30.12.2010 Olsztyn
Uniwersytet Warmińsko  Mazurski w Olsztynie
Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej
Katedra Fotogrametrii i Teledetekcji
Filtracje obrazów
Michał Sargalski
I rok MSU
Geodezja i Nawigacja Satelitarna grupa pol.
Filtracja obrazów - filtracja obrazów jest zaliczana do metod cyfrowego przetwarzania
sygnałów (ang. Digital Signal Processing). Filtracja jest operacją matematyczną na pikselach
obrazu z
ródłowego w wyniku której uzyskiwany jest nowy, przekształcony obraz. Filtrację
określa się jako przekształcenie kontekstowe, gdyż dla wyznaczenia nowej wartości piksela
obrazu docelowego potrzebna jest informacja z wielu pikseli obrazu z
ródłowego.
Zastosowanie filtrów w przetwarzaniu obrazów oznacza, że do obliczenia nowej wartości
punktu brane są pod uwagę wartości punktów z jego otoczenia. Każdy piksel z otoczenia
wnosi swój wkład - wagę podczas przeprowadzania obliczeń. Wagi te zapisywane są w
postaci maski. Typowe rozmiary masek to 3 x 3, 5 x 5 bądz
7 x 7. Rozmiary masek są z
reguły nieparzyste ponieważ piksel na środku reprezentuje piksel dla którego wykonywana
jest operacja przekształcania filtrem. Przeanalizujmy filtrację na podstawie filtra o masce 3 x
3.
f-1, -1 f0, -1 f1, -1
f-1, 0 f0, 0 f1, 0
f-1, 1 f0, 1 f1, 1
Wówczas nową wartość składowej punktu a o współrzędnych (i, j) obliczymy według
następującego wzoru. Najpierw obliczymy sumę ważoną składowej punktu i wszystkich
sąsiadów zgodnie z wagami wskazanymi przez maskę filtra.
s = f-1, -1 * ai-1, j-1 + f0, -1 * ai, j-1 + f1, -1 * ai+1, j-1 + f-1, 0 * ai-1, j + f0, 0 * ai, j + f1, 0 * ai+1, j + f-1, 1 *
ai-1, j+1 + f0, 1 * ai, j+1 + f1, 1 * ai+1, j+1
Tak otrzymaną sumę dzielimy przez sumę wszystkich wag maski, jeżeli jest ona różna od 0.
Ten proces normalizacji wartości składowej punktu zapobiegnie zmianie jasności
przetwarzanego obrazu.
a'i, j = s / (f-1, -1 + f0, -1 + f1, -1 + f-1, 0 + f0, 0 + f1, 0 + f-1, 1 + f0, 1 + f1, 1 )
Filtrację przeprowadza się osobno dla każdej składowej obrazu. Zatem jeżeli mamy obraz
reprezentowany w modelu RGB, to wówczas będziemy wykonywać oddzielne
przekształcenia dla składowej R, G oraz B.
Jak łatwo zauważyć próba zastosowania filtracji dla punktów położonych na krawędzi obrazu,
prowadzi do sytuacji, w której maska "wystaje" poza przetwarzany obraz. Istnieje kilka
sposobów obejścia tego problemu. Jednym z nich jest pominięcie procesu filtracji dla takich
punktów, innym jest zmniejszenie obrazu po filtracji o punkty, dla których proces ten nie
mógł być wykonany. Kolejnym sposobem jest dodanie do filtrowanego obrazu
zduplikowanych pikseli znajdujących się na jego brzegu.
Rodzaje filtrów
1. Filtry dolnoprzepustowe (ang. low-pass) przepuszczają elementy obrazu o małej
częstotliwości. Elementy o wysokiej częstotliwości (szumy, drobne szczegóły) są natomiast
tłumione bądz
wręcz blokowane. Wynikiem działania takich filtrów jest zredukowanie
szumów, w szczególności gdy jest on jedno, dwupikselowy ale również wygładzenie i
rozmycie obrazu. Poniżej znajduje się przykładowy obraz przed (po lewej) i po zastosowaniu
filtra dolnoprzepustowego:
" filtr uśredniający - jest podstawowym filtrem dolnoprzepustowym, jego wynikiem jest
uśrednienie każdego piksela razem ze swoimi ośmioma sąsiadami.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
" filtr kwadratowy - jego wynikiem jest uśrednienie każdego piksela razem ze swoimi
dwudziestoma czteroma sąsiadami, powoduje to odfiltrowanie większej liczby
szczegółów jak w przypadku poprzedniego filtra.
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
" filtr kołowy - jest pewną modyfikacją filtra kwadratowego, kształt jego maski
zbliżony jest do koła, jego wynikiem jest uśrednienie każdego piksla razem ze swoimi
dwudziestoma sąsiadami - punkty położone w narożnikach mają wagę 0, zatem nie
biorą udziału w procesie filtracji.
0 1 1 1 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
0 1 1 1 0
" LP1 - różni się od filtra uśredniającego zwiększeniem wagi, dla aktualnie
przetwarzanego punktu, powoduje to zmniejszenie "efektu rozmycia" w stosunku do
filtra uśredniającego.
1 1 1
1 2 1
1 1 1
" LP2 - różni się od filtra uśredniającego jeszcze mocniejszym zwiększeniem wagi, dla
aktualnie przetwarzanego punktu niż filtr LP2.
1 1 1
1 4 1
1 1 1
" LP2 - różni się od filtra uśredniającego jeszcze mocniejszym zwiększeniem wagi, dla
aktualnie przetwarzanego punktu niż filtr LP3.
1 1 1
1 12 1
1 1 1
" piramidalny - jeżeli kolejne komórki tego filtra przedstawionoby za pomocą słupków
o wysokości odpowiadającej przypisanej wadze to w efekcie otrzymalibyśmy bryłę
podobną do piramidy, stąd jego nazwa. Widać tutaj, że znaczenie wartości punktu
rośnie wraz ze zmniejszaniem się odległości do obliczanego punktu.
1 2 3 2 1
2 4 6 4 2
3 6 9 6 3
2 4 6 4 2
1 2 3 2 1
" stożkowy - jeżeli kolejne komórki tego filtra przedstawionoby za pomocą słupków o
wysokości odpowiadającej przypisanej wadze to w efekcie otrzymalibyśmy bryłę
podobną do stożka, stąd jego nazwa. Znaczenie wartości punktu rośnie wraz ze
zmniejszaniem się odległości do obliczanego punktu.
0 0 1 0 0
0 2 2 2 0
1 2 5 2 1
0 2 2 2 0
0 0 1 0 0
" gauss 1 - jeżeli kolejne komórki tego filtra przedstawionoby za pomocą słupków o
wysokości odpowiadającej przypisanej wadze to w efekcie otrzymalibyśmy bryłę
podobną do krzywej rozkładu normalnego - krzywej Gaussa. Zatem znaczenie
wartości punktu rośnie wraz ze zmniejszaniem się odległości do obliczanego punktu,
w sposób opisany przez funkcje Gaussa.
1 2 1
2 4 2
1 2 1
" gauss 2 - kolejna wersja filtru wykorzystującego funkcję Gaussa.
1 1 2 1 1
1 2 4 2 1
2 4 8 4 2
1 2 4 2 1
1 1 2 1 1
" gauss 3 - kolejna wersja filtru wykorzystującego funkcję Gaussa.
0 1 2 1 0
1 4 8 4 1
2 8 16 8 2
1 4 8 4 1
0 1 2 1 0
" gauss 4 - kolejna wersja filtru wykorzystującego funkcję Gaussa.
1 4 7 4 1
4 16 26 16 4
7 26 41 26 7
4 26 16 26 4
1 4 7 4 1
" gauss 5 - kolejna wersja filtru wykorzystującego funkcję Gaussa.
1 1 2 2 2 1 1
1 2 2 4 2 2 1
2 2 4 8 4 2 2
2 4 8 16 8 4 2
2 2 4 8 4 2 2
1 2 2 4 2 2 1
1 1 2 2 2 1 1
2. Filtry górnoprzepustowe (ang. high-pass) przepuszczają i wzmacniają elementy obrazu o
dużej częstotliwości, są to szumy, drobne szczegóły i krawędzie. Tłumieniu natomiast ulegają
elementy o niskiej częstotliwości. Wynikiem działania takich filtrów jest wyostrzenie obrazu,
a także zwiększenie ilości szumów. Poniżej znajduje się przykładowy obraz przed (po lewej) i
po zastosowaniu filtra górnoprzepustowego:
" usuń średnią (ang. mean removal) - jest to podstawowa wersja filtru
górnoprzepustowego, jego użycie powoduje znaczne wyostrzenie obrazu, ale także
wzmocnienie wszelkich szumów i zakłóceń.
-1 -1 -1
-1 9 -1
-1 -1 -1
" HP1 - w porównaniu do poprzedniego filtru, cechuje się mniejszym wyostrzeniem
obrazu, nie uwypukla tak bardzo szumów znajdujących się w przetwarzanym obrazie.
0 -1 0
-1 5 -1
0 -1 0
" HP2 - w porównaniu do poprzedniego filtru, cechuje się jescze mniejszym
wyostrzeniem obrazu.
1 -2 1
-2 5 -2
1 -2 1
" HP3 - powoduje najmniejsze z przedstawionych tutaj filtrów górnoprzepustowych
wzmocnienie szumów.
0 -1 0
-1 20 -1
0 -1 0
3. Filtry przesuwania i odejmowania, wykonują przesunięcie obrazu a następnie
odejmowanie obrazu od swojej kopii. Filtry te służą do wykrywania krawędzi w obrazie. W
zależności od kierunku przesuwania obrazu będą to krawędzie pionowe, poziome bądz

ukośne. Należy zauważyć, że w wyniku działania tego rodzaju filtrów wynikowa wartość
składowej punktu może wyjść ujemna. W takim wypadku należy użyć wartości bezwzględnej
albo sprowadzić wartość do 0. Poniżej znajduje się przykładowy obraz przed (po lewej) i po
zastosowaniu filtra przesuwania i odejmowania:
" poziomy - wykonuje przesunięcie obrazu o jeden punkt w kierunku pionowym a
następnie odjęcie wartości punktu od jego kopii, w ten sposób wykrywa krawędzie
poziome w obrazie.
0 0 0
-1 1 0
0 0 0
" poziomy - wykonuje przesunięcie obrazu o jeden punkt w kierunku poziomym a
następnie odjęcie wartości punktu od jego kopii, w ten sposób wykrywa krawędzie
pionowe w obrazie.
0 -1 0
0 1 0
0 0 0
" ukośny - wykonuje przesunięcie obrazu o jeden punkt w kierunku ukośnym a
następnie odjęcie wartości punktu od jego kopii, w ten sposób wykrywa krawędzie
ukośne / w obrazie.
-1 0 0
0 1 0
0 0 0
" ukośny - wykonuje przesunięcie obrazu o jeden punkt w kierunku ukośnym a
następnie odjęcie wartości punktu od jego kopii, w ten sposób wykrywa krawędzie
ukośne w obrazie.
0 0 -1
0 1 0
0 0 0
4. Gradientowe filtry kierunkowe (ang. gradient directional) służą również do wykrywania
krawędzi w obrazie. Nazwa kolejnych przedstawionych filtrów określa krawędzie- zgodnie z
kierunkiem geograficznym, które będą wykryte na obrazie wynikowym. Poniżej znajduje się
przykładowy obraz przed (po lewej) i po zastosowaniu gradientowego filtra kierunkowego:
" wschód
-1 1 1
-1 -2 1
-1 1 1
" południowy-wschód
-1 -1 1
-1 -2 1
1 1 1
" południe
-1 -1 -1
1 -2 1
1 1 1
" południowy-zachód
1 -1 -1
1 -2 -1
1 1 1
" zachód
1 1 -1
1 -2 -1
1 1 -1
" północny-zachód
1 1 1
1 -2 -1
1 -1 -1
" północ
1 1 1
1 -2 1
-1 -1 -1
" północny-wschód
1 1 1
-1 -2 1
-1 -1 1
5. Filtry uwypuklające (ang. embossing) wprowadzają złudzenie wypukłości i wklęsłości w
miejscach, gdzie w obrazie znajdują się krawędzie - daje to efekt podobny do płaskorzez
by.
Nazwa kolejnych przedstawionych filtrów określa krawędzie- zgodnie z kierunkiem
geograficznym, które będą uwypuklone w obrazie wynikowym. Poniżej znajduje się
przykładowy obraz przed (po lewej) i po zastosowaniu filtra uwypuklającego:
" wschód
-1 0 1
-1 1 1
-1 0 1
" południowy-wschód
-1 -1 0
-1 1 1
0 1 1
" południe
-1 -1 -1
0 1 0
1 1 1
" południowy-zachód
0 -1 -1
1 1 -1
1 1 0
" zachód
1 0 -1
1 1 -1
1 0 -1
" północny-zachód
1 1 0
1 1 -1
0 -1 -1
" północ
1 1 1
0 1 0
-1 -1 -1
" północny-wschód
0 1 1
-1 1 1
-1 -1 0
6. Filtry Laplace'a - stosowane są do wykrywania krawędzi. W porównaniu do innych
przedstawionych tutaj filtrów cechuje je wielokierunkowość - wykrywają krawędzie we
wszystkich kierunkach. Ponadto dają w efekcie ostrzejsze krawędzie. Poniżej znajduje się
przykładowy obraz przed (po lewej) i po zastosowaniu filtra Laplace'a:
" LAPL1
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
" LAPL2
-1 -1 -1
-1 8 -1
-1 -1 -1
"
" LAPL3
1 -2 1
-2 4 -2
1 -2 1
" Laplace'a ukośny
-1 0 -1
0 4 0
-1 0 -1
" Laplace'a poziomy - ograniczony do wykrywania krawędzi poziomych.
0 -1 0
0 2 0
0 -1 0
" Laplace'a pionowy - ograniczony do wykrywania krawędzi pionowych.
0 0 0
-1 2 -1
0 0 0
8. Filtry konturowe - służą do wykrywania krawędzi. Podstawowymi filtrami konturowymi
są filtry Sobel'a o Prewitt'a. Poniżej znajduje się przykładowy obraz przed (po lewej) i po
zastosowaniu filtra konturowego:
" poziomy filtr Sobel'a - wykrywa krawędzie poziome.
1 2 1
0 0 0
-1 -2 -1
" pionowy filtr Sobel'a - wykrywa krawędzie pionowe.
1 0 -1
2 0 -2
1 0 -1
" poziomy filtr Prewitt'a - wykrywa krawędzie poziome.
-1 -1 -1
0 0 0
1 1 1
" pionowy filtr Prewitt'a - wykrywa krawędzie pionowe.
1 0 -1
1 0 -1
1 0 -1
9. Filtry statystyczne - wykorzystuje się je podobnie jak przedstawione powyżej filtry
liniowe. Wartość wynikowa jednak powstaje nie w wyniku obliczenia sumy ważonej (funkcji
splotu) poszczególnych pikseli lecz poprzez wybranie wartości odpowiedniego piksela pod
maską.
" filtr medianowy - mediana, to wartość środkowa. Wynikiem działania tego filtru jest
wybranie piksela o wartości środkowej wszystkich pikseli pod maską, czyli dla filtru
3x3 będzie to taka wartość punktu, że pozostałe 4 punkty mają wartość większą a
pozostałe 4 wartość mniejszą. Można do tego zadania użyć algorytm Hoare'a. Filtr
medianowy pozwala na eliminacje szumu z obrazu bez znacznego rozmycia obrazu,
tak charakterystycznego dla filtrów dolnoprzepustowych.
" filtr minimalny - zwany jest także filtrem kompresującym albo erozyjnym. Jego
działanie polega na wybraniu z pod maski punktu o wartości najmniejszej. Jego
działanie powoduje zmniejszenie jasności obrazu dające efekt erozji obiektów.
Czasem mówi się, że daje on efekt jakby obraz namalowany został przy użyciu farb
olejnych.
" filtr maksymalny - zwany jest także filtrem dekompresującym albo ekspansywnym.
Jego działanie polega na wybraniu z pod maski punktu o wartości największej. Jego
działanie powoduje zwiększenie jasności obrazu dające efekt powiększania się
obiektów.
" filtr Kuwahara - jest filtrem wygładzającym zachowującym krawędzie. W filtrze tym
maska dzielona jest na regiony. Dla każdego regionu obliczana jest wartość średnia
oraz wariancja (suma kwadratów odchyleń) względem tej wartości. Wynikiem
działania filtru jest wartość średnia tego regionu, w którym wariancja jest najmniejsza.
Najczęściej w filtrze Kuwahara punkty pod maską dzielone są na 4 regiony. Podział
następuje w taki sposób, że krawędzie przylegających do siebie regionów są wspólne.
Punkt centralny dla którego obliczany jest wynik występuje w każdym regionie.
Przeanalizujmy podział na regiony dla maski o rozmiarze 5x5.
x1 x2 x3 x4 x5
x6 x7 x8 x9 x10
x11 x12 x13 x14 x15
x16 x17 x18 x19 x20
x21 x22 x23 x24 x25
"
Poniżej kolejne regiony oznaczone są podkreśleniem:
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5
x1 x6 x7 x8 x9 x1 x6 x7 x8 x9 x1 x6 x7 x8 x9 x1
x6 x7 x8 x9
0 0 0 0
x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1 x1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
x1 x1 x1 x1 x2 x1 x1 x1 x1 x2 x1 x1 x1 x1 x2 x1 x1 x1 x1 x2
6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0
x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Obliczenia dla regionu pierwszego będą wyglądały następująco:
srednia = (x1 + x2 + x3 + x6 + x7 + x8 + x11 + x12 + x13) / 9
wariancja = ((srednia - x1)2 + (srednia - x2)2 + (srednia - x3)2 + (srednia - x6)2 + (srednia -
x7)2 + (srednia - x8)2 + (srednia - x11)2 + (srednia - x12)2 + (srednia - x13)2) / 9