Pochodna funkcji jednej zmiennej
f śąxƒÄ…­Ä… xźą-f śąx źą
­Ä… f
= ­Ä… x `"0
Iloraz różnicowy:
­Ä… x ­Ä… x
Definicja pochodnej.
Pochodną w punkcie x nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
f śą xƒÄ…­Ä… x źą-f śą xźą f śąxƒÄ…h źą-f śą xźą
­Ä… f
f 'śąx źą= lim = lim =lim
o ile ta granica istnieje i jest skończona
­Ä… x ­Ä… x h
­Ä… x Śą0 ­Ä…x Śą0 hŚą 0
df d dy
Symbole pochodnej : y=f śąx źą , f ' śąxźą, f śąxźą, y ' ,
dx d x dx
Podstawowe wzory na pochodne.
1 1
(ln x)'= (loga x)'=
(a)'=0
(xr)'=rxr-1 (ex)'=ex (ax)'=ax ln a
x x ln a
1 -1
(tg x)'= (ctg x )'=
(sin x )'=cos x (cos x)'=-sin x
cos2 x sin2 x
1 -1
1 -1
(arcsin x)'= (arccos x )'=
(arctg x)'= (arcctg x)'=
1-x2 1-x2 1+x2 1+x2
" "
(af (x))'=af '(x) [f (x)+g(x)]'=f '(x)+g'(x) [f (x)-g(x)]'=f '(x)-g '(x)
f (x) f '(x)g(x)-f (x)g' (x)
'
=
[f (x)g (x)]'=f '(x)g (x )+f (x)g '(x)
[ ]
g (x)
[g (x )]2
[f (g(x))]'=f '(g (x))g '(x)
[f (x)g (x)]'=[exp(g(x)ln f (x ))]'
Przebieg zmienności funkcji:
1. Wyznaczenie dziedziny f(x)
2. Miejsca zerowe f(x)
3. Granice na krańcach przedziałów określoności  asymptoty
4. Wyznaczenie f'(x), dziedziny f'(x)
5. Miejsca zerowe f'(x)
6. Przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne
7. Wyznaczenie f''(x), dziedziny f''(x).
8. Miejsca zerowe f''(x)
9. Przedziały wklęsłości, wypukłości, punkty przegięcia
10. Szkic wykresu
Wzór Taylora
x0
Jeśli funkcja f (x) jest n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu wtedy:
x-x0 (x-x0)2 (x-x0)3 (x-x0)4 (x-x0)n
(n)
f (x)H"f (x0)+ f '(x0)+ f ''(x0)+ f(3)(x0)+ f(4 )(x0)+... f (x0)+Rn
1 ! 2 ! 3! 4 ! n !
x0=0
Gdy , wzór Taylora zwany jest wzorem Maclaurina:
x x2 x3 x4 xn
(n )
f (x)H"f (0)+ f '(0)+ f ' '(0)+ f(3)(0)+ f(4)(0)+... f (0)+Rn
1! 2 ! 3 ! 4 ! n !
(x0,f (x0)) y -f (x0)=f ' (x0)(x-x0)
Równanie stycznej do wykresu funkcji f (x ) w punkcie :
f (x)
Reguła de l'Hospitala. Jeśli przy wyznaczaniu granicy ilorazu funkcji otrzymujemy symbol
g(x)
0 f (x) H f '(x)
"
lim =lim
nieoznaczony lub [ ] to .
"
[ ]
0 g (x ) g '(x)
x C x C
f (x )
Jeśli granica ilorazu pochodnych istnieje to granica ta jest także granicą ilorazu funkcji .
g(x)
Miejsce zastosowania reguły de l'Hospitala zaznaczmy stawiając H nad znakiem równości. Regułę można
stosować kilkukrotnie.