1. Macierze. Określenie. Własności. Przykłady. Zastosowanie.
" Tablica × liczb rzeczywistych zapisanych w postaci
&
1 5 7
&
= np. =
2 3 1
×
î" î" Å„" î"
8 7 2
×
& ×
Gdzie: n  liczba wierszy
k  liczba kolumn
Dla oznaczenia macierzy można stosować
= [ ] ×
gdzie - elementy macierzy (wskaz
nik oznacza że element znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie)
" Macierz której wszystkie elementy są równe zeru nazywamy macierzą zerową
" Macierz dla której = nazywa się macierzą kwadratową (k  stopień macierzy)
" W macierzy kwadratowej elementy o równych wskaz
nikach tworzą główną przekątną w
macierzy
1 0 0
= 2 1 0
0 1 1
×
Główna przekątna
" Macierz kwadratowa która ma wszystkie elementy poza główną przekątna równe zeru nazywa się
macierzÄ… diagonalnÄ…
1 0 0
= 0 51 0
0 0 8
×
" Jeśli w macierzy diagonalnej wszystkie elementy na głównej przekątnej są jedynkami, macierz
nazywa siÄ™ macierzÄ… jednostkowÄ… i oznacza siÄ™ ×
1 0 0
= 0 1 0
×
0 0 1
×
" Jeśli elementy powyżej (poniżej) przekątnej macierzy kwadratowej są równe zeru macierz nazywa się
macierzą trójkątną górną (dolną)
1 7 5 1 0 0
= = 20 2 0
0 2 1
0 0 8 15 7 8
× ×
Macierz trójkątna górna Macierz trójkątna dolna
" Jeśli elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej macierzy kwadratowej są równe
macierz tÄ… nazywamy macierzÄ… symetrycznÄ…
1 0 15
= 0 2 7
15 7 8
×
" MacierzÄ… transponowanÄ… ( ) do macierzy = [ ] × nazywamy macierz w której wiersze
×
zamieniono na kolumny
" Macierz nazywamy nieosobliwÄ… gdy `" 0
" Macierz nazywamy schodkowÄ… gdy pierwsze niezerowe elementy w kolejnych niezerowych
wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Rząd macierzy jest równy liczbie jej
 schodków .
" Własności:
o 2 macierze sÄ… równe jeÅ›li sÄ… identyczne = Ô! =
× ×
o SumÄ… macierzy jest macierz + = + = [ + ] ×
× ×
o By pomnożyć macierz przez l. rzeczywistą ą należy jej elementy przemnożyć przez ą
= × = ×
×
o Iloczynem macierzy = [ ] × , = [ ] × nazywamy macierz
× ×
"
= [ ] × gdzie =
×
o + = + (dodawanie macierzy jest przemienne)
( ) ( )
o + + = + + (dodawanie macierzy jest Å‚Ä…czne)
o = (mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne)
( ) ( )
o = (mnożenie macierzy łączne)
( )
o + = + (lewostr. mnożenie macierzy rozdzielne wzgl. dodawania)
( )
o + = + (prawostr. mnożenie macierzy rozdzielne wzgl. dodawania)
o ( ) =
o = (macierz symetryczna)
" Zastosowanie:
o Rozwiązywanie układów równań
o Druga pochodna funkcji wielu zmiennych
2. Macierz odwrotna. Definicja. Własności. Metody wyznaczania. Zastosowanie.
" Macierzą odwrotną do nieosobliwej macierzy nazywamy macierz taką że
× ×
= = Gdzie jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n
" Własności:
o Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna ( ) =
o Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzÄ… odwracalnÄ… ( ) =
o Macierz transponowana do macierzy odwracalnej jest odwracalna ( ) = ( )
o Macierz jednostkowa jest odwracalna oraz =
o Macierz zerowa jest nieodwracalna a kwadratowa jest również osobliwa
o Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną
o Dla nieosobliwej macierzy zachodzi równość =
" Wyznaczanie:
o Metoda dopełnień algebraicznych
Jeśli | | `" 0 to
1
= ( )( )
gdzie = , = (-1) det
o Metoda operacji elementarnych
Jeśli | | `" 0 to dokonanie na wierszach macierzy [ | ] operacji elementarnych dla rzędu
" "
macierzy tak że otrzymujemy [ | ] daje nam wynik =
3. Wyznaczniki. Określenie. Własności. Przykłady. Zastosowanie
" Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n = [ ] × nazywamy liczbÄ™ oznaczonÄ…
którą określamy rekurencyjnie w zależności od stopnia n
o Jeśli = 1 to =
"
o Jeśli e" 2 to = (-1) a detA
o gdzie jest macierzą dopełniającą elementu
np. = = (-1) + (-1) = -
Schematy wyznaczania wyznacznika macierzy:
" "
a) 2-ego stopnia " "
- +
b) 3-ego stopnia
I sposób (dopisywanie wierszy)
- +
II sposób (dopisywanie kolumn)
- +
" Zastosowanie
o Rozwiązywanie układów równań z tw. Cramera
o Wyznaczanie macierzy odwrotnych
o Wyznaczanie rzędu macierzy
o Wyznaczanie minorów macierzy
4. Wyznaczniki własności
" Rozwinięcie Laplace a
"
= (-1) a detA (rozwinięcie względem i-tego wiersza)
"
= (-1) a detA (rozwinięcie względem i-tej kolumny)
| | (| |) | |
" = ( ) (wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników)
" Wyznacznik macierzy trójkątnej, diagonalnej i jednostkowej jest równy iloczynowi elementów
leżących na głównej przekątnej
" Wyznacznik macierzy w której przynajmniej 1 kolumna (wiersz) jest zerowa(y) równa się 0
" Wyznacznik o co najmniej 2-u wierszach (kolumnach) proporcjonalnych jest równy 0
" Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą
stałą wartość wyznacznika.
" Zmiana kolejności wierszy (kolumny) zmienia znak wyznacznika na przeciwny
( )
" det = , gdzie k jest dowolnÄ… liczbÄ…, n stopniem macierzy A
( )
" det = ( ) (wyznacznik macierzy odwrotnej równy odwrotności wyznacznika)
" Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany znaku wyznacznika
" Dodawanie (odejmowanie) jednego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) nie zmienia
znaku wyznacznika
5. Operacje elementarne nie zmieniające rzędu macierzy. Operacje elementarne prowadzące do
równań liniowych równoważnych. Operacje elementarne nie zmieniające wartości wyznacznika.
" Dla rzędu macierzy
o Pomnożenie wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0
o Dodanie do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza
(kolumny)
o Skreślenie wiersza (kolumny) którego wszystkie elementy są równe 0
o Skreślenie jednego z wierszy (kolumn) jednakowych
o Zmiana kolejności wierszy (kolumn)
" Dla równań liniowych równoważnych
o Operacje elementarne nie zmieniające rzędu macierzy wykonywane tylko na wierszach
" Dla wyznacznika
o Dodawanie (odejmowanie) jednego wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny) nie
zmienia znaku wyznacznika
6. Rząd macierzy. Definicja. Własności. Przykłady. Zastosowanie.
" Rzędem macierzy A nazywamy liczbę równą największemu ze stopni nieosobliwych podmacierzy
macierzy
" Własności
o Operacje elementarne dla rzędu macierzy
a) Pomnożenie wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0
b) Dodanie do elementów wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza
(kolumny)
c) Skreślenie wiersza (kolumny) którego wszystkie elementy są równe 0
d) Skreślenie jednego z wierszy (kolumn) jednakowych
e) Zmiana kolejności wierszy (kolumn)
o Operacje elementarne dla rzędu macierzy nie zmieniają rzędu macierzy
o Rząd macierzy jest równy maksymalnej ilości wersorów w macierzy
" Zastosowanie
o Rozwiązywanie układów równań.
7. Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.( Układy nieoznaczone równań
liniowych)* Twierdzenie Cramera
" Układy równań liniowych
o Układem równań liniowych nazywamy zależność między macierzą układu (macierz
współczynników przy niewiadomych ), wektorem niewiadomych × oraz
×
wektorem wyrażeń wolnych
×
=
× × ×
o Ze względu na ilość rozwiązań układy równań liniowych nazywamy:
Oznaczonymi - istnieje 1 rozwiÄ…zanie
Nieoznaczonymi - istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (zbiór rozwiązań tworzy
rozwiązanie ogólne)
Sprzeczne- nie istnieje ani jedno rozwiązanie (zbiór rozwiązań jest pusty)
" Układy liniowe nieoznaczone*
o Zbiór rozwiązań układów nieoznaczonych nazywamy rozwiązanie ogólne układu .
o Rozwiązanie szczegółowe układu nieoznaczonego nazywamy ustalony konkretny element
rozwiązania ogólnego
o Wyznaczanie polega na przekształceniu macierzy rozszerzonej przy pomocy operacji
elementarnych nie zmieniających rzędu macierzy, dokonywanych na wierszach macierzy
rozszerzonej do postaci w której jest tyle kolumn jednostkowych , , & ile wynosi rząd
macierzy = . Wówczas
"
+ =
gdzie
- macierz jednostkowa stopnia r
 tworzÄ… niewiadome  bazowe
 wektor utworzony z pozostałych niewiadomych traktowanych jako
parametry
"
- wektor wyrazów wolnych otrzymany w wyniku operacji elementarnych
" Tw. Kroneckera-Capellego:
Jeśli rząd macierzy układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej = [ | ] to układ nie
jest sprzeczny.
[ | ]
Jeśli = = gdzie n jest ilością niewiadomych to układ jest oznaczony.
[ | ]
Jeśli = = gdzie < to układ jest nieoznaczony i rozwiązanie ogólne zależy od n-k
parametrów
" Tw. Cramera:
Jeśli macierz układu A jest nieosobliwa to rozwiązanie układu stanowią niewiadome =
8. Metody rozwiązywania układów równań liniowych oznaczonych
" Metoda szkolna
" Metoda Cramera
Gdy `" 0 do obliczenia układu równań można zastosować wzory Cramera
=
gdzie oznacza macierz otrzymanÄ… przez zamianÄ™ w macierzy i-tej kolumny kolumnÄ…
wyrazów wolnych układu
" Metoda operacji elementarnych
Polega na przekształceniu macierzy rozszerzonej przy pomocy operacji elementarnych nie
zmieniających rzędu macierzy, dokonywanych na wierszach, do postaci jednostkowej
[ | [ |
gdzie A-macierz główna, B- macierz wyrazów wolnych, X- macierz niewiadomych
" Metoda eliminacji Gaussa
Polega na przekształceniu macierzy rozszerzonej przy pomocy operacji elementarnych nie
zmieniających rzędu macierzy, dokonywanych na wierszach, do postaci w której jest tyle kolumn
jednostkowych ile wynosi rzÄ…d macierzy =
9. Granica ciągu liczbowego. Definicja. Własności. Twierdzenia o ciągach zbieżnych. Liczba Eulera.
" Dla każdej dowolnie małej liczby istnieje taki indeks ( ) że dla wszystkich > spełniona jest
nierówność:
| - <
|
"
LiczbÄ™ nazywamy granicÄ… ciÄ…gu
lim =

" Twierdzenia o ciągach zbieżnych
o Jeśli ciąg spełnia powyższy warunek jest ciągiem zbieżnym
o Ciągi które nie są zbieżne określamy jako rozbieżne
o Jeśli istnieją 2 podciągi ciągu o różnych granicach to ciąg nie ma granicy i jest rozbieżny
" Własności
o Ciąg gdzie " ma co najwyżej jedną granicę
o Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną
o Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest ograniczony. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych ma
granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony
o Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy
o Jeśli ciągi , są zbieżne to
( )
lim + = lim + lim
( )
lim ( ) = lim (lim )
lim
lim =
lim gdzie lim `" 0
Jeśli lim = lim = i począwszy od pewnego indeksu zachodzi
nierówność d" d" to również
lim =

o Przypadki oznaczone
0

0

1 > 0
"

1
"

"
"

0 <=> < 1
| |

"" "

" + " "

o Przypadki nieoznaczone
" 0
[ [ [ [ [
0 1 " 0 " - "
" 0
" GranicÄ™ = (1 + ) oznaczamy e i nazywamy liczbÄ… Eulera
1
= lim 1 +

Jeśli lim = " to lim 1 + =
9*. Szeregi liczbowe
" Szeregi liczbowe
o Ciąg sum częściowych nazywamy ( ) utworzony z ciągu ( ) gdzie
=
= +
= + + ï" +
o Szeregiem liczbowym zbieżnym nazywamy granicę ciąg sum częściowych
lim =

Jeżeli ciąg jest rozbieżny, szereg jest rozbieżny.
a - ogólny wyraz szeregu
S  ogólny wyraz sum częściowych
lim S - suma szeregu
" Tw. Cauchy ego dla szeregów
"
o Szereg jest zbieżny Ô! gdy
| + + ï" + <
|
"
lim | | = Ä„" < 1

" | |
o Szereg jest rozbieżny Ô! gdy lim = '" > 1
" Kryterium d Lamberta
"
o Szereg jest zbieżny Ô! gdy lim = '" < 1
"
o Szereg jest rozbieżny Ô! gdy lim = '" > 1
" Kryterium porównawcze
" " " " jest zbieżny
o Szereg jest zbieżny Ô! gdy d" Ä„"
" " " " jest rozbieżny
o Szereg jest rozbieżny Ô! gdy e" Ä„"
" Warunek zbieżności szeregu
"
o Jeśli szereg jest zbieżny to lim = 0
< +" Ò! lim = 0

10. Funkcja rzeczywista. Określenie. Własności. Przykłady. Zastosowanie
" Sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu
pewnego zbioru Y nazywamy funkcją. Jeśli dziedzina i przeciwdziedzina funkcji zawierają się w
zbiorze liczb rzeczywistych to funkcjÄ™ = ( ) nazywamy funkcjÄ… rzeczywistÄ… zmiennej
rzeczywistej.
" Własności:
o Jeśli funkcja dla dowolnych argumentów z dziedziny gdzie > spełnia
( ) ( )
warunek e" ( ( ) d" ( ) ) to nazywamy jÄ… funkcjÄ… monotonicznie
rosnÄ…cÄ… (malejÄ…cÄ…)
o Funkcję nazywamy ograniczoną od góry (od dołu) jeśli jej wartości nie przewyższają (nie
są mniejsze od) pewnej ustalonej liczby tzw. kresu górnego (dolnego). Funkcje
ograniczone od góry i od dołu nazywamy funkcjami ograniczonymi.
o Funkcja ( ) z dziedziną ma w punkcie a maksimum absolutne lub globalne jeżeli dla
wszystkich " ( ) e" ( )
o Funkcja ( ) ma w punkcie a maksimum względne lub lokalne jeśli nierówność
( ) e" ( ) jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a, tzn. dla wszystkich takich
że - < < +
(- )
o Funkcje parzyste spełniają warunek = ( ) sama dziedzina funkcji musi być
( )
symetryczna " => (- " )
(- )
o Funkcje nieparzyste spełniają warunek = - ( ) sama dziedzina funkcji musi
być symetryczna
o Funkcje okresowe spełniają warunek ( + )= ( ), = , `" 0
o Funkcję : nazywamy odwracalną gdy istnieje taka funkcja : taka że
( ) = dla każdego "
( ) = dla każdego "
FunkcjÄ™ nazywamy funkcjÄ… odwrotnÄ… do i oznaczamy symbolem
o Funkcja : jest różnowartościowa (iniekcja) gdy dla dowolnych elementów
, " speÅ‚niony jest warunek `" Ò! ( ) `" ( )
o Suriekcja: Niech oraz będą dowolnymi zbiorami. Funkcja : odwzorowuje
zbiór na zbiór gdy każdy element zbioru jest wartością funkcji w pewnym punkcie
o Bijekcja: Funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i  na .
11. Granica i ciągłość funkcji w punkcie. Własności funkcji ciągłych w przedziałach domkniętych.
" Niech funkcja będzie funkcją określoną w przedziale (a,b) z wyjątkiem punktu gdzie " ( , ),
liczbÄ™ g: = lim ( )
Nazywamy granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu argumentów
takiego że `" oraz lim = ciąg liczbowy ( ) jest zbieżny do liczby g.
" "
" Funkcja ( ) jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy gdy
( )
lim = ( )

" Własności
o Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą (superpozycja) funkcji ciągłych jest funkcją
ciągłą
o Funkcje wielomianowe, funkcja potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcje
trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.
o Suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
12. Funkcje odwrotne. Twierdzenie o istnieniu funkcji odwrotnej. Funkcje , , , ,
, . Określenie. Własności.
" Funkcję : nazywamy odwracalną gdy istnieje taka funkcja : taka że
( ) = dla każdego "
( ) = dla każdego "
FunkcjÄ™ nazywamy funkcjÄ… odwrotnÄ… do i oznaczamy symbolem
" Własności:
o Funkcja odwrotna do funkcji rosnÄ…cej jest rosnÄ…ca
o Funkcja odwrotna do funkcji malejÄ…cej jest malejÄ…ca
o Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła
o Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej ( ) jest różniczkowalna wszędzie z
( )
wyjątkiem obrazów punktów dla których = 0
o Wykres funkcji odwrotnej do jest symetryczny do wykresu względem prostej =
o Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzorem ( " ) = "
13. Pochodna funkcji. Definicja pochodnej w punkcie. Interpretacja geometryczna. Funkcje pochodne.
Własności. Przykłady. Zastosowanie
" Pochodna funkcji
o Pochodną : - w punkcie nazywamy funkcję ( ) która jest granicą iloczynu
różnicowego
( ) - ( )
+ !
( ) = lim

!
Jeśli ta granica istnieje jest skończona to funkcje nazywamy funkcją różniczkowalną w
punkcie .
o Geometryczna interpretacja pochodnej ( )
( ) - ( )
+ !
=
!
( ) - ( )
+ !
lim =

!
( )( )
o Równanie stycznej do funkcji różniczkowalnej w punkcie : - + ( )
" Własności:
o Tw. Rolle a: Jeśli : - jest ciągła w przedziale domkniętym : < , >"
( )
różniczkowalna wewnÄ…trz tego przedziaÅ‚u oraz = ( ) to istnieje ¾ "< , > taka
( )
że = 0
o Tw. Lagrange a: Jeśli : - jest ciągła w przedziale domkniętym : < , >"
różniczkowalna wewnÄ…trz tego przedziaÅ‚u to istnieje ¾ "< , > taka że
( ) - ( )
(¾) =
-
( )
o [ ( ) Ä… ( ) = Ä… ( )
o ( ( )) = ( )
o ( ) =
( )
o = +
o ( ) =
( ) ( ) ( )
o =
( )
o = 0
( )
o =
o ( ) =
o ( ) =
o ( ) =
o ( ) =
o ( ) =
( )
o =
( )
o = -
o ( ) =
"
"
" Zastosowanie
o Obliczanie granic nieoznaczonych (Tw. L Hospitala)
o Wyznaczanie stycznych (równanie stycznej)
o Badanie przebiegu zmienności funkcji
o Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina, Taylora
13*. Szeregi potęgowe
" Szeregiem potęgowym nazywamy funkcję
( ) =
( )
czyli = + + + ï" + + ï"
jest uogólnieniem pojęcia wielomianu stopnia n- wielomianu nieskończonego stopnia
" "
" Jeżeli szereg jest zbieżny w punkcie to szereg jest zbieżny w każdym
(- )
punkcie przedziału x ; gdzie 0 < < 1
" Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy taką liczbę dodatnią że szereg jest zbieżny
| |
dla spełniającego nierówność < i rozbieżny dla < | |.
Przedział (-r,r) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu
14. Zastosowanie pochodnej do obliczania granicy nieoznaczonej.
( ) ( )
" Tw. L Hospitala: Jeśli lim = 0 ( ") oraz lim = 0 ( ") czyli mamy
doczynienia z przypadkiem to:
( ) ( )
lim = lim

( ) ( )
15. Badanie przebiegu zmienności funkcji rzeczywistej
" Monotoniczność funkcji
Funkcja jet monotonicznie rosnÄ…ca Ô! dla dowolnych dwóch argumentów , jeÅ›li < to
( ) < ( ). Analogicznie z malejÄ…cÄ….
( )
Funkcja różniczkowalna jest monotonicznie rosnÄ…ca w przedziale < , > Ô! > 0.
Analogicznie z malejÄ…ca.
" Różnowartościowość
Funkcja różniczkowalna jest różnowartoÅ›ciowa w przedziale < , > Ô! gdy jest monotoniczna w
przedziale .
" Ekstrema funkcji
Funkcja ma w punkcie maksimum (minimum) lokalne Ô! w otoczeniu punktu wszystkie
( )
wartości funkcji sa mniejsze (wieksze) niż wartość
o Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeśli funkcja ma w punkcie ekstremum to nie istnieje pochodna w punkcie lub
( ) = 0.
o Warunek wystarczajÄ…cy na istnienie ekstremum I
( )
Jeśli w otoczeniu punktu spełniającego warunek konieczny pochodna zmienia znak
to funkcja ma w punkcie ekstremum (maksimum dla +/-, minimum dla -/+.
o Warunek wystarczajÄ…cy na istnienie ekstremum II
( ) ( ) ( )
Jeśli = 0 oraz `" 0 to funkcja ma w punkcie ekstremum ( < 0
( )
maksimum, > 0 minimum)
" Punkty przegięcia
o Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
( )
Jeśli funkcja ma w punkcie punkt przegięcia to = 0
o Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
( ) ( )
Jeśli w otoczeniu punktu spełniającego warunek = 0 druga pochodna
zmienia znak to funkcja ma punkt przegięcia w
" Wklęsłość/Wypukłość funkcji
( )
o Jeśli druga pochodna jest dodatnia > 0 dla x należących do przedziału to
funkcja jest w tym przedziale wklęsła
( )
o Jeśli druga pochodna jest ujemna < 0 dla x należących do przedziału to
funkcja jest w tym przedziale wypukła
" Asymptoty
o Asymptota ukośna
Asymptotą ukośną funkcji f nazywamy prostą = + taką że
[ ( ) + = 0
lim - ( )
Dla aymptoty ukośnej mamy
( )
( )
= lim Ä… = lim Ä… [ -
o Asymptota pionowa
AsymptotÄ… pionowÄ… f nazywamy prostÄ… = Ô! = Ä…"
Ä…
16. Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Określenie. Własności, Przykłady. Zastosowanie.
" Funkcja pierwotna
o Funkcja pierwotną do funkcji określonej w pewnym obszarze domkniętym nazywamy
taką funkcję określoną w tym obszarze, której pochodna jest równa .
( ) = ( )
o Jeśli jest funkcją pierwotną dla funkcji ( ) to dla dowolnej stałej = funkcja
( ) +
też jest funkcją pierwotną.
" Całka nieoznaczona
o Całką nieoznaczoną funkcji podcałkowej ( ) nazywamy rodzinę funkcji pierwotnych dla
( ) i oznaczamy
( ) ( )
= +
o Własności
( ) ( ) ( )
( ) Ä… ( ) = Ä…
( )
( ) =
=
= +
= - +
= +
= dla `" -1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) -
= ( )
( ) ( )
( ) = ! ! (Całkowanie przez podstawienie)
( )
| |
= ( ) +
( )
o Zastosowanie
Obliczanie całek oznaczonych
17. Całka oznaczona Newtona. Własności. Całka jako pole. Twierdzenie watrości średniej dla całki.
Dowód. Interpretacja geometryczna.
" Całka oznaczona Newtona
o Całką oznaczoną funkcji ciągłej w przedziale < , > nazywamy różnicę wartości funkcji
pierwotnej ( ) w górnej i dolnej granicy całkowania
( ) ( ) - ( )
=
o Własności
Granice całkowanie nie ulegają zmianie we własnościach i metodach wyznaczania
całkinieoznaczonej z wyjątkiem metody podstawienia
Jeśli funkcja jest parzysta w przedziale < - , > to
( ) = 2
( )
Jeśli funkcja jest nieparzysta w przedziale < - , > to
( ) = 0
( ) ( )
( ) = + gdzie "< , >
" Twierdzenie o wartości średniej dla całki
( )
o Jeśli funkcja jest ciągła w < , > to istnieje " , takie że
1
( ) =
( )
-
o Dowód
Z założenia o ciągłości funkcji funkcji wynika że istnieją liczby i takie że
( )
( - ) d" d" ( - )
czyli
1
d" ( ) d"
( - )
o Z twierdzenia Dardoux wynika że istnieje taka "< , > że ( ) przyjmuje wszystkie
wartości pośrednie między liczbami a zatem istnieje takie że
1
( ) =
( )
-
17*. Konstrukcja całki Riemanna
" Niech będzie dana funkcja w przedziale =< , >ą" . Całką oznaczoną Riemanna funkcji w
przedziale < , > nazywamy granicę ciągu sum całkowych
( )| |
= -
gdzie są punktami podziału przedziału na rozłącznych przedziałów takich że ciąg najdłuższych
podprzedziałów ma granicę równą . jest punktem pośrednim przedziału < , > czyli
( )
" , . Jeśli jest zbieżny do skończonej granicy g lim = to mówimy że istnieje
całka funkcji. Liczbę g nazywamy całką oznaczoną w przedziale < , >
( )
= = lim

Jeśli f(x) jest ujemna dla "< , > to pole obszaru między wykresem funkcji, osią Ox a prostymi
= , = wyraża się
( )
-
18. Całki niewłaściwe.
" Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju nazywamy całkę oznaczoną w granicach nieskończonych
( ) ( )
o = lim
( ) ( )
o = lim
( ) ( ) ( )
o = + gdzie " (-", ")

" Całką niewłaściwą drugiego rodzaju nazywamy całkę z funkcji nieograniczonej na przedziale
całkowania
o Jeśli funkcja jest nieograniczona w lewym końcu przedziału całkowania (a,b) to
( ) = lim
( )

o Jeśli funkcja jest nieograniczona w prawym końcu przedziału całkowania (a,b) to
( ) = lim
( )

o Jeśli funkcja jest nieograniczona dla = gdzie " ( , ) to
( ) = +
( ) ( )
" Całka Gauss a (Poissona)
= "2
19.
20. *Rozwinięcie funkcji okresowej w szereg Fouriera
" Harmonika
o HarmonikÄ… nazywamy funkcjÄ™ rzeczywistÄ… zmiennej t (interpretowana jako czas) o
wartości
( ) = sin( + )
Wielkości , , są parametrami tej funkcji
o Harmonika jest funkjÄ… okresowÄ… i opisuje ona ruch drgania harmonicznego gdzie
- częstość drgań
| | - amplituda drgań
 faza
o Okresem harmoniki ( ) jest =
o Jeśli wez
miemy pod uwagę sumę harmonik otrzymamy funkcję również okresową bardziej
złożoną niż funkcja pierwsza np.
1 1
( )
! = + 2 + 3
2 4
o okresie 2 ale różna od
o Można pokazać ze funkcję okresową można przedstawić jako sumę sinusoid (harmonik)
( )
! + sin( + )
o Jeśli zastosować wzór na sin sumy "" sin( + ), = , = i
= , sin = , cos =
( ) = + (a cos + b sin )
" Rozwinięcie w szereg Fouriera
o Funkcja okresowa o okresie 2 całkowalna w przedziale < - , > ma rozwinięcie w
szereg Fouriera
( ) = + (a cos + b sin )
gdzie
( )
=
( )
= cos = 1,2, &
( )
= sin = 1,2, &
o Dowód
( ) = + + cos + sin
Ale
sin -(cos )

cos = sin = = 0
Zatem
1
( ) = 2 =
( )
2
( ) cos = cos + cos cos + sin cos
Dla =
1
( )
= 1 + 2 =
2
Dla `" obie całki pod znakiem sumy w przedziale < - , > są równe zeru. Wszystkie
całki poza całką pod znakiem sumy są równe zeru.
21. Równania różniczkowe zwyczajne. Równania o zmiennych rozdzielnych. Równania Pearsona.
" Równania różniczkowe zwyczajne
o Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy zależność między
niewiadomą funkcją ( ) zmiennej rzeczywistej i pochodną ( ) (związek między
( )
, , ( )). Zapis
( ( ) )
, , = 0
o Całką szczególną (rozwiązaniem szczególnym) równania różniczkowego nazywamy każdą
( ( ) )
funkcję ( ) spełniającą równanie , , = 0
o Całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania różniczkowego nazywamy zbiór
wszystkich całek szczególnych
" Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
o Równanie różniczkowe nazywa się równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych
Ô! można je przedstawić w postaci
( ) = ( )
gdzie , są ciągłe na odpowiednim przedziale określoności.
" Równanie Pearsona
o Równaniem różniczkowym Pearsona nazywa się równanie różniczkowe (o zmiennych
rozdzielonych) postaci
( + + + + = 0
) ( )
22. Pochodna kierunkowa. Funkcja dwóch zmiennych. Definicja. Własności. Przykłady. Interpretacja
geometryczna. Twierdzenie o pochodnych kierunkowych.
" Funkcje dwóch zmiennych
o FunkcjÄ… wielu zmiennych nazywamy odwzorowanie : gdzie " .
Funkcją dwóch zmiennnych jest : gdzie " .
( ) ( )
o Wykresem funkcji dwóch zmiennych jest zbiór { , , " , = , tj. płat
powierzchni w przestrzeni .
( )
o Warstwicą funkcji dwóch zmiennych , odpowiadającą wartości nazywamy zbiór
( ) ( )
= , : , =
o Granicą funkcji dwóch zmiennych w punkcie ( , ) nazywamy liczbę g (o ile istnieje)
= lim ( , )
,
( )
taką że dla każdego ciągu argumentów ( , ) należącego do otoczenia punktu ,
takiego że ( , ) ( , ) ciąg wartości ( , ) przy " dąży do liczby g.
( )
o Funkcja : gdzie " jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie , Ô!
( )
lim , = ( , )
,
Funkcja : gdzie " jest ciÄ…gÅ‚a w obszarze S Ô! jest ciÄ…gÅ‚a w każdym punkcie
obszaru S. Suma, iloczyn, iloraz, różnica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Z łożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
" Pochodna kierunkowa
o Pochodną kierunkową funkcji określonej w obszarze " w punkcie w kierunku
wektora nazywamy liczbÄ™
( ) ( )
[ + !
( )
" = lim

!
o Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x0,y0). Ponadto niech ł oznacza kąt
nachylenia do płaszczyzny xOy półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju
wykresu funkcji f półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą x = x0, y = y0 oraz równoległą
r
do wersora v . Wtedy
( )
, =
r
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wersora v .
23. Pochodna cząstkowa. Gradient funkcji dwóch zmiennych.
" Pochodna czÄ…stkowa funkcji
o Pochodną cząstkową funkcji : względem k-tej zmiennej nazywamy pochodną
kierunkowÄ… funkcji w kierunku k-tego wersora
( )
= " f( )
Pochodna czÄ…stkowa po zmiennej x jest wyznaczona jako pochodna funkcji ( , ) jednej
zmiennej x. Drugą zmienną y traktujemy jako stałą.
o Pierwszą pochodną funkcji wielu zmiennych nazywamy wektor którego współrzędne
stanowiÄ… kolejne pochodne czÄ…stkowe funkcji f
( , , & , = , , & ,
)
o Pochodna cząstkowa drugiego rzędu
( )
( )
=
Jeśli w otoczeniu punktu pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu funkcji istnieją
i są ciągłe w punkcie to są sobie równe.
o Drugą pochodną funkcji (hesjanem) nazywamy macierz w której w k-tym wierszu
występują kolejne pochodne cząstkowe drugiego rzędu pochodnej cząstkowej pierwszego
rzędu względem zmiennej k-tej. Druga pochodna funkcji dwóch zmiennych jest macierzą
postaci
( )
, =
" Gradient funkcji
o Gradientem funkcji w punkcie nazywamy wektor ( ) określony wzorem
( ) ( ) ( )
, ]" , , ,
o Gradient funkcji w punkcie jest wektorem prostopadłym w punkcie do warstwicy
funkcji przechodzącej przez i jest kierunkiem najszybszego wzrostu wartości funkcji w
.
24. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
" Minorem rzÄ™du k macierzy kwadratowej = [ × nazywamy wyznacznik podmacierzy
kwadratowej stopnia k = det [ ×
" Macierz kwadratowa jest:
o dodatnio okreÅ›lona Ô! wszystkie jej minory sÄ… dodatnie > 0
o ujemnie okreÅ›lona Ô! (-1) > 0
o półokreÅ›lona Ô! (-1) e" 0 e" 0
o W pozostałych przypadkach macierz jest nieokreślona.
" Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowej
Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie i jest różniczkowalna w punkcie i jego otoczeniu to
( )
pochodna = 0.
" Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.
( )
Jeśli f(x) jest różniczkowalna w punkcie i jego otoczeniu to pierwsza pochodna = 0 oraz:
o Macierz wartości drugich pochodnych w punkcie dodatnio określona to funkcja ma w
minimum.
o Macierz wartości drugich pochodnych w jest ujemnie określona to funkcja ma w
maksimum.
o Macierz wartości drugich pochodnych w ma ujemny wyznacznik to funkcja ma w
punkt siodłowy.
o Macierz wartości drugich pochodnych w jest nieokreślona to funkcja w nie ma
ekstremum.
o Macierz wartości drugich pochodnych w jest półokreślona to istnienie ekstremum jest
przez drugą pochodną funkcji nierozstrzygnięte.
25. Całka podwójna. Całka iterowana.
" Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych f(x,y) w obszarze domkniętym " . Całką funkcji
( ) na obszarze nazywamy granicę ciągu sum całkowych czyli
( )
, = lim
" Iteracja
( )
o Jeśli = , : < < , < < to
( ) ( )
( , ) = , = ,
( ) ( ) ( )
o Jeśli = , : < < , < < to
( )
( , ) = ,
 ( ) ( ) ( )
o Jeśli = , : < < , < < to
( )
( , ) = ,
" Własności
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o Jeśli , = !( ) to , = !
| |
o =
,"
( )
o , = gdzie jest objętością prostopadłościanu o podstawie
,"
27*. Twierdzenie Maclaurina
" Twierdzenie Maclaurina
( )-go włącznie
o Jeśli funkcja rzeczywista ma w przedziale <-h,h> pochodne do rzędu + 1
( )
( )
oraz lim = 0 gdzie = ( ) to istnieje " 0,1 takie że
( )
!
( ) ( ) ( ) ( )
= 0 + 0 + 0 + ï"
1! 2!
o Przy założeniu twierdzenia Maclaurina mamy wzór
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= 0 + 0 + 0 + ï" + 0 +
1! 2! !
- reszta szeregu Maclaurina może określać błąd przybliżenia wartości ( ) w otoczeniu
= 0 wielomianu stopnia n
" Twierdzenie Taylora
o Jeśli w otoczeniu punktu = funkcja ma pochodne dowolnego rzędu oraz są one
( )
( )
wspólnie ograniczone tzn istnieje liczba taka że < dla każdego n i każego x
z otoczenia
( )
( ) ( )
= + ( - )
!
28*. Proces renowacji kapitałowej
" Tablicą śmiertelności jednostek kapitałowych nazywamy skończony ciąg liczbowy , , & , taki
że
o > 0 dla = 1, &
"
o = 1
gdzie - procent wszystkich jednostek kapitałowych wymagających wymiany na nowe w
chwili .
" Przeciętnym czasem życia jednostki kapitałowej nazywamy liczbę
= + 2 + ï" +
" Zagadnienie renowacji populacji kapitałowej jest następujące: znalez
ć takie liczby jednostek
kapitałowych , & które należy zastąpić w chwilach = 1,2, & nowymi aby utrzymać stan
kapitału (wielkość populacji) na stałym poziomie równym .
" RozwiÄ…zaniem jest ciÄ…g rat renowacyjnych
=
= +
ï"
= + + ï" +
" Twierdzenie: lim =