Zadania i problemy. Cz. 6
1.
~
~[n] będzie sygnałem o okresie N (podstawowym), a X[k] jego dyskretnym
Niech x
~[n] mo\
na potraktować tak\
e jako sygnał o okresie 3N . Niech
szeregiem Fouriera. Sygnał x
~
~[n] traktowanego jako sygnał o okresie
X [k] oznacza dyskretny szereg Fouriera sygnału x
3
3N .
~ ~
a) Wyrazić X [k] w terminach X[k] .
3
~ ~
b) Za pomocą bezpośrednich obliczeń X [k] i X[k] . zweryfikować otrzymany wy\
ej
3
~[0] ~[1]
rezultat dla sygnału o okresie N = 2 , dla którego x = 1 i x = 2
2.
Rozwa\
my sygnał x[n] = anu[n] i utwórzmy na jego podstawie sygnał N-okresowy:
+"
~[n] = x[n + rN]
x
"
r=-"
j¸
a) Wyznaczyć transformatę Fouriera X (e ) sygnału x[n].
~
~[n]. (Wsk. korzystać ze wzoru
b) Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera X[k] sygnału x
N
N -1
n
"aq = a 1- qq ).
1-
n=0
~
j¸
c) Jaki jest związek pomiędzy X[k] a X (e ) ?
3.
Wyznaczyć dyskretną transformatę Fouriera (DTF) następujących sygnałów , traktowanych
jako sygnały o skończonej długości N , gdzie N jest parzyste
a) x[n[= ´[n]
b) x[n[= ´[n - n0 ] , 0 < n0 d" N -1
1, dla parzystych, 0 d" n d" N -1
Å„Å‚
c) x[n] =
òÅ‚0, dla nieparzystych, 0 d" n d" N -1
ół
1, 0 d" n d" N / 2 -1
Å„Å‚
d) x[n] =
òÅ‚0, N / 2 d" n d" N -1
ół
Å„Å‚
an , 0 d" n d" N -1
e) x[n] =
òÅ‚
0, poza
ół
4.
Dany jest sygnał o skończonej długości:
1, 0 d" n d" 5
Å„Å‚
x[n] =
òÅ‚0, n < 0 '" n > 5
ół
Niech X (z) oznacza Z-transformatę sygnału x[n]. Wyznaczamy następujące cztery wartości:
X1[k] = X (z) , k = 0,1,2,3
j ( 2Ä„ / 4) k
z =e
Naszkicować sygnał x1[n] , będący odwrotną DTF ciągu X1(k)
5.
Rozwa\
my sygnał x[n] o długości 20 , tzn. x[n] = 0 poza przedziałem 0 d" n d"19 . Niech
j¸
X (e ) oznacza transformatę Fouriera tego sygnału.
j¸
a) JeÅ›li chcemy wyznaczyć wartość X (e ) w punkcie ¸ = 4Ä„ / 5 , za pomocÄ… M -punktowej,
to jakie najmniejsze M wystarcza do tego celu ? Opisać metodę wyznaczenia tej wartości
b) Rozwiązać powy\
szy problem dla punktu ¸ = 10Ä„ / 27 .
6.
Dane są dwa sygnały 8-punktowe (cyklicznie przesunięte):
Å„Å‚0, üÅ‚
x1[n] = a, b, c, d, e, 0, 0
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
Å„Å‚d, üÅ‚
x2[n] = e, 0, 0, 0, a, b, c
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
gdzie symbol oznacza poczÄ…tek (zero) osi czasu dyskretnego.
Jaki jest wzajemny zwiÄ…zek 8-punktowych, dyskretnych transformat Fouriera X1(k) i X (k)
2
tych sygnałów.
7.
Dane są sygnały dyskretne
Å„Å‚1, üÅ‚
x1[n] = 2, 3, 4, 5, 6 oraz x2[n] = ´[n - 2] . Naszkicować 6-punktowy splot cykliczny tych
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
sygnałów. Porównać ze splotem liniowym.
8.
Załó\
my, \
e dane są dwa sygnały:
x[n] = cos(Ä„n / 2) n = 0,1,2,3
h[n] = 2n ) n = 0,1,2,3
a) Wyznaczyć 4-punktową DTF X (k)
b) Wyznaczyć 4-punktową DTF H (k)
c) Wyznaczyć sygnał y[n] , będący 4-punktowym splotem cyklicznym tych sygnałów metodą
bezpośrednią , tzn. w dziedzinie czasu
d) Wyznaczyć sygnał y[n] z punktu c) z apomocą DTF (tak jak robi się to w zastosowaniach
praktyczynych) tzn. jako odwrotnÄ… DTF iloczynu X (k)H (k)
9.
Å„Å‚2,1,1, 2, 0üÅ‚
Dany jest sygnał 5-punktowy x[n] = i jego 5-punktowa DTF. Wyznaczyć
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
sygnał, którego 5-punktowa DTF jest określona następująco:
Y[k] = e- j (2Ä„ / N )2k X[k]
10.
Dane są sygnały o skończonej długości
Å„Å‚1, üÅ‚
x1[n] = 2,1,1, 2,1,1, 2
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
Å„Å‚0,1, üÅ‚
x1[n] = 3, 2
òÅ‚ żł
ół þÅ‚
Niech x3[n] będzie 8-punktowym splotem cyklicznym tych dwóch sygnałów. Wyznaczyć
wartość x3[2]