Elementy teorii decyzji
Elementy teorii decyzji  gry z naturą (1)
warunki pogodowe (stan natury)
decyzja
susza normalne deszcze
rolnika
s1 s2 s3
d1  zbo\
e 1 24 28 36
d2  zbo\
e 2 31 30 28
d4  zbo\
e 3 28 34 29
d4  zbo\
e 4 27 29 33
d5  zbo\
e 5 31 30 29
Dwóch graczy:
1. decydent (rolnik) mający pięć mo\
liwości;
2. natura (warunki pogodowe) mająca trzy mo\
liwości
Elementy teorii decyzji  gry z naturą (2)
Analiza gry z naturą oparta jest na:
1. macierzy wypłat (macierz korzyści lub macierz strat)
24 28 36
�ł łł
�ł31 30 28śł
�ł śł
A5�3 = 34 29śł
�ł28
�ł27 29 33śł
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł
1
Elementy teorii decyzji  gry z naturą (3)
Analiza gry z naturą oparta jest na:
1. analizie drzewa decyzyjnego
s1 24
s2 28
2
d1 s3 36
s1 31
s2
3
d2 s3 30
28
s1
d3 s2 28
1 4
s3 34
29
s1 27
d4 s2 29
5
s3 33
d5 s1 31
s2 30
6
s3 29
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (1)
Kryteria wyboru decyzji:
1. kryterium MaxiMax (kryterium ryzykanta, optymisty)
2. kryterium MaxiMin (kryterium asekuranta, pesymisty)
3. kryterium Hurwicza (kompromis pomiędzy MaxiMax a MaxiMin)
4. kryterium Savage a (kryterium MiniMax  \
alu )
5. kryterium Laplace a (maksymalizacja oczekiwanego zysku)
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (2)
Kryterium MaxiMax:
1. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz maksymalny zysk oi
2. Wska\
decyzję dk, dla której maksymalny zysk oi jest największy
ńł
�łoi = max{aij}
j
�ło = max{oi}
�ł k
ół i
�ł24 28 36łł o1 = max{24;28;36} = 36
�ł31 30 28śł o2 = max{31;30;28} = 31
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł o3 = max{28;34;29} = 34
ok = max{36;31;34;33;31} = 36
�ł27 29 33śł o4 = max{27;29;33} = 33
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł o5 = max{31;30;29} = 31
d1
2
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (3)
Kryterium MaxiMin:
1. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz minimalny zysk pi
2. Wska\
decyzję dk, dla której minimalny zysk pi jest największy
ńł
�łpi = min{aij}
j
�łp = max{pi}
�ł k
ół i
�ł24 28 36łł p1 = min{24;28;36} = 24
�ł31 30 28śł p2 = min{31;30;28} = 28
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł p3 = min{28;34;29} = 28
pk = max{24;28;28;27;29} = 29
�ł27 29 33śł p4 = min{27;29;33} = 27
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł p5 = min{31;30;29} = 29
d5
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (4)
Kryterium Hurwicza:
1. ąi"(0,1)  skłonność do ryzyka przy decyzji di
2. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz średni wa\
ony zysk hi z zysków:
maksymalnego (oi) i minimalnego (pi)
3. Wska\
decyzję dk, dla której średni wa\
ony zysk hi jest największy
ńł ąioi + (1-ąi ) pi
�łhi =
�łh = max{hi}
�ł k
ół i
�ł24 28 36łł ą1 = 0,1 h1 = 0,1�36 + (1-0,1)�24 = 25,2
�ł31 30 28śł ą2 = 0,3 h2 = 0,3�31 + (1-0,3)�28 = 28,9
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł ą3 = 0,5 h3 = 0,5�34 + (1-0,5)�28 = 29
�ł27 29 33śł ą4 = 0,7 h4 = 0,7�33 + (1-0,7)�27 = 31,2
�ł śł
�ł śł ą5 = 0,9 h5 = 0,9�31 + (1-0,9)�29 = 30,8
�ł31 30 29�ł
hk = max{25,2; 28,9; 29; 31,8; 30,8} = 31,8 d4
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (5)
Kryterium Savage a:
1. Zbuduj macierz  \
alu R
aj = max{aij}
ńł
�łR =i = aj - aij]
[rij
m�n
ół
24 28 36
�ł łł �ł31- 24 = 7 34 - 28 = 6 36 - 36 = 0łł
�ł31 30 28śł �ł
31- 31 = 0 34 - 30 = 4 36 - 28 = 8śł
�ł śł �ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł R5�3 = �ł31- 28 = 3 34 - 34 = 0 36 - 29 = 7śł
�ł27 29 33śł �ł31- 27 = 4 34 - 29 = 5 36 - 33 = 3śł
�ł śł �ł śł
śł
�ł śł �ł 31- 31 = 0 34 - 30 = 4 36 - 29 = 7�ł
�ł31 30 29�ł �ł
3
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (6)
Kryterium Savage a (c.d.):
2. Operując na macierzy  \
alu R wyznacz dla ka\
dej decyzji di
maksymalny  \
al ri
3. Wska\
decyzję dk, dla której \
al ri jest najmniejszy
ńł
�łri = max{rij}
j
�łr = min{ri}
k
�ł
ół i
7 6 0 r1 = max{7;6;0} = 7
�ł łł
�ł0 4 8śł r2 = max{0;4;6} = 8
�ł śł
R5�3 = �ł3 0 7śł r3 = max{3;0;7} = 7
rk = min{7;8;7;5;7} = 5
�ł4 5 3śł r4 = max{4;5;3} = 5
�ł śł
�ł śł r5 = max{0;4;7} = 7
�ł0 4 7�ł
d4
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności (7)
Kryterium Laplace a:
1. Prawdopodobieństwo zaistnienia ka\
dego stanu natury jest jednakowe i
wynosi: P{sj} = 1/n
2. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz oczekiwaną wartość zysku li u\
ywając w/w
prawdopodobieństwa stanu natury
3. Wska\
decyzję dk, dla której oczekiwana wartość zysku li jest największa
ńłli = P{sj}aij =1/ n aij
"n=1 "n=1
j j
�ł
�łl = max{li}
k
�ł
ół i
�ł24 28 36łł l1 = 1/3�24 + 1/3�28 + 1/3�36 = 29S!
�ł31 30 28śł l2 = 1/3�31 + 1/3�30 + 1/3�28 = 29T!
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł l3 = 1/3�28 + 1/3�34 + 1/3�29 = 30S!
�ł27 29 33śł l4 = 1/3�27 + 1/3�29 + 1/3�33 = 29T!
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł l5 = 1/3�31 + 1/3�30 + 1/3�29 = 30
hk = max{29S!; 29T!; 30S!; 29T!; 30} = 30S! d3
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (1)
warunki pogodowe (stan natury)
susza normalne deszcze
decyzja
s1 s2 s3
rolnika
P{s1} = 0,15 P{s2} = 0,50 P{s1} = 0,35
d1  zbo\
e 1 24 28 36
d2  zbo\
e 2 31 30 28
d4  zbo\
e 3 28 34 29
d4  zbo\
e 4 27 29 33
d5  zbo\
e 5 31 30 29
P{sj}  określone z góry prawdopodobieństwo zaistnienia stanu natury sj
 prawdopodobieństwo a priori
4
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (2)
Kryteria wyboru decyzji:
1. kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW)
2. kryterium minimalnego oczekiwanego  \
alu
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (3)
Kryterium maksymalnego oczekiwanego zysku (MOW):
1. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz oczekiwaną wartość zysku Ei(a) u\
ywając
określonych prawdopodobieństw stanu natury
2. Wska\
decyzję dk, dla której oczekiwana wartość zysku Ei(a) jest
największa
ńłEi(a) = P{s }aij
"n=1 j
j
�ł
�łE (a) = max{Ei(a)} P{s1}=0,15 P{s2}=0,50 P{s3}=0,35
k
�ł
ół i
�ł24 28 36łł E1(a) = 0,15�24 + 0,50�28 + 0,35�36 = 30,20
�ł31 30 28śł E2(a) = 0,15�31 + 0,50�30 + 0,35�28 = 29,45
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł E3(a) = 0,15�28 + 0,50�34 + 0,35�29 = 31,35
�ł27 29 33śł E4(a) = 0,15�27 + 0,50�29 + 0,35�33 = 30,10
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł E5(a) = 0,15�31 + 0,50�30 + 0,35�29 = 29,80
Ek(a)= max{30,20; 29,45; 31,35; 30,10; 29,80} = 31,35 d3
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (4)
Kryterium minimalnego oczekiwanego  \
alu :
1. Dla ka\
dej decyzji di wyznacz oczekiwaną wartość  \
alu Ei(r) u\
ywając
określonych prawdopodobieństw stanu natury
2. Wska\
decyzję dk, dla której oczekiwana wartość  \
alu Ei(r) jest
najmniejsza
ńłEi(r) = P{sj}rij
"n=1
j
�ł
�łE (r) = min{Ei (r)} P{s1}=0,15 P{s2}=0,50 P{s3}=0,35
k
�ł
ół i
E1(r) = 0,15�7 + 0,50�6 + 0,35�0 = 4,05
�ł7 6 0łł
�ł0 4 8śł
E2(r) = 0,15�0 + 0,50�4 + 0,35�8 = 4,80
�ł śł
A5�3 = �ł3 0 7śł E3(r) = 0,15�3 + 0,50�0 + 0,35�7 = 2,90
�ł4 5 3śł
E4(r) = 0,15�4 + 0,50�5 + 0,35�3 = 4,15
�ł śł
�ł śł
E5(r) = 0,15�0 + 0,50�4 + 0,35�7 = 4,45
�ł0 4 7�ł
Ek(r)= min{4,05; 4,80; 2,90; 4,15; 4,45} = 2,90 d3
5
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (5)
Cena graniczna doskonałej informacji
Cena graniczna doskonałej (perfekcyjnej) informacji to maksymalna kwota,
jaką warto zainwestować w dodatkowe badanie związane z poznaniem
przyszłego zachowania się natury. Doskonała informacja to wiedza o przyszłym
stanie natury przed podjęciem decyzji.
Jaka będzie korzyść w warunkach doskonałej (perfekcyjnej) informacji (OKPI)?
ńł
�łaj = max{aij}
j
�ł P{s1}=0,15 P{s2}=0,50 P{s3}=0,35
�ł "n=1
ółOKPI = j P{sj}aj
�ł24 28 36łł s1: a1 = max{24; 31; 28; 27; 31} = 31
�ł31 30 28śł s2: a2 = max{28; 30; 34; 29; 30} = 34
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł s3: a3 = max{36; 28; 29; 33; 29} = 36
�ł27 29 33śł
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł OKPI = P{s1}�a1 + P{s2}�a2 + P{s3}�a3 =
= 0,15�31 + 0,50�34 + 0,35�36 = 34,25
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka (6)
Cena graniczna doskonałej informacji (c.d.)
Cena graniczna doskonałej (perfekcyjnej) informacji (CGPI) wynika z
porównania korzyści osiąganej w warunkach doskonałej informacji z
korzyścią osiąganą w warunkach zwykłych, tzn. w warunkach kiedy decyzja
musi być podjęta przed zarejestrowaniem stanu natury.
Jest to ró\
nica pomiędzy OKPI a kwotą uzyskaną z zastosowania kryterium
maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW):
CGPI = OKPI  MOW = 34,25  31,35 = 2,90
Uzyskana kwota CGPI jest równa minimalnemu oczekiwanemu  \
alowi :
CGPI = Ek(r)
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (1)
Załó\
my, \
e dla na zaistnienie stanu natury sj ma istotny wpływ K czynników
(wskaz
ników): I1,I2,I3,& ,IK. Celem analizy jest określenie prawdopodobieństw
warunkowych P{sj|Ik}, tzn. prawdopodobieństw zaistnienia stanu natury sj pod
warunkiem, \
e wystąpił czynnik Ik (k=1,2,& ,K).
P{sj|Ik}  prawdopodobieństwa a posteriori  zrewidowana forma
prawdopodobieństw a priori P{sj}
Najczęściej w wyniku dodatkowych badań (eksperymentów) szacuje się
prawdopodobieństwa warunkowe P{Ij|sk}
P{Ik | s }P{s }
j j
P{sj | Ik} =
P{Ik}
gdzie
P{Ik} = P{Ik )"s } = P{Ik |s }P{s }
"n=1 j "n=1 j j
j j
6
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (2)
stan natury
Czynniki
susza normalne deszcze
s1 s2 s3
I1 10% 30% 50%
I2 40% 50% 25%
I3 50% 20% 25%
stan natury
Czynniki
susza normalne deszcze
s1 s2 s3
I1 0,1 0,3 0,5
I2 0,4 0,5 0,25
I3 0,5 0,2 0,25
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (3)
I1: Określenie prawdopodobieństw warunkowych P{sj|I1}:
P{sj} P{I1|sj} P{I1)"sj} P{sj|I1}
s1 0,15 0,10 0,15�0,10=0,0150 0,0150/0,3400=0,0441
s2 0,50 0,30 0,50�0,30=0,1500 0,1500/0,3400=0,4412
s3 0,35 0,50 0,35�0,50=0,1750 0,1750/0,3400=0,5147
" 1,00 � P{I1} = 0,3400 1,0000
" �
" �
" �
I2: Określenie prawdopodobieństw warunkowych P{sj|I2}:
P{sj} P{I2|sj} P{I2)"sj} P{sj|I2}
s1 0,15 0,40 0,15�0,40=0,0600 0,0600/0,3975=0,1509
s2 0,50 0,50 0,50�0,50=0,2500 0,2500/0,3975=0,6289
s3 0,35 0,25 0,35�0,25=0,0875 0,0875/0,3975=0,2202
" 1,00 � P{I2} = 0,3975 1,0000
" �
" �
" �
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (4)
I3: Określenie prawdopodobieństw warunkowych P{sj|I3}:
P{sj} P{I3|sj} P{I3)"sj} P{sj|I3}
s1 0,15 0,50 0,15�0,50=0,0750 0,0750/0,2625=0,2857
s2 0,50 0,20 0,50�0,20=0,1000 0,1000/0,2625=0,3810
s3 0,35 0,25 0,35�0,25=0,0875 0,0875/0,2625=0,3333
" 1,00 � P{I3} = 0,2625 1,0000
" �
" �
" �
7
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej
informacji (5)
Wyznaczenie optymalnej decyzji przy wykorzystaniu kryterium
maksymalnego oczekiwanego zysku (MOW):
1. Prawdopodobieństwa a priori P{sj} zostają zastąpione
prawdopodobieństwami a posteriori
2. Decyzje optymalne podejmowane są dla oddzielnie uwzględnianych
czynników Ik
ńłEi|I (a) = P{sj | Ik}aij
"n=1
j
�ł k
�łE*
(a) = max{Ei|I (a)}
i|I
�ł k k
ół i
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej
informacji (6)
Optymalna decyzja je\
eli wystąpi czynnik I1  kryterium MOW:
ńłEi|I (a) = P{s | I1}aij
"n=1 j
j
�ł 1
�łE*
(a) = max{Ei|I (a)}
i|I
�ł 1 1
ół i
P{s1|I1}=0,0441 P{s2|I1}=0,4412 P{s3|I1}=0,5147
�ł24 28 36łł E1|I1(a) = 0,0441�24 + 0,4412�28 + 0,5147�36 = 31,9412
�ł31 30 28śł E2|I1(a) = 0,0441�31 + 0,4412�30 + 0,5147�28 = 29,0147
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł E3|I1(a) = 0,0441�28 + 0,4412�34 + 0,5147�29 = 31,1619
�ł27 29 33śł E4|I1(a) = 0,0441�27 + 0,4412�29 + 0,5147�33 = 30,9706
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł E5|I1(a) = 0,0441�31 + 0,4412�30 + 0,5147�29 = 29,5254
E*k|I1(a)= max{31,9412; 29,0147; 31,1619; 30,9706; 29,5254} = 31,9412 d1
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (7)
Optymalna decyzja je\
eli wystąpi czynnik I2  kryterium MOW:
ńłEi|I (a) = P{sj | I1}aij
"n=1
j
�ł 2
�łE*
(a) = max{Ei|I (a)}
i|I
�ł 2 2
ół i
P{s1|I2}=0,1509 P{s2|I2}=0,6289 P{s3|I2}=0,2202
�ł24 28 36łł E1|I2(a) = 0,1509�24 + 0,6289�28 + 0,2202�36 = 29,1580
�ł31 30 28śł E2|I2(a) = 0,1509�31 + 0,6289�30 + 0,2202�28 = 29,7105
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł E3|I2(a) = 0,1509�28 + 0,6289�34 + 0,2202�29 = 31,9936
�ł27 29 33śł E4|I2(a) = 0,1509�27 + 0,6289�29 + 0,2202�33 = 29,5790
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł E5|I2(a) = 0,1509�31 + 0,6289�30 + 0,2202�29 = 29,9307
E*k|I2(a)= max{29,1580; 29,7105; 31,9936; 29,5790; 29,9307} = 31,9936 d3
8
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (8)
Optymalna decyzja je\
eli wystąpi czynnik I3  kryterium MOW:
ńłEi|I (a) = P{sj | I1}aij
"n=1
j
�ł 3
�łE*
(a) = max{Ei|I (a)}
i|I
�ł 3 3
ół i
P{s1|I3}=0,2857 P{s2|I3}=0,3810 P{s3|I3}=0,3333
�ł24 28 36łł E1|I3(a) = 0,2857�24 + 0,3810�28 + 0,3333�36 = 29,5236
�ł31 30 28śł E2|I3(a) = 0,2857�31 + 0,3810�30 + 0,3333�28 = 29,6191
�ł śł
A5�3 = �ł28 34 29śł E3|I3(a) = 0,2857�28 + 0,3810�34 + 0,3333�29 = 30,6193
�ł27 29 33śł E4|I3(a) = 0,2857�27 + 0,3810�29 + 0,3333�33 = 29,7618
�ł śł
�ł śł
�ł31 30 29�ł E5|I3(a) = 0,2857�31 + 0,3810�30 + 0,3333�29 = 29,9524
E*k|I3(a)= max{29,5236; 29,6191; 30,6193; 29,7618; 29,9524} = 30,6193 d3
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej
informacji (9)
Oczekiwana korzyść dodatkowej informacji
K
OKDI = P{Ik}Ei*I (a)
"k =1 |
k
P{I1} = 0,3400 E*k|I1(a) = 31,9412
P{I2} = 0,3975 E*k|I2(a) = 31,9936
P{I3} = 0,2625 E*k|I3(a) = 30,6193
OKDI = P{I1}�E*k|I1(a) + P{I2}�E*k|I2(a) + P{I3}�E*k|I3(a) =
= 0,3400�31,9412 + 0,3975�31,9936 + 0,2625�30,6193 = 31,6150
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (10)
Oczekiwana wartość dodatkowej informacji
Jest to ró\
nica pomiędzy oczekiwaną korzyścią przy uwzględnieniu
dodatkowej informacji (OKDI) a oczekiwaną korzyścią bez
uwzględnienia dodatkowej informacji, tzn. kwotą uzyskaną z
zastosowania kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW):
OWDI = OKDI  MOW = 31,6150  31,35 = 0,265
9
Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji (11)
Efektywność dodatkowej informacji
Jest to iloraz oczekiwanej wartości dodatkowej informacji (OWDI) do
ceny granicznej doskonałej informacji (CGPI):
OWDI
EDI = �100%
CGPI
0,265
EDI = �100% = 9,14%
2,90
10