Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Rzucono niezależnie 80 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza łączną liczbę
orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 20 rzutach. Wtedy współczynnik korelacji
�(X ,Y ) jest równy
(A) 0
1
(B)
2
1
(C)
2
1
(D)
4
(E) 1
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładów
prawdopodobieństwa o gęstościach
ż# ż#
�#8 �#4
x3 exp(- 2x) gdy x > 0 x4 exp(- 2x) gdy x > 0
fX (x) = i fY (x) =
�# �#
3 3
�# �#
0 gdy x d" 0 0 gdy x d" 0
�# �#
X
Niech U = i V=X+Y.
X + Y
Wtedy
4
(A) E(U )=
5
4
(B) E(U |V ) =
9
2
(C) E(U |V )=
V
2
(D) E(V |U ) =
U
7
(E) E(V )=
2
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech X1, X2,K, Xn,K, I1,I2,K,In,K,N będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Zmienne
X1, X2,K, Xn,K mają rozkład o wartości oczekiwanej 2 i wariancji 1. Zmienne
I1,I2,K,In,K mają rozkład jednostajny na przedziale (0,1). Zmienna N ma rozkład ujemny
2 n
�(2 + n) 3 1
�# ś# �# ś#
dwumianowy P(N = n)= dla n = 0,1,2,K.
ś# ź# ś# ź#
n! 4 4
�# # �# #
0 gdy N = 0
ż#
�#
N
Niech SN = .
�#
Xi gdy N > 0
"Ii
�#
�# i=1
Wtedy Var SN jest równa
( )
8
(A)
9
4
(B)
9
4
(C)
3
10
(D)
9
17
(E)
18
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się nieznana liczba N kul, wśród których jest 7 kul czerwonych.
Losujemy 6 kul i zliczamy X liczbę kul czerwonych. Weryfikujemy hipotezę H:
12
N=15 przy alternatywie, że K: N>15. Przy poziomie istotności test jednostajnie
143
najmocniejszy odrzuca hipotezę H, gdy
(A) X < 1
(B) X < 2
(C) X < 3
(D) X > 3
(E) X > 4
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
2
Na podstawie prostej próby losowej X1, X2,K, X10 testowano hipotezę H0 : � = 2 przy
2 2
alternatywie H1 : � = 0,5 , gdzie � jest parametrem odpowiadającym za wariancję
zmiennej losowej Xi .
Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe Xi mają rozkład zadany gęstością
2
ż#
� xe-�x gdy x > 0
f� (x) = ,
�#
0 gdy x d" 0
�#
gdzie � > 0 jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności ą = 0,05 , obszar
krytyczny testu opartego na ilorazie wiarogodności jest równy
10
(A) Xi < 13,25
"
i=1
10
(B) Xi > 27,88
"
i=1
10
(C) Xi > 9,15
"
i=1
10
(D) Xi > 15,71
"
i=1
10
(E) Xi < 5,43
"
i=1
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Dysponujemy dwiema urnami: A i B. W urnie A są dwie kule białe i trzy czarne, w urnie B są
cztery kule białe i jedna czarna. Wykonujemy trzy etapowe doświadczenie:
1 etap: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie wrzucamy do tej
urny 2 kule białe i 2 czarne;
3 etap: z urny, do której wrzuciliśmy kule, losujemy jedną kulę.
Okazało się, że wylosowana w trzecim etapie kula jest biała.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w drugim etapie wylosowano dwie kule jednego koloru.
(A) 0,2
(B) 0,4
(C) 0,5
(D) 0,6
(E) 0,3
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Niech X0, X1, X2,K, Xn , n > 2 , będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
Pareto o gęstości
3
ż#
gdy x > 0
�#
f (x) =
(1+ x)4
�#
�#
0 gdy x d" 0
�#
Niech U = min{X0, X1, X2,K, Xn}. Wtedy E(U | X0 = 1) jest równa
1
�#1- 1
ś#
(A)
ś# ź#
3n + 2 23n+2 #
�#
1
�#1- 1 1
ś#
(B)
ś# ź# -
3n -1�# 23n-1 # 23n
1
(C)
(3n -1)23n-1
1 1
�#1- 1
ś#
(D) +
ś# ź#
23n 3n -1�# 23n-1 #
1
�#1- 1
ś#
(E)
ś# ź#
3n -1�# 23n-1 #
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Niech X1, X2,K, Xn , n e" 2 , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
2
rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej 1 i nieznanej wariancji � .
n
Rozważamy rodzinę estymatorów parametru � postaci Sa = a Xi -1 , przy czym a
"
i=1
jest liczbą dodatnią. Wyznaczyć a*, tak by estymator Sa był estymatorem o
*
najmniejszym błędzie średniokwadratowym wśród estymatorów postaci Sa .
1
(A) a* =
n
1
(B) a* =
n -1
2Ą
(C) a* =
n + 2Ą -1
2Ą
(D) a* =
2n + Ą - 2
2 Ą
(E) a* =
2n + Ą - 2
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Niech X1, X2,K, Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale (a,b) , a < b i n > 2 . Rozważamy estymator
parametru b - a postaci
c(max{X1, X2,K, Xn}- min{X1, X2,K, Xn}),
gdzie c dobrano tak, aby był to estymator nieobciążony.
Wariancja tego estymatora jest równa
2
2(b - a)
A)
(n +1)(n -1)
2
2n(b - a)
(B)
2
(n +1) (n + 2)
2
2n(b - a)
(C)
2
(n -1) (n + 2)
2
2(b - a)
(D)
(n + 2)(n -1)
2
2(b - a)
(E)
(n +1)(n + 2)
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Niech X1, X2,K, X10 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o
gęstości
ż#
�x� -1 gdy x "(0,1)
f� (x) = ,
�#
0 gdy x "(0,1)
�#
gdzie �>0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczamy przedział ufności dla parametru �
postaci
[c�Ć,d�Ć] ,
gdzie �Ć = �Ć(X1, X2,K, X10) jest estymatorem największej wiarogodności, a stałe c i d są
dobrane tak, aby P�(� < c�Ć)= P�(� > d�Ć)= 0,05 . Wyznaczyć c i d.
(A) c = 0,54 i d = 1,57
(B) c = 0,39 i d = 1,83
(C) c = 0,11 i d = 1,11
(D) c = 0,23 i d = 2,21
(E) c = 0,27 i d = 1,29
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.04.2009 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : .................... K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 B
2 B
3 C
4 B
5 A
6 C
7 E
8 D
9 D
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11