Zajęcia przedmiotu Podstawy Teorii Sygnałów
Algebra z geometrią
Wprowadzenie i przegląd zagadnień
Kierunek studiów: Automatyka i Robotyka, Semestr: 1
Adam Dąbrowski
Politechnika Poznańska
Forma zajęć L. godz. akad. Prowadzący
Wydział Informatyki
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
wykłady 30 Prof. dr hab. inż. Adam Dąbrowski
27 pazdziernika 2012
ćwiczenia 30 Mgr Szymon Drgas
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 1 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 2 / 88
Wyciąg z regulaminu studiów Wyciąg z regulaminu studiów ciąg dalszy
ż 8
ż 30
9. Uczestnictwo w zajęciach objętych planem studiów jest
obowiązkowe dla nauczycieli akademickich i studentów.
3. Egzamin przeprowadza prowadzący wykład. W uzasadnionych
przypadkach, za zgodą dziekana, egzamin w określonym
ż 12
semestrze mogą przeprowadzić inne osoby, zatrudnione na
1. Student ma prawo do zrzeszania się w kołach naukowych
stanowisku adiunkta lub starszego wykładowcy.
oraz uczestniczenia w pracach naukowych, rozwojowych
4. Studentowi przysługuje prawo do dwukrotnego przystąpienia
i wdrożeniowych realizowanych w Politechnice Poznańskiej.
do egzaminu, w tym poprawkowego.
ż 30
7. Jeżeli w ciągu 7 dni od terminu przeprowadzenia egzaminu
student usprawiedliwi nieobecność, to ma prawo do
1. Harmonogram egzaminów ustala dziekan w porozumieniu
dodatkowego, jednego terminu. Dodatkowy termin nie może
z przedstawicielami studentów.
przypadać pózniej niż dwa tygodnie po rozpoczęciu
2. Egzamin jest sprawdzianem stopnia osiągnięcia przez
następnego semestru.
studenta efektów kształcenia określonych w programie
danego modułu.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 3 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 4 / 88
Kategorie efektów kształcenia Pierwszy egzamin w postaci rozłożonej w czasie
wiedza zakres wiadomości nabytych w czasie kształcenia
umiejętności zdolność zastosowania w praktyce i samodzielnego,
twórczego rozwijania nabytej wiedzy
kompetencje społeczne punktualność i obecność na zajęciach,
systematyczność i terminowość wykonywania zadań, umiejętność
hue (odcień) atrybut wizualnego postrzegania kolorów, które
pracy zespołowej
wydają się różnymi odmianami tej samej barwy różne kategorie
efektów kształcenia (wiedza, umiejętności, kompetencje społeczne)
chroma (barwność) zawartość barwy w odniesieniu od jasności
podobnie oświetlonej bieli stopień osiągnięcia efektu kształcenia
lightness (jasność) jasność barwy w odniesieniu od jasności
podobnie oświetlonej bieli ocena z ćwiczeń
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 5 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 6 / 88
Zakres zagadnień cyklu wykładów z Algebry Literatura uzupełniająca dotycząca algebry
1
Wprowadzenie (zbiory, relacje, odwzorowania, struktury algebraiczne) 1
http://www.dsp.put.poznan.pl, materiały do naszych wykładów.
2
Grupy permutacji, pierścienie (wielomianów), kodowanie sygnałów
2
http://ocw.mit.edu, wykłady Profesora Gilberta Stranga,
3
Ciało liczb zespolonych
Massachusetts Institute of Technology.
4
Zastosowania liczb zespolonych (np. w przetwarzaniu sygnałów)
3
G. Strang, Introduction to linear algebra, Cambridge Press, Wellesley,
5
Reprezentacje liczb w komputerach i arytmetyki komputerów
MA, 2009.
6
Przestrzenie liniowe i ich przekształcenia
4
D. S. Watkins, Fundamentals of matrix computations, J. Wiley &
7
Układy równań liniowych, wektory i macierze przykłady z teorii
Sons, New York 1991.
obwodów, macierz odwrotna, wyznaczniki i wzory Cramera
5
T. Kaczorek, Macierze w automatyce i elektrotechnice, WNT,
8
Układy trójkątne, układy dodatnio określone dekompozycja
Warszawa 1984.
Choleskiego
6
Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1980.
9
Eliminacja Gaussa i dekompozycja LU
7
R. L. Ramey, E. J. White, Zastosowanie macierzy w maszynowej
10
Wrażliwość układów równań liniowych
analizie układów elektronicznych, PWN, Warszawa 1974.
11
Macierze ortogonalne i problem najmniejszych kwadratów
8
G. H. Golub, C. F. van Loan, Matrix computations, North Oxford
12
Wartości i wektory własne
Academic, Oxford 1983.
13
Przekształcenia podobieństwa
9
14 A. Jennings, Matrix computations for engineers and scientists,
Postać Hessenberga, Algorytm QR, Metoda Jacobiego
15 J. Wiley & Sons, New York 1977.
Dekompozycja SVD, (PCA) i macierz pseudoodwrotna
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 7 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 8 / 88
Plan wykładu Edukacja współczesnego inżyniera
1 Informacje ogólne i Regulamin Studiów
2 Edukacja współczesnego inżyniera
3 Jak uczyć i uczyć się algebry oraz geometrii?
4 Początki geometrii i algebry
5 Krótka podróż po krainach algebry i geometrii
6 Uniwersalne środowisko obliczeniowe Matlab
7 Iloczyn kartezjański i relacje
8 Ren Descartes
9 Przeliczalność zbiorów
Inżynierowie i studenci kierunków technicznych mają tendencję do
10 Relacje
interesowania się wyłącznie najnowszą wiedzą, traktując urządzenia sprzed
11 Odwzorowania (funkcje)
kilku lat (nie mówiąc o tych sprzed lat kilkudziesięciu) jak obiekty
12 Działania
muzealne. To jest postawa właściwa w odniesieniu do szybko
13 Pojęcie struktury algebraicznej
dewaluujących się osiągnięć technicznych (komputerów, samochodów), ale
14 Studenckie Koło Naukowe Decybel
nie w stosunku do wiedzy podstawowej, w tym do algebry i geometrii.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 9 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 10 / 88
Śledzenie najnowszych osiągnięć Refleksja nad historią nauki
Na pierwszym roku studiuje się jednak także przedmioty podstawowe.
Większość nauczanych na studiach wyższych przedmiotów, zwłaszcza na
Niektóre mają długą historię, bo powstały już w starożytności. Algebra
starszych latach studiów, jest więc skonstruowana na zasadzie śledzenia
i geometria należą do nich. Studiowanie ich jest więc też okazją do refleksji
najnowszych osiągnięć i najnowszych rozwiązań technicznych.
nad historią myśli ludzkiej i kultury w ogóle.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 11 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 12 / 88
Wiedza najnowsza i starsza Współczesna algebra
Dzięki rozwojowi technik komputerowych w tym np. możliwości cyfrowego
przetwarzania sygnałów multimedialnych, czy symulacji systemów
Sędziwy wiek geometrii i algebry nie oznacza, że te dziedziny nie rozwijają
o milionach elementów, rośnie zapotrzebowanie na wykonywanie coraz
się. Jest wręcz przeciwnie! Na naszych wykładach najnowsza wiedza
większej liczby coraz szybszych i skuteczniejszych obliczeń.
(zwłaszcza w obrębie aplikacji) będzie się więc mieszała w odpowiednich
Dzięki temu algebra wciąż intensywnie rozwija się, a poglądy na to, co jest
proporcjach i z odpowiednimi priorytetami z wiedzą starszą.
w niej ważniejsze a co mniej, podlegają ciągłym przeobrażeniom.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 13 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 14 / 88
Jak uczyć i uczyć się algebry oraz geometrii? Jak uczyć i uczyć się algebry oraz geometrii?
Można by sądzić, że powinniśmy w skrócie omówić historię rozwoju algebry
Zamiast śledzić historię algebry i geometrii będziemy prezentowali
i geometrii, ale czy w ciągu 15-tu 1.5 godzinnych wykładów, czyli w ciągu
najnowsze spojrzenie na współczesną wiedzę w tym zakresie. Niekiedy
22.5 godzin można prześledzić tysiące lat rozwoju tych dziedzin?
jednak będziemy na chwilę cofali się w czasie, aby podkreślić pionierskie
Nie! trzeba przeskoczyć czas i poznać ich stan współczesny.
znaczenie najważniejszych wyników i największych odkryć.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 15 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 16 / 88
Jak uczyć i uczyć się algebry oraz geometrii? Jak uczyć i uczyć się algebry oraz geometrii?
Algebra i geometria, jako dyscypliny matematyczne, wymagają ścisłości
sformułowań i wywodów. Im jednak opis jest bardziej ścisły tym na
Klasyfikując zagadnienia na te, które są ważne i godne dokładniejszego
pierwszy rzut oka jest mniej zrozumiały. Szukając zatem kompromisu,
omówienia i te, które są mniej ważne, będziemy patrzeli na nie oczami
będziemy na początku raczej omawiali zagadnienia na przykładach,
komputera tzn. nie będziemy ich oceniać z naszego, ludzkiego punktu
a dopiero potem będziemy podawać ich opis formalny
widzenia a z punktu widzenia efektywności obliczeń komputerowych.
(ale będziemy postępować też wręcz odwrotnie!)
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 17 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 18 / 88
Początki geometrii Początki algebry
Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki powstały
już w starożytności. Dotyczy on badania relacji pomiędzy elementami
Geometria (gr.: geo ziemia, metria miara) powstała w starożytności.
zbiorów i działaniami zdefiniowanymi na tych elementach. Zbiór wraz
Początkowo była zbiorem metod związanych z wykonywaniem pomiarów
z działaniami na jego elementach tworzy tzw. strukturę algebraiczną.
Ziemi. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI
Sama nazwa algebra pochodzi od tytułu dzieła pt. Kitb al-jabr
wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Zbiorem osiągnięć
wa l-muqbala ( Zasady redukcji i przenoszenia ) autorstwa
uzyskanych do III wieku p.n.e. jest słynne dzieło Euklidesa Elementy
Muhammada ibn Musa al-Chuwarizmiego (VIII/IX wiek naszej ery).
(ok. 300 p.n.e.).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 19 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 20 / 88
Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi Osiągnięcia Alchwarizmiego
Dzięki pracom Alchwarizmiego na Bliskim Wschodzie zaczęto stosować
pochodzący z Indii dziesiętny system pozycyjny zapisu liczb. Wkrótce
Muhammed ibn Musa al-Chuwarizmi (Alchwarizmi) to perski matematyk,
dotarł on do Europy. Cyfry arabskie wyparły cyfry rzymskie. Jego prace
astronom, geograf i kartograf pochodzenia uzbeckiego żyjący w IX wieku
wprowadziły pojęcie zera, ułamki oraz funkcje trygonometryczne sinus
(prawdopodobnie ok. 780 850).
i tangens (jako pierwszy stablicował je). Wprowadził też elementy algebry.
Urodził się w Chiwie. W latach 813 833 żył w Bagdadzie. Wszystkie jego
Nazwa algorytm pochodzi od łacińskiej wersji jego nazwiska.
dzieła zostały napisane po arabsku. Nosił przydomek Pana tablic .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 21 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 22 / 88
Algebra z geometrią Liczby
Elementami struktur algebraicznych są (najczęściej) liczby, czyli obiekty
matematyczne służące do zliczania i mierzenia. Wyróżniamy:
liczby naturalne N = {1, 2, 3, . . .}
W tym cyklu wykładów algebra (ściślej tzw. algebra liniowa) jest
dyscypliną pierwszoplanową i dominującą. Tzw. algebrą abstrakcyjną1 niekiedy do liczb naturalnych zalicza się też zero {0, 1, 2, 3, . . .}
będziemy zajmować się tylko na początku, a geometria będzie w ogóle
liczby całkowite Z = {0, ą1, ą2, ą3, . . .}
omawiana w tle sprowadzona najczęściej jedynie do roli ilustrowania
liczby wymierne Q (ilorazy liczb całkowitych przez naturalne N)
zagadnień algebraicznych.
liczby rzeczywiste R, wypełniające oś liczbową
liczby zespolone C (pary liczb rzeczywistych)
1
Pojęcia algebra abstrakcyjna i algebra liniowa zostaną wyjaśnione pózniej.
kwaterniony H (czwórki liczb rzeczywistych)
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 23 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 24 / 88
Liczby Zero
Zero jako element neutralny dodawania
Zero jest elementem neutralnym dodawania, tzn. dla każdej liczby
a " N lub Z lub Q lub R lub C lub H
a + 0 = 0 + a = a
Zero jako element neutralizujący mnożenie
Elementami struktur algebraicznych są (najczęściej) liczby, czyli obiekty
Dla każdej liczby a " N lub Z lub Q lub R lub C lub H
matematyczne służące do zliczania i mierzenia. Wyróżniamy:
liczby naturalne N = {1, 2, 3, . . .} służą do zliczania obiektów
a 0 = 0 a = 0
niekiedy do liczb naturalnych zalicza się też zero {0, 1, 2, 3, . . .}
liczby całkowite Z = {0, ą1, ą2, ą3, . . .} Te własności zapisujemy krótko używając kwantyfikatora " (dla każdego)
liczby wymierne Q (ilorazy liczb całkowitych przez naturalne N)
"a"N,Z,Q,R,C,H a + 0 = 0 + a = a
liczby rzeczywiste R, wypełniające oś liczbową określają ilość lub skalę
liczby zespolone C (pary liczb rzeczywistych)
"a"N,Z,Q,R,C,H a 0 = 0 a = 0
kwaterniony H (czwórki liczb rzeczywistych)
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 25 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 26 / 88
Liczby naturalne Liczby naturalne
Liczby naturalne wykorzystujemy wówczas, gdy w opisie badanego zjawiska Liczby naturalne wykorzystujemy wówczas, gdy w opisie badanego zjawiska
występuje wartość minimalna, na przykład, gdy chcemy znalezć występuje wartość minimalna, na przykład, gdy chcemy znalezć
komputerową reprezentację tzw. czarno-białych obrazów, czyli tych, kóre komputerową reprezentację tzw. czarno-białych obrazów, czyli tych, kóre
zawierają tylko odcienie szarości od czerni do bieli. zawierają tylko odcienie szarości od czerni do bieli. Zatem czerni (brak
świecenia ekranu) możemy przypisać wartość 0. Ale ile potrzeba nam liczb?
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 27 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 28 / 88
Liczby naturalne Liczby naturalne
Bieli (maksymale natężenie świecenia ekranu) przyporządkowujemy Bieli (maksymale natężenie świecenia ekranu) przyporządkowujemy
maksymalną wartość (np. 1). Jednak dwie liczby 0 i 1 to za mało, bo maksymalną wartość (np. 1). Jednak dwie liczby 0 i 1 to za mało, bo
wyraznie widzimy granicę (krawędz) między czernią (0) a bielą (1) ... wyraznie widzimy granicę (krawędz) między czernią (0) a bielą (1) ...
i jak mawia pewien wybitny intelektualista: i jak mawia pewien wybitny intelektualista:
nikt nam nie wmówi, że białe jest białe a czarne jest czarne . nikt nam nie wmówi, że białe jest białe a czarne jest czarne .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 29 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 30 / 88
Liczby naturalne Liczby naturalne
Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 4-ch: 0 (czerń), 1, 2 i 3 (biel). Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 8-miu: 0 (czerń),..., 7 (biel)
Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie! Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie!
Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb. Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb.
Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy ich 256 (osiem bitów). Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy ich 256 (osiem bitów).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 31 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 32 / 88
Liczby naturalne Liczby naturalne
Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 16-tu: 0 (czerń),..., 15 (biel) Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 32-u: 0 (czerń),..., 31 (biel)
Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie! Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie!
Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb. Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb.
Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy ich 256 (osiem bitów). Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy ich 256 (osiem bitów).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 33 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 34 / 88
Liczby naturalne Liczby naturalne
Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 64-ch: 0 (czerń),..., 63 (biel) Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 128-u: 0 (czerń),..., 127 (biel)
Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie! Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie!
Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb. Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb.
Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy ich 256 (osiem bitów). Wystarczy ich 128., choć przyjmujemy ich 256.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 35 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 36 / 88
Liczby naturalne Liczby całkowite
Zwiększmy liczbę odcieni szarości do 256-u: 0 (czerń),..., 255 (biel)
Niestety jest ich za mało, nadal widzimy krawędzie!
Jeśli badane zjawisko w istotny sposób zmienia się poniżej i powyżej
Cud! Krawędzie zniknęły! Nie potrzeba nam więcej liczb.
pewnej wartości jakiejś obserwowanej wielkości, np. temperatury, to
Wystarczy ich 128, choć przyjmujemy 256 (osiem bitów).
wygodnie jest przyjąć tę wartość jako zero (np. 0o C) i używać zarówno
liczb ujemnych jak i dodatnich.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 37 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 38 / 88
Liczby ujemne Liczby dodatnie
Jeśli badane zjawisko w istotny sposób zmienia się poniżej i powyżej Jeśli badane zjawisko w istotny sposób zmienia się poniżej i powyżej
pewnej wartości jakiejś obserwowanej wielkości, np. temperatury, to pewnej wartości jakiejś obserwowanej wielkości, np. temperatury, to
wygodnie jest przyjąć tę wartość jako zero (np. 0o C) i używać zarówno wygodnie jest przyjąć tę wartość jako zero (np. 0o C) i używać zarówno
liczb ujemnych jak i dodatnich. liczb ujemnych jak i dodatnich.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 39 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 40 / 88
Apples and oranges czyli co można dodawać? Apples and oranges czyli co można dodawać?
Przykład
Czy można dodawać jabłka i pomarańcze?
NIE !
Wniosek
Uwaga
Nie można dodawać jabłek do pomarańczy, chyba, że przestaniemy je
Dodawać do siebie można jedynie te same obiekty, czyli liczby, które rozróżniać i zaczniemy traktować jako te same obiekty, czyli wyrazimy
przedstawiają tę samą wielkość, wyrażoną do tego w tej samej jednostce. w tej samej jednostce, np. owoce .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 41 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 42 / 88
Osobomiesiąc czyli co można mnożyć? Osobomiesiąc czyli co można mnożyć?
Mnożyć (i dzielić) można wszystko przez wszystko
... i stąd mamy:
osobomiesiące
roboczogodziny
kilometry na godzinę
kilogramy na metr sześcienny
itd.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 43 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 44 / 88
Dodawanie, mnożenie i działania odwrotne Liczby przeciwne
W zbiorze liczb całkowitych zarówno dodawanie jak i mnożenie są
W zbiorze liczb naturalnych zawsze można wykonać dodawanie, ale nie
działaniami przemiennymi, tzn.
zawsze odejmowanie. Po uzupełnieniu tego zbioru o liczby ujemne, także
odejmowanie staje się zawsze wykonywalne, tzn.
"a,b"Z a + b = b + a oraz a b = b a
"a"Z "-a"Z
a +(-a) =(-a) +a = 0
W wyrażeniu użyto kwantyfikatora " (dla każdego).
przy czym
Definicja
"a,b"Z a - b = a +(-b)
Działanie odwrotne do danego działania polega na odzyskaniu jednego
elementu na podstawie znajomości wyniku działania i drugiego elementu. W wyrażeniach użyto kwantyfikatorów: " (dla każdego) i " (istnieje).
Definicja
Przykład
Liczbę -a nazywa się elementem przeciwnym do liczby a.
a =(a + b) - b oraz a =(a b)/b
Elementem przeciwnym do liczby -a jest a, czyli
Działanie przemienne ma jedno działanie odwrotne. Działaniem
-(-a) =a
odwrotnym do dodawania jest odejmowanie, a działaniem odwrotnym do
mnożenia jest dzielenie.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 45 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 46 / 88
Jedynka Liczby wymierne (ułamki) i liczby odwrotne
W zbiorze liczb całkowitych zawsze można wykonać dodawanie
(i odejmowanie) oraz mnożenie, ale nie zawsze dzielenie. Rozszerzając
zbiór liczb całkowitych do liczb postaci
Element neutralny mnożenia
l
a = przy czym l " Z, m " N
Jedynka jest elementem neutralnym mnożenia, tzn. dla każdej liczby
m
a " N lub Z lub Q lub R lub C lub H
tzn. do liczb wymiernych Q, także dzielenie staje się zawsze wykonywalne
(z wyjątkiem dzielenia przez 0), tzn.
a 1 = 1 a = a
"a"Q,a =0 "a-1 a (a-1) =(a-1) a = 1 , przy czym
"Q
"a,b"Q,b =0 a/b = a (b-1)
Tę własność zapisujemy krótko używając kwantyfikatora " (dla każdego)
Definicja
"a"N,Z,Q,R,C,H a 1 = 1 a = a
Liczbę a-1 nazywa się elementem odwrotnym do liczby a.
Elementem odwrotnym do liczby a-1 jest a, czyli
(a-1)-1 = a
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 47 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 48 / 88
Działania odwrotne do odejmowania i dzielenia Potęgowanie i działania odwrotne do potęgowania
Załóżmy, że a, b " N. Potęgowanie tych liczb jest zawsze wykonalne
Jak już zauważyliśmy, działanie przemienne ma jedno działanie odwrotne.
w zbiorze N. Wyniki zazwyczaj zależą od kolejności liczb, tzn. najczęściej
Działanie nieprzemienne ma jednak dwa działania odwrotne. Odejmowanie
ab = ba ,
i dzielenie to działania nieprzemienne, bo najczęściej
czyli jest to działanie nieprzemienne. Ma zatem dwa działania odwrotne:
a - b = b - a
pierwiastkowanie (w istocie sprowadza się do potęgowania)
1/b
"
a/b = b/a , a, b = 0 b
a = ab = ab
Zauważmy, że
logarytmowanie b = loga ab .
a =(a - b) + b oraz b = a - (a - b) Nie zawsze są one wykonywalne w zbiorze N. Nie pomoże tu ani
rozszerzenie zbioru do Z, ani do Q. Działania te najczęściej prowadzą do
a także, że
liczb niewymiernych:
a =(a/b) b = oraz b = a/(a/b)
wykonalność pierwiastkowania wymaga rozszerzenia zbioru liczb
wymiernych o niewymierne liczby algebraiczne
Zatem działania odwrotne do odejmowania to: dodawanie i odejmowanie,
wykonalność logarytmowania wymaga rozszerzenia zbioru liczb
a działania odwrotne do dzielenia to: mnożenie i dzielenie.
o liczby przestępne.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 49 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 50 / 88
Liczby rzeczywiste Cyfry rzymskie
Przykład
Cyfry rzymskie to wybrane litery pochodzące z alfabetu rzymskiego, choć
Liczby
" " "
2 3
początkowo były to niezależne symbole wprowadzone przez Etrusków.
3 = 3 = 31/2 oraz 2 = 21/3
Rzymski zapis liczb jest niewygodny do wykonywania obliczeń i nie
to liczby algebraiczne a liczby
świadczy dobrze o kulturze matematycznej Rzymian.
log2 3 , log3 2 , e , Ą
symbol wartość nazwa
I 1 jeden
to liczby przestępne.
V 5 pięć
X 10 dziesięć
Jeśli zbiór liczb wymiernych Q uzupełnimy o liczby niewymierne
L 50 pięćdziesiąt
algebraiczne i przestępne, to otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych R
C 100 sto (centum)
wypełniajacy oś liczbową, tzn. każdy punkt osi liczbowej reprezentuje jakąś
D 500 pięćset
liczbę rzeczywistą. Liczb przestępnych jest przy tym tak dużo (choć
M 1000 tysiąc (mille)
wypisanie nawet kilku z nich sprawia trudność), że jeśli losowo wybierzemy
jakiś punkt osi liczbowej, to z prawdopodobieństwem równym 1 (zdarzenie
pewne), będzie on reprezentował liczbę przestępną.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 51 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 52 / 88
Uwaga
Zawiłe rzymskie reguły zapisu liczb Cyfry arabskie i pozycyjny system zapisu liczb
Cyfra reprezentująca liczbę będącą potęgą dziesiątki może być zapisana
wielokrotnie (do trzech razy pod rząd), co oznacza dodanie
reprezentowanych liczb. Podobnie dodanie reprezentowanych liczb oznacza
cyfra większa zapisana przed mniejszą. Cyfra mniejsza reprezentująca
liczbę będącą potęgą dziesiątki zapisana przed kolejną większą od niej
oznacza odjęcie reprezentowanych liczb.
Przykłady
Liczbę naturalną w systemie pozycyjnym o podstawie p zapisuje się za
pomocą ciągu cyfr reprezentujacych krotności kolejnych potęg podstawy p,
III= 1 + 1 + 1 = 3
począwszy od prawej strony zapisu od potęgi p0 = 1. Używa się p cyfr cn
MC= 1000 + 100 = 1100
(przy czym n oznacza pozycję cyfry liczoną od prawej strony zapisu)
CM= 1000 - 100 = 900
reprezentujących liczby 0, 1, 2, . . . , p - 1. Zatem
MDC= 1000 + 500 + 100 = 1600
cncn-1 . . . c1c0 = c0p0 + c1p1 + + cn-1pn-1 + cnpn +
XLIX= 50 - 10 + 10 - 1 = 49
n=0
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 53 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 54 / 88
Przykłady pozycyjnych systemów zapisu liczb Rzymski a arabski zapis liczb
system dziesiętny cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
XV = 15 = 1 10 + 5 1
system dwójkowy (binarny) cyfry: 0, 1
XV = 1111 = 1 8 + 1 4 + 1 2 + 1 1
system czwórkowy cyfry: 0, 1, 2, 3
XV = 33 = 3 4 + 3 1
Mądrość
system ósemkowy cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Im prostszy jest zapis zjawisk (model, za pomocą którego otrzymuje się
wyniki zgodne z tymi, które uzyskuje się doświadczalnie, tj. na podstawie
XV = 17 = 1 8 + 7 1
obserwacji zjawisk), tym jest on bliższy prawdy!
system szestnastkowy cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Zawiły rzymski zapis liczb byłby hamulcem rozwoju myśli ludzkiej, gdyby
XV = F nie został zastąpiony prostszym zapisem arabskim.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 55 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 56 / 88
Współczesna geometria Działania algebraiczne
Pytanie
Geometria to dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń
ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, Czy działania (np. dodawanie i mnożenie) możemy wykonywać tylko na
miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy liczbach?
wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych
Odpowiedz
rodzajach geometrii.
Geometria euklidesowa zajmuje się przede wszystkim badaniem
Otóż nie!
niezmienników izometrii (zachowanie odległości) oraz podobieństw
Działania możemy definiować także na abstrakcyjnych elementach,
(zachowanie kątów), geometria afiniczna bada niezmienniki przekształceń
których nie musimy interpretować jako liczby, a nawet więcej
afinicznych, zaś geometria rzutowa opisuje niezmienniki przekształceń
w ogóle ich nie musimy interpretować w ten sposób utworzona
rzutowych. Problemy te uogólnia się na inne przestrzenie i obiekty (np.
została nowa gałąz matematyki, tzw. algebra abstrakcyjna
przestrzeń Riemanna, czy przestrzenie metryczne), a metoda badania
działania możemy wykonywać też na elementach złożonych z wielu
niezmienników jest podstawową metodą badania bardziej zaawansowanych
liczb na wektorach i macierzach co jest przedmiotem badań
obiektów matematycznych (np. przestrzenie topologiczne, abstrakcyjne
dziedziny o nazwie algebra liniowa, na której w tym wykładzie
grupy, pierścienie, itp.)
będziemy się koncentrować
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 57 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 58 / 88
Wektory jako zestawy liczb Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę
i macierze jako zestawy wektorów
Niech c będzie liczbą oraz
Wektory można przedstawiać jako zestawy liczb1. Zapisujemy je za
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
pomocą małych wytłuszczonych liter, np.: 1 0 0
ó#
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# u = , v = 1 , w = 0Ą#
Ł#-1Ą# ó# Ą# ó#
Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
1 0 0
0 -1 1
ó#
u = , v = 1 , w = 0Ą#
Ł#-1Ą# ó# Ą# ó#
Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
0 -1 1 wówczas
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 + 0 1 1 + 0 + 0 1
Macierze to zestawy wektorów. Zapisujemy je stosując wielkie
ó# ó# Ą# ó# ó#
u + v = + 1Ą# = 0 , u + v + w = + 1 + 0Ą# = 0Ą#
Ł#-1 Ś# Ł# Ś# Ł#-1 Ś# Ł# Ś#
wytłuszczone litery, np.:
0 - 1 -1 0 - 1 + 1 0
Ą# ń#
1 0 0
ó#
oraz np.
A = u v w = 1 0Ą# Ą# ń# Ą# ń#
Ł#-1 Ś#
c 1 c
0 -1 1
ó# ó#
cu = c (-1)Ą# = Ś#
Ł# Ś# Ł#-cĄ#
1
W przykładzie występują liczby całkowite, ale zakładamy, że są to liczby c 0 0
rzeczywiste, a nawet zespolone.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 59 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 60 / 88
Kombinacja liniowa wektorów Przykład mnożenia macierzy przez wektor
Rozważmy wektory
Rozważmy macierz A oraz wektor x
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
1 0 0 c
Ą# ń# Ą# ń#
ó# ó#
1 0 0 c
u = , v = 1 , w = 0Ą# , x = dĄ#
Ł#-1Ą# ó# Ą# ó# Ł# Ś#
Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
ó# ó#
A = u v w = 1 0Ą# , x = dĄ#
Ł#-1 Ś# Ł# Ś#
0 -1 1 e
0 -1 1 e
Kombinacją liniową wektorów u, v, w nazywamy wyrażenie
Iloczyn macierzy A przez wektor x to
c u + d v + e w
Ą# ń#
c
ó#
co zapisujemy również jako mnożenie macierzy przez wektor
Ax = u v w dĄ# = c u + d v + e w =
Ł# Ś#
Ą# ń#
e
c
ó#
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
u v w dĄ# = Ax
Ł# Ś#
1 0 0 c 1 c + 0 d + 0 e c
e
ó# ó# Ą# ó#
= 1 0Ą# ó#dĄ# = -1 c + 1 d + 0 e = d - cĄ#
Ł#-1 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
przy czym
0 -1 1 e 0 c +(-1) d + 1 e e - d
A = u v w
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 61 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 62 / 88
Czym jest algebra? Czym jest algebra?
Definicja
Definicja
Algebra jest nauką o strukturach algebraicznych, tzn. o zbiorach
Algebra jest nauką o strukturach algebraicznych, tzn. o zbiorach
elementów i działaniach zdefiniowanych na tych elementach.
elementów i działaniach zdefiniowanych na tych elementach.
Przykład
Przykład
każdy wie, że
każdy wie, że
2 + 2 = 4
2 + 2 = 4
czy może być jednak tak, że
czy może być tak, że
2 + 2 = 1
2 + 2 = 2
TAK, jeśli wynikiem działania jest reszta z dzielenia przez określoną
TAK! Jeśli 2 jest maksymalną możliwą liczbą.
liczbę (tzw. moduł). Jeżeli moduł jest równy 3, to właśnie
Rozważmy np. wiadro o pojemności 2 l. Jeżeli to wiadro jest pełne
wody, to dolewanie do niego niczego nie zmieni i pozostanie w nim
2 + 2 = 1 mod 3
nadal 2 l wody. To jest tzw. arytmetyka z nasyceniem.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 63 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 64 / 88
Czym jest algebra? Dodawanie liczb uint8 w środowisku obliczeniowym Matlab
Definicja
Algebra jest nauką o strukturach algebraicznych, tzn. o zbiorach
elementów i działaniach zdefiniowanych na tych elementach.
Zadeklarujmy 8-bitową zmienną naturalną x (macierz 1x1) o wartości
x = 254, dodajmy 1 a następnie ponownie dodajmy 1, otrzymujemy:
Przykład
>> x = uint8(254)
każdy wie, że
x =
2 + 2 = 4
254
czy może być tak, że
>> x = x + 1
2 + 2 = 0
x =
255
TAK, jeśli wynikiem działania jest reszta z dzielenia przez określoną
>> x = x + 1
liczbę (tzw. moduł). Jeżeli moduł jest równy 4, to właśnie
x =
2 + 2 = 0 mod 4
255
Wniosek: W systemie Matlab stosuje się arytmetykę z nasyceniem!
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 65 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 66 / 88
Para uporządkowana i nieuporządkowana Odpowiedz na pytanie z pozoru banalne
Definicja
Możliwe odpowiedzi to:
Rozważmy dwa zbiory A i B i wybierzmy dwa ich elementy a " A i b " B
para jest uporządkowana, czyli typu (a, a),
po jednym z każdego zbioru. Dla uproszczenia wyniki wyborów elementów
para jest nieuporządkowana, czyli typu {a, a}.
będziemy oznaczać tak jak same elementy i zamiast mówić para wyborów
elementów będziemy mówić krótko para elementów . Każda z tych odpowiedzi jest jednak kłopotliwa.
Parę elementów nazywamy uporządkowaną, jeśli wyróżniamy Jeśli potraktujemy parę (a, a) jako uporządkowaną, to powstaje
kolejność jej elementów, tzn. jeśli rozróżniamy parę (a, b) od pary pytanie: co jest w niej uporządkowanego, skoro zmiana porządku
(b, a), o ile tylko rozróżniamy element a od elementu b. Zatemwtym elementów jest niezauważalna!
przypadku rejestrujemy, który wybór odbył się wcześniej niż drugi.
Jeśli potraktujemy ją jako parę nieuporządkowaną, tzw. torbę {a, a},
Parę nazywamy nieuporządkowaną, jeśli nie wyróżniamy kolejności jej to jak może ona zawierać dwa razy ten sam element tak, jakby nie był
elementów. Taką parę oznaczamy symbolem {a, b} i nazywamy on jedynym indywiduum w uniwersum, a nagle się rozdwoił?
zbiorem. W tym wypadku nie rejestrujemy kolejności wyborów.
Zauważmy jednak, że wszystkie kłopoty znikają, jeśli wezmiemy pod uwagę,
że w rozważanych parach występują nie tyle same elementy co wyniki ich
Pytanie z pozoru banalne
wyborów.
Jak powinniśmy traktować parę wyborów tego samego elementu a? Czy to
Zatem obie odpowiedzi są prawidłowe.
jest para uporządkowana (a, a), czy też nieuporządkowana {a, a}?
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 67 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 68 / 88
Iloczyn kartezjański Czytelny zapis iloczynu kartezjańskiego
Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B jest zbiór wszystkich
Przykład
uporządkowanych par (a, b), wktórych a " A, b " B.
Iloczyn kartezjański w czytelny sposób zapisuje się w postaci tablicy.
Iloczyn kartezjański oznaczamy symbolem A B:
Iloczyn kartezjański zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {a, b}
A B = {(a, b) : a " A i b " B} ż# #
# #
(1, a) (1, b)
# Ź#
A B = (2, a) (2, b)
# #
# #
Przykład (3, a) (3, b)
Niech dane będą zbiory A = {1, 2, 3} oraz B = {a, b}.
Iloczyn kartezjański zbiorów B = {a, b} i A = {1, 2, 3}
Iloczyny kartezjańskie są zatem równe:
(a, 1) (a, 2) (a, 3)
A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B A =
(b, 1) (b, 2) (b, 3)
B A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} = A B
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 69 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 70 / 88
Ren Descartes Kartezjusz Przeliczalność zbiorów
Definicja
Nieskończony zbiór A jest nazywany zbiorem przeliczalnym, jeśli wszystkie
elementy ai, i = 1, 2, . . ., tego zbioru można ustawić w ciąg
a1, a2, . . .
Zbiór nieskończony, który nie jest przeliczalny, nazywamy zbiorem
Ren Descartes (Kartezjusz) urodził się 31. marca 1596 r. w La
nieprzeliczalnym.
Haye-en-Touraine (od 1969 r. Descartes) w Turenii we Francji a zmarł
wskutek przeziębienia 11. lutego 1650 r. w Sztokholmie w Szwecji.
Przykład
Jako filozof i metematyk był jednym z największych myślicieli w dziejach
ludzkości. Był sceptykiem, tzn. przeciwnikiem dogmatów i tworząc nową
Zbiór liczb naturalnych N
wiedzę, dotychczasowe poglądy poddawał w wątpliwość. Uważał, że
1, 2, 3, . . .
jedynym sprawiedliwie rozdzielonym dobrem jest rozum, bo nikt nie skarży
jest przeliczalny.
się na brak rozumu w odróżnieniu od utyskiwań na brak pieniędzy, zdrowia
itp. Jego najbardziej znane rozumowanie, to: mam rozum, więc wątpię,
Wszystkie nieskończone zbiory przeliczalne są równoliczne!
wątpię więc myślę, myślę więc jestem! (łac. cogito ergo sum!).
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 71 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 72 / 88
Przykłady zbiorów przeliczalnych Zbiór nieprzeliczalny
Przykład
Twierdzenie Cantora
Zbiór liczb całkowitych Z Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R jest nieprzeliczalny.
Dowód
0, ą1, ą2, ą3, . . .
Wystarczy, że udowodnimy, iż zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
jest przeliczalny.
nieujemnych mniejszych od 1 jest nieprzeliczalny.
Załóżmy niewprost, że rozważane liczby, które wyrażamy za pomocą ich
Zbiór liczb wymiernych Q
rozwinięć dziesiętnych z cyframi aij = 0, 1, . . . , 9, są przeliczalne, tzn. że
0,
można je ustawić w ciąg
1/1, -1/1,
r1 = 0.a11a12a13 . . . , r2 = 0.a21a22a23 . . . , r3 = 0.a31a32a33 . . . , . . .
przy czym, jeśli od pewnego miejsca byłyby same 9-ki, to zamieniamy je
1/2, 2/2, 2/1, -1/2, -2/2, -2/1,
na zera, a cyfrę je poprzedzającą zwiększamy o 1, np. 0.4999. . . =
1/3, 2/3, 3/3, 3/1, 3/2, -1/3, -2/3, -3/3, -3/1, -3/2,
0.5000. . . = 0.5, co zapewnia jednoznaczność rozwinięcia dziesiętnego.
Tworzymy liczbę r, której cyfra ai = 0, jeśli aii = 0 i ai = 0, jeśli aii = 0,
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 4/1, 4/2, 4/3, -1/4, -2/4, -3/4, -4/4, -4/1, -4/2, -4/3,
i = 1, 2, . . .. Liczba r jest rzeczywista, nieujemna, mniejsza od 1 lecz nie
ma jej w powyższym ciągu, bo od każdej z tych liczb różni się co najmniej
jest przeliczalny. jedną cyfrą. Założenie było więc niesłuszne, co kończy dowód.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 73 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 74 / 88
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Relacja
Definicja relacji
Każdy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego zbiorów A B nazywamy
relacją dwuargumentową określoną na zbiorach A i B, co zapisujemy jako
aRb ! (a, b) " R .
Definicja szczególnych relacji
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor urodził się 3. marca 1845 r.
Relację dwuargumentową R określoną na zbiorze A nazywamy:
w Sankt Petersburgu, zmarł 6. stycznia 1918 r. w wieku 73 lat
zwrotną, jeśli
w sanatorium w Halle. Studiował w Darmstadt, Zurychu i Getyndze.
"a"A aRa
Był nauczycielemwgimnazjumwBerlinie i profesoremwUniwersytecie
symetryczną, jeśli
wHalle.
"a,b"A aRb ! bRa
Georg Cantor był pionierem nowoczesnej matematyki i twórcą teorii
mnogości. Matematycy mu współcześni nie docenili jego osiągnięć. Cantor
przechodnią, jeśli
przyjmował tę krytykę bardzo zle. Sam zresztą odkrywał paradoksy w teorii
mnogości. Cierpiał na depresję i pod koniec życia przestał publikować
"a,b,c"A aRb i bRc ! aRc .
wyniki swych prac.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 75 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 76 / 88
Relacja Zbiór ilorazowy
Definicja relacji równoważnościowej
Definicja zbioru ilorazowego
Relację dwuargumentową R określoną na zbiorze A nazywamy relacją
Zbiór wszystkich klas abstrakcji elementów zbioru A względem relacji
równoważnościową lub po prostu równoważnością, jeśli jest ona zwrotna,
równoważności R nazywamy ilorazem zbioru A przez relację R
symetryczna i przechodnia.
i oznaczamy A/R.
Definicja klasy abstrakcji
Przykład
Zbiór [a] wszystkich elementów zbioru A, które wraz z a spełniają relację
Wezmy pod uwagę zbiór liczb całkowitych Z i relację parzystości. Zbiór
R nazywamy klasą równoważności lub klasą abstrakcji elementu a
ilorazowy ze względu na tę relację składa się z dwóch elementów
względem relacji R.
{[0], [1]}
Twierdzenie
Dwie klasy abstrakcji względem relacji R są albo identyczne albo
Będziemy go oznaczać prościej jako
rozłączne, przy czym
[a] =[b] ! aRb .
{0, 1}
Zatem każdy element pewnej klasy abstrakcji może zostać wykorzystany
i nazywać zbiorem binarnym.
do jej oznaczenia.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 77 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 78 / 88
Obliczenia komputerowe Odwzorowania (funkcje)
W obliczeniach komputerowych elementom 0 i 1 nazywanym wartościami
binarnymi przypisujemy:
Definicja
znaczenie cyfr binarnego (dwójkowego) systemu pozycyjnego w celu
Relację R określoną na zbiorach A i B nazywa się odwzorowaniem zbioru
reprezentacji liczb,
A w zbiór B lub funkcją określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze B,
znaczenie symboli logicznych, odpowiednio fałsz i prawda ,
jeśli
znaczenie abstrakcyjnych symboli w celu tworzenia kodów
"a"A"b"B aRb oraz "a"A"b,c"B aRb i aRc ! b = c .
reprezentowanych danych.
Jeśli to odwzorowanie oznaczymy przez f, to zapisujemy
Uwaga
f : A B
Posługiwanie się wartościami binarnymi zwalnia z rozróżniania większej od
dwóch liczby stanówwmiejscach połączeń podstawowych modułów(tzw.
oraz
bramek) układów elektronicznych realizujących obliczenia komputerowe.
f(A) ={b " B : "a"A b = f(a)} .
Dzięki temu maksymalnemu złagodzeniu wymagań dotyczących
Zbiór A nazywamy dziedziną, a podzbiór Bf zbioru B złożony ze
dokładności działania, przy projektowaniu bramek można skoncentrować
wszystkich elementów f(a) nazywamy przeciwdziedziną odwzorowania f.
się na maksymalizacji ich szybkości, miniaturyzacji (gęstości upakowania
w układzie scalonym) i minimalizacji poboru energii.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 79 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 80 / 88
Surjekcja, injekcja, bijekcja Odwzorowanie odwrotne
Definicja
O odwzorowaniu
f : A B
Definicja
mówimy, że jest:
Jeśli f : A B jest bijekcją (różnowartościowym odwzorowaniem na zbiór
B), to istnieje wówczas odwzorowanie zbioru B na zbiór A takie, że
surjekcją (odwzorowaniemna zbiór B) jeśli zbiór B jest
f(a) =b. Oznaczamy je symbolem f-1 i nazywamy odwzorowaniem
przeciwdziedziną odwzorowania f, czyli
odwrotnym do odwzorowania f.
B = f(A)
Azatem
f-1 : B A
injekcją (odwzorowaniem różnowartościowym lub wzajemnie
"b"B"a"A a = f-1(b) ! b = f(a)
jednoznacznym), jeśli
"a,b"A f(a) =f(b) ! a = b
bijekcją, jeśli jest surjekcją i injekcją.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 81 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 82 / 88
Działanie (wewnętrzne) Właściwości działań
Defnicja
Działanie ć% określone w zbiorze A nazywamy:
Rozważmy zbiór A. Każde odwzorowanie
przemiennym, jeśli
"a,b " A a ć% b = b ć% a
f : A A A
łącznym, jeśli
iloczynu kartezjańskiego A A wzbiór A nazywamy działaniem
"a,b,c " A (a ć% b) ć% c = a ć% (b ć% c)
(wewnętrznym) w zbiorze A.
Zamiast pisać dla odpowiednich elementów a, b, c " A
Element e nazywa się elementem neutralnym działania ć% , jeśli
c = f(a, b)
"a"A a ć% e = e ć% a = a
wprowadza się oznaczenie działania, np. ć% i pisze
Element b nazywa się elementem odwrotnym do elementu a przy
działaniu ć% i oznacza np. przez a lub a-1, jeśli
c = a ć% b
Przykład a ć% b = b ć% a = e
Typowe znaki to + dla dodawania i lub dla mnożenia.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 83 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 84 / 88
Działanie zewnętrzne Struktura algebraiczna
Defnicja
Definicja
Rozważmy zbiory F i A. Każde odwzorowanie
Strukturą algebraiczną określoną w zbiorze A nazywa się zestaw
g : F A A
(A, F1, F2, . . . , Fn, f1, f2, . . . , fm, g1, g2, . . . , gn)
iloczynu kartezjańskiego F A wzbiór A nazywamy działaniem
złożony ze zbioru A, zbiorów F1, F2, . . . , Fn, działań wewnętrznych
zewnętrznym w zbiorze A.
Zamiast pisać dla odpowiednich elementów x " F i a, b " A f1 : A A A, f2 : A A A, . . . , fm : A A A ,
b = g(x, a) i działań zewnętrznych
wprowadza się oznaczenie działania, np. i pisze g1 : F1 A A, g2 : F2 A A, . . . , gn : Fn A A .
b = x a albo nawet prościej b = xa
Uwagi
Zazwyczaj zakłada się, że wymienione działania spełniają szereg warunków:
Przykład
łączność, przemienność, istnienie elementu neutralnego, istnienie
Przykładem działania zewnętrznego jest mnożenie wektora przez skalar.
elementów odwrotnych, rozdzielność jednych działań względem drugich.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 85 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 86 / 88
Studenckie Koło Naukowe Decybel Zegary Salvadora Dali zmęczone dodawaniem modulo 12
www.decybel.put.poznan.pl
Przewodniczący:
Andrzej Namerła
andrzej.namerla@put.poznan.pl
Opiekun:
Profesor Adam Dąbrowski
Sekcja Sterowników PLC
i Mikroprocesorów
Sekcja Technik Internetowych
Sekcja Systemów Wizyjnych
Do zobaczenia na następnym wykładzie!
i Monitoringu
Zegary resztkami sił wskazują, iż czas wykładu skończył się!
Sekcja Biometrii i Interfejsów
Mam nadzieję, że po wysłuchaniu go są Państwo w lepszym
Człowiek-Komputer
stanie niż zegary namalowane przez Salvadora Dali, zmęczone
Sekcja Akustyki Technicznej
dodawaniem modulo 12.
i Psychoakustyki
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 87 / 88 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 pazdziernika 2012 88 / 88
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
01 Wprowadzenie do programowania w jezyku C01 Wprowadzenie odczynniki BHP01 wprowadzenie01 Wprowadzenieid&6901 Wprowadzenielab 1 01 wprowadzenie do mathcada 1 301 konspekt ALKOHOLid&9101 Wprowadzenie01 wprowadzenie do teorii eksploatacji statkow powietrznych podstawowe pojecia i definicjeid)90Wykład 01 Wprowadzenie do sieci telekomunikacyjnychwięcej podobnych podstron