Zjawisko rezonasu
Monika Hereć
08.05.2011
Cechy ruchu harmonicznego
" ruch okresowy (periodyczny)
" równanie ruchu - funkcje harmoniczne (sinus i cosinus)
" ruch po tej samej drodze
" charakterystyczne wielkości:
czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu
okres T
liczba drgań (albo cyklów) na jednostkę czasu
częstość � = 1/T
amplituda A
maksymalne wychylenie z położenia równowagi
" siła proporcjonalna do wychylenia!
2
r�
r�
F =� -�kx
k
r�
r�
F =� ma
m
r� r�
ma =� -�kx
x<0
F=-kx
2
d x
m
m =� -�kx
dt2
x>0
m
2
d x k
=� -� x
dt2 m
3
Rozwiązanie ogólne:
x(t) =� Asinw�t +� Bcosw�t
� - częstość kołowa ruchu harmoniczneg
A, B - amplitudy
x(t) =� C sin(w�t +�j�)
Ć -faza początkowa drgao, czyli kąt, określający
wychylenie ciała w chwili t=0
-faza drgań
w�t +�j�
prędkość
&�
x(t) =� Cw� cos(w�t +�j�)
przyspieszenie
&�&�
x(t) =� -�Cw�2 sin(w�t +�j�)
Wstawiając te rozwiązania do równania ruchu:
&�&�
mx +� kx =� 0
k
2
k
1 2p� m
w� =�
w� =�
T =� =� =� 2p�
m
m
w� k
4
x(t) =� Asin(w�t +�j�)
1
A
0
czas t
-1
5
wychylenie x
Prosty oscylator harmoniczny
S -pole powierzchni przekroju rurki
F =� -�mcg
� -gęstośd cieczy
&�&�
mx =� -�mcg
&�&�
mx =� -�2xSr�g
-� 2Sr�g
&�&�
x =� x
m
x
2Sr�g
w� =�
m
2p�
T =�
m
w�
T =� 2p�
2Sr�g
6
Wahadło fizyczne
M =� I ��e�
M =� L �� F �� F =� mg
Ć
M =� Lmgsinj�
r�
L
j� � 0 �� sinj� � j�
M =� Lmgj� =� Ie�
mg
e� ~ -�j�
I(-�e� ) =� Lmgj�
&�
e� =� j�&�
&�&�
Ij� =� -�Lmgj�
I
mgL
��
&�&�
j� =� -�ć� j�
�� ��
T =� 2Ą
I
Ł� ł�
mgL
2p� mgL
2
w� =� =� w�
7
T I
Wahadło matematyczne
I
T =� 2Ą
Ć mgL
L
I =� mL2
mL2
T =� 2Ą
mgL
mg
L
T =� 2Ą
g
8
Energia w ruchu harmonicznym
Energia potencjalna Energia kinetyczna
x x
r�
r�
1
1 1
Ep =� -�
&�
Ek =� mv2 =� mx2
2
��Fdx =� ��kxdx =� kx2
2 2
0 0
x(t) =� Asin(w�t +�j�)
&�
x(t) =� Aw� cos(w�t +�j�)
1
1
Ep =� kA2 sin2(w�t +�j�)
Ek =� kA2 cos2(w�t +�j�)
2
2
Energia całkowita
1 1
Ec =� Ep +� Ek =� kA2 sin2(w�t +�j�) +� kA2 cos2(w�t +�j�) =�
2 2
1
kA2(sin2(w�t +�j�) +� cos2(w�t +�j�))
2
1
Ec =� kA2 =� const
2
9
Energia w ruchu harmonicznym
kA2
2
Ep
Ek
t
t
10
Ruch drgający tłumiony
r�
Siła tłumiąca proporcjonalna do prędkości! Ft =� -� fv
ma =� -�kx -� fv
-� f
t
x(t) =� Ae2m sinw�t
2
k
f
ć� �� gdzie
w�02 =�
2
w� =� w�0 -�
�� ��
m
2m
Ł� ł�
częstość drgao własnych
częstość ruchu harmonicznego tłumionego
11
Drgania wymuszone
- siła wymuszająca o częstości �
Fw =� F0 cosw�t
&�&� &�
mx =� -�kx-� fx +� F0 cosw�t
Rozwiązanie:
x(t) =� Acos(w�t -�j�)
A(w�)
j�(w�)
F0 fw�
A(w�) =� tgj�(w�) =�
2
2 2
m(w�0 -�w�2)
m2(w�0 -�w�2)2 +� f w�2
gdzie:
w�
częstośd siły wymuszającej
częstośd drgao własnych układu
w�0
bez tłumienia
12
Zjawisko rezonansu
Częstość siły wymuszającej równa się częstości drgań własnych: � = �0
W każdym okresie zmienności siły wymuszającej następuje
maksymalny przekaz energii
F0
A(w�) =�
2 2
m2(w�0 -�w�2)2 +� f w�2
malejące
tłumienie f
dla układu bez tłumienia:
F0
A(w�) =�
2
m2(w�0 -�w�2)2
A �� Ą�
13
Oddziaływanie drgań na organizm człowieka
Występowanie drgao mających wpływ na zdrowie człowieka: w środkach lokomocji, przy
posługiwaniu się wieloma narzędziami (np. młot pneumatyczny), przy obsłudze maszyn.
Reakcję ciała na drgania można
analizować przyjmując pewne modele
mechaniczne. W modelu ciało człowieka
zastępuje się układem mas połączonych
ze sobą za pomocą sprężyn i tłumików
drgań. Przy niskich wartościach
częstości rzędu kilku Hz, zależnych od
masy ciała i jego budowy, ciało człowieka
reaguje jako całość co modeluje się
pojedynczą masą na sprężynie z jednym
układem tłumiącym. Przy drganiach o
wyższych częstościach reagują na nie
osobno poszczególne części ciała i model
staje się bardziej złożony, składając się
z połączonych wielu mas, sprężyn i
tłumików.
14
Oddziaływanie drgań na organizm człowieka
SKUTKI DRGAC

Drgania wywołują niewielkie zmiany fizjologiczne w
DOSTRZEGALNE
układzie krążenia i nerwowym, zakłócają koordynacje
ruchów, mowę widzenie, powodują wrażenie
dyskomfortu
DOKUCZLIWE Drgania wytwarzają zmiany we wszystkich podstawowych
układach człowieka: krążenia, kostno stawowym,
nerwowym i mięśniowym. Największe uszkodzenia mogą
wystąpić w miękkich częściach organizmu, takich jak
płuca serce, jelita oraz w mózgu; rozciąganie i
ALARMOWE
przemieszczanie tkanek, zaburzenia oddechowe i
czuciowe, skurcze naczyniowe, zmiany w stawach,
kręgosłupie, układzie trawiennym, wstrząsy mózgu.
Częstość drgań wywołująca takie skutki f=4Hz, co
odpowiada amplitudzie 3mm, maksymalne przyspieszenie
15
ruchu ma wartość zbliżoną do wartości g.
Częstości rezonansowe organów człowieka
Nazwa organu Częstotliwość rezonansowa fr Hz
Głowa 4�5 i 17�25
Oczy 60�90
Szczęka 6�8
Krtań, tchawica, oskrzela 12�16
Narządy klatki piersiowej 5�9
Kończyny górne 3
Kręgosłup 8
Narządy jamy brzusznej 4,5�10
Wątroba 3�4
Pęcherz moczowy 10�18
Miednica 5�9
Kończyny dolne 5 �20 zależnie od kąta ugięcia
Człowiek siedząc 5�12
Człowiek stojąc 4�6
16
Rezonanse magnetyczne
Efekt Zeemana  rozszczepienie poziomów atomowych w
niezbyt silnym zewnętrznym polu magnetycznym.
17
Rezonanse magnetyczne
Spektroskopia rezonansów magnetycznych polega na wzbudzaniu spinów
jądrowych (NMR) lub elektronów (EPR=) znajdujących się w zewnętrznym polu
magnetycznym poprzez szybkie zmiany pola magnetycznego, a następnie
rejestrację promieniowania elektromagnetycznego powstającego na skutek
zjawiska relaksacji.
Elektronowy rezonans Magnetyczny Rezonans
paramagnetyczny EPR Jądrowy NMR
Wzbudzanie spinów Wzbudzanie spinów
elektronów jądrowych
1
substancje paramagnetyczne H, 13C, 15N, 17 O
Pochłaniane energie: Pochłaniane energie: fale
mikrofale radiowe
18
Elektronowy rezonans magnetyczny
Magnetyczny Rezonans Jądrowy NMR
Zastosowanie
��Wyznaczanie struktury przestrzennej związków aktywnych
biologicznie
��Badanie mechanizmów reakcji
��Oznaczanie struktury drugorzędowej i trzeciorzędowej białek
��Analiza oddziaływań międzycząsteczkowych w układach: enzym-
substrat, neurotransmiter-receptor, białko-białko
��Wyznaczanie odległości międzyatomowych w małych cząsteczkach i w
biopolimerach
��Wyznaczanie stałych wiązania, stałych szybkości reakcji itp.
Magnetyczny Rezonans Jądrowy zastosowanie
Znaczenie spektroskopii NMR polega na
możliwości określenia otoczenia, w jakim znajduje
się określony izotop w cząsteczce a nie na
możliwości rozróżnienia atomów. Na częstotliwość
rezonansową poszczególnych jąder mają wpływ
elektrony wiązań w cząsteczce. Jej wartość jest więc
zależna od struktury związku chemicznego.
Zjawisko wywołane
chemicznym otoczeniem
protonów w cząsteczce nosi
nazwę przesunięcia
chemicznego częstotliwości
rezonansowej lub krótko
przesunięcia chemicznego.
20