METROLOGIA
Dr inż. Jakub Wojturski p. B-305 [e-mail]
Wykład 1 13 paz
dziernika 2008 godzina 1005
Literatura:
1. Chwalebna A.: Metrologia elektryczna. WNT. Warszawa
2. Parchański J.: Miernictwo elektryczne i elektroniczne WSiP. Warszawa 1997
3. Piotrkowski J.: Podstawy miernictwa. WNT. Warszawa 2002
4. Zamorski A.: Podstawy pomiarów telekomunikacyjnych. Wyd. AGH. Kraków 1998
5. Rydzewski J.: Pomiary oscyloskopowe. WNT. Warszawa 1998
Metrologia  jest to nauka o miarach i mierzeniu. Żeby wiedzieć, należy zmierzyć.
Metrologia stworzona została przez człowieka w celu ułatwienia praktycznej działalności w różnych
dziedzinach życia. Zagadnienie pomiaru (measurement) istniało od początku powstania nauk
przyrodniczych oraz humanistycznych. Udokumentowana historia pomiarów sięga 10 tysięcy lat.
Zwiększone zapotrzebowanie na pomiary różnych wielkości zostało spowodowane rewolucją
przemysłową w XIX wieku. Nastąpił rozwój metrologii, który trwa do dzisiaj.
W XX wieku pojawiła się potrzeba pomiarów
- coraz większej liczby nowych wielkości (quantities)
- o coraz większej dokładności (accuracy)
- o coraz większej szybkości (speed)
- z możliwością automatyzacji pomiaru (measurement automatization) i rejestracji wyników pomiarów
(recording of measurement results)
Opracowane i udoskonalone zostały wzorce (standards) różnych wielkości stanowiące podstawę do
zdefiniowania układu jednostek miar(system of units) i skal pomiarowych (measurement scales).
Pod koniec XX wieku powstały komputerowe systemy pomiarowe, wykorzystujące tzw. przyrządy
wirtualne (virtual instruments) oraz czujniki inteligentne (smart sensors, intelligent sensors).
Do przesyłania danych zaczęto wykorzystywać technologie internetowe, komunikację GSM oraz
technikę Bluetooth. Umożliwiło to stworzenie systemów pomiarów zdalnych, czyli telemetrii (telemetry)
oraz diagnostyki (diagnostics) obiektów trudnodostępnych.
Powstała również dziedzina metrologii, w której pomiary wykonywane są na pojedynczych
atomach  metrologia kwantowa (quantum metrology).
1
JAK MIERZYĆ POPRAWNIE
Multimetr cyfrowy Oscyloskop analogowy
1. Wygrzać przyrządy (multimetr, generator,
1. Wygrzać przyrządy (multimetr, generator,
zasilacz, oscyloskop) przez ok. 10 minut
zasilacz, oscyloskop) przez ok. 10 minut
2. Ustawić pokrętła odchylenia pionowego i
2. Wybrać rodzaj mierzonej wielkości (DCV,
podstawy czasu w pozycji CAL, przycisk
ACV, OHM, DCA, ACA, FREZ)
ekspansji w pozycji x1
3. Sprawdzić i ewentualnie skorygować
3. Wyregulować ostrość linii i ustawić cienką
zerowe wskazanie przyrządu (miernik
zieloną linię
analogowy, multimetr cyfrowy)
4. Wybrać optymalne współczynniki
4. Wybrać optymalny zakres pomiarowy (tak,
odchylania (tak, aby obraz był jak
aby wskazanie było jak największe)
największy)
5. Zapisać wynik ze wszystkimi cyframi
5. Odczytać odpowiednie długości odcinków
znaczącymi (nawet zera na końcu)
(w X i Y)
6. Obliczyć wartość błędu granicznego lub
6. Obliczyć wartość mierzonych parametrów
niepewności pomiaru
(w t i U)
7. Zaokrąglić i zapisać wynik wraz z jednostką
7. Zapisać wynik pomiaru wraz z jednostką
Przyrząd wirtualny (Virtual Instrument) jest to taki przyrząd posiadający cechy rzeczywistego
przyrządu pomiarowego (redl measuring instrument), ale istniejący w formie programu komputerowego.
 Wirtualność przyrządu polega na możliwości obsługi za pomocą klawiatury komputera oraz (ale
niekoniecznie) na ukrycie karty pomiarowej wewnątrz komputera klasy PC.
Przykładowy przyrząd wirtualny  oscyloskop (oscilloscope), wykorzystujący aplikację LabVIEW
firmy National Instruments. Rozszerzenie pliku: *.vi.
Inne graficzne środowiska programowania do tworzenia przyrządów wirtualnych:
- Dasy Lab rozszerzenie *.dsb
- TestPoint rozszerzenie *.tst
- VEE rozszerzenie *.vee
Czujnik (sensor) jest przetwornikiem (transducer), na który oddziałuje bezpośrednio wielkość
będąca przedmiotem pomiaru. Zwykle jest to wielkość nieelektryczna, geometryczna lub magnetyczna, ale
również i elektryczna (np. w miernikach cęgowych). Czujnik dokonuje jej fizycznego przetworzenia na
wielkość elektryczną.
Przykłady czujników
- termoelektryczny czujnik temperatury
- piezoelektryczny czujnik siły
- pojemnościowy czujnik wilgotności
- rezystancyjny czujnik przemieszczenia
dY
Podstawowym parametrem czujnika jest czułość (sensitivity) S =�
dX
2
Wykład 2 20 paz
dziernika 2008 godzina 1005
Wykorzystując klasyczne czujniki zauważono potrzebę
- zwiększenia uniwersalności czujników (użycia jednego czujnika do pomiar wielu różnych wielkości
fizycznych)
- poprawy dokładności pomiaru (zmniejszenia błędów offsetu, wzmocnienia, nieliniowości, histerezy)
- otrzymywania sygnału wyjściowego, jako sygnału cyfrowego
- miniaturyzacji czujników
Czujniki inteligentne nie posiadają inteligencji w sensie inteligencji ludzkiej.
Przetwornik inteligentny realizuje następujące funkcje
- dobór odpowiedniego zakresu pomiarowego
- przetwarzanie wielkości fizycznej (tak jak klasyczny czujnik)
- kalibrację własną (auto calibration)  np. zerowanie oraz kompensację (compensation) wpływów
zewnętrznych (np. zmian temperatury otoczenia)
- wykrywanie sytuacji anormalnych i uszkodzenia czujnika (sensor s damage) tzw. autodiagnostyka
(autodiagnostic)
- adaptację dokładności i szybkości do różnych sytuacji pomiarowych
- rejestrację (registration) danych w pamięci wewnętrznej (internal memory)
- komunikację (communication) z komputerem PC
Metrologia kwantowa (quantum metrology) jest dziedziną metrologii, zajmująca się pomiarami
i poznawaniem zjawisk fizycznych na poziomie pojedynczych atomów. Wykorzystanie mechaniki
kwantowej w metrologii dotyczy trzech głównych obszarów tematycznych
- konstrukcji kwantowych wzorców wielkości elektrycznych: kwantowy wzorzec napięcia, rezystancji
i natężenia prądu oraz nieelektrycznych  kwantowy wzorzec czasu
- ustalenia granic niepewności pomiarów wg zasady nieoznaczoności Heisenberga:
D�x �� D�p ł� Iz
- budowy bardzo czułych przyrządów pomiarowych (np. nadprzewodnikowy detektor strumienia
magnetycznego  SQUID) oraz podzespołów elektronicznych np. tranzystor SET (Single Elektron
Tunneling)
Kwantowy trójkąt metrologiczny
Trzy używane obecnie wzorce kwantowe tworzą system, w którym odtwarzane są jednostki
napięcia i prądu elektrycznego tylko na bazie częstotliwości, (która odtwarzana jest z niepewności rzędu
10-15) oraz dwóch stałych fizycznych h, e.
f tunelowanie pojedynczych elektronów
I SET= e�f
Zjawisko Josephsona
h
U =� �� f
y
2e
kwantowy efekt
U Halla I
U
h
j
RH =� =�
ISET 2e2
3
 PODZIAA
METROLOGII
Metrologię można podzielić ze względu na trzy główne obszary zainteresowań:
- metrologia naukowa (scientific metrology)  zajmuje się opracowaniem wzorców wielkości i badaniem
ich właściwości oraz wysnuwaniem nowych i potwierdzeniem już opracowanych teorii naukowych
- metrologia przemysłowa (industrial metrology)  zajmuje się prawidłowym działaniem przyrządów
pomiarowych stosowanych w przemyśle i w innych dziedzinach życia, monitoringiem i kontrolą procesów
przemysłowych (industrial processes)
- metrologia prawna (legal metrology)  zajmuje się dokładnością pomiarów w dziedzinach mających
wpływ na np. wartość transakcji (waga, gazomierz), zdrowie (termometr, ciśnieniomierz) i bezpieczeństwo
życia (natężenie promieniowania, poziom wody) oraz kalibracją narzędzi i przyrządów pomiarów
Należy pamiętać, iż w praktyce nie ma pomiaru o nieskończonej dokładności (infinite accuracy),
czyli o błędzie równym zero (error equal to zero). Inżynier powinien potrafić obliczyć niepewność
pomiaru (uncertainty of measurement) i ocenić, z jakim prawdopodobieństwem (probability) otrzymany
wynik mieści się w oszacowanych granicach niepewności
x ą� D�x, P =�
W przypadku, gdy dysponujemy wzorcem (standard) mierzonej wielkości (np. precyzyjnym
odważnikiem 1kg) można obliczyć:
- błąd bezwzględny (absolute error) pomiaru x:
D�x =� xm -� xn
- błąd względny (relative error) pomiaru x:
D�x xm -� xn
d�x =� =�
xn xn
Błąd względny można wyrazić:
d�X[�%]�=� d�X ��100;
- w procentach (percent):
d�X[�ppm]�=� d�X ��1000 000;
- w pipiemach (parts per milion):
W przypadku, gdy nie dysponujemy wzorcem, musimy wykorzystać informację uzyskaną podczas
eksperymentu pomiarowego może to być:
- informacja uzyskana wskutek wielokrotnego wykonania pomiaru, czyli uzyskana po statycznej
obróbce danych pomiarowych. Jest to tzw. informacja a posteriori  niepewność pomiaru nazywa się
niepewnością typu A (type A uncertainty)
- informacja podawana przez producenta przyrządu (instrument), publikowana zwykle w instrukcji
obsługi. Jest to, więc informacja uzyskana priori  niepewność pomiaru nazywa się niepewnością
typu B (type B uncertainty)
Niepewność pomiaru ma charakter losowy (random):
x ą� D�x, P =�
Jeżeli podczas pomiaru uwzględniamy zarówno rozrzut wyników pomiaru (składową niepewności
typu A) oraz niedokładność przyrządu pomiarowego (składową typu B) wówczas musimy wyznaczyć tzw.
niepewność łączną (oznaczaną zwykle jako C)
D�MBD =� ą�(�0,2%w.m +� 3cyfry)�
0,2
ć�
D�R =� ��133,27W� +� 3��0,01��W�
�� ��
Ł�100 ł� 4
Wykład 3 27 paz
dziernika 2008
POMIAR jest to doświadczenie umożliwiające odwzorowanie (z pewną dokładnością,
rzeczywistej wielkości fizycznej w liczbę, na przyjętej skali pomiarowej (measurement scale).
Doświadczenie to polega na porównaniu wartości wielkości mierzonej z wielkością przyjętą jako wartość
jednostkowa i przedstawienie wyniku porównania (ile razy wielkość mierzona jest większa/mniejsza od
wielkości wzorcowej)
Np. Zapis U=230V znaczy, że mierzone napięcie U jest 230 razy większe niż napięcie wzorcowe 1V.
Inaczej, pomiar to czynność doświadczalna (empiryczna), mająca na celu wyznaczenie wartości
liczbowej wybranej cechy obiektu (np. rezystancja cewki, indukcyjność cewki, długość cewki, waga
cewki) lub zjawiska fizycznego (np. prędkość wiatru, poziom natężenia dz
więku).
Wartość przyjęta jako jednostkowa musi być miarą obiektywną (czyli niezależną od wykonującego
pomiar) i stałą w czasie. Zbiór jednostek miar tworzy układ jednostek miar (system of units). W Polsce, od
1967 oku obowiązuje układ SI.
Należy pamiętać, że nie zawsze to co mierzymy jest tym co chcemy zmierzyć. Niekiedy nie zdajemy
sobie sprawy, że wartość rzeczywista różni się znacznie od aktualnie zmierzonej.
- pomiar napięcia woltomierzem o małej rezystancji wejściowej  obciążenie elektryczne z
ródła
mierzonego napięcia
- pomiar temperatury termometrem stykowym  obciążenie termiczne obiektu
- pomiar prędkości obrotowej za pomocą czujnika dotykowego  obciążenie mechaniczne wirującego
obiektu.
W każdym przypadku można obliczyć odpowiednią poprawkę (correction factor), która dodana do
wyniku  surowego przybliży go do wartości rzeczywistej lub zmienić metodę pomiarową.
W trzech powyższych przykładach:
- pomiar napięcia woltomierzem cyfrowym lub kompensatorem
- pomiar temperatury pirometrem podczerwonym
- pomiar prędkości obrotowej za pomocą stroboskopu
MEZURAND (measurand) definiowany jest jako wielkość która ma zostać wyznaczona na
podstawie pomiaru. Mezurand może być określony za pomocą kilku dodatkowych parametrów,
uwzględniających szczególnie warunki pomiaru lub oddziaływanie tzw. wielkości wpływających
(influence quantities).
Wielkość wpływająca jest to wielkość niebędąca przedmiotem pomiaru, ale mająca bezpośredni
wpływ na wynik pomiaru najczęściej jest to:
- temperatura (wpływa np. na wynik pomiaru napięcia niezrównoważonego wzmacniacza)
- wibracje mechaniczne (wpływają np. na dokładność pomiaru amplitudy drgań)
- siły termoelektryczne STE (wpływają np. na wynik pomiaru napięcia nanowoltomierzem)
- zmiana parametrów zasilania (napięcia, częstotliwość)
5
 Natomiast do zakłócającego oddziaływania obiektu zaliczamy najczęściej:
- skończona (nie nieskończoną) rezystancję wejściową woltomierza  powodująca przepływ prądu ze
z
ródła napięcia i zmniejszenie wartości napięcia wskutek spadku napięcia na rezystancji wewnętrznej
z
ródła
- niezerową rezystancję przewodów łączących rezystor z omomierzem  powodującą zwiększenie
wartości mierzonej rezystancji
- niezerowy prąd pomiarowy omomierza  powodujący samonagrzewanie (self-heating) się mierzonej
rezystancji wskutek wydzielania ciepła Joule a i zmianę jej wartości  zwiększenie (increasing) lub
zmniejszenie (decreasing)
- niezerowe wymiary czujnika (np. termometru, tachometru)  powodujące zaburzenie stanu cieplnego
(thermal) lub mechanicznego (mechanical) obiektu.
Podczas pomiaru, następuje przekształcenie stanu mierzonej wielkości fizycznej z dziedziny
rzeczywistości (widzimy, słyszymy, czujemy tę wielkość) w wielkość liczbową, czyli dziedzinę abstrakcji
(możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić niektóre wyniki pomiarów). Przekształcenie następuje
wskutek porównania wartości mezurandu z wzorcem danej wielkości.
Stan mezurandu (rzeczywistość) jest niezmienny (np. długość pręta stalowego w temperaturze
25 st. C), natomiast liczba (abstrakcja) ma różną wartość w zależności od przyjętej miary.
Przykładowo, długość pręta można zapisać w:
- m, cm, m  EU i inne (wielokrotność, dziesiętne)
- calach (in), stopach(ft), jardach(yd)  UK i inne (wielkości niedziesiętne)
- arshin  Iran (1m � 0,962arshin )
- dirra  Egipt (1m �1,72dirra )
- dong  Wietnam (1m � 42,9dong )
- pu  Chiny (1m � 0,558 pu )
- mkono  Afryka (1m � 2,19mkono )
Wartość (value) stanu jest to iloczyn liczby i jednostki miary.
Należy pamiętać o poprawnym języku, nie tylko w życiu codziennym, ale również podczas
czynności naukowych.
Nie można powiedzieć: Kopnęło mnie 230V.
Poprawnie będzie: Zostałem porażony prądem elektrycznym o wartości skutecznej napięcia równej
228,6 woltów z niepewnością wynoszącą około ą� 0,3 wolta na poziome ufności 0,95. Wynik otrzymano
z pojedynczego pomiaru.
U =� (�228,6 ą� 0,3)�V, P =� 0,95, n =� 1
Dla inżyniera, wynik pomiaru bez oszacowania (nawet zgubnego) niepewności tego wyniku lub
bez podania jednostki wielkości mierzonej jest bezwartościowy.
6
Wykład 4 17 listopada 2008
Nie można także powiedzieć: zmierzyłem cewkę, rezystor mierzony. Wielkością mierzoną mogą
być różne cechy tych przedmiotów: długość, średnica, masa, rezystancja, temperatura&
Powinno się również mówić: pomiary wartości napięcia, pomiary wartości rezystancji, pomiary
wartości kąta przesunięcia fazowego a nie pomiary fazy itd.
POPRAWNE PISANIE WZORÓW
2 2
n n n
ć� �� ć� ��
1 1 UAC UDC
�� �� �� ��
Ltot(�i)�=� =� Zi 2 -� Ri 2 =� -��� ,�
��Li �� ��
�� ��
2��p� �� f 2 ��p� �� f IAC IDC ��
i=�1 i=�1 i=�1
Ł� ł� Ł� ł�
dUm sin(�w� ��t)�
It =� ,źV
dt
zmienna pochyłym
Wynik pomiaru (results of measurement) należy przedstawić w postaci symbolu mierzonej
wielkości wraz z wartością wyniku:
L � 73,6mH R � 100,00W�
W praktyce przyjęło się używanie stałych symboli do oznaczenia wielkości:
- U  napięcie stałe, u  napięcie zmienne
- p  ciśnienie
- ś  amplituda drgań
a� A� alfa
b� B� beta
g� G�
gamma
d� D� delta
e� E�
epsilon
q� Q� theta
l� L� lambda
m� M�
mi
N�
ni
x� X� ksi
p� P�
pi
r� R�
ro
s� V� S�
sigma
t� T�
tau
j� f� F� fi
y� Y� psi
w� W� omega
7
 Można wyróżnić dwa istotne zagadnienia podczas wykonywania pomiarów:
- czym mierzyć? narzędzia pomiarowe (measuring instrument)  zespół środków technicznych
realizujących pomiar
- jak mierzyć? metody pomiarowe (measuring metod)  zestaw czynności wykonywanych podczas
pomiaru
Natomiast co mierzyć  to dyktuje samo życie&
Wielkości do pomiaru:
- elektryczne (electric) N,I,R,L,C,Z,f,P
- nieelektryczne (non-electric) T,p,RH,F,v,a,n
- geometryczne (geometric) I,d,S,f�
- magnetyczne (magnetic) B,H, f�
Dokładne wyznaczenie wartości wielkości mierzonej nigdy nie jest możliwe!!!
Zawsze znajdzie się przyrząd dokładniejszy lub zaistnieje potrzeba dokładniejszego pomiaru. Wynik
pomiary jest więc zawsze przybliżeniem (approximation) wartości rzeczywistej, czyli jest jej estymatą
(estimation).
Estymatorem (estimate) nieznanej wartości nazywa się wartość otrzymana w drodze pomiaru i
możliwie najdokładniej przybliżającą wartość rzeczywistą. Estymator można otrzymać eksperymentalnie
(czyli empirycznie):
- z pojedynczego pomiaru: X =� f (�x)�
- z serii niezależnych pomiarów x =� f (x1, x2...xn )
Jest wiele przyczyn powstania błędów podczas pomiaru:
- skończona dokładność przyrządów pomiarowych
- zmienność warunków otoczenia podczas pomiaru
- wpływ różnych czynników zakłócających pomiar
- wpływ przyrządu pomiarowego na badany obiekt
Proces pomiarowy.
Żeby zmierzyć daną wielkość fizyczną, należy wykonać szereg czynności szczegółowy sposób
wykonania tych czynności nazywa się procedurą pomiarową (measurement procedure). Pełny proces
pomiarowy (measurement process) zawiera najczęściej:
- określenie co ma być zmierzone, czyli zdefiniowanie mezurandu
- zbudowanie modelu matematycznego obiektu (najczęściej w postaci wzoru matematycznego)
- zaplanowanie eksperymentu pomiarowego, wybór metody pomiarowej i oprzyrządowania do pomiaru
- wykonanie pomiaru (jednego albo serii pomiarów, jednej wielkości albo kilku)
- przemyślenie oddziaływania przyrządu na obiekt pomiaru oraz uwzględnienie wielkości wpływających i
zakłócających (dodanie poprawek)
- opracowanie wyniku pomiaru, oszacowanie niepewności pomiaru, zaokrąglenie i zapisanie wyniku
końcowego, krytyczną analizę wyniku
Czym wykonać zaplanowany pomiar?
Podczas pomiaru wielkość będąca przedmiotem pomiaru (czyli mezurand), porównywana jest do
wzorca wielkości za pomocą przyrządu. Przyrząd pomiarowy (measuring instrument) jest to urządzenie
służące do wykonywania pomiarów samodzielnie lub w połączeniu kilka połączonych przyrządów i
sterownych za pomocą np. komputera stanowi system pomiarowy (measuring system). Przyrządy
pomiarowe mogą być analogowe (analog) lub cyfrowe (digital), np. DMM  digital, Multimetr, DVM 
Digital VoltMeter.
8
 Mierzone wielkości mogą być podzielone ze względu na strukturę:
- wielkości ciągłe (continuous)  w danym zakresie zmienności mogą przybierać nieskończenie wiele
wartości
- wielkości ziarniste, czyli dyskretne (discrete)  mają przybierać ściśle określone wartości, różniące się
o skończone przyrosty. Najmniejsza zmiana nazywana jest kwantem.
Podczas pomiaru, na system pomiarowy (np. czujnik, multimetr, karta pomiarowa PC) może
działać energią w następującej formie (akronim COMETMAN)
1) chemiczna zakłócenia
2) optyczna
3) mechaniczna
4) elektryczna system
5) termiczna pomiarowy
6) magnetyczna informacja (wzorzec) informacja
7) akustyczna wejściowa wyjściowa
8) nuklearna
zasilanie
Każdy z ośmiu rodzajów energii może oddziaływać na każdy z czterech boków prostokąta
symbolizującego system pomiarowy.
Wykład 5 24 listopada 2008
Jednostki i układy miar.
Jednostka miary (unit of measurement) jest to wartość danej wielkości równa jedności,
np.: 1V, 1Lx, 1m, 1H. Z jednostką miary porównuje się inne wielkości tego samego rodzaju w celu
ilościowego wyrażenia stosunku wielkości mierzonej do jednostkowej.
Jednostki wielokrotne i podwielokrotne, dziesiętne i niedziesiętne:
- kilometr  wielokrotność dziesiętna metra (1km = 1000m)
- miliom  podwielokrotność dziesiętna oma (1m� = 10-3�)
- godzina  wielokrotność niedziesiętne sekundy (1h = 3600s)
o�
1
- minuta kątowa  podwielokrotność niedziesiętna stopnia (1 = )
60
Jednostki miary muszą być:
- powszechne  akceptowane przez wszystkich użytkowników
- jednoznaczne  utworzono tylko kilka jednostek podstawowych
- łatwe do odtworzenia
Jednostki i układy miar
Układ jednostek miar (system of units) jest to uporządkowany zbiór jednostek miar, utworzony
na podstawie umownie przyjętych wzajemnie niezależnych wielkości fizycznych podstawowych
(independent physical base quantities)  A,B,C oraz równań definiujących wielkości fizyczne pochodne
(derived physical quantities)  P.
P =� Aa� �� Bb� ��Cj�
Gdzie ą,�,Ć  liczby wymierne.
9
 W 1960 roku wprowadzono międzynarodowy układ jednostek miar (fr. Systeme International
d UniFes SI). Obecnie, układ ten jest oparty na siedmiu jednostkach podstawowych i dwóch
uzupełniających).
UKA
AD JEDNOSTEK MIAR SI
OZNACZENIE
WIELKOŚĆ OZNACZENIE JEDNOSTKA ROK
JEDNOSTKI
Długość l metr m 1983
Masa m kilogram kg 1901
Czas t sekunda s 1967
Natężenie prądu
I amper A 1948
elektrycznego
Temperatura
T kelwin K 1967
termodynamiczna
Światłość L kandela cd 1979
Liczność materii n mol mol 1971
Kąt płaski ą radian Rad
Kąt bryłowy steradian sr
Układ jednostek miar SI.
Układ Si jest spójnym układem jednostek (coherent system of units)  pochodne jednostki miary
(derived units). Wyrażone są za pomocą iloczynu potęg jednostek podstawowych (base units),
zdefiniowany niezależnie.
W 1950 roku międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna (IEC, International Electrotechnical
Comission), przyjęła jako cztery podstawowe jednostki elektrotechniczne: m, kg, s, A.
Oznaczenie Oznaczenie
Wielkość fizyczna Nazwa jednostki Wymiar jednostki
wielkości jednostki
Moc P wat W m2 ��kg1 ��s-�3 ��A0
Napięcie U wolt V m2 �� kg1 ��s-�3 �� A-1
Rezystancja R ohm � m2 �� kg1 ��s-�3 �� A-2
Pojemność C farad F m2 �� kg-1 ��s4 �� A2
Indukcyjność L henr H m2 �� kg1 ��s-2 �� A2
Jednostki wielokrotne i podwielokrotne.
Wielokrotności i podwielokrotności jednostek tworzy się wg zasady podziału dziesiętnego i wyraża
za pomocą odpowiednich przedrostków.
Mnożnik Nazwa Symbol Mnożnik Nazwa Symbol
1024 jotta Y 10-1 decy d
1021 zetta Z 10-2 centy c
1018 eksa E 10-3 mili m
1015 peta P 10-6 mikro ź
1012 tera T 10-9 nano n
109 giga G 10-12 piko p
106 mega M 10-15 femto f
103 kilo k 10-18 atto a
102 hekto h 10-21 zepto z
10-1 deka da 10-24 jakto y
- PW  petawat, dag  dekagram, GHz  gigaherc, k�  kiloom, dB  decybel, ps  pikosekunda
10
jednostki
elektryczne
Podstawowe
 Przedrostki w informatyce
W informatyce używane są przedrostki dwójkowe, ale zamiast mnożnika 103��n , gdzie n jest liczbą
całkowitą, stosuje się mnożnik 210��n . Znak mnożnika pisany jest zawsze dużą literą oraz posiada dodaną
literkę i którą wymawia się jako  bi .
Podstawa 2 Nazwa Symbol Wartość dziesiętna
210 kibi Ki 1 024
220 mebi Mi 1 048 576
230 gibi Gi 1 073 741 824
240 tebi Ti 1 099 511 627 776
250 pebi Pi 1 125 899 906 842 624
itd&
10kiB =�10��1024B
Przykład:
10kB =� 10��1000B
Jednostki niemetryczne i pozaukładowe.
W krajach anglosaskich stosowane są jednostki niemetryczne:
UK lub US Oznaczenie Metrycznie
1 inch in 2,54 cm
1 feet ft 0,3048 m
1 yard = 3 ft yd 0,9144 m
1 fluid ounce (UK) fl oz 28,413 ml
1 fluid ounce (US) fl oz 29,574 ml
1 pint (UK) = 20 fl oz pt 0,5683 l
1 pint (US) = 15 fl oz pt 0,4731 l
1 gallon (US) = 8 pt gal 4,5461 l
1 gallon (UK) = 8 pt gal 3,7854 l
1 ounce oz 28,359
1 pound = 16 oz lb 0,4536 kg
1 stone = 14 lb stone 6,3509 kg
Niektóre jednostki, niebędące jednostkami Si, są ciągle popularne:
Nazwa Do czego stosowana Przelicznik
� - angstrem długość (length) 1 � = 10-10 m
bar - bar ciśnienie (pressure) 1 bar = 105 Pa
ha - hektar Pole powierzchni 1 ha = 104 m2
nm  mila morska długość, odległość 1 nm = 1852 m
1852 m
1 knot =�
knot  węzeł Prędkość liniowa
3600 s
o� o�

F temperatura 1 F =�1,8��J�[� C]�+� 32
pc - parsek długość, odległość 1 pc =� 3,086��1016 m
Popularne są te jednostki, do których dana grupa osób jest przyzwyczajona. Ich stosowanie wynika
właśnie z przyzwyczajenia.
11
Jednostki, które wychodzą już z użycia.
Nazwa Do czego stosowana Przelicznik
cal  kaloria energia, ciepło 1 cal H" 4,18 J
ct - karat masa 1 ct = 200 mg
ź - mikron długość 1 ź = 10-6 m
Atm - atmosfera ciśnienie 1 atm = 101 325 Pa
Karat używany jest jako jednostka masa (1 ct = 200 mg) podczas pomiaru masy kamieni
szlachetnych (np. diament 5 ct waży 1g).
Karat jest również określeniem zawartości czystego złota w stopie. 1 karat to 1/24 zawartości
czystego złota w stopie. Np. 18 karatowe złoto to 75% złota w stopie, czyli inaczej złoto próby 750 (próba
wyraża zawartość złota w stopie w promilach).
Wykład 6 8 grudnia 2008
Błędy graniczne w odtworzeniach wzorca metra.
Rok Definicja Błąd
1791 1/10 000 000 część ćwiartki południka przechodzącego przez Paryż ą 0,15 mm
1889 Materialny prototyp metra (tzw. Platynowo  irydowy wzorzec kreskowy) ą 200 nm
1650763,7 długości fali promieniowania elektromagnetycznego przy przejściu z
1960 ą 4 nm
poziomu 2p10 na 5d3 atomu kryptonu Kr86
1983 1/299 792 458 długości drogi, przebytej przez światło w próżni w czasie 1s ą 0,13 nm
Wartości niektórych stałych uniwersalnych:
Symbol Definicja Wartość
Ą liczba Ą H" 3,14
c prędkość światła w próżni c H" 3�108 m/s
ź0 przenikalność magnetyczna w próżni ź0 H" 4� Ą �10-7 H/m
�0 Przenikalność elektryczna w próżni � H" 8,85 �10-12 F/m
0
h stała Plancka h H" 6,63 �10-34 J� sĄ
e elementarny ładunek elektryczny e H" 1,6 �10-19C
Liczba rzymska a liczba arabska
Rzymska Arabska
I, II, III, IV (lub IIII), V, VI, VII, VIII, IX 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Przykład:
CMMXCVI = 1996
MMVIII = 2008
12
Akronim Znaczenie
am ante meridiem (przed południem)
pm post meridiem (po południu)
AD anno domini (roku pańskiego)
CE common era (nasza era)
AUT at urbe condita (od założenia miasta)
BC before Christ (przed Chrystusem)
Logarytmiczne jednostki miar.
Jednostki miar logarytmicznych są jednostkami pozaukładowymi. Stosowane są wówczas, gdy
należy określić:
- stosunek (ratio) dwóch mocy (power) lub dwóch napięć (voltage) w układzie.
- poziom (level) napięcia lub mocy w dowolnym punkcie układu elektrycznego.
W jakim celu wprowadzono jednostki logarytmiczne
- wrażliwość fizjologiczna ludzkich zmysłów (np. słuchu) jest w przybliżeniu, liniowo, zależna od
logarytmu bodz
ca wywołującego to wrażenie
- napięcie i moce w torze pomiarowym maleją zwykle wykładniczo (expotential) w miarę oddalania się od
z
ródła (source)
- w torze wieloczłonowym mnożenie współczynników charakteryzujących tłumienność zastąpiono
dodawaniem miar logarytmicznych.
Pomiary tłumienności
Tłumienie (attenuation) dotyczy zjawiska fizycznego zachodzącego w układzie np. w przetworniku
(transducer). Jednostką tłumienności jest bell [B].
Tłumienność A jednego bela występuje wówczas, gdy logarytm dziesiętny stosunku dwóch
wartości mocy równy jest 1 w telekomunikacji stosowany jest częściej decybel 1B = 10 dB
P1 U1�� I1
A[�dB]�=� 10log =�10log
P2 U2�� I2
Stosowana jest również jednostka tłumienności ceper [Np].
Tłumienność jednego nepera występuje wtedy, gdy logarytm naturalny stosunku dwóch mocy wynosi 0,5.
1 P1 1 U1�� I1
A[�Np]�=� ln =� ln
2 P2 2 U2 �� I2
ln10
Przeliczenie z decybeli na nepery: A[�Np]�=� [�dB]�
20
13
 STOSUNEK S/N (sygnał  szum)
Stosunek sygnału do szumu (SNR  signal to noise ratio) definiowany jest jako:
Usignal
ć� ��
�� ��
SNR =� 20log�� ��
Unoise
Ł� ł�
Dla sygnału sinusoidalnego i szumu o rozkładzie normalnym (Gaussowskim) (normal distribution,
Gaussian distribution):
Upp
ć� ��
�� ��
SNR =� 20log�� 2 2 ��
�� ��
Upp
�� ��
6
Ł� ł�
Całkowita wartość skuteczna (RMS  Root Means Square Value) sygnału zaszumionego.
2
U =� Usignal +� U2
noise
Sygnał zaszumiony ze składową stałą.
Podczas pomiarów należy sprawdzić czy sygnał badany nie zawiera składowej stałej (DC
component). Jeżeli tak, to przy obliczaniu wartości skutecznej należy ją uwzględnić.
Całkowita wartość skuteczna sygnału zaszumionego ze składową stałą:
2
U =� Usignal +� U2 =� U2 +� U2 +� U2
noise AC DC noise
Pomiar poziomu bezwzględnego i względnego
Bezwzględny pomiar mocy (absolute power level) w dowolnym punkcie układu lub łańcucha
telekomunikacyjnego (telecommunication chain) definiowany jest jako
ć� ��
P
�� ��
p[�dB]�=� 10log�� ��
P0
Ł� ł�
Gdzie: P  moc w danym punkcie układu lub łańcucha, P0  moc odniesienia.
Wg ustaleń międzynarodowych, moc odniesienia (reference power) wynosi 1mW.
P
p[�dBm]�=� 10logć� ��
�� ��
Ł�1mW ł�
14
Jeżeli w obliczeniach uwzględniamy zmierzone wartości (measurand values) napięcia w danym
układzie, to wówczas:
ć� ��
ć� ��
U2 U
�� ��
�� ��
ć� ��
P
�� ��
p[�dBm]�=� 10log�� �� =� 10log�� R �� =� 20log�� R ��
�� ��
�� U0 ��
P0 U2
Ł� ł� 0
�� ��
�� ��
�� ��
R0
R0
Ł� ł�
Ł� ł�
Najczęściej przyjmuje się, że wartość rezystancji odniesienia (reference resistance) to: 10, 50, 75,
600, 1000�.
Współczesne przyrządy pomiarowe umożliwiają zdefiniowanie wartości R0, która ma być
uwzględniona w obliczeniach.
Względny pomiar mocy (relative power level) w dowolnym punkcie układu lub łańcucha
telekomunikacyjnego definiowany jest jako:
ć� �� ć� ��
P U
�� �� �� ��
p[�dBm]�=�10log�� �� =� 20log�� ��
P0 U0
Ł� ł� Ł� ł�
Gdzie: P, U  moc, napięcie w danym punkcie układu lub łańcucha; P0, U0  moc, napięcie odniesienia w
dowolnym innym punkcie układu (np. na wejściu układu).
Jeżeli jako napięcie odniesienia U0 przyjmie się wartość Upp = 1V, to wtedy:
p[�dBm]�=� 20log(�U)�
Dekada i oktawa
Jednostki logarytmiczne stosowane są do określenia interwału częstotliwości.
Oktawa (octave) jest to taki interwał częstotliwości, gdy logarytm przy podstawie 2 ze stosunku
tych częstotliwości wynosi 1.
ć� ��
f2
�� ��
OKTAWA =� log2�� �� =� 1
f1
Ł� ł�
Dekada (decade) jest to taki interwał częstotliwości, gdy logarytm dziesiętny ze stosunku tych
częstotliwości wynosi 1.
ć� ��
f2
�� ��
DEKADA =� log10�� �� =� 1
f1
Ł� ł�
Można powiedzieć, że coś się zmniejsza/zwiększa, (decrease/increase):
- o oktawę, dwa razy, dwukrotnie, o 6dB, o 100%
- o dekadę, dziesięć razy, dziesięciokrotnie, o 20dB, o rząd wartości
Wielkości intensywne i ekstensywne
Wielkość intensywna (intensive quantity)  jest to taka wielkość fizyczna, która nie zależy
(independent) w sposób proporcjonalny od ilości materii, która tę wielkość tworzy (np. p  ciśnienie, T,C 
stężenie, v, a, PH).
Wielkość ekstensywna (extensive quantity) jest to wielkość, która zależy w sposób proporcjonalny
od ilości materii, która tę wielkość tworzy (np. m, I, V, p  pęd).
Przykłady:
10 cm3 roztworu o stężeniu 10% i temperaturze 10 C +

20 cm3 roztworu o stężeniu 20% i temperaturze 20 C =

30 cm3 roztworu o stężeniu 16,67% i temperaturze 16,67 C

1 kg pręt o długości 10 cm +
2 kg pręt o długości 20 cm =
3 kg pręt o długości 30 cm
15
Wykład 7 15 grudnia 2008
Skala pomiarowa
Skala pomiarowa (measurement scale) wielkości fizycznej jest to zbiór liczb, który charakteryzuje
mierzone cechy danego obiektu. Skala może mieć charakter ciągły (continuous)  np. skala temperatury,
skala napięcia lub charakter dyskretny (discrete)  np. skala twardości, skala rozmiarów obuwia.
Najprostszy typ skali to skala porządkowa, zwana skalą ordynaryjną (ordinal scale). Służy jedynie
do uszeregowania wartości w porządku rosnącym. Większe liczby reprezentują większą intensywność
danego zjawiska, jednak nie da się w sposób sensowny określić różnicy ani ilorazu pomiędzy dwiema
wartościami.
Skala porządkowa może być otwarta lub zamknięta.
Skala twardości (hardness) Mohsa 1  talk, 2  gips, & , 9  szafir, 10 - diament Z
Skala prędkości (velocity) Beauforta 0  cisza, & , 10  huragan Z
Skala stężenia (concentration) jonów wodorowych 0 pH  100% kwas, & , 14 pH  100% zasada Z
Skala ocen 2.0  ndst., & , 5.0 - bdb Z
Skala rozmiarów (dimension) obuwia 12 - niemowlaki, & , 49 - guliwer O
Skala dychotomiczna
Jest to skala, w której zmienne przyjmują tylko dwie wartości (np. skala wartości napięcia
wyjściowego przetwornika A/C, skala odpowiedzi na teście wyboru tak/nie).
Skala interwałowa (przedziałowa)
Skala interwałowa (interval scale) nie posiada naturalnego punktu  zerowego . W celu stworzenia
skali interwałowej należy wskazać dowolnie wybrany punkt i przypisać mu wartość  zero oraz podzielić
zakres pomiarowy na umowną ilość jednostek (działek, stopni, interwałów).
Suma i różnica (sum, difference) między dwiema wartościami ma sens, czyli ma interpretację w
świecie rzeczywistym, jednak nie ma sensu iloraz (quotient) dwu wartości.
Określona jest jednostka pomiarowa, natomiast punkt zero jest punktem umownym.
Przykłady skali interwałowej:
- skala temperatury Celsjusza, Fahrenheit a (ale nie Kelwina)
- skala długości i szerokości geograficznej
- skala czasu (różnica czasu ma sensowną interpretację)
- skala energii potencjalnej
Skala ilorazowa (stosunkowa, metryczna)
Na skali metrycznej (metric scale) należy wskazać jeden punkt odtwarzający dowolną wzorcową
miarę danej wielkości  najczęściej o wartości równej jeden. Drugim punktem skali jest zawsze naturalne
zero wartości danej wielkości (jednostronne ograniczenie zakresu skali).
Na skali metrycznej stosowana jest relacja dodawania i odejmowania oraz dzielenia wartości liczb
skali (operacje te mają interpretację w świecie realnym)
Przykłady skali metrycznej:
- skala napięcia elektrycznego (1V, 0V)
- skala długości i masy (coś jest dwa razy dłuższe lub pięć razy cięższe)
- termodynamiczna skala temperatury Kelwina (1K, 0K)
Skala Kelwina posiada naturalne  zero wartości, temperatura jest w liczbie kelwinów (podobnie
jak napięcie w liczbie woltów).
W interwałowych skalach temperatury (Celsjusza, Fahrenheit a)  zero jest umowne a temperatura
wyrażana jest w umownej ilości stopni od wartości zerowej.
16
 Jednostką temperatury w układzie SI jest K a nie C.
Kelwin definiowany jest jako 1/273.16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody
(WTP  Water Triple Point). WTP używany jest jako wzorzec temperatury, służy do odtworzenia jednostki
temperatury, czyli kelwina. J�WTP =� 0.01o�C .
MELTING ciało stałe ciecz topnienie
VAPORIZATION ciecz gaz parowanie
CONDENSATION gaz ciecz kondensacja
SUBLIMATION ciało stałe gaz sublimacja
DEPOSITION gaz ciało stałe
FREEZING ciesz ciało stałe zamarzanie
Metoda pomiarowa
Metoda pomiarowa (measurement method) jest to logiczny ciąg czynności wykonywanych podczas
pomiaru. Metoda pomiarowa określa sposób porównania nieznanej wielkości mierzonej z wielkością
wzorcową (znaną z duża dokładnością).
Zasada pomiaru (principle of measurement) jest to naukowa podstawa pomiaru. Zasada pomiaru
wynika ze zjawiska fizycznego, które wykorzystuje się podczas pomiaru.
Przykłady:
- zjawisko termoelektryczne Seebecka  pomiar temperatury
- zjawisko promieniowania termicznego  pomiar temperatury
- zjawisko rozszerzalności objętości cieczy  pomiar temperatury
- zjawisko stroboskopowe  pomiar prędkości obrotowej
- zjawisko Dopplera  pomiar prędkości liniowej
- zjawisko Josephsona  pomiar napięcia elektrycznego
Wykład 8 5 stycznia 2009
Wybór metody pomiarowej wynika z:
- planowanej dokładności pomiaru
- czasu dostępnego na wykonanie pomiaru
- zakres mierzonej wielkości
- warunków wykonywania pomiaru
Jednym z zadań metrologów jest umiejętność wyboru odpowiedniej metody pomiarowej,
realizującej określoną zasadę pomiaru w zależności od założeń wyboru metody pomiarowej.
Niezależnie od tego, jaką metodę pomiarową wybierzemy, należy pamiętać, że pomiar jest to
zawsze porównanie z wzorcem. We współczesnym świecie stosuje się zarówno metody analogowe (analog
method) jak i metody cyfrowe (digital method).
17
Klasyfikacje metod pomiarowych.
1. Wg sposobu porównania wielkości mierzonej z wzorcową:
- metody jednoczesnego porównania z wzorcem (np. metoda kompensacyjna). Wzorzec danej wielkości
uczestniczy bezpośrednio w procesie pomiarowym
- metody niejednoczesnego porównania z wzorcem (np. metoda wychyleniowa)  wzorzec nie
uczestniczy w procesie pomiarowym, ale był użyty wcześniej.
2.Wg sposobu otrzymania wyniku pomiaru:
- metody bezpośrednie  gdy wielkość mierzona i wielkość wzorcowa są tego samego rodzaju a wynik
podany jest w wartościach wielkości mierzonej, wyróżnia się metody bezpośrednie wychyłowe i zerowe
- metody pośrednie  gdy wartość wielkości mierzonej obliczana jest na podstawie bezpośredniego
pomiaru innych wielkości (np. pomiar rezystancji metodą techniczną na podstawie pomiaru napięcia i
prądu)
,
= ( , , & ) np. = = = 43,3775897 H" 43,38
,
Metody porównania.
Metody jednoczesnego porównania (comparison) z wzorcem można sklasyfikować ze względu na
procedurę komparowania (porównywania)
- metoda podstawieniowa (substitution method)
- metoda przestawieniowa (transposition method)
- metoda kompensacyjna (compensation method)
- metoda komperacyjna (comparation method)
W metodach tych, doprowadza się do zera (na różne sposoby) różnicę wartości wielkości
mierzonych i wzorcowej (dlatego nazywane są metodami zerowymi)
- " = 0
Dokładność metody zależy od dokładności wzorca i progu nieczułości wskaz
nika stanu zerowego:
" H" "
Metody jednoczesnego porównania z wzorcem można również podzielić ze względu na czas, w
którym wzorcze bierze udział
- metoda równoczesnego porównania z wzorcem  wzorzec pracuje podczas czynności zerowania i
różnicy wskazań, np. metoda mostkowa pomiaru rezystancji
- metoda nierównoczesnego porównania z wzorcem  wzorzec zostaje użyty dopiero po pewnej chwili,
np. metoda podstawieniowa pomiaru rezystancji.
Woltomierz cyfrowy z dwukrotnym całkowaniem (dual slope integration) realizuje metodę jednoczesnego
nierównoczesnego porównania z wzorcem  z
ródło napięcia wzorcowego (reference voltage) występuje w
układzie woltomierza.
"
=


= �! = "

18
 Metoda podstawieniowa.
Metoda polega na zastąpieniu, w trakcie procesu pomiarowego, wielkości mierzonej Xm wielkością
wzorcową Xw dobraną w taki sposób, aby skutki wywołane przez podstawienie były takie same, czyli aby
wskazanie przyrządu pomiarowego reagującego na wielkość X było takie samo (w granicy progu
nieczułości "d przyrządu).
Wówczas, zachodzi równość:
- d" " �! =
Dokładność pomiaru zbliżona jest do dokładności użytego wzorca
" H" "
Metoda podstawieniowa nie wymaga dokładnego przyrządu porównującego, istotna jest
powtarzalność wskazań (brak histerezy) oraz wysoka czułość przyrządu.
Przykłady:
- pomiar masy na wadze wskazówkowej mx w czasie t1, mw w czasie t2
- pomiar rezystancji z użyciem Rdek: Uz=const, I(Rx)=I(Rw)
Wykład 9 12 stycznia 2009
Metoda przestawieniowa.
Metoda przestawienia jest odmianą metody podstawienia. Polega na zrównoważeniu wielkości
mierzonej Xn za pomocą wartości wzorcowej Xw1 (lub uzyskaniu pewnego wskazania  w ) a następnie na
zamianie miejscami obu wielkości i ponownym uzyskaniu stanu równowagi (lub tego samego wskazania
 w ), ale dla innej (zwykle bardzo zbliżonej) wielkości Xw2. Wówczas zachodzi relacja:
= "

Metoda przedstawieniowa także nie wymaga dokładnego przyrządu porównującego, dodatkowo
umożliwia wyeliminowanie błędów w układzie komparacji np. siły termoelektrycznej 
STE (ang, TEM  ThermoElectroMotive force) na stykach połączeń.
Przykłady:
- pomiary masy na wadze dwu szalkowej mx = mw1, zamieniamy miejscami oba odważniki i sprawdzamy,
czy mx = mw2
- pomiar rezystancji z użyciem Rdek: UZ = const I(Rx)=I(Rw1), zamiana, I(Rx)=I(Rw2)
Metoda kompensacyjna.
Metoda kompensacyjna polega na wzajemnym przeciwstawnym oddziaływaniu wielkości
mierzonej Xm na detektor wykrywający ich różnicę. Podczas pomiaru tak nastawia się regulowaną wartość
wzorcową, aby wielkość była równa zeru (w granicy progu nieczułości przyrządu porównującego):
- d" " �! =
Kompensacja może być przeprowadzona tylko dla wielkości będących nośnikami energii (np.
napięcie, prąd, masa ale nie rezystancja).
Przykłady:
- pomiar masy na wadze dwu-szalkowej. Na jednej szalce mx, na drugiej mw, aby wskazówka pokazała
zero. Wówczas mx=mw
- pomiar napięcia za pomocą kondensatora tak regulujemy wartość napięcia wzorcowego Uw, aby
galwanometr wskazał zero. Wówczas: U1=Ux.
W stanie równowagi działania obu napięć są równe i przeciwstawne, żadna z wielkości nie wydatkuje
energii, czyli kompensator nie obciąża elektrycznie z
ródła Ux.
19
 Metoda komperacyjna
W metodzie kooperacyjnej następuje równoczesne porównanie wielkości mierzonej Xm
z krotnością k wielkości wzorcowej Xw. Podczas pomiaru, tak reguluje się wartością współczynnika k, aby
różnica wartości była zerowa:
- " d" " �! = "
Zaletą metody komparacyjnej jest to, iż wielkość wzorcowa Xw jest wielkością o jednej (nie
regulowanej) wartości (tzw. wzorzec jednomianowy). Dokładność metody jest również zbliżona do
dokładności wzorca, pod warunkiem, że błąd wyznaczenia współczynnika k oraz próg nieczułości
detektora zera są znikomo małe:
" H" "
Przykład:
Pomiar masy mx na wadze dwu-szalkowej ze wzorcowymi odważnikami mw i regulowaną długością
ramion (zmianą punktu podparcia ramienia wagi):
" = "
Metoda kombinowanego porównania z wzorcem.
W metodach kombinowanego porównania z wzorcem nie osiąga się stanu pełnego zrównoważenia
wielkości wzorcowej i wielkości mierzonej:
- " =
Do metod kombinowanego porównania z wzorcem należą:
- metoda różnicowa  polega na odjęciu od wielkości mierzonej Xm stałej wielkości wzorcowej
Xw(XwH"Xm) i pomiarze wartości ich różnicy.
- = �! = +
Przykład:
Pomiar masy na wadze dwu-szalkowej o jednym zakresie pomiarowym.
- metoda koincydencyjna  polega na obserwacji koincydencji (współbieżności) wskazań i sprowadzeniu
do zera różnicy krotności  n wielkości mierzonej Xm i krotności  k wielkości wzorcowej Xw:

" - " d" " �! = "

Przykład:
Pomiar prędkości obrotowej stroboskopem, noniusz w suwmiarce.
20