Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i
Informatyki
Laboratorium Teorii Obwodów
Przedmiot: Elektrotechnika teoretyczna
Numer ćwiczenia: Temat: Obwody rezonansowe (rezonans
4 prądów i napięć)
I. Wprowadzenie
O rezonansie w pasywnym obwodzie elektrycznym RLC mówimy wówczas, gdy jego
reaktancja (X = XL  XC = 0) lub susceptancja (B = BC  BL = 0) wypadkowa jest równa zeru.
Wówczas napięcie i prąd występujący na zaciskach obwodu są zgodne w fazie, a moc układu
jest równa mocy czynnej.
Częstotliwość, dla której występuje w obwodzie zjawisko rezonansu, nazywana jest
częstotliwością rezonansową. W przypadku, gdy elementy RLC są połączone szeregowo,
występuje rezonans napięć (szeregowy), w przeciwnym razie występuje rezonans prądów
(równoległy).
Rezonans napięć
I R L C
XL  XC = 0 => XL = XC =>
É0L = 1/(É0C) => f0 = 1/(2Ä„ (LC)1/2)
UR UL UC
U
Rysunek 1 Szeregowe połączenie elementów pasywnych RLC.
Dany jest szeregowy obwód RLC (rysunek 1). Impedancja tego obwodu jest dana
zależnością:
1
Z R j L j R jXL jXC,
C
a napięcie:
1 1
U (R j L j ) I R I j( L ) I U U U .
R L C
C C
Jeżeli w obwodzie wystąpi rezonans, tzn. gdy
Im(Z)= 0 => X = 0 => XL  XC = 0 => XL = XC,
to napięcie U zasilania układu jest równe spadkowi napięcia na rezystancji, a suma
geometryczna napięć na indukcyjności i na pojemności jest równa zeru. Obrazuje to wykres
wskazowy przedstawiony na rysunku 2, uzyskany dla częstotliwości rezonansowej obwodu
RLC przedstawionego na rysunku 1.
I·jÉL = UL I · -j/(ÉC) = UC
I·R=UR=U
I
Rysunek 2 Wykres wskazowy obwodu szeregowego RLC w stanie rezonansu.
Jednym z parametrów charakteryzujących obwód rezonansowy jest dobroć obwodu
rezonansowego. W przypadku obwodu szeregowe (rezonans napięć) dobroć wyraża stosunek
napięcia na elemencie reaktancyjnym do napięcia na rezystancji.
UL UC 0L 1
Q .
UR UR R RC
0
Rezonans prądów
I
BC  BL = 0 => BC = BL =>
IG IL IC
É0C = 1/(É0L) => f0 = 1/(2Ä„ (LC)1/2)
L C
G
Rysunek 3 Równoległe połączenie elementów pasywnych RLC.
Dany jest równoległy obwód RLC (rysunek 3). Admitancja tego obwodu jest dana
zależnością:
1
Y G j C j G jBC jBL,
L
a prÄ…d:
1 1
I (G j C j ) U G U j( C ) U I I I .
G C L
L L
Jeżeli w obwodzie wystąpi rezonans, tzn. gdy Im(Y)= 0 => B = 0 => BC  BL = 0 =>
BC = BL to prąd I wpływający do układu jest równy prądowi przepływającemu przez gałąz

rezystancji, a suma geometryczna prądu płynącego przez indukcyjność i pojemność jest
równa zeru. Obrazuje to wykres wskazowy przedstawiony na rysunku 4, uzyskany dla
częstotliwości rezonansowej obwodu RLC przedstawionego na rysunku 3.
IC
I = IG
I·G = UG = U
IL
Rysunek 4 Wykres wskazowy obwodu równoległego RLC w stanie rezonansu.
Dobroć równoległego obwodu rezonansowego RLC wyraża stosunek prądu na elemencie
reaktancyjnym do prÄ…du na rezystancji.
IL IC 0C 1
Q .
IR IR G GL
0
II. Przebieg ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest praktyczna ilustracja rezonansu napięć i prądu występująca w
obwodach RLC.
Rezonans napięć
Schemat układu pomiarowego wykorzystywanego podczas ćwiczenia przedstawiono na
rysunku 5. Układ badawczy należy połączyć ze wskazanych przez prowadzącego przyrządów
pomiarowych i dekad, a przed przystąpieniem do realizacji zadania ustawić przewidywany
zakres i podstawę czasu na oscyloskopie, a amplitudę napięcia zasilającego nastawić na 2V.
Po podłączeniu układu należy poprosić prowadzącego o sprawdzenie poprawności połączeń.
Układ pokazany na rysunku umożliwia obserwowanie przebiegu napięcia oraz przebiegu
prądu płynącego w obwodzie (poprzez spadek napięcia na rezystancji Rd).
I
Generator
Oscyloskop
funkcyjny
L
UL
Ua = 2V
C
UC
U
URd Rd
Rysunek 5 Układ pomiarowy rezonansu napięć.
Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia należy nastawić na dekadzie indukcyjnej
wartość L = 50 mH i obliczyć wartość pojemności C jaką trzeba nastawić na dekadzie
pojemnościowej by w układzie wystąpił rezonans przy częstotliwości f0 = 10kHz.
W trakcie ćwiczenia należy:
obliczoną wartość C nastawić na dekadzie pojemności;
obliczyć rezystancję obwodu dla dobroci: 10, 20, 100. Nastawić odpowiednią
wartość na oporniku dekadowym Rd (uwzględniając rezystancję generatora i
przyjmując rezystancję indukcyjności za zerową).
regulując częstotliwość w pobliżu f = 10 kHz doprowadzić układ do rezonansu.
Dla częstotliwości rezonansowej f = f0 nastawić amplitudę napięcia zasilania
Ua=2V,
odczytać amplitudę spadku napięcia na oporniku dekadowym w stanie
rezonansu(URd0),
wyznaczyć amplitudę prądu:
URd
I0 0 ,
Rd
gdzie Rd jest rezystancjÄ… nastawionÄ… na oporniku dekadowym dla odpowiedniej
dobroci.
wyznaczyć charakterystykę I(f) dla wszystkich dobroci (przy stałej wartości
napięcia zasilania).
 zmierzyć przesunięcie fazowe dla Q=10 i częstotliwości: f = 0,5 fo; f = fo;
f = 1,5 fo
przedstawić wyniki w tabelach 1, 2 i 3.
f
I
g ( )
W sprawozdaniu należy wykreślić charakterystyki rezonansowe dla różnych
Io f0
dobroci oraz określić 3-dB szerokość pasma przepuszczania.
Rezonans prądów
Rezonans prądów (rezonans równoległy) zachodzi w obwodach elektrycznych o
równolegle połączonych gałęziach R, L, C lub R, L i R, C, jeżeli wypadkowa susceptancja
obwodu jest równa zeru. Schemat układu pomiarowego wykorzystywanego podczas
ćwiczenia przedstawiono na rysunku 6. Układ badawczy należy połączyć ze wskazanych
przez prowadzącego przyrządów pomiarowych i dekad, a przed przystąpieniem do realizacji
zadania ustawić przewidywany zakres i podstawę czasu na oscyloskopie, a amplitudę napięcia
zasilającego nastawić na 5V. Po podłączeniu układu należy poprosić prowadzącego o
sprawdzenie poprawności połączeń.
I
Generator
Oscyloskop
funkcyjny
R UL L
C
Ua = 2V
UR
UC
U UR1
R1
Rysunek 6 Układ pomiarowy rezonansu prądów.
Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia należy nastawić:
L = 50 mH,
R = 1000 ©,
C = 0,5 źF,
Ua = 5 V,
R1 = 100 ©,
a następnie obliczyć wartość częstotliwości rezonansowej f0 i impedancję wypadkową
obwodu - wynik zapisać.
1
f0 & & & & [kHz], Z = R1+R=.......[©].
2 LC
W trakcie ćwiczenia należy:
zmieniając częstotliwość dostroić układ do rezonansu,
zmierzyć częstotliwość i amplitudę prądu.
f0 = .........[kHz], UR1 =...... [cm], c =.......[V/cm], UR1 =........[V], I =......[mA].
 obserwować zmianę prądu przy zmianach częstotliwości,
zanotować spostrzeżenia i wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową.
zapisać wyniki pomiarów w tabeli 4.
W sprawozdaniu należy wykreślić charakterystyki oraz obliczyć dobroć.
Jeżeli przyjmiemy, że dekada pojemności jest zbliżona do idealnego kondensatora, to
równolegle połączoną indukcyjność i rezystancję można przyjąć jako równoległy schemat
zastępczy cewki rzeczywistej (rys.7a).
a) I R b) I R'
L'
L=50 [mH]
R=1000 [Ź]
L
Rysunek 7. Modyfikacja układu.
Dla danej częstotliwości znając parametry układu równoległego R i L (rysunek 7a)
można wyznaczyć wartości R i L równoważnego układu szeregowego (rysunek 7b):
R j L Im{Z}
Z R' Re{Z}, L'
R j L
Dokonując takiej zamiany, zamiast układu z rysunku 6, otrzymamy układ przedstawiony
na rys.8.
I
Generator
Oscyloskop
funkcyjny
Ua = 5V
UR R
C
UC
L
UL
U
UR1
R1
Rysunek 8 Zmodyfikowany układ pomiarowy rezonansu prądów.
2
1 1 R '
Dla układu z rysunku 8 częstotliwość rezonansowa wynosi: f0 ,
2 L 'C L '
1
a impedancja przy częstotliwości rezonansowej ma wartość: Z0 R1
R'C
W trakcie drugiej części ćwiczenia należy:
obliczyć:
 parametry równoważnego szeregowego schematu zastępczego cewki dla
É = É0
R =........[©] L =.......[mH],
częstotliwość rezonansową dla układu z rys.8 f0=............[kHz]
impedancję dla tego układu przy częstotliwości rezonansowej Z0= .........[Ź]
oraz amplitudę prądu dla częstotliwości rezonansowej przy napięciu zasilania
Ua=5V
Im0 =.........[mA].
połączyć układ przedstawiony na rys.8, nastawić na poszczególnych elementach
odpowiednie wartości i regulując częstotliwość dostroić układ do rezonansu.
zmierzyć częstotliwość i amplitudę prądu.
f0=........kHz, Im0=..........mA ,
Porównać wartości obliczone z wynikami zmierzonymi.
Wyciągnąć wnioski.
III. Uwagi do sprawozdania
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów należy wykonać sprawozdanie z
wykonanego ćwiczenia. W sprawozdaniu należy zawrzeć:
1. Cel i metodykę ćwiczenia.
2. Schematy układów pomiarowych wraz z dokładnym opisem elementów układu i
parametrami urządzeń pomiarowych.
3. Przedstawić wyniki pomiarowe w tabelach.
4. Przeprowadzić analizę błędu pomiarowego.
5. Narysować charakterystyki i przedstawić obliczenia wykonane w toku ćwiczeń.
6. Sformułować i przedstawić wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia.
IV. Zagadnienia teoretyczne
1. Omów cel ćwiczenia.
2. Przedstaw schematy układów pomiarowych wykorzystywanych w ćwiczeniu do
obserwacji rezonansu napięć i prądu. Omów w jaki sposób będzie obserwowane
zjawisko rezonansu w układach podczas realizacji ćwiczenia  mierzone wielkości i
sposób ich pomiaru.
3. Kiedy zachodzi rezonans w obwodzie RLC?
4. Co to jest dobroć układu i w jaki sposób zależy od elementów reaktancyjnych?
V. Literatura
1. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, tom I Obwody liniowe i nieliniowe, PWN.
2. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, aa
Warszawa, Wydanie V
f0 = ......[kHz], URd0 = ..... [cm], c =.......[V/cm], URd0 = ..... [V]
Tabela 1 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 10.
Lp. f URd c URd f/f0 URd/URdo T Ć Uwagi
t
[kHz] [cm] [V/cm] [V] [cm] [º]
[cm]
1. 2
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8
6. 9
7. 10
8. 11
9. 12
10. 13
11. 14
12. 15
13. 18
f0 = ......[kHz], URd0 = ..... [cm], c =.......[V/cm], URd0 = ..... [V]
Tabela 2 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 20.
Lp. f URd c URd f/f0 URd/URdo T Ć Uwagi
t
[kHz] [cm] [V/cm] [V] [cm] [º]
[cm]
1. 2
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8
6. 9
7. 10
8. 11
9. 12
10. 13
11. 14
12. 15
13. 18
f0 = ......[kHz], URd0 = ..... [cm], c =.......[V/cm], URd0 = ..... [V]
Tabela 3 Tabela pomiarowa rezonansu napięć dla Q = 100.
Lp. f URd c URd f/f0 URd/URdo T Ć Uwagi
t
[kHz] [cm] [V/cm] [V] [cm] [º]
[cm]
1. 2
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8
6. 9
7. 10
8. 11
9. 12
10. 13
11. 14
12. 15
13. 18
Podpis prowadzÄ…cego:
Tabela 4 Tabela pomiarowa rezonansu prądów.
Lp. f URd c URd f/f0 URd/URdo Q Uwagi
[kHz] [cm] [V/cm] [V]
1. 2
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8
6. 9
7. 10
8. 11
9. 12
10. 13
11. 14
12. 15
13. 18
Podpis prowadzÄ…cego: