tf = 300��10 = 3000 m,
droga przebyta przez falę odbitą w ciągu 3 i 6 m�s (w linii Z1)
(s1)3m�s = v1��t1 = 300��3 = 900 m, (s1)6m�s = v1��t2 = 300��6 = 1800 m,
Wykresy: Przyjmujemy, że chwila czasowa t = 0 to moment dojścia czoła fali do punktu węzłowego A.
Linią pogrubioną zaznaczono rozkłady i przebiegi wypadkowe.
u t = 0 s
m�
i
kV kA
1000
2
u '
1
'
i 1
x x
A m A m
3000 2400 1800 1200 600 3000 2400 1800 1200 600
Z Z
1 1
Rys. B. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t = 0
u
t = 3 s
m�
kV
i
kA
u1 1500
' "
i 1 i 1
i 1 = +
2
'
u 1 = u 1 + u "
1
'
i 1 i 1
1000
u "
1
x
A m
2400 1800 1200 600
u '
1
Z1
x
i "
1
-2
A m
2400 1800 1200 600
Z1
Rys. C. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t1 = 3 m�s
u
t = 6 s
m�
kV
i
kA
1500
' "
i = i i
+
1 1
1 2
' "
u = u + u
1 1 1
'
1000
i
1
u
1
"
u
1
x
A m
2400 1800 1200 600
Z
1
'
u
1
"
x
i
1
-2
A m
i
2400 1800 1200 600
1
Z1
Rys. D. Rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w chwili czasowej t1 = 6 m�s
u
punkt A
kV
i
2000
kA
' "
i = i i = 0
+
1 1
A
' "
u = u
+ u '
A 1 1 2
i
1
1000
t
m�
' s
0 2 4 6 8 10
u
1
"
u
1
t
"
i
1
-2
m�
s
0 10
2 4 6 8
Rys. E. Przebieg napięcia i prądu w punkcie A
u
punkt B
kV
i
kA
2000
'
"
i B = i 1 + i 1
'
2
u B = u 1 + u "
1
i '
1
1000
t
m�
s
-2 0 2 4 6 8 10 12
u ' u "
1 1
t
i "
1
-2
m�
s
-2 0 2 4 6 8 10 12
Rys. F. Przebieg napięcia i prądu w punkcie B
Zadanie 2.3. (do domu). Samotne fala, o kształcie jak na rysunku, trafia na zwarty koniec linii o
impedancji Z1. Wykonać obliczenia oraz sporządzić wykresy:
- rozkładów napięcia i prądu w układzie dla chwili czasowej t = 3 m�s oraz t = 6 m�s,
- przebiegów napięcia i prądu na końcu linii (punkt A) oraz w punkcie B.
Dane: Z1= 500 W�, Z2 = 0 W�, v1 = 300 m/m�s, Tf = 10 m�s,
U'1max = 1000 kV, odległość AB wynosi 600 m.
'
U1
kV
'
1000
U1
A
B
t
10
5
s
m�
Z
1
Z = 0
2
Rys. A. Parametry fali samotnej trafiającej na zwarty koniec linii o impedancji Z1
KONIEC