Teoria masowej obsługi
Podstawowe definicje (1)
Proces masowej obsługi  proces składający się z:
strumień wchodzący (strumień wejściowy, strumień zgłoszeń) 
zgłoszenia nadchodzące do systemu;
system obsługi ( kanały obsługi, aparaty obsługi)  zbiór urządzeń lub
stanowisk świadczących obsługę zgłoszenia wraz z kolejką zgłoszeń
oczekujących na obsługę;
strumień wychodzący (strumień wyjściowy)  zbiór zgłoszeń po
obsłu\
eniu oraz zbiór zgłoszeń, które zrezygnowały z obsługi.
rezygnacja z obsługi
zgłoszenia obsługa
a1 b1 & c1
a2 b2 & c2
am bn & ck
strumień system obsługi strumień
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
Podstawowe definicje (2)
Klasyfikacja systemów masowej obsługi ze względu na organizację obsługi:
szeregowe (obsługa zgłoszenia w kilku kanałach w ściśle określonej
kolejności);
zgłoszenia
a1 b1 & c1
strumień system obsługi strumień
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
równoległe (obsługa w jednym z kilku kanałów realizujących taką samą
obsługę);
zgłoszenia
a1
a2
am
strumień
strumień system obsługi
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
mieszane (obsługa w kolejnych podsystemach szeregowych lub
równoległych).
1
&
&
&
&
&
kolejka
kolejka
kolejka
Podstawowe definicje (3)
Klasyfikacja systemów masowej obsługi ze względu na zachowanie się
zgłoszenia:
ze stratami (zgłoszenie opuszcza po upływie pewnego czasu system
rezygnując z obsługi);
bez strat (zgłoszenie w systemie przebywa do czasu obsłu\
enia).
Klasyfikacja systemów masowej obsługi ze względu na rozmiary i istnienie
kolejki:
systemy z kolejkÄ… ograniczonÄ… lub nieograniczonÄ…;
systemy z kolejkÄ… zabronionÄ… lub niezabronionÄ….
Podstawowe definicje (4)
Klasyfikacja systemów masowej obsługi ze względu na organizację kolejki
(regulamin kolejki):
FIFO  First In First Out (zgłoszenie stojące na pierwszym miejscu w
kolejce jest obsługiwane jako pierwsze   kolejka naturalna );
LIFO  Last In First Out (zgłoszenie stojące na ostatnim miejscu w
kolejce jest obsługiwane jako pierwsze);
SIRO  Selection In Random Order (losowy dobór zgłoszenia do
obsługi);
Obsługa z priorytetem (pierwszeństwo dla zgłoszeń
 uprzywilejowanych ).
Charakterystyki liczbowe systemów masowej obsługi (1)
1. Strumień zgłoszeń
stopa zgłoszeń (liczba zgłoszeń napływających do systemu obsługi w
ustalonej jednostce czasu (średnio )
intensywność zgłoszeń (odstęp czasu pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami
(średnio 1/)
2. Obsługa
stopa obsługi (liczba zgłoszeń obsługiwanych w ustalonej jednostce
czasu (Å›rednio µ)
intensywność obsługi (czasu obsługi zgłoszenia przez jeden z s
równolegÅ‚ych kanałów obsÅ‚ugi (Å›rednio 1/ µ)
2
Charakterystyki liczbowe systemów masowej obsługi (2)
3. Proces obsługi
intensywność ruchu (stała Erlanga  iloraz średniej liczby zgłoszeń jaka
napływa do systemu w jednostce czasu do średniej liczby zgłoszeń jaka
mo\
e być obsłu\
ona w jednostce czasu):

Á = < 1
sµ
4. Pozostałe:
liczba zgłoszeń w kolejce;
liczba zgłoszeń w systemie (łącznie w kolejce i obsłudze);
czas oczekiwania w kolejce;
czas pobytu w systemie obsługi (łącznie w kolejce i obsłudze);
Charakterystyki liczbowe systemów masowej obsługi (3)
4. Pozostałe (c.d.):
czas przestoju kanału obsługi (w okresie [0,T]);
czas zajętości kanału obsługi (w okresie [0,T]);
liczba okresów kiedy stanowisko obsługi jest wolne (w przedziale [0,T]).
Modele systemów masowej obsługi (1)
Charakterystyka modeli systemów masowej obsługi:
charakter opisowy;
mo\
liwość wyliczenia podstawowych wielkości liczbowych dotyczących
procesu masowej obsługi;
modele optymalizacyjne masowej obsługi, jako najczęściej formułowane, w
których poszukuje się optymalnej liczby kanałów obsługi kierując się kryterium
najni\
szego kosztu całkowitego działania całego systemu (koszt przestoju
stanowiska obsługi w jednostce czasu, koszt utraty zgłoszenia, koszt obsługi
jednego zgłoszenia, itp.).
3
Modele systemów masowej obsługi (2)
Wielkości opisujące modele systemów masowej obsługi:
Ä1  czas upÅ‚ywajÄ…cy miÄ™dzy dwoma kolejnymi zgÅ‚oszeniami;
Ä
Ä
Ä
Ä2  czas obsÅ‚ugi jednego zgÅ‚oszenia;
Ä
Ä
Ä
s  liczba równoległych kanałów obsługi;
R  liczebność obsługiwanej populacji (otoczenia, którego elementy mogą
zgłaszać zapotrzebowanie na obsługę);
L  maksymalna liczba miejsc w kolejce.
Modele systemów masowej obsługi (3)
Model masowej obsługi powinien uwzględniać:
typ rozkÅ‚adów prawdopodobieÅ„stw zmiennych losowych Ä1 oraz Ä2;
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
zale\
ność (niezale\
ność) zmiennych losowych Ä1 oraz Ä2;
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
wielkości ograniczające s, R i L;
dyscyplinę kolejki (kolejność obsługi).
System kodowania modeli masowej obsługi:
f(Ä1) / f(Ä2) / s (R,L)
Modele systemów masowej obsługi (4)
Oznaczenia rozkÅ‚adów prawdopodobieÅ„stw zmiennych losowych Ä1 i Ä2:
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
D  proces nielosowy (deterministyczny);
M  rozkład wykładniczy lub Poisson a;
En  rozkład Erlanga n-tego rzędu;
N  rozkład normalny;
GI  ogólny niezale\
ny rozkład odstępu czasu pomiędzy kolejnymi
zgłoszeniami;
G  ogólny rozkład czasu obsługi.
4
Modele systemów masowej obsługi (5)
Przykład kodowania modeli systemów masowej obsługi:
M / E4 / 1 (" , 100)
Model masowej obsługi, w którym czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym (bądz
liczba zgłoszeń w
jednostce czasu ma rozkład Poissona), czas obsługi jest zmienną losową o
rozkładzie Erlanga 4-tego rzędu, model posiada jeden kanał obsługi,
populacja zgłoszeń jest nieograniczona, a kolejka nie mo\
e przekraczać 100
zgłoszeń.
Jednokanałowy model masowej obsługi (1)
M / M / 1 (" , ")
Model masowej obsługi, w którym czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym (bądz
liczba zgłoszeń w
jednostce czasu ma rozkład Poissona), czas obsługi jest zmienną losową o
rozkładzie wykładniczym, model posiada jeden kanał obsługi, populacja
zgłoszeń jest nieograniczona, a długość kolejki jest tak\
e nieograniczona.
zgłoszenia
a1
[M] FIFO [M]
strumień system obsługi strumień
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
Jednokanałowy model masowej obsługi (2)
1. Strumień zgłoszeń
odstęp czasu (t) pomiędzy dwoma kolejnymi zgłoszeniami, który jest zmienną
losową o tzw. ujemnym rozkładzie wykładniczym:
f(t) = e t dla t e" 0
z wartością oczekiwaną:
E(t) = 1/
oraz
wariancjÄ…:
D2(t) = (1/)2
lub
5
kolejka
Jednokanałowy model masowej obsługi (3)
1. Strumień zgłoszeń (c.d)
liczba zgłoszeń (n) pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości
(T) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona:
P{n=k} = (T)ke T / k! dla k = 0,1,2,&
z wartością oczekiwaną i wariancją:
E(n) = D2(n) = T
Jednokanałowy model masowej obsługi (4)
2. Obsługa jednego zgłoszenia
czasu (t) obsługi zgłoszenia jest zmienną losową o ujemnym rozkładzie
wykładniczym:
 µt
g(t) = µe dla t e" 0
z wartością oczekiwaną:
E(t) = 1/µ
oraz
wariancjÄ…:
D2(t) = (1/µ)2
Jednokanałowy model masowej obsługi (5)
3. Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M / M / 1 (", ")
  oczekiwana liczba zgłoszeń w jednostce czasu
1/µ  oczekiwany czas obsÅ‚ugi jednego zgÅ‚oszenia
Intensywność ruchu (stała Erlanga):
Á =  / µ
Oczekiwana liczba zgłoszeń w systemie (N):
N = Á / (1  Á)
Oczekiwana długość kolejki (Q):
Q = Á2 / (1  Á)
6
Jednokanałowy model masowej obsługi (6)
Oczekiwany czas pobytu w systemie (R):
R = 1 / (µ  )
Oczekiwany czas pobytu w kolejce (W):
W = Á / (µ  )
Prawdopodobieństwo braku zgłoszeń w systemie:
P0 = (1  Á)
Prawdopodobieństwo występowania n zgłoszeń w systemie:
Pn = Án(1  Á)
Jednokanałowy model masowej obsługi (7)
Oczekiwany czas przestoju w przedziale czasu [0,T] (WT):
WT = T / (1  Á)
Oczekiwany czas zajętości w przedziale czasu [0,T] (BT):
BT = TÁ
Oczekiwana liczba przestojów (przerw w pracy kanału) w przedziale
czasu [0,T] (FPT):
FPT = T(1  Á)
Wielokanałowy model masowej obsługi (1)
M / M / s (" , ") dla se"2
Model masowej obsługi, w którym czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami jest
zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, czas obsługi jest zmienną
losową o rozkładzie wykładniczym, model posiada s równoległych
jednorodnych kanałów obsługi, populacja zgłoszeń jest nieograniczona, a
długość kolejki jest tak\
e nieograniczona.
zgłoszenia
a1
a2
am
[M] FIFO [M]
strumień
strumień system obsługi
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
7
&
&
kolejka
Wielokanałowy model masowej obsługi (2)
1. Strumień zgłoszeń
odstęp czasu (t) pomiędzy dwoma kolejnymi zgłoszeniami, który jest zmienną
losową o tzw. ujemnym rozkładzie wykładniczym:
 t
f(t) = e dla t e" 0
z wartością oczekiwaną:
E(t) = 1/
oraz
wariancjÄ…:
D2(t) = (1/)2
lub
Wielokanałowy model masowej obsługi (3)
1. Strumień zgłoszeń (c.d)
liczba zgłoszeń (n) pojawiająca się w systemie w jednostce czasu o długości
(T) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona:
P{n=k} = (T)ke T / k! dla k = 0,1,2,&
z wartością oczekiwaną i wariancją:
E(n) = D2(n) = T
Wielokanałowy model masowej obsługi (4)
2. Obsługa jednego zgłoszenia
czasu (t) obsługi zgłoszenia jest zmienną losową o ujemnym rozkładzie
wykładniczym:
 µt
g(t) = µe dla t e" 0
z wartością oczekiwaną:
E(t) = 1/µ
oraz
wariancjÄ…:
D2(t) = (1/µ)2
8
Wielokanałowy model masowej obsługi (5)
3. Wybrane charakterystyki liczbowe modelu M / M / s (", ")
  oczekiwana liczba zgłoszeń w jednostce czasu
1/µ  oczekiwany czas obsÅ‚ugi jednego zgÅ‚oszenia
Intensywność ruchu (stała Erlanga):
Á =  / sµ
Oczekiwana liczba zgłoszeń w systemie (N):
N = Á + P0 [Ás+1 / (s  Á2)(s  1)!]
Oczekiwana długość kolejki (Q):
Q = N  Á
Wielokanałowy model masowej obsługi (6)
Oczekiwany czas pobytu w systemie (R):
R = N / 
Oczekiwany czas pobytu w kolejce (W):
W = Q / 
Prawdopodobieństwo braku zgłoszeń w systemie:
1
P0 =
j s
Á Á
"sj-1 +
=0
j! s!(1- Ás)
Wielokanałowy model masowej obsługi (7)
Prawdopodobieństwo występowania ne"1 zgłoszeń w systemie:
Å„Å‚ Án
dla 1 d" n d" s
ôÅ‚P0
ôÅ‚
n!
P0 =
òÅ‚
P0Án
ôÅ‚
dla n > s
ôÅ‚s!sn-s
ół
9
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (1)
M / M / 1 (" , ")
zgłoszenia
a1
[M] FIFO [M]
strumień system obsługi strumień
wchodzÄ…cy wychodzÄ…cy
Gniazdo produkcyjne składa się z jednego agregatu obsługiwanego przez 1 lub
2 osoby. Przeprowadzono badanie statystyczne i stwierdzono, \
e liczba detali
napływająca do gniazda produkcyjnego w ciągu 1 minuty ma rozkład Poissona
o wartości oczekiwanej równej 5 detali na minutę. Czas obsługi jest w ka\
dym
przypadku zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, o wartości oczekiwanej
zale\
nej od liczby osób obsługujących agregat.
I. 7,5 sek. przy obsłudze 1-osobowej
II. 6,0 sek. przy obsłudze 2-osobowej
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (2)
Wyznacz podstawowe charakterystyki liczbowe tego systemu w obu
wariantach obsługi.
I. 1/µ = 7,5 sek./detal = 0,125 min./detal µ = 8 detali/min.
II. 1/µ = 6,0 sek./detal = 0,100 min./detal µ = 10 detali/min.
I.  = 5 detali/min.
II.  = 5 detali/min.
Stała Erlanga (intensywność ruchu) wykorzystanie gniazda
produkcyjnego:
Á =  / µ
I. Á = 5 / 8 = 0,625 = 62,5%
II. Á = 5 / 10 = 0,500 = 50,0%
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (3)
Oczekiwana liczba zgłoszeń w systemie (N) detali w gniez
dzie
produkcyjnym:
N = Á / (1  Á)
I. N = 0,625 / (1  0,625) = 1,67
II. N = 0,500 / (1  0,500) = 1,00
Oczekiwana długość kolejki (Q):
Q = Á2 / (1  Á)
I. Q = (0,625)2 / (1  0,625) = 1,04
II. Q = (0,500)2 / (1  0,500) = 0,50
Oczekiwany czas pobytu w systemie (R) detalu w gniez
dzie
produkcyjnym [min.]:
R = 1 / (µ  )
I. R = 1 / (8  5) = 0,33
II. R = 1 / (10  5) = 0,20
10
kolejka
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (4)
Oczekiwany czas pobytu w kolejce (W) [min.]:
W = Á / (µ  )
I. W = 0,625 / (8  5) = 0,21
II. W = 0,500 / (10  5) = 0,10
Prawdopodobieństwo braku zgłoszeń w systemie braku napływu detali
do gniazda produkcyjnego:
P0 = (1  Á)
I. P0 = 1  0,625 = 0,375
II. P0 = 1  0,500 = 0,500
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (5)
Prawdopodobieństwo występowania n zgłoszeń w systemie:
Pn = Án(1  Á)
P{n=k} P{ne"k} P{nd"k}
k
I II I II I II
0 0,375 0,500 1,000 1,000 0,375 0,500
1 0,234 0,250 0,625 0,500 0,609 0,750
2 0,146 0,125 0,391 0,250 0,756 0,875
3 0,092 0,063 0,244 0,125 0,847 0,938
4 0,057 0,031 0,153 0,063 0,905 0,969
5 0,036 0,016 0,095 0,031 0,940 0,984
6 0,022 0,008 0,060 0,016 0,963 0,992
7 0,014 0,004 0,037 0,008 0,977 0,996
8 0,009 0,002 0,023 0,004 0,985 0,998
9 0,005 0,001 0,015 0,002 0,991 0,999
10 0,003 0,000 0,009 0,001 0,994 1,000
Jednokanałowy model masowej obsługi  przykład (6)
Oczekiwany czas przestoju w przedziale czasu [0,T] (WT) [min.]:
WT = T / (1  Á)
dla T = 8h = 480 min.:
I. WT = 480 / (1  0,625) = 180
II. WT = 480 / (1  0,500) = 240
Oczekiwany czas zajętości w przedziale czasu [0,T] (BT) czas pracy [min.]:
BT = TÁ
dla T = 8h = 480 min.:
I. BT = 480×0,625 = 300
II. BT = 480×0,500 = 240
Oczekiwana liczba przestojów (przerw w pracy kanału) w przedziale czasu
[0,T] (FPT) liczba detali obrobionych w gniez
dzie produkcyjnym
FPT = T(1  Á)
dla T = 8h = 480 min.:
I. FPT = 480×5×(1 0,625) = 900
II. FPT = 480×5×(1 0,500) = 1200
11