w9

Modele ruchomej średnie MA(q)
Wyklad IX.
1 Model MA(q)
1.1 Og lna postać modelu MA(q)
Na przestrzeni probabilistycznej.(&!, F, P ) definiujemy { } ciag niezależnych zmien-
t
nych losowych o rozkladzie Gaussa N (m, �), zatem
E = 0 (1)
t
�2 dla � = 0
E =
t tą�
0 dla � = 0

Model ruchomej średniej (Moving Average processes of order q) jest postaci
�t = - �1 - ... - �q t-q (2)
t t-1
Og lnie MA(q) model ruchomej średniej, jesto to model gdzie wszystkie wsp lczyn-
niki opr cz q pierwszych sa r wne zero. Widzimy r wnież, że każdy model MA(q)
spelnia warunki stacjonarności (w modelu (2) �t powstaje jako kombinacja liniowa
niezależnych zmiennych gaussowskich, zatem �t ma skończone i stale pierwszy i drugi
momenty).
Najbardziej rozpowszechnione w praktyce sa modele MA(1), MA(2).
MA (1) : �t = - �
t t-1
MA (2) : �t = - �1 - �2
t t-1 t-2
1.2 Procesy ruchomej średniej a procesy autoregresji lin-
iowej
Każdy proces autoregresji AR(1)
�t = ą�t-1 + t (3)
możemy przedstawić w postaci ruchomej średniej rzedu MA (")
"
�t = ąj t-j (4)
j=0
Przyjrzyjmy sie modelowi MA(1)
�t = - � (5)
t t-1
mianowicie
= �t + � = �t + � (�t-1 + � ) = �t + ��t-1 + �2 t-2
t t-1 t-2
= �t + ��t-1 + �2 (�t-2 + � ) = �t + ��t-1 + �2�t-2 + �3 = ....
t-3 t-3
2 Modele ruchomej średnie MA(q) Wyklad IX.
Ostatecznie
"
�t = - �j�t-j + t (6)
j=1
Zatem model ruchomej średniej MA(1) możemy przedstawić jako model autoregresji
rzedu AR(").
Aby model AR(1) postaci (3) spelnial warunek stacjonarności potrzeba i wystar-
cza aby parametr |ą| < 1 (lub pierwiastki r wnania 1 - ąz = 0 co do wartości
bezwzglednej byly wieksze od jedności). Natomiast model MA(1) postaci (5) za-
wsze spelnia warunki stacjonarności dla dowolnego �. Jeżeli |ą| > 1 to korzystajac z
postaci r wnoważnej (6) widzimy że wsp lczynniki przy �t-j rosna wraz ze wzrostem
j (czyli wagi w (6) tworza szereg rozbieżny). Od strony zastosowań potrzebujemy
aby wagi w (6) tworzyli szereg zbieżny. Powyższy wym g jest r wnoważny warunk-
owi: wartość bezwgledna pierwiasteka r wnania charakterystycznego
1 - �z = 0
powinna być wieksza od jedności (|z| > 1).
Definicja: Model MA(1) przedstawiony wzorem (5) nazywamy odwracalny jeżeli
"
w rozkladzie odwrotnym (6) nieskończony szereg wag jest zbieżny ( �j < "),
j=1
r wnoważne to jest z warunkiem |ą| < 1.
R wnież model MA(q) (2) spelnia warunki stacjonarności dla dowolnych rzeczy-
wistych �1, ..., �q. Można go przedstawić w postaci
"
�t = - Ąj�t-j + t (7)
j=1
Definicja: Model MA(q) przedstawiony wzorem (2) nazywamy odwracalny jeżeli
"
w rozkladzie odwrotnym (7) szereg wag jest zbieżny ( Ąj < ").
j=1
Warunek odwracalności modelu MA(q) możemy przedstawić w postaci: pier-
wiastki r wnania charakterystycznego
1 - �1z - ... - �qzq = 0
powinne spelniać |zj| > 1 dla dowolnych j = 1, 2, ..., q.
E. Kozlowski 3
2 Podstawowe charakterystyki procesu MA(q) .
Rozważmy model MA(q)
�t = - �1 - ... - �q t-q (8)
t t-1
dla dowolnego � e" 0 mamy
�t-� = - �1 - ... - �q t-�-q (9)
t-� t-� -1
Zatem E�t = E�t-� = 0 Nastepnie wymnożymy obustronnie (8) i (9). Funkcja
autokowariancji ł (�) dla dowolnego � e" 0 jest postaci
ł (�) = E�t�t-� =
= E ( - �1 - ... - �q ) ( - �1 - ... - �q )
t t-1 t-q t-� t-�-1 t-�-q
Korzystajac z wlasności nieskorelowaności { } otrzymujemy
t
ńł
�2 1 + �2 + ... + �2 dla � = 0
�ł
1 q
ł (�) = �2 (-�� + �1��+1 + ... + �q-��q) dla � = 1, 2, ..., q (10)
ół
0 dla � > q
Funkcja autokorelacji r (�) dla dowolnego � e" 0 jest postaci
-�� +�1�� +1+...+�q-� �q
dla � = 1, 2, ..., q
1+�2+...+�2
1 q
r (�) = (11)
0 dla � > q
Widzimy że autokorelacji r (�) dla procesu MA(q) wynosi 0 dla � > q. Powyzsza
wlasność jest użyteczna podczas identyfikacji modelu z wykorzystaniem danych em-
pirycznych.
2.1 Gestość spektralna MA(q)
Gestość spektralna MA(q) jest postaci
�2
2
f (�) = 1 - �1e-i� - �2e-2i� - ... - �qe-qi� (12)
2Ą
gdzie � " [0, Ą]
3 Identyfikacja modelu MA(q)
Identyfikacja modelu MA(q) oparta jest na wzorach (10) i (11). W tym celu szacu-
jemy estymatory �1, �2, ..., �q oraz �2.
4 Modele ruchomej średnie MA(q) Wyklad IX.
1) Analizujac szereg czasowy {x (t)}1d"td"N najpierw musimy zidentyfikować funkcje
Ć(t),
nielosowa f a nastepnie konstruujemy szereg reszt
Ć(t)
Ćt = x (t) - f (13)
�
2) Zatem estymatory wariancji ł (0) oraz kowariancji ł (�) skladnika losowego �t
Ć Ć
dla � = 0, 1, 2, ..., q określimy jako
N-�
1
ł (�) = (Ćt - Ż (Ćt+� - Ż (14)
Ć � �) � �)
N - �
t=1
N
1
Ż = Ćt
� �
N
t=1
Nastepnie szacujemy estymatory autokorelacji r dla � = 1, 2, ..., q
Ć(�)
ł (�)
Ć
r = (15)
Ć(�)
ł (0)
Ć
Ć1, Ć2, Ćq
3) Estymatory � � ..., � określamy rozwiazujac uklad q r wnań nieliniowych
ł(0)
Ć
gdzie we wzorze (11) podstawiamy r dla � = 1, 2, ..., q. Natomiast �2 =
Ć(�) Ć
2 2
1+Ć1+...+Ćq
� �
4) Sprawdzamy czy model MA(q) jest odwracalny (!).
Przyk ad 1.
Dokonać identyfikacji modelu MA(1) jeżeli ł (0) = 2 oraz ł (1) = 1. Czy warunek
Ć Ć
odwracalności jest spelniony?
Rozwiazanie:
Mamy r = 0.5, nastepnie szukamy pierwiastk w r wnania nieliniowego
Ć(1)
-�
= 0.5
1 + �2
stad
�2 + 2� + 1 = 0
Rozwiazaniem tego r wnania jest pierwiastek podw jny � = -1.
Pierwiastek r wnania charakterystycznego
1 + z = 0
wynosi z = -1. Zatem warunek odwracalnósci nie jest spe niony.
Przyk ad 2.
Dokonać identyfikacji modelu MA(1) jeżeli ł (0) = 5 oraz ł (1) = 2. Czy warunek
Ć Ć
odwracalności jest spelniony?
E. Kozlowski 5
Rozwiazanie:
Mamy r = 0.4, nastepnie szukamy pierwiastk w r wnania nieliniowego
Ć(1)
-�
= 0.4
1 + �2
stad
�2 + 2.5� + 1 = 0
Rozwiazaniem tego r wnania jest pierwiastek podw jny �(1) = -2 oraz �(2) = -0.5.
Pierwiastek r wnania charakterystycznego
1 - �z = 0
dla �(1) = -2 wynosi z = -0.5, a zatem warunek odwracalnósci nie jest spe niony;
dla �(2) = -0.5 wynosi z = -2, a zatem warunek odwracalnósci jest spe niony.
Model MA(1) kt ry może by� użyty do prognoz jest postaci
c
�t = + 0.5
t t-1
5
gdzie estymator wariancji ciagu zmiennych losowych { } wynosi �2 = = 4.
Ć
t
1+0.52
Przyk ad 3.
Dokonać identyfikacji modelu MA(2) jeżeli ł (0) = 5, ł (1) = 2 oraz ł (2) = 1. Czy
Ć Ć Ć
warunek odwracalności jest spelniony?
Rozwiazanie:
Mamy r = 0.4 i r = 0.2, nastepnie szukamy pierwiastk w uk adu r wnań
Ć(1) Ć(2)
nieliniowych
-�1+�1�2
= 0.4
1+�2+�2
1 2
-�2
= 0.2
1+�2+�2
1 2
Rozwiazanie tego uk adu r wnań jest
I II III IV
�1 H" -0.998 - 2.316i -0.998 + 2.316i -1.61 -0.39
�2 H" 0.686 - 0.727i 0.686 + 0.727i -4.13 -0.242
Interesuja nas dla szereg w czasowych tylko parametry rzeczywiste, wobec tego
musimy przeanalizowa� rozwiazanie III i IV. Zatem dla przypadku III mamy
c
�III H" -1.61
1
�III H" -4.13
2
Pierwiastki r wnania charakterystycznego
1 + 1.61z + 4.13z2 = 0
6 Modele ruchomej średnie MA(q) Wyklad IX.
wynosza
z1 = -0.19492 - 0.45182i
z2 = -0.19492 + 0.45182i
widzimy że |z1| d" 1 jak r wnież |z2| d" 1. Zatem warunek odwracalnósci nie jest
spe niony.
Natomiast dla przypadku IV mamy
�IV H" -0.39
1
�IV H" -0.242
2
Pierwiastki r wnania charakterystycznego
1 + 0.39z + 0.242z2 = 0
wynosza
z1 = -0.80579 - 1.8663i
z2 = -0.80579 - 1.8663i
widzimy że |z1| e" 1 jak r wnież |z2| e" 1. Zatem warunek odwracalnósci jest
spe niony, stad model MA(2)
�t = + 0.39 + 0.242 t-2
t t-1
gdzie <" N (0, 2.0322)
t
5
�2 = H" 4.13
1 + (-0.39)2 + (-0.242)2
może by� użyty do prognoz.
c

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sieci0405 w9
MNwI w9
psb w9
W9 Bezpieczne nastawy dla typowych obiektów AiSD
w9 java
cgm w9
W9
nw asd w9
ib?zy?nych w9
io w9 analiza wymagań
R W9 przebieg
W9
w9 podstawienie elektrofilowe
w9 7
w9 (2)
W9 Mechanizmy i prawidłowości dot motywacji

więcej podobnych podstron