Zestaw: A

1
Zadanie 1. (6 pkt.) Oblicz dx. Podaj przedziały, na których funkcja
x2+6x+13

sin y
1
F (y) = dx
x2 + 6x + 13
0
jest rosnąca.
Zadanie 2. (6 pkt.) Co jest większe: P1  pole obszaru między krzywymi x = 0, x = 1, y = 0,
3x + 2ex
y = ;
e2x
czy P2  pole obszaru zawartego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych ograniczonego krzywą y =
2e-2x oraz styczną do tej krzywej poprowadzoną w punkcie o współrzędnej x = -1.
Zadanie 3. (6 pkt.) Dana jest funkcja
z
f(x, y, z) = ex sin y.
(a) Podaj dziedzinę funkcji f;
(b) Znajdz
gradient w punkcie x0 = (3, 0, -1);
(c) Podaj kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie x0;
(d) Podaj wektor zaczepiony w x0 o kierunku prostopadłym do powierzchni S danej wzorem:
z
S = {(x, y, z) " R3 : ex sin y = 0};
(e) Podaj równanie warstwicy przechodzącej przez punkt x0;

(f) Czy h = (3, -4, 8)T jest kierunkiem wzrostu funkcji f w punkcie x0?
Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + y3 - 3axy
w zależności o parametru a " R.
Uwaga: jeśli ktoś nie lubi parametrów, to większość punktów za zadanie można zdobyć za rozpatrzenie
przypadków a = -1, 0, 1.
Zadanie 5. (6 pkt.) Znajdz
największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x2 + y2 na zbiorze B = {(x, y) "
R2 : (x + 4)2 + (y + 3)2 25}.
Zestaw: B

1
Zadanie 1. (6 pkt.) Oblicz dx. Podaj przedziały, na których funkcja
x2-6x+13

cos y
1
F (y) = dx
x2 - 6x + 13
0
jest malejąca.
Zadanie 2. (6 pkt.) Co jest większe: P1  pole obszaru między krzywymi x = 0, x = 1, y = 0,
2x + 3ex
y = ;
e2x
czy P2  pole obszaru zawartego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych ograniczonego krzywą y =
3e-3x oraz styczną do tej krzywej poprowadzoną w punkcie o współrzędnej x = -1.
Zadanie 3. (6 pkt.) Dana jest funkcja
x
f(x, y, z) = -ey sin z.
(a) Podaj dziedzinę funkcji f;
(b) Znajdz
gradient w punkcie p0 = (-2, 3, 0);
(c) Podaj kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie p0;
(d) Podaj wektor zaczepiony w p0 o kierunku prostopadłym do powierzchni S danej wzorem:
x
S = {(x, y, z) " R3 : - ey sin z = 0};
(e) Podaj równanie warstwicy przechodzącej przez punkt p0;

(f) Czy h = (2, -3, 6)T jest kierunkiem wzrostu funkcji f w punkcie p0?
Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + y3 + 3bxy
w zależności o parametru b " R.
Uwaga: jeśli ktoś nie lubi parametrów, to większość punktów za zadanie można zdobyć za rozpatrzenie
przypadków b = -1, 0, 1.
Zadanie 5. (6 pkt.) Znajdz
największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x2 + y2 na zbiorze B = {(x, y) "
R2 : (x - 3)2 + (y + 4)2 25}.
Zestaw: C

1
Zadanie 1. (6 pkt.) Oblicz dx. Podaj przedziały, na których funkcja
x2-4x+13

sin y
1
F (y) = dx
x2 - 4x + 13
0
jest malejąca.
Zadanie 2. (6 pkt.) Co jest większe: P1  pole obszaru między krzywymi x = 0, x = 1, y = 0,
32x + 2ex
y = ;
e3x
czy P2  pole obszaru zawartego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych ograniczonego krzywą y =
2e-2x oraz styczną do tej krzywej poprowadzoną w punkcie o współrzędnej x = -1.
Zadanie 3. (6 pkt.) Dana jest funkcja
2x
z
f(x, y, z) = e sin y.
(a) Podaj dziedzinę funkcji f;
(b) Znajdz
gradient w punkcie s0 = (-1, 0, 3);
(c) Podaj kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie s0;
(d) Podaj wektor zaczepiony w s0 o kierunku prostopadłym do powierzchni S danej wzorem:
2x
z
S = {(x, y, z) " R3 : e sin y = 0};
(e) Podaj równanie warstwicy przechodzącej przez punkt s0;

(f) Czy h = (2, -3, 6)T jest kierunkiem wzrostu funkcji f w punkcie s0?
Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + y3 + 6cxy
w zależności o parametru c " R.
Uwaga: jeśli ktoś nie lubi parametrów, to większość punktów za zadanie można zdobyć za rozpatrzenie
przypadków c = -1, 0, 1.
Zadanie 5. (6 pkt.) Znajdz
największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = -x2 - y2 na zbiorze B = {(x, y) "
R2 : (3 - x)2 + (y - 4)2 25}.
Zestaw: D

1
Zadanie 1. (6 pkt.) Oblicz dx. Podaj przedziały, na których funkcja
x2+4x+13

cos y
1
F (y) = dx
x2 + 4x + 13
0
jest rosnąca.
Zadanie 2. (6 pkt.) Co jest większe: P1  pole obszaru między krzywymi x = 0, x = 1, y = 0,
22x + 3ex
y = ;
e3x
czy P2  pole obszaru zawartego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych ograniczonego krzywą y =
3e-3x oraz styczną do tej krzywej poprowadzoną w punkcie o współrzędnej x = -1.
Zadanie 3. (6 pkt.) Dana jest funkcja
2z
y
f(x, y, z) = 2e sin x.
(a) Podaj dziedzinę funkcji f;
(b) Znajdz
gradient w punkcie m0 = (-0, 3, -2);
(c) Podaj kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie m0;
(d) Podaj wektor zaczepiony w m0 o kierunku prostopadłym do powierzchni S danej wzorem:
2z
y
S = {(x, y, z) " R3 : 2e sin x = 0};
(e) Podaj równanie warstwicy przechodzącej przez punkt m0;

(f) Czy h = (3, -4, 7)T jest kierunkiem wzrostu funkcji f w punkcie m0?
Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = x3 + y3 - 6dxy
w zależności o parametru d " R.
Uwaga: jeśli ktoś nie lubi parametrów, to większość punktów za zadanie można zdobyć za rozpatrzenie
przypadków d = -1, 0, 1.
Zadanie 5. (6 pkt.) Znajdz
największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = 2x2 + 2y2 na zbiorze B = {(x, y) "
R2 : (x + 4)2 + (3 - y)2 25}.