plik

��Teoria obsBugi masowei 1 WSTP 2 W nowoczesnych warunkach ekonomicznych i spoBecznych wygrywa ten, kto ma dostp do informacji r�|nego rodzaju. Doprowadza to do rzeczywistej konieczno[ci opracowania r�|nych system�w o charakterze probabilistycznym (stocha- stycznym), kt�rych celem jest przekazanie oraz przetwarzanie informacji. PrzykBadami takich system�w s sieci telegraficz- ne i komunikacyjne, liczne systemy komputerowe itd. Opracowanie oraz projektowanie tych system�w z kolei po- trzebuje analizy matematycznej pewnych uog�lnionych mo- deli probabilistycznych adekwatnie opisujcych proces ich dziaBania. 3 Istotnie, w przypadku og�lnym ka|dy z takich system�w mo|e by interpretowany jako pewien mechanizm przetwa- rzania informacji przedstawionej w postaci zgBoszeD, zapo- trzebowaD albo wywoBaD, tworzcych strumieD losowy. Na przykBad, ka|dy wzeB komunikacyjny przedstawia sob me- chanizm przetwarzania zgBoszeD przybywajcych do niego w pewnych losowych chwilach czasu; sie komputerowa jest mechanizmem przetwarzania strumienia losowego progra- m�w u|ytkownika itd. Najbardziej u|ytecznym aparatem matematycznym badania system�w informacyjnych o stochastycznym charakterze dziaBania jest teoria obsBugi masowej. 4 Teoria obsBugi masowej (TOM) lub inaczej teoria kolejek jest dziaBem rachunku prawdopodobieDstwa, kt�ry zajmuje si badaniem proces�w obsBugi tworzcych specjaln klas pro- ces�w stochastycznych. Przez analiz wspomnianych proce- s�w staj si mo|liwe wyznaczenie i analiza charakterystyk stochastycznych system�w informacyjnych (system�w prze- twarzania informacji), do kt�rych informacja przybywa por- cjami w losowych chwilach czasu. Porcje te nazywaj si zgBoszeniami. ZgBoszenia obrobione s przez r�|ne urzdze- nia; czas przetwarzania (obsBugi) zgBoszenia jest, og�lnie m�wic, zmienn losow. 5 Przedstawione systemy nazywaj si systemami obsBugi (SO). WBa[nie ich analiza oraz wyznaczenie i analiza ich cha- rakterystyk stanowi przedmiot teorii obsBugi masowej. Systemy obsBugi s modelami wielu system�w realnych, na przykBad, system�w komunikacyjnych, sieci komputerowych, kolejek do kas w sklepie, skrzy|owaD transportowych itp. System obsBugi skBada si z nastpujcych element�w. 6 1. Wej[ciowy strumieD zgBoszeD. Ten element jest jed- nym z gB�wnych, zawiera go ka|dy system obsBugi. Stru- mieniem wej[ciowym nazywa si cig chwil czasu, w kt�rych zgBoszenia przybywaj do wej[cia systemu w ce- lu obsBugi (tj. pewnego przetwarzania). Podane chwile czasu s przypadkowe (losowe), natomiast niekiedy mog by wielko[ciami staBymi (w tym przypadku strumieD na- zywa si deterministycznym). 7 Je|eli pojawienie si zgBoszenia na wej[ciu systemu traktowa jako zdarzenie losowe, to strumieD zgBoszeD jest strumieniem zdarzeD losowych (lub kr�tko, strumie- niem losowym). PrzykBadami strumieni losowych s: cig porcji danych wchodzcych do wej[cia systemu kompute- rowego, strumieD wywoBaD do centrali telefonicznej lub strumieD rozkaz�w wchodzcych do ukBadu sterowania komputera. 8 2. Mechanizm obsBugi. Zadanie mechanizmu obsBugi po- lega na okre[leniu tego, w jakich warunkach obsBuga zgBoszenia jest mo|liwa, ile zgBoszeD mo|e by obsBugi- wanych w systemie jednocze[nie i jak dBugo trwa obsBuga zgBoszenia. DBugo[ czasu obsBugi zgBoszenia jest, og�lnie m�wic, zmienn losow charakteryzowan pewnym rozkBadem statystycznym. Resurs (urzdzenie) obsBuguj- cy zgBoszenia nazywa si urzdzeniem obsBugi (UO). 9 3. Dyscyplina obsBugi. Dyscyplin obsBugi nazywamy re- guB zadajc kolejno[ obsBugi zgBoszeD, przybywaj- cych do systemu. Na przykBad, zgBoszenia mog by ob- sBugiwane w kolejno[ci ich przybycia do systemu lub w odwrotnej kolejno[ci, gdy pierwszym do obsBugi bdzie wybrane zgBoszenie, kt�re przybyBo do systemu ostatnie, lub zgodnie z pewnym ustalonym albo dynamicznym priorytetem itp. 10 4. Kolejka. Kolejka w pewnych systemach powstaje w�wczas, gdy system nie mo|e natychmiast rozpocz obsBugiwania przybywajcego zgBoszenia. W takim przy- padku zgBoszenie mo|e zosta utracone albo mo|e czeka na obsBug w kolejce w zale|no[ci od konkretnego mode- lu systemu obsBugi. Kolejka mo|e by charakteryzowana liczb miejsc oczekiwania (tj. maksymaln liczb zgBo- szeD, kt�re mog jednocze[nie czeka na obsBug w tej kolejce). 11 Je|eli liczba miejsc oczekiwania w kolejkach systemu obsBugi r�wna si zeru, tj. wszystkie zgBoszenia, kt�re nie mog by obsBu|one natychmiast po swoim przybyciu, zostaj utracone, to odpowiadajcy system obsBugi nazy- wa si systemem z utratami zgBoszeD. W przypadku, gdy liczba miejsc oczekiwania w kolejce jest nieograniczona (r�wna si nieskoDczono[ci) i ka|de przybywajce do systemu zgBoszenie bdzie obsBu|one (by mo|e nie caB- kowicie), system nazywa si systemem z oczekiwaniem. Je|eli ponadto ka|de zgBoszenie bdzie obsBu|one caBko- wicie, odpowiadajcy system nazywa si systemem bez utrat zgBoszeD. 12 5. Wyj[ciowy strumieD zgBoszeD. StrumieD wyj[ciowy jest cigiem chwil czasu zakoDczenia obsBugi zgBoszeD (ina- czej m�wic, cigiem chwil czasu wyj[cia zgBoszeD z sys- temu). Analiza takiego cigu jest wa|na, je|eli strumieD wyj[ciowy jest strumieniem wej[ciowym do innego sys- temu. Podane elementy skBadajce si na system obsBugi bdziemy dalej analizowa bardziej szczeg�Bowo. 13 RozdziaB 1 Aparat matematyczny TOM 14 1.1. RozkBad wykBadniczy 15 Cech charakterystyczn zmiennych losowych (ZL) anali- zowanych w teorii obsBugi masowej jest ich nieujemno[, co oznacza, |e dystrybuanty F(x) takich ZL przyjmuj warto[ci zerowe dla x �� 0. W cigu dalszym bdziemy analizowa wyBcznie nieujemne ZL. Definicja 1. ZL x� ma rozkBad wykBadniczy, je|eli jej dys- trybuanta ma posta F(x) =� P{x� <� x} =�1 -� e-�a x; x >� 0, a >� 0. (1) 16 Liczba a jest parametrem tego rozkBadu. Gsto[ ZL x� o dystrybuancie (1) ma posta dF(x) f (x) =� =� ae-�ax. dx Aatwo dowie[, |e warto[ oczekiwana ZL x� jest r�wna �� Ex� =� x dF(x) =� x f (x) dx =� a-�1. �� 0 0 Og�lnie, moment rzdu i (i =� 1, 2, ...) ZL x� jest r�wny �� Ex�i =� xi dF(x) =� xi f (x) dx =� i! ai . �� 0 0 17 Przytoczymy podstawowe wBasno[ci ZL x� o rozkBadzie wykBadniczym. WBasno[ 1. (WBasno[ braku pamici.) Je|eli ZL x� ma rozkBad wykBadniczy, to dla ka|dej pary liczb x �� 0, b �� 0 za- chodzi r�wno[ P{x� �� x +� b x� �� b} =� P{x� �� x}. Dow�d. Na mocy wzoru na prawdopodobieDstwo warun- kowe mamy P{x� �� x +� b, x� �� b} P{x� �� x +� b x� �� b} =� =� P{x� �� b} P{x� �� x +� b} 1 -� F(x +� b) e-�a(x+�b) =� =� =� =� e-�ax. P{x� �� b} 1 -� F(b) e-�ab 18 Mo|na poda nastpujce uog�lnienie tej wBasno[ci. Niech t� bdzie nieujemn ZL, kt�ra nie zale|y od ZL x� majcej rozkBad wykBadniczy. W�wczas P{x� �� x +� t� x� �� t�} =� P{x� �� x}. (Ten fakt udowodnimy p�zniej jako wiczenie.) WBasno[ 1 ma nastpujcy sens. Niech x� bdzie czasem |ycia pewnego osobnika. Jest wiadomo, |e w chwili czasu t =� b ten osobnik wci| |yje. W�wczas reszta czasu jego |y- cia x�b po chwili b ma ten sam rozkBad wykBadniczy, co caBy czas |ycia x�: P{x�b <� x} =� P{x� <� x} =�1 -� e-�a x, gdzie a jest parametrem rozkBadu wykBadniczego ZL x�. 19 Z wBasno[ci 1 oraz jej uog�lnienia wynika np., |e je|eli od- stpy czasu midzy pojawieniami si zdarzeD s niezale|ne i maj rozkBad wykBadniczy z takim samym parametrem a, to rozkBad czasu czekania na kolejne zdarzenie poczwszy od dowolnej chwili nie zale|y od tego, w jakich chwilach czasu pojawiBy si poprzednie zdarzenia, i ma rozkBad wykBadniczy z parametrem a. 20 WBasno[ 2. Niech x�1, ..., x�n bd niezale|nymi ZL maj- cymi rozkBad wykBadniczy z parametrami a1, ..., an odpo- wiednio. W�wczas ZL x� =� min (x�1, ..., x�n) ma rozkBad wy- kBadniczy z parametrem a =� a1 +� ... +� an. Dow�d. Jest oczywiste, |e P{x� �� x} =� P{min (x�1, ..., x�n) �� x} =� P{x�1 �� x}... P{x�n �� x} =� =� exp(-�(a1 +� ... +� an)x). W�wczas dystrybuanta F(x) ZL x� ma posta: F(x) =� P{x� <� x} =�1 -� P{x� �� x} =�1 -� e-�ax, gdzie a =� a1 +� ... +� an. 21 WBasno[ 3. Niech x�1, ..., x�n bd niezale|nymi ZL maj- cymi rozkBad wykBadniczy z parametrami a1, ..., an odpo- wiednio i niech x� =� min (x�1, ..., x�n). W�wczas P{x� =� x�i} =� ai a. Dow�d. 22 P{x� =� x�i} =� P{x�i �� x�1, ..., x�i �� x�i-�1, x�i �� x�i+�1, ..., x�i �� x�n} =� =� ... a1... ane-�a1 t1... e-�an tn dt1... dtn =� �� {ti ��tk ; k��i; k=�1, n} �� =� i 1 i-�1 ��a e-�aitidti ��a e-�a1t1dt1...��a e-�ai-�1ti-�1dti-�1 �� 0 ti ti �� i+�1 n ��a e-�ai+�1ti+�1dti+�1...��a e-�antn dtn =� ti ti �� i =� i ��a e-�aiti e-�(a1+�...+�ai-�1+�ai+�1+�...+�an ) ti dti =� ai ��e-�at dti =� ai a. 0 0 23 WBasno[ 4. Je|eli ZL x� ma rozkBad wykBadniczy z para- metrem a oraz D�t jest maB wielko[ci dodatni, to F(D�t) =� P{x� <� D�t} =� aD�t +� o(D�t). Dow�d. F(D�t) =�1 -� e-�aD�t =�1 -�1 +� aD�t +� o(D�t) =� aD�t +� o(D�t). 24 1.2. PrzeksztaBcenia Laplace a Stieltjesa i Laplace a 25 Definicja 2. PrzeksztaBceniem Laplace a-Stieltjesa (PLS) dystrybuanty A(t) ZL (nieujemnej) x� nazywamy funkcj �� a�(q) =� Ee-�qx� =� ��e-�qtdA(t), 0 gdzie q jest zmienn zespolon oraz Re q �� 0. Funkcja a�(q) nazywana jest tak|e PLS ZL x�. Aatwo do- wie[, |e PLS jest okre[lone dla ka|dej dystrybuanty nie- ujemnej ZL. 26 Niech A(t), A1(t), A2(t), & bd dystrybuantami, a�(q), a�1(q), a�2(q), & bd odpowiadajcymi im PLS. Odpowied- nio[ midzy A(t) i a�(q) charakteryzuj nastpujce wBasno- [ci: 1) R�wno[ A1(t) =� A2(t) jest r�wnowa|na r�wno[ci a�1(q) =� a�2(q). 2) An(t) �� A(t) przy n �� w punktach cigBo[ci funk- cji A(t) wtedy i tylko wtedy, gdy a�n(q) �� a�(q) przy n �� dla wszystkich q, takich |e Re q �� 0. 27 Poniewa| A(t) jest dystrybuant, to z tego wynika, |e �� a�(0) =� ��dA(t) =� 1; 0 je|eli A(0+�) <� 1, to a�(q) <� 1, gdy Re q >� 0, je|eli A(0+�) =� 0, to a�(q) �� 0 przy Re q �� . Przytoczymy podstawowe wBasno[ci PLS ZL. 28 WBasno[ 1. (Zwizek midzy PLS a przeksztaBceniem La- place a.) �� a�(q) =� ��e-�qt dA(t) =� q��e-�qt A(t) dt. 0 0 �� W tej wBasno[ci ��e-�qt A(t) dt =� a�(q) q jest przeksztaBce- 0 niem Laplace a funkcji A(t). 29 Zauwa|my, |e w pewnych przypadkach wygodnie jest za- kBada, |e argument q w przeksztaBceniach Laplace a i Lapla- ce a-Stieltjesa przybiera warto[ci rzeczywiste nieujemne (q �� 0). W tym przypadku, gdy A(x) jest funkcj ograniczon, le- wostronnie cigB i niemalejc (taka funkcja niekoniecznie jest dystrybuant), dla niej za pomoc prawej cz[ci r�wno[ci zapisanej w definicji 2 tak|e mo|emy okre[li PLS a�(q), dla kt�rego w danym przypadku zachodzi r�wno[ lim a�(q) =� lim A(x). Je|eli g�(q) =� a�(q) q jest przeksztaBce- q��0 x�� niem Laplace a funkcji A(x), to wskazana r�wno[ przyjmuje posta lim qg�(q) =� lim A(x). q��0 x�� 30 WBasno[ 2. Je|eli ZL x�1 i x�2 s niezale|ne, a�1(q) i a�2(q) s PLS ZL x�1 i x�2 odpowiednio, to PLS a�(q) ZL x� =� x�1 +� x�2 ma posta a�(q) =� a�1(q)a�2(q). Analogiczn wBasno[ ma r�wnie| przeksztaBcenie Lapla- ce a. Uwaga. Przypomnijmy, |e je|eli F1(t) i F2(t) s dystrybu- antami niezale|nych ZL x�1 i x�2 odpowiednio, to wz�r t t F(t) =� F1(t -� u)dF2(u) =� F2(t -� u) dF1(u) �� 0 0 wyznacza dystrybuant zmiennej losowej x� =� x�1 +� x�2. 31 WBasno[ 2 mo|e by w spos�b oczywisty uog�lniona na przypadek x� =� x�1 +� ... +� x�n, gdzie ZL x�i s niezale|ne, i =� 1, n (n =� 2, 3, ...). 32 WBasno[ 3. Dla dystrybuanty A(t) absolutnie cigBej (nieujemnej) ZL mamy �� e-�qtdA��(t) =� qa�(q), 0 gdzie a�(q) jest PLS dystrybuanty A(t). 33 WBasno[ 4. Je|eli istnieje moment rzdu i (i =� 1, 2, ...) ZL x�, to znajc PLS a�(q) tej ZL, mo|na go wyznaczy za pomo- c r�|niczkowania funkcji a�(q) korzystajc ze wzoru a�i =� Ex�i =� (-�1)i a�(i)(q) . q=�0 Np. wariancja ZL x� mo|e by obliczona w spos�b nastpu- jcy: �� Dx� =� Ex�2 -� (Ex�)2 =� a�2 -� a�12 =� a� (0) -� (a� (0))2. 34 PLS ma sens dla wszystkich typ�w rozkBad�w ZL nie- ujemnych. Niech np. dystrybuanta A(t) ma pochodn wsz- dzie opr�cz pewnego punktu niecigBo[ci x �� [0; ��). Wiel- ko[ skoku funkcji A(t) w tym punkcie (na mocy znanych z rachunku prawdopodobieDstwa wBasno[ci dystrybuanty) jest r�wna A(x+� ) -� A(x), gdzie A(x+� ) =� lim A(t). t��x+� W�wczas x �� a�(q) =� ��e-�qtdA(t) +� e-�qx[A(x+� ) -� A(x)] +� ��e-�qtdA(t). 0 x+� 35 W szczeg�lno[ci, je|eli ZL x� ma rozkBad dyskretny P{�x� =� xi}� =� pi; i =� 1, 2, ...; pi =� 1, �� i to a�(q) =� pie-�qxi . �� i 36 Dla wyznaczenia postaci jawnej funkcji A(t) w przypadku gdy znane jest jej PLS a�(q) zwykle korzysta si z tego faktu, |e przeksztaBceniem Laplace a funkcji A(t) jest funkcja a�(q) q, wystarczy wic znalez oryginaB obrazu a�(q) q. Je- |eli f (q) jest przeksztaBceniem Laplace a pewnej funkcji F(x), to dla jej znalezienia w przypadku og�lnym korzysta si z nastpujcego wzoru na odwr�cenie: g�+�id� 1 F(x) =� lim eqx f (q) dq, �� 2p�i d�� g�-�id� gdzie g� jest dowoln liczb dodatni. 37 W tym wzorze caBka jest obliczana wzgldem dowolnej gBadkiej krzywej z p�BpBaszczyzny Re q >� 0, w szczeg�lno- [ci, w roli takiej krzywej mo|e by wybrany odcinek prostej Bczcy punkty g� -� id� i g� +� id�. W cigu dalszym dla znalezienia postaci jawnej dystrybuan- ty F(x) na podstawie jej przeksztaBcenia Laplace a f (q) przy obliczaniu wskazanej caBki czsto bdziemy korzystali z teorii residu�w. 38 Je|eli funkcja f (q) jest analityczna na rozszerzonej pBasz- czyznie zespolonej z wyjtkiem skoDczonej liczby punkt�w a1, ..., an, to n F(x) =� ��Res[ f (ak )eak x] =� ��Res[ f (q)eqx; a1, ..., an], k =�1 gdzie Res[g(ak )] =� Res[g(q); ak ] oznacza residuum funkcji g(q) w punkcie osobliwym ak. 39 W szczeg�lno[ci, je|eli funkcj g(q) da si przedstawi w postaci g(q) =� r(q) p(q) oraz punkt 0 jest biegunem rzdu ? (n =� 1, 2, ...) funkcji g(q), to jej residuum w punkcie 0 oblicza si nastpujco: �� r(a) �� r(q) Res =� Res ; a�� =� �� p(a)�� p(q) �� n-�1 1 d ��(q -� a)n r(q) �� =� . (n -�1)!dqn-�1 �� p(q)�� q=�a 40 Na przykBad, je|eli 0 jest biegunem pierwszego rzdu, otrzymujemy �� r(a) �� r(q) �� r(q) �� Res =� Res ; a�� =� . �� (q -� a) p(a)�� p(q) p(q)�� q=�a Dla odwr�cenia przeksztaBcenia Laplace a f (q) (w szcze- g�lno[ci, w przypadku rzeczywistego q �� 0) czsto stosowa- ne s nastpujce stwierdzenia. 41 1. Je|eli istnieje taka liczba rzeczywista q0, |e dla wszyst- kich q >� q0 prawdziwe jest rozwinicie w szereg �� cn f (q) =� , to oryginaB F(x) obrazu f (q) przedstawia �� qn+�1 n=�0 si w postaci zbie|nego dla dowolnych E szeregu �� F(x) =� . ��c xn n n! n=�0 42 2. Je|eli obraz f (q) jest funkcj wymiern wBa[ciw, tj. mo|na go przedstawi w postaci sumy uBamk�w prostych ki n ci j f (q) =� �� (q -� qi) j , to oryginaB F(x) ma posta i=�1 j=�1 ki j-�1 n x F(x) =� eqi x . �� c i j ( j -�1)! i=�1 j=�1 Zauwa|my r�wnie|, |e je|eli funkcja F(x) jest r�|niczko- walna w przedziale (0; ��) oraz istnieje jej przeksztaBcenie �� Laplace a f (q), to przeksztaBcenie Laplace a funkcji F (x) ma posta qf (q) -� F(0). 43 1.3. Funkcja tworzca 44 Niech ZL x� przyjmuje warto[ci liczbowe nieujemne ze �� zbioru X =� {0, 1, ...}, pi =� P{x� =� i}, pi =� 1. �� i=�0 W takim przypadku rozkBad ZL x� jest jednoznacznie wy- znaczony przez jej funkcj tworzc (FT) �� P(z) =� Ezx� =� pizi, �� i=�0 gdzie z jest zmienn zespolon, tak |e z �� 1. 45 Podamy teraz gB�wne wBasno[ci FT. WBasno[ 1. Je|eli P(z) jest FT ZL x�, to 1 ��i 1 pi =� P{x� =� i} =� P(z) =� P(i)(z) . (2) z=�0 i!��zi i! z=�0 WBasno[ 2. Je|eli P(z) jest FT ZL x�, to �� Ex� =� P (1), Dx� =� P (1) +� P (1)(1 -� P (1)). Jest oczywiste, |e za pomoc r�|niczkowania FT w punkcie 1 mo|na obliczy momenty dowolnego rzdu (o ile istniej) ZL x�. 46 WBasno[ 3. Je|eli ZL x�1 o FT P1(z) i ZL x�2 o FT P2(z) s niezale|ne, to ZL x� =� x�1 +� x�2 ma FT P(z) okre[lon wzorem P(z) =� P1(z)P2(z). Zauwa|my, |e midzy PLS a�(q) ZL x� przyjmujcej warto- [ci i (i =� 1, 2, ...) z prawdopodobieDstwami pi a jej FT P(z) zachodzi nastpujcy zwizek (patrz p. 1.2): a�(q) =� pie-�qi =� pi (e-�q )i =� P(e-�q ). �� i i 47 1.4. Metoda zdarzeD dodatkowych 48 Wykorzystanie formalnego aparatu PLS i FT staje si bar- dziej istotne i zrozumiaBe, je|eli nadamy tym pojciom pewny sens probabilistyczny. W zwizku z tym rozpatrzmy dwa przykBady. 49 PrzykBad 1. Niech bdzie dana pewna ZL x� o dystrybuan- cie A(t), kt�rej nadamy sens dBugo[ci trwania pewnego pro- cesu. W trakcie obserwowania tego procesu obserwowa b- dziemy tak|e wystpienia niezale|nych od niego sztucznych zdarzeD dodatkowych. Bdziemy zakBada, |e zdarzenia te (najcz[ciej nazywane katastrofami) odbywaj si w nieza- le|nych odstpach czasu t�, majcych rozkBad wykBadniczy z parametrem q �� 0, tj. P{t� <� t} =� 1 -� e-�qt , t >� 0. 50 W tym przypadku prawdopodobieDstwo P{t� >� x�} tego, |e w cigu czasu x� nie odbdzie si ani jedna katastrofa, otrzymu- jemy, korzystajc ze wzoru na prawdopodobieDstwo caBkowi- te z uwzgldnieniem wBasno[ci braku pamici dla rozkBadu ZL t�: �� P{t� >� x�} =� ��P{t� >� x� x� =� t}dP{x� <� t}, 0 gdzie dP{x� <� t} =� P{�x��[t; t +� dt)}�=� dA(t), skd wobec nieza- le|no[ci ZL x� i t� wynika, |e P{t� >� x� x� =� t} =� P{t� >� t} =�1 -� P{t� �� t} =�1 -� P{t� <� t} =� e-�qt, poniewa| ZL t� jest absolutnie cigBa. 51 Ostatecznie mamy �� P{t� >� x�} =� ��e-�qtdA(t) =�a�(q) =� Ee-�qx�, 0 co oznacza, |e w przypadku q �� 0 PLS a�(q) jest prawdopo- dobieDstwem tego, |e w przedziale czasowym x� (tj. przez caBy czas trwania analizowanego procesu) nie nastpi |adna kata- strofa. 52 PrzykBad 2. Niech x� oznacza liczb zgBoszeD przybywaj- cych do systemu w pewnym ustalonym przedziale czasu, pk =� P{x� =� k}, k =� 0, 1, .... Bdziemy zakBada, |e niezale|- nie od innych zgBoszeD ka|de zgBoszenie jest czerwone z prawdopodobieDstwem z (0 �� z �� 1) albo niebieskie z praw- dopodobieDstwem 1-� z. W tym przypadku prawdopodobieDstwo warunkowe tego, |e w[r�d przybywajcych zgBoszeD ani jedno nie oka|e si niebieskie, przy warunku, |e ich liczba r�wna si k k (k =� 0, 1, ...), jest r�wne oczywi[cie z . 53 W�wczas ze wzoru na prawdopodobieDstwo caBkowite (w postaci dyskretnej) wynika, |e prawdopodobieDstwo nieprzy- bycia we wskazanym przedziale czasu ani jednego niebie- �� skiego zgBoszenia jest r�wne pk zk =� P(z) =� Ezx�, tj. dla �� k =�0 rzeczywistych z speBniajcych warunek 0 �� z �� 1 FT P(z) jest prawdopodobieDstwem tego, |e w danym przedziale czaso- wym do systemu przybywaBy wyBcznie czerwone zgBoszenia (czyli nie przybyBo ani jedno niebieskie zgBoszenie). 54 Zatem dla wyznaczenia P(z) lub a�(q) w tym przypadku, gdy 0 �� z �� 1 lub odpowiednio q �� 0, mo|na korzysta z ich sensu probabilistycznego za pomoc wprowadzenia sztuczne- go podziaBu wszystkich zgBoszeD na czerwone i niebieskie lub sztucznego niezale|nego od zachowania si analizowanego procesu cigu pojawiania si katastrof. Na tym polega istota metody zdarzeD dodatkowych. Poniewa| a�(q) i P(z) s funkcjami analitycznymi przy Re q �� 0 i z �� 1 odpowiednio, to wykorzystujc zasad przedBu|enia analitycznego stwierdzamy, |e wyprowadzone za pomoc metody zdarzeD dodatkowych zwizki okazuj si prawdziwe dla caBego dopuszczalnego obszaru zmienno[ci z lub q. 55 1.5. Zadania 56 1.1. Niech bd dane dwie niezale|ne zmienne losowe a� i b� oraz A(t) bdzie dystrybuant zmiennej losowej a�, a zmienna losowa b� ma rozkBad wykBadniczy z parametrem m�. Znalez P{a� <� b�}. Czemu bdzie r�wne P{a� <� b�} w przypadku, gdy zmienna losowa a� bdzie miaBa rozkBad wykBadniczy z para- metrem a? 57 Rozwizanie. Na mocy niezale|no[ci zmiennych losowych a� i b� mamy �� P{a� <� b�} =� P{b� >� a�} =� ��P{b� >� a� | a� =� t}dA(t) =� 0 �� =� ��P{b� >� t}dA(t) =� ��e-�m�t dA(t) =� a�(m�), 0 0 gdzie a�(q) jest PLS dystrybuanty A(t). Je|eli zmienna losowa a� ma rozkBad wykBadniczy z parametrem a, to a P{a� <� b�} =� . a +� m� 58 1.2. Niech zmienna losowa x� ma rozkBad wykBadniczy, a zmienna losowa nieujemna t� nie zale|y od x�. Udowodni, |e w takim przypadku zachodzi wBasno[ braku pamici rozkBa- du wykBadniczego: P{x� �� x +� t� | x� �� t�} =� P{x� �� x}. 59 Rozwizanie. P{x� �� x +� t�, x� �� t�} P{x� �� x +� t�} P{x� �� x +� t� | x� �� t�} =� =� . P{x� �� t�} P{x� �� t�} Stosujc wyniki z zadania 1.1 mamy �� e-�m� x ��e-�m� tdA(t) 0 P{x� �� x +� t� | x� �� t�} =� =� e-�m� x =� P{x� �� x}. �� e-�m� tdA(t) 0 60

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad teoria masowej obslugi
Teoria Masowej Obsługi
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
Teoria i metodologia nauki o informacji
teoria produkcji
MUZYKA POP NA TLE ZJAWISKA KULTURY MASOWEJ
obsługa pojazdu Egzamin
Cuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)
DNS ObslugaNazw
obsluga wiertarki stolowej
Rozdział 04 System obsługi przerwań sprzętowych
Instrukcja obsługi bankomatu 1

więcej podobnych podstron