XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Krzysztof KLEMPKA1
Michał KNAUFF2
WPA
YW SMUKA
OŚCI NA NOŚNOŚĆ SA
UPÓW ŻELBETOWYCH
 NUMERYCZNY MODEL ZAGADNIENIA
1. Wstęp
W nowej polskiej normie (PN) [1] projektowania konstrukcji z betonu zamieszczono zasady
analizy przekrojów zaczerpnięte z Eurokodu (EC2) [2], ale pozostawiono stary (zaczerpnięty
z PN84, inny niż w Eurokodzie 2) sposób uwzględniania wpływu smukłości na nośność
słupów. Uzasadnienia metody PN można znalez
ć np. w [3], szczegółowy opis metody EC2
w [4], a ewolucję metody EC2 można prześledzić w kolejnych wersjach Eurokodu [5], [6].
Tak więc, w PN i EC2 stosuje się:
- ten sam sposób obliczania nośności przekroju,
- pokrewne zasady wyznaczania przyrostów momentów II rzędu,
- różniące się sposoby obliczania sztywności stosowanej przy obliczaniu tych przyrostów
w analizie II rzędu.
W tej sytuacji, celowe jest szczegółowe rozpatrzenie zagadnienia i uzyskanie jasnego
poglądu na skutki tych różnic.
2. Obliczanie nośności słupów metodą  ścisłą
Przez obliczenie "ścisłe" rozumie się tu obliczenie oparte - na tyle, na ile to możliwe - na
podstawowych założeniach Eurokodu (a nie na przybliżeniach stosowanych przy
wyznaczaniu wpływu smukłości na nośność słupów):
" naprężenia i odkształcenia oblicza się wg teorii klasycznej, a nośność wg Eurokodu
stosujÄ…c niemonotonicznÄ… zależność Ãc - µc sÅ‚użącÄ… do analiz konstrukcji,
" średnią sztywność wyznacza się wg teorii klasycznej stosując zasadę  usztywnienia
(tension stiffening) wg Eurokodu [7],
" wpływ pełzania uwzględnia się na podstawie liniowej teorii pełzania.
1
Mgr inż., UWM w Olsztynie
2
Prof. dr hab. inż., Politechnika Warszawska
224
Wynik ścisłego obliczenia zależy od czasu działania i kolejności nakładania obciążeń.
"Ścisły" algorytm służy do symulowania wyników doświadczeń prowadzonych w
następujący sposób:
a) Słup obciąża się siłą ściskającą działającą na danym mimośrodzie początkowym.
W chwili przyłożenia obciążenia powstają początkowe odkształcenia, które następnie
rosną w wyniku pełzania betonu. Wartość początkowa siły jest tak dobrana, żeby po
dowolnie długim działaniu obciążenia naprężenia w betonie nie przekroczyły granicy
liniowego pełzania.
b)  Po nieskończenie długim czasie , zwiększa się (w krótkim okresie czasu) siłę
ściskającą aż do osiągnięcia nośności.
Powyższy proces obciążania, tzn. zmiany siły podłużnej i momentu zginającego
w przekroju krytycznym w zależnoÅ›ci od czasu Ä przedstawiono na rys. 1.
a) Momenty zginajÄ…ce w chwili Ä=t0 (od punktu I do punktu II na rys.1).
Siła Nlt wywołana obciążeniem długotrwałym działa na mimośrodzie początkowym e0,lt
(punkt I), powodując powstanie momentu Mlt,I= Nlt e0,lt. Na skutek mimośrodowego działania
Nlt w chwili Ä=t0, nastÄ™puje przyrost odksztaÅ‚ceÅ„ sÅ‚upa (teoria II rzÄ™du) i przyrost momentu
zginającego przy stałej wartości siły Nlt, do wartości Mlt,II (punkt II).
b) Przyrosty momentów zginających w okresie (t0, tk) (od II do III).
Siła Nlt jest stała i wywołuje przyrost momentu zginającego, spowodowany odkształceniem
słupa na skutek pełzania. Punkt III reprezentuje siły przy stałej Nlt , przy t ".
c) Momenty zginajÄ…ce w chwili Ä = tk (od III do V).
Zakłada się, że obciążenie długotrwałe nie przekracza granic, w których można
stosować liniowÄ… teoriÄ™ peÅ‚zania. Przyjmuje siÄ™, że w chwili Ä = tk nastÄ™puje doraz
ny
przyrost obciążeń - siła podłużna rośnie od wartości Nlt do danej wartości maksymalnej N0, a
moment zginający rośnie o daną wartość "M = M0,I  Mlt,I, a ponadto następuje przyrost tego
momentu, wywołany odkształceniami słupa (teoria II rzędu).
Ostatecznie, najbardziej niebezpieczny stan przekroju jest reprezentowany przez punkt V.
3. Algorytm
3.1. Metoda uwzględniania efektów II rzędu
Zakłada się, że słup jest obustronnie podparty przegubowo i obciążony siłą N (stałą na
długości) działającą na mimośrodzie e0.. Słup zostaje podzielony na krótkie odcinki;
odległość rozpatrywanego przekroju od końca słupa określa zmienna s. Do momentów
pierwszego rzędu dodaje się iloczyny siły podłużnej i przemieszczeń w kolejnych
przekrojach s=s0 obliczanych wg wzoru:
w(s0 ) = M1(s) Å" º(s)ds , (1)
+"
l
w którym :
M1(s) - moment od jednostkowej siły wirtualnej ustawionej w punkcie s0,
º(s) - krzywizna wyznaczana w zależnoÅ›ci od etapu obliczeÅ„ wg p.3.2.
 225
Rys. 1. Proces obciążania  siły i momenty zginające w krytycznym przekroju słupa:
I - doraz
ny skutek obciążeń długotrwałych wg teorii I rzędu, II - doraz
ny skutek
obciążeń długotrwałych wg teorii II rzędu, I - stan wg teorii I rzędu od obciążeń
całkowitych, II - stan wg teorii II rzędu od obciążeń całkowitych, III - stan po
czasie t " od obciążeń długotrwałych, IV - stan po czasie t" po doraz
nym
przyroście wg teorii I rzędu od obciążeń całkowitych, V - stan końcowy od obciążeń
całkowitych, najbardziej niekorzystny dla konstrukcji
Obliczenia wykonuje się metodą iteracji prostej; iterację kontynuuje się, aż do
osiągnięcia zgodności przemieszczeń (z założoną wstępnie dokładnością) w dwó ch
kolejnych krokach.
3.2. Krzywizna
KrzywiznÄ™ elementu niezarysowanego oblicza siÄ™ wg teorii fazy I. Po zarysowaniu
krzywiznę średnią (tzn. z uwzględnieniem zjawiska  tension stiffening " ) wyznacza się
wg zasady przedstawionej na rys. 2.
226
Rys. 2. ZależnoÅ›ci M(º): linia I - zależność M(º)w fazie I,
linia II - zależność M(º) w czystej fazie II
Zgodnie z tą zasadą w kolejnych etapach według rys. 1 stosuje się poniższe zależności.
1. W chwili Ä = t0 :
- jeżeli M < Mcr(t0) to º =ºI(t0), (2)
M (t0 )
cr
- jeżeli M e" Mcr(t0) to º = º (t0 ) - ²1²2(º (t0 ) - º (t0 )) , (3)
II crII crI
M
w powyższych wzorach:
²1, ²2  sÄ… współczynnikami wg Eurokodu,
ºI (t0), ºII(t0)  krzywizny w fazie I i II obliczone dla siÅ‚y Nlt i momentu M wg p.3.3,
ºcrI(t0), ºcrII(t0)- krzywizny w fazie I i II obliczone dla siÅ‚y Nlt i momentu Mcr(t0) wg p.3.3,
Mcr(t0)  moment rysujący (obliczony z uwzględnieniem wpływu zbrojenia) wg p.3.3.
2. W chwili Ä = ", przy dÅ‚ugotrwaÅ‚ym dziaÅ‚aniu obciążeÅ„ dÅ‚ugotrwaÅ‚ych
a) Jeżeli przekrój zostaÅ‚ zarysowany w chwili Ä = t0 to:
- jeżeli M d" Mzer" to º=ºI" , (4)
M (t0 )
cr
- jeżeli M >Mzer" to º = º - ²1²2(º (t0 ) - º (t0 )) . (5)
II" crII crI
M
b) Jeżeli przekrój nie zostaÅ‚ zarysowany w chwili Ä = t0 to:
- jeżeli MM
cr"
- jeżeli Me" Mcr" to º = º - ²1²2(º - º ) . (7)
II" crII" crI"
M
W powyższych wzorach:
Mcr" - moment rysujący obliczony z uwzględnieniem zbrojenia wg p. 3.4,
Mzer" - moment sprowadzający naprężenia na krawędzi mniej ściskanej do zera (obliczony
z uwzględnieniem zbrojenia wg p. 3.4.),
 227
ºI" , ºII" - krzywizna w fazie I i II obliczona dla Nlt i M wg p.3.4,
ºcrI" , ºcrII" - krzywizna w fazie I i II obliczona dla Nlt i Mcr" wg p.3.4.
3. W chwili Ä = " dla obciążeÅ„ caÅ‚kowitych dziaÅ‚ajÄ…cych krótkotrwale
Założono, że pomija się wytrzymałość betonu na rozciąganie, a zatem przekrój oblicza
się wg teorii fazy I tylko wtedy, gdy cały przekrój betonu jest ściskany. W przeciw-
nym przypadku, stosuje siÄ™ teoriÄ™ fazy II wg p. 3.5. Zjawiska  tension stiffening nie
uwzględnia się.
3.3. OdksztaÅ‚cenia i naprężenia w chwili Ä = t0
Do obliczania naprężeń i odkształceń i wynikających z nich krzywizn stosuje się klasyczną
teoriÄ™ liniowÄ… w fazie I lub w fazie II.
3.4. Odkształcenia i naprężenia wywołane pełzaniem
Rozpatrując równowagę sił, korzystając z zasady płaskich przekrojów oraz stosując prawo
pełzania wg teorii  ageing coefficient uzyskano wzory na naprężenia i odkształcenia
i krzywiznÄ™ w chwili t. Zmienne te zależą od Ç- sprowadzonych charakterystyk przekroju AÇ
i IÇ (AÇ, IÇ oznaczajÄ… pole i moment bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju Ç-sprowadzonego, tzn. takiego
w którym pole zbrojenia pomnożono przez Ä…Ç)
Es
1
Ä…Ç = , E = . (8)
Ç
1 Õ(t)
E
Ç + Ç
Ec (t0 ) Ec28
Wyprowadzenia wzorów jako zbyt długie zostały pominięte.
3.5. Odkształcenia i naprężenia wywołane obciążeniami krótkotrwałymi
w elementach odkształconych przez obciążenia długotrwałe
Pod wpływem obciążeń długotrwałych przy t " osiąga się stan (tzn. znane są naprężenia
i odkształcenia), który będzie się nazywać stanem po pełzaniu (PC-post creep).
Po osią gnięciu stanu PC na element mogą działać kró tkotrwałe przyrosty
obciążeń, zmieniają ce zaró wno moment zginają cy, jak i siłę podłużną . Przyrost siły
podłużnej jest dany, przyrost momentu zginają cego składa się z przyrostu obliczonego
wg teorii pierwszego rzędu i z przyrostu II rzędu, związanego z odkształceniem
elementu. Zakłada się, że obciążenie całkowite może zbliżać się do obciążenia
granicznego, a zatem nie można stosować liniowego prawa konstytutywnego dla
betonu, a stosuje siÄ™ zależność nieliniowÄ… wg EC2. ZakÅ‚ada siÄ™, że krzywa à (µ)
c
powstaje w wyniku translacji wzdÅ‚uż osi µ krzywej reprezentujÄ… cej zwiÄ…zek
konstytutywny przy obciążeniu kró tkotrwałym (rys. 3). Na tej podstawie wyznacza się
numerycznie krzywizny. Liczne operacje i przekształcenia, któ re należy wykonać w
tym celu, wykraczajÄ… poza ramy tego referatu.
228
Rys. 3. Zależność naprężenie-odkształcenie
przy obciążeniu krótkotrwałym (linia ciągła) w stanie PC
4. Analiza wyników obliczeń
Wynik obliczenia zależy od dwó ch zmiennych charakteryzujących obciążenie: mimośrodu
początkowego e0 i siły długotrwałej Nlt. Szczegó lnie duży wpływ smukłości występuje wtedy
gdy siła Nlt jest duża; przyjęto zatem za Nlt największą siłę nie wywołującą przekroczenia
naprężenia 0,4fcm.
Obliczenie nośności omó wionym w pracy algorytmem (metoda  ścisła ) wykonuje się
w dwó ch etapach. W etapie I wyznacza się największą siłę długotrwałą Nlt. W etapie II siłę
Nlt powiększa się o krótkotrwale działające przyrosty (uwzględniając efekty II rzędu), aż do
wyczerpania nośności słupa (NR jest siłą , przy której następuje wyczerpanie nośności
w przekroju krytycznym słupa lub utrata stateczności).
Wykonując obliczenia wg norm za wartość siły długotrwałej podstawia się siłę Nlt ,
uzyskaną w I etapie obliczeń metodą  ścisłą .
Na rys. 4 i 5 przedstawiono niektóre wyniki obliczeń słupa podpartego przegubowo
(przekrój poprzeczny prostokątny 300x400mm, zbrojenie As1 i As2 ze stali A-III
(fyk=410 MPa), rozmieszczone w odległości a1 = a2 = 40 mm od krawędzi przekroju,
współczynnik pełzania Ć",to=2,5), obciążonego siłą działającą na mimośrodzie
początkowym e0. Przyjęto podział długości słupa na m=20 odcinków. Rysunki przedstawiają
wpływ smukłości i obciążeń długotrwałych na stosunek siły granicznej NR do nośności
przekroju NP (tzn. nośności słupa o zerowej smukłości) w zależności od smukłości l0/h. Siłę
graniczną NR wyznaczono "ściśle" i wg norm. Siła NR zależy od cech materiałó w - cechom
tym nadano wartości  średnie (nie stosowano wartości obliczeniowych).
Dla betonu B20 widać dużą zgodność wyników obliczeń wg metody  ścisłej i wg
norm (rys. 4)  dobra zgodność występuje także przy smukłości większej niż zalecany
w normie limit l0/h = 30.
Przy smukłości l0/h = 7 (limit 7 pochodzi z przepisu PN99 pozwalającego na pomijanie
wpływu smukłości) dla małych stopni zbrojenia spadek nośności na skutek wpływu efektów
II rzędu i obciążeń długotrwałych, zarówno dla betonu B20, jak i B60, przekracza 10% 
należy go zatem uwzględniać. Wraz ze wzrostem stopnia zbrojenia wpływ ten maleje (te
wyniki zostaną zaprezentowane na konferencji), ale dla słupów z betonów wysokiej
wytrzymałości może być większy niż 10% i ró wnież nie powinien być pomijany, nawet przy
smukłości l0/h = 7.
 229
1
0.9
Å‚20
0.8
Á =0,5%
0.7
e /h =0,6
0
0.6
N /N
R p
0.5
MS
0.4
0.3
PN99
0.2
EC2/99I
0.1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l /h
0
Rys. 4. Nośność słupów obliczona: metodą ścisłą (MS) oraz nośność wg polskiej normy
(PN99) i wg Eurokodu [1a] (metoda zredukowanej sztywności -EC2/99I)  beton B20
1
0.9
Å‚60
0.8
Á =0,5%
0.7
e /h =0,6
0
0.6
N /N
R p
0.5
0.4 MS
0.3
PN99
0.2
EC2/99I
0.1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l /h
0
Rys. 5. Porównanie nośności jak na rys. 4  beton B60
5. Podsumowanie i wnioski
1. W p.2 i 3 przedstawiono opracowaną przez autorów "ścisłą " metodę obliczania nośności
słupów opartą na podstawowych założeniach Eurokodu, a w p. 3 i 4 przykłady
porównań tej metody z normami.
2. Stwierdzono, że wzory norm można stosować również do słupów o smukłości większej
niż zalecany w normie limit l0/h = 30, pod warunkiem, że wykona się dodatkowo
sprawdzenie ugięcia słupów. Obliczenie ugięcia można wykonać za pomocą
230
przedstawionego w referacie algorytmu. Ugięcie graniczne należy ustalić w zależności
od wymagań użytkowych (norma nie określa granicznych ugięć słupów).
3. Zaleca się nie pomijać wpływu smukłości na nośność niezależnie od stosunku l0/h
(nawet przy l0/h < 7), zwłaszcza dla betonów klas wyższych niż B20.
Literatura
[1] PN-B-03264:1999: Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne
i projektowanie.
[2] Eurocode 2: Design of Concrete Structures, Part 1-1: General Rules and Rules for
Buildings, December 1991
[3] KUKULSKI W., Obliczanie smukłych elementów żelbetowych. Materiały konf.
 Podstawy proj. konstrukcji z betonu w ujęciu normy PN-B-03264:1998 w świetle
Eurokodu 2, Puławy, czerwiec 1998, str. 93-114
[4] QUAST U., Dimensioning of Slender Elements Related to Ultimate Limit States
Influenced by Structural Deformations - Stability Check. Concrete Structures Euro-
Design Handbook, Ernst&Sohn, 1994/96
[5] Eurocode 2 jak w poz. [1], July 1999
[6] Eurocode 2 jak w poz.[1], October 2001
[7] CEB Design Manual - Structural effects of time-dependent behaviour of concrete.
Bulletin d'Information no 136, 1980.
[8] KNAUFF M., KLEMPKA K., Zależność moment M-krzywizna º przy Å›ciskaniu
mimośrodowym. III Konf. Nauk.-Tech. Aktualne problemy naukowo-badawcze
budownictwa. Olsztyn-Kortowo 1999 r.
LOAD CARRYING CAPACITY OF R.C. COLUMNS INFLUENCED
BY STRUCTURAL DEFORMATIONS
 THE NUMERICAL MODEL
Summary
The numerical method for "exact" calculating of load-carrying capacity of r.c. columns is
presented. The method is based - as far as possible - on the fundamental assumptions of
Eurocode concerning to the stress-strain relation and curvature. In the first step the increase
of the moments induced by short-time and long-time deformations caused by the long-term
loading in the limits of linear creep of concrete are taken into account. Then the short-time
loading is increased and the ultimate longitudinal force according to the II order theory is
calculated. For concrete class C16/20 the design procedures according to Eurocode (EC) and
Polish Code (PN) are in good agreement with this "exact" solution. The influence of
slenderness for small l0/h ratios is significant and should be taken into account. On the basis
of "exact" method it was found that the design procedures according to EC and PN are
satisfactory also for slender elements (l0/h > 30) provided the deformations are not too great.