Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Komplet klocków Domino składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada
nieuporządkowanej parze liczb (i, j), i, j = 0,1,2,K,6 .
Mówimy, że klocek B(k,l) możemy dołożyć do klocka A(i,j), jeżeli k=i lub k=j lub l=i
lub l=j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie,
na przykład: A(1,2)B(2,0). Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu,
jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w
przykładzie liczba 1 lub 0).
Losujemy kolejno trzy klocki K, L, M bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że klocek M możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków K i L, jeżeli
wiadomo, że klocki K i L pasują do siebie.
41
(A)
91
1
(B)
2
6
(C)
13
11
(D)
26
(E) żadna z powyższych odpowiedzi.
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech Z1, Z2 ,K, Zn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o
gęstości
ńł
��
�ł dla x > 0
p,� (x) =
�ł
(x + )� +1
�ł
0 dla x d" 0,
ół
gdzie � >1,  > 0 są ustalonymi liczbami.
Wyznaczyć E(Z1 + Z2 + K + Zn | min(Z1, Z2 ,K, Zn ) = t) , gdzie t jest ustaloną liczbą
większą od 0.
 + t
(A) nt +
� -1
(n -1)( + t)
(B) nt +
n(� -1)
 + t
(C) nt + (n - 1)
� -1
 + t
�ł
(D) n�łt +
�ł �ł
� -1łł
�ł

(E) nt + (n - 1) .
� -1
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa (X ,Y, Z) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i
macierzą kowariancji
4 1,5 1
�ł łł
�ł1,5 1 0,5śł
.
�ł śł
�ł śł
1 0,5 1
�ł �ł
Obliczyć Var((X + Y )Z) .
(A) 12,5
(B) 9,5
(C) 11
(D) 10,25
(E) 8,75
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech X = (X1, X ,K, X ) będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym
2 k
Mult(n, p1, p2 ,K, pk ) , gdzie wektor p = ( p1, p2 ,K, pk ) ( pi e" 0 dla i =1,2,K, k
k
oraz pi = 1) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji
Ł
i=1
k
1
Ć
wektora p przy kwadratowej funkcji straty L( p, p) = pi - pi )2 .
Ł( Ć
k
i=1
Ć
Wśród estymatorów wektora p postaci p = (aX1 + b, aX + b,K, aX + b) (gdzie a, b
2 k
Ć
są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy EL( p, p) ) stałym, niezależnym od p,
najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego
1 - 1
(A) a = , b =
n - n k( n - 1)
1 - 1
(B) a = , b =
n - n 2( n - 1)
1 1
(C) a = , b =
n + n 2( n + 1)
1 1
(D) a = , b =
n + n k( n + 1)
(E) żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
2 n
�
ńł
�ł dla x >1
f� (x) =
�ł
x� +1
�ł
0 dla x d"1,
ół
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru �
d c
�ł
postaci �Ć, �Ćłł na poziomie ufności 1 - ą , gdzie liczby c i d są dobrane tak, aby
�ł śł
n n
�ł �ł
d c ą
P� ńł� < �Ć�ł = P� ńł� > �Ć�ł =
�ł żł �ł żł
n n 2
ół �ł ół �ł
i �Ć jest estymatorem największej wiarogodności parametru � .
Przy n = 20 i ą = 0,05 przedział ufności ma postać:
(A) [0,663�Ć, 1,394�Ć]
(B) [0,812�Ć, 1,242�Ć]
(C) [0,611�Ć, 1,484�Ć]
(D) [0,480�Ć, 1,709�Ć]
(E) [0,325�Ć, 2,048�Ć]
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Niech X1, X ,K, X będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
2 n
2 2
N(�,� ) , gdzie oba parametry są nieznane. Estymując parametr � wyznaczono
dwa estymatory T1 - estymator największej wiarogodności i T2 - estymator
nieobciążony o minimalnej wariancji.
Różnica ryzyk estymatora T1 i estymatora T2 przy kwadratowej funkcji straty jest
równa
4
� (n + 1)
(A)
n2 (n -1)
4
� (n - 3)
(B)
n2 (n -1)
4
2�
(C)
n2 (n -1)
4
�
(D)
n2
4
�
(E) -
n2
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Obserwujemy pary (X1,Y1), (X ,Y2 ),K, (X ,Y20 ) zmiennych losowych. Zmienne
2 20
X1,X ,K,X są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(mx ,1) , a zmienne
2 20
2 2
Y1,Y2 ,K,Y20 o rozkładzie normalnym N(my ,� ) , gdzie � = 4 . Wszystkie zmienne
są niezależne. Rozważamy test najmocniejszy hipotezy:
H0 : (mx , my ) = (0, 0)
przeciw alternatywie:
H1 : (mx , my ) = (1, 1) ,
na poziomie istotności ą = 0,01 .
Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju tego testu.
(A) jest mniejsze niż 0,001
(B) 0,004
(C) 0,048
(D) 0,371
(E) 0,010
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X ,K, X ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
2 n
wykładniczym z wartością oczekiwaną 1, a Y1,Y2 ,K,Yn ,K niezależnymi zmiennymi
losowymi o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 2. Niech N będzie
zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 4. Wszystkie zmienne są
niezależne. Niech
N N
ńł ńł
�ł X gdy N e" 1 �ł gdy N e" 1
" i "Yi
T = S =
�ł �ł
i=1 i=1
�ł �ł
0 gdy N = 0 0 gdy N = 0
ół ół
Obliczyć współczynnik korelacji corr(T,S) między zmiennymi T i S.
(A) 0
1
(B)
2 3
1
(C)
2
1
(D)
4
1
(E)
2
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Losujemy n (n e" 3) niezależnych realizacji zmiennej losowej z rozkładu
jednostajnego na przedziale (0, � ) o gęstości
ńł
�ł1
dla 0 < x < �
f (x)= .
�ł
�
�ł
)
ół0 dla x "(0,�
Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący {x1, x2 ,K, xn}
tworzymy przedział (2x1,2xn-1) .
Dobrać najmniejsze n, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzony
przedział pokrywa wartość parametru � jest większe niż 0,9.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku w łańcuchu Markowa o
dwóch stanach {1, 2} jest postaci
1 3
�ł łł
�ł4 4śł
�ł1 1śł
�ł śł
�ł2 2�ł
Niech X oznacza stan łańcucha w momencie n.
n
Obliczyć lim E(X X ) .
n n+1
n+"
5
(A)
2
13
(B)
5
19
(C)
8
(D) 2
(E) granica zależy od rozkładu początkowego na przestrzeni stanów.
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ..............................KLUCZ ODPOWIEDZI...................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 D
2 C
3 D
4 D
5 C
6 B
7 B
8 E
9 B
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11