Metodyk rozwiÄ…zywania
zagadnień statycznie niewyznaczalnych
w-9
a) Układ statycznie wyznaczalny
n = w
gdzie:
n  liczba niewiadomych,
w  liczba równań równowagi.
b) Układ statycznie niewyznaczalny
n > w
MT_SS - w 9 1
Metoda rozkładania na części
elementów sztywnych połączonych przegubem
(metoda przecięć)
Przykład 1
MT_SS - w 9 2
Przykład 2
MT_SS - w 9 3
Procedura postępowania przy rozwiązywaniu
złożonych układów ciał połączonych
przegubami wewnętrznymi.
1. Ustalić i nanieść na schemat obliczeniowy
analizowanej konstrukcji:
1) siły zewnętrzne czynne,
2) ich wielkości,
3) ich zwroty i linie działania,
4) zastąpić działanie więzów reakcjami.
MT_SS - w 9 4
2. Przyjąć najbardziej korzystnie usytuowany układ osi
współrzędnych;
3. Rozłożyć nieznane co do kierunku reakcje więzów na
odpowiednie składowe;
4. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu oraz
rozpatrzyć, czy dane zagadnienie można rozwiązać
traktując rozpatrywany układ jako jedno ciało sztywne;
5. W zależności od budowy analizowanego układu dokonać
jego rozdzielenia w miejscach przegubów;
MT_SS - w 9 5
6. Ułożyć równania równowagi dla każdego wydzielonego
ciała wyznaczając wartości nieznanych wielkości;
Jeżeli w rozwiązaniu otrzyma się ujemne wartości
składowych reakcji, oznacz to, że mają one zwroty
przeciwne do pierwotnie przyjętych.
7. Obliczyć wartości i kierunki reakcji występujących w
poszczególnych więzach;
8. Sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń.
MT_SS - w 9 6
Przykład: Dwie belki połączone przegubem w punkcie C.
Belka CD
Belka AC
- podpora przesuwna
- podpora stała
- podpora przesuwna
Wyznaczyć: 1) reakcje podpór,
2) siłę przenoszoną przez przegub C.
Dane: F = 2 kN, P = 3 kN, a = 60o, a = 1 m.
MT_SS - w 9 7
Wyznaczamy reakcje podpór
1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego
" W podporze A występuje reakcja o nieznanym kierunku
działania zatem rozkładamy ją na 2 składowe,
" W podporach B i D występują reakcje o znanym kierunku
działania
Wniosek:
należy wyznaczyć 4 niewiadome reakcje podpór:
XA, YA, RB i RD
MT_SS - w 9 8
" W płaskim układzie sił możemy zapisać tylko
3 niezależne równania równowagi
Zatem mamy do czynienia z
układem statycznie niewyznaczalnym.
" Brakujące równanie zapiszemy korzystając z
metody momentów przegubowych.
Suma momentów wszystkich sił
przyłożonych do jednej części układu
połączonej tym przegubem względem tego przegubu
(tutaj względem punktu C) musi być równa zeru.
MT_SS - w 9 9
2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy
MT_SS - w 9 10
3. Ustalamy i układamy równania równowagi
a) warunki równowagi dla całej rozpatrywanej belki AD
1.
åðF =ð 0 ; X -ð P ×ðcosa =ð 0 ,
ix A
2.
åðF =ð 0 ; YA -ð F +ð RB -ð P ×ðsina +ð RD =ð 0 ,
iy
3.
åðM =ð 0 ; -ð F ×ða +ð RB ×ð2a -ð P ×ð4a ×ðsina +ð RD ×ð5a =ð 0 .
iA
MT_SS - w 9 11
b) dodatkowy warunek równowagi
L
4.
åðM =ð 0 ; -ðYA ×ð3a +ð F ×ð2a -ð RB ×ða =ð 0 .
iC
W powyższych czterech równaniach
występują 4 niewiadome siły:
XA, YA, RB, RD
MT_SS - w 9 12
4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy:
XA = 1,50 kN,
YA = 0,35 kN,
RB = 2,95 kN,
RD = 1,30 kN.
Znaki plus przy wszystkich obliczonych wartościach reakcji
wskazują, że ich zwroty są takie, jakie przyjęto na początku
rozwiÄ…zywania zadania.
MT_SS - w 9 13
5. Obliczamy reakcję RA występującą w
podporze przegubowej A
2 2
RA =ð X +ðYA ,
A
RA =ð 1,52 +ð 0,352 =ð1,54 kN .
6. Ustalamy kÄ…t nachylenia reakcji RA w stosunku do osi x
YA
tgjð =ð ,
X
A
0,35
tgjð =ð =ð 0,2333 ,
1,5
jðA =ð13°ð 8' .
MT_SS - w 9 14
Na schemacie obliczeniowym belki zaznaczamy położenie
reakcji RA
MT_SS - w 9 15
7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń
W tym celu obliczamy sumę momentów
wszystkich sił działających na belkę
względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany
już w obliczeniach punkt A.
Wybieramy punkt D:
åðM =ð 0 ; -ðYA ×ð5a +ð F ×ð4a -ð RB ×ð3a +ð P×ða ×ðsina =ð 0 ,
iD
-ð 0,35×ð5×ð1+ð 2×ð4×ð1-ð 2,95×ð3×ð1+ð 3×ð1×ð0,866 =ð 0 ,
-ð 0,01 ð 0
Wniosek.
różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić  zadanie
rozwiÄ…zano poprawnie.
MT_SS - w 9 16
Wyznaczamy siłę przenoszoną przez przegub
MT_SS - w 9 17
1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego
" W przegubie C występuje reakcja o:
- nieznanym kierunku działania i
- nieznanej wartości.
" W analizowanym układzie występuje 6 niewiadomych:
XA, YA, RB, RD, XC, YC.
" Dla płaskiego dowolnego układu sił możemy napisać tylko
3 równania równowagi.
Wniosek:
rozpatrywane zagadnienie jest
statycznie niewyznaczalne.
MT_SS - w 9 18
" Uwzględniamy fakt, iż rozważany układ składa się z
dwóch belek połączonych przegubem C.
" Rozdzielamy układ na dwie oddzielne belki.
" W miejsce przegubu wprowadzamy
wprowadzamy reakcje zastępujące
oddziaływanie jednej części belki
na drugÄ….
XC i YC
Rysując siły wykorzystujemy
zasadÄ™ akcji i reakcji
MT_SS - w 9 19
2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy
MT_SS - w 9 20
3. Ustalamy i układamy równania równowagi dla
układów sił działających na belki AC i CD
a) dla belki AC
1.
åðF =ð 0 ; X -ð XC =ð 0 ,
ix A
2.
åðF =ð 0 ; YA -ð F +ð RB -ðYC =ð 0 ,
iy
3.
åðM =ð 0 ; -ð F ×ða +ð RB ×ð2a -ðYC ×ð3a =ð 0 .
iA
MT_SS - w 9 21
b) dla belki CD
4.
åðF =ð 0 ; XC -ð P ×ðcosa =ð 0 ,
ix
5.
åðF =ð 0 ; YC -ð P ×ðsina +ð RD =ð 0 ,
iy
6.
åðM =ð 0 ; -ð P ×ða ×ðsina +ð RD ×ð2a =ð 0 .
iC
Mamy zatem 6 równań i sześć niewiadomych sił
XA, YA, RB, RD, XC, YC,
zagadnienie jest więc statycznie wyznaczalne.
MT_SS - w 9 22
4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
XA = 1,50 kN, YA = 0,35 kN,
RB = 2,95 kN, RD = 1,30 kN,
XC = 1,50 kN, YC = 1,30 kN
Znaki plus przy obliczonych wartościach reakcji:
XA, YA, RB, XC, YC, RD
wskazują, że
ich zwroty są takie, jakie zostały przyjęte
na poczÄ…tku rozwiÄ…zywania zadania.
MT_SS - w 9 23
5. Obliczamy reakcję występującą w podporze
przegubowej stałej A i przegubie C
2 2
RA =ð X +ðYA , RA =ð 1,52 +ð 0,352 =ð1,54 kN .
A
2 2
RC =ð XC +ðYC , RC =ð 1,52 +ð1,302 =ð1,98 kN .
MT_SS - w 9 24
6. Ustalamy kÄ…t nachylenia reakcji RA w stosunku do osi x.
YA
tgjðA =ð ,
X
A
0,35
tgjðA =ð =ð 0,2333,
1,5
jðA =ð13°ð 8'.
MT_SS - w 9 25
7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń
W tym celu obliczamy sumę momentów
wszystkich sił działających na belkę
względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany
już w obliczeniach punkt A.
Wybieramy punkt D:
åðM =ð 0 ; -ðYA ×ð5a +ð F ×ð4a -ð RB ×ð3a +ð P×ða ×ðsina =ð 0 ,
iD
-ð 0,35×ð5×ð1+ð 2×ð4×ð1-ð 2,95×ð3×ð1+ð 3×ð1×ð0,866 =ð 0 ,
-ð 0,01 ð 0
Wniosek.
różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić  zadanie
rozwiÄ…zano poprawnie.
MT_SS - w 9 26