Budownictwo Wodne:
Wykład 4: Stateczność ogólna
budowli wodnych. Oszacowania
kinematyczne dla płaskich
problemów nosności granicznej
dr hab. inż. A. Truty prof. PK
26th March 2006
1
Stateczność na obrót
" Wykonujemy zestawienie wszystkicsił działających na konstrukcję, pomi-
jając obciążenia zmienne jeśli te mają charakter stabilizujący
" Sprawdzamy stosunek momentów sił stabilizujących i destabilizujących
" Ciężar własny jest obc. stabilizującym natomiast parcie wody , parcie
lodu i wypór destabilizującym

stab
MA G g
" m = = > mo
destab
MA P p + V v
" mo - współczynnik pewności dla danej klasy budowli
" dla zapór łukowych sprawdzenie tego warunku jest bezzasadne
2
Stateczność na poślizg w płaszczyz
nie fundamentu
µ(GcosÄ… + P sinÄ… - V ) + c F
" n = > no
P cosÄ… - GsinÄ…
" µ - współczynnik tarcia µ = 0.5 ÷ 0.75
" c - przyczepność pomiędzy skałą i betonem
H P
" Ä = Ãn =
A A
3
Stateczność z uwzględnieniem wyparcia gruntu
spod fundamentu
" możemy zastosować tzw. metody paskowe (z uwagi na kryterium Coulomba-
Mohra !)
G P eP B G eG B
" q1 = - +
B B3 2 B3 2
12 12
G P eP B G eG B
" q2 = + -
B B3 2 B3 2
12 12
(Qj + Gj) cos(Ä…j)
" efektywne naprężenie normalne: Ãnj = - uj
"X
cosÄ…j
" graniczne naprężenie styczne: Änj = Ãnj tg(Ć) + c
"X
Änj
cosÄ…j
" współczynnik pewności: n =
(Qj + Gj) sin(Ä…j)
"X
cosÄ…j
" Gj - cieżar j-tego paska, Qj = q(X)"Xj
" uj - ciśnienie wody w porach w podstawie j-tego paska
4
Płaski stan odkształcenia
" u = u(x, y) v = v(x, y) w = 0
" µz = 0 Å‚xz = Å‚yz = 0
" Uwaga: µp = 0

z
·
p
1 "J2
·
"
" np. dla warunku H-M-H µij = 
2 J2 "Ãij
" zachodzi tylko równoÅ›c µe + µp = 0
z z
e
·
" w momencie inicjacji plastycznego pÅ‚yniÄ™cia µz = 0

e
·
" w stanie zaawansowanego pÅ‚yniÄ™cia plastycznego µz = 0 a zatem
e p p e
· · · · ·
µz - µz = µz Ò! µz = 0 bo µz = 0
Zaawansowane
płynięcie plastyczne
imperfekcja imperfekcja
" to oznacza, że w stanie zawansowanego płynięcia plastycznego stany
p
·
naprężeÅ„ muszÄ… byc w tych strefach gdzie µz = 0
w przypadku warunku H-M-H Ò! sz = 0
Rozważamy warunek H-M-H
" w stanie granicznym sz = 0
2 1
" sz = Ãz - (Ãx + Ãy)
3 3
1
" zatem Ãz = (Ãx + Ãy)
2
5
1
" sx = Ãx - (Ãx + Ãy + Ãz)
3
1
" sy = Ãy - (Ãx + Ãy + Ãz)
3
" wstawiamy Ãz do wzorów na sx i sy i otrzymujemy:
1
sx = (Ãx - Ãy)
2
1
sy = (Ãy - Ãx)
2
" składowe odkształceń plastycznych w stanie rozwinietego płynięcia plas-
tycznego:
·
p
· ·
µx = µx =  sx
· ·
p
· · ·
µy = µx =  sy = - sx = -µx
· ·
p
· · ·
Å‚xy = Å‚xy = 2 µxy = 2  sxy = 2  Äxy
" z powyższego wynika, że
· ·
µx + µy = 0 (pÅ‚yniÄ™cie plastyczne bez zmian objÄ™toÅ›ci)
s2
H-M-H
s1 = - s2
s1
s1 = - s2
6
Prędkość dysypacji (warunek Tresci)
s2
Tresca
s1 = - s2
s1
s1 = - s2
P
P
1
1
p p p p p p p
· · · · · · ·
" D = Ãij µij = Ã1 µ1 + Ã2 µ2 + Ã3 µ3 = Ã1 µ1 + Ã2 µ2 = (Ã1 - Ã2) µ1
p p p p
· · · ·
bo µ1 + µ2 = 0 (µx + µy = 0)
p p
· ·
" D = 2 Äo µ1 = 2 Äo µ1
" Uwaga: to jest prędkośc dysypacji na jednostkę objętości
7
Podejścia kinematyczne na przykładzie warunku
Tresci
Rozważmy nastepujace zadanie:
Szukamy oszacowania górnego dla wartości siły F w stanie granicznym:
F
" Musimy skonstruować pole przemieszczeń kinematycznie dopuszczal-
nych a następnie obliczyć moc dysypacji
" Dobre oszacowania górne otrzymuje się dla pól prędkosci odpowidają-
cych przesunięciom sztywnych bloków z uwzględnieniem tarcia pomiedzy
nimi (dla warunku M-C)
" dla takich mechanizmów całość deformacji jest skoncentrowana w wąs-
kich pasmach (ścinania) nachylonych pod kątem 45o względem głównych
osi tensora naprężenia
8
ut
Å‚
"
" ukÅ‚ad t - n zawsze można dobrac tak aby Änt > 0
" Podczas plastycznego pÅ‚yniÄ™cia Änt jest równe granicznemu naprÄ™zeniu
przy Å›cinaniu Äo
ut
" kinematyka: tg(Å‚) =
h
ut = h tg(ł) H" hł (ł musi być małe)
n
A
A
ut
"
A A
· · ·
" ut = ut - ut
A A
· · ·
un = un - un = 0
" Prędkość dysypacji energii na jednostkę długości pasma:
h h

+ · + · ·
2 2
Dint = Änt Å‚nt(n) dn = Äo Å‚nt(n) dn = Äo ut
h h
- -
2 2
9
x
2
n
t
x
1
h
t
Mechanizm zniszczenia - wariant I
F
ut
b
h
b
¸
·
·
" ut = ¸ b
· ·
·
" caÅ‚kowita moc dysypacji = D = Ä„ b Äo ut = Ä„ b Äo ¸ b = Ä„ b2 Äo ¸
F
O
b Åš
2
"
· ·
b
" moc siÅ‚ zewnetrznych: W = F ¸
ext
2
· · ·
b
" zapisujemy : W = D Ò! Ä„ b2 Äo ¸ = F ¸
ext
2
" stÄ…d: F = 2 Ä„ b Äo = 6.28 b Äo
10
Mechanizm zniszczenia - wariant I-równanie równowagi
momentów
O
dĆ
dQ
" dQ = Äo dĆ b
dM = Q b
.

Ä„ Ä„
M = dM dĆ = Äo b2 dĆ = Ä„Äo b2
0 0
" suma momentów sil destabilizujących = suma momentów sił utrzymu-
jÄ…cych
b
" F = Ä„ Äo b2
2
" stÄ…d: F = 6.28bÄo
Mechanizm zniszczenia - wariant II
bb
b
F
1
3
2
11
" Przyjmujemy prędkośc bloku 1 jako kinematyczny parameter sterujący
" Musimy ustalić teraz prędkosci wszystkich bloków (zakładamy w ty
mechaniz
mie że wszystkie trójkaty są równoboczne)
" budujemy hodograf ruchu
u3 u32
u21
u1
u2
Hodograf
u32 u3 60o
Schemat ruchu
60o
bloków
u2
u21 u1
30o
2
· ·
"
" u21 = u1
3
·
u1 1
· ·
"
" tg(60o) = Ò! u2 = u1
·
3
u2
· · · ·
" u32 = u2 u3 = u2
" Liczymy dysypację wzdłuż wszystkich pasm ścinania:

· · · ·
D = Äo 2b u21 + 2b u2 + 2b u32 + 2b u3 =

2 1 1 1 1 10
· ·
" " " " " "
2b Äo u1 + + + + = Äo b u1
3 3 3 3 3 3
·
·
" Liczymy moc sił zewnętrznych: W = F u1
ext
·
10
"
" D = W Ò! Äo b = 5.76 b Äo
ext
3
12
Stateczność skarpy pionowej
Problem: określ maksymalną wysokośc skarpy H tak aby pozostała ona w
stanie równowagi statycznej
B
G u1
H
Äż
Ä…
H
" B =
tg(Ä…)
1 1 H2
" G = Å‚ B H = Å‚
2 2 tg(Ä…)
·
H
· ·
" D = W Ò! G sin(Ä…) u1 = Äou1
ext
sin(Ä…)
2 Äo 4 Äo
" H = =
Å‚ sin(Ä…) cos(Ä…) Å‚ sin(2 Ä…)
" skad wziąć ą ?
" oszacowania kinematyczne są oszacowaniami "od góry" a zatem szukamy
min H
" H = Hmin Ô! sin(2 Ä…) Ò! max Ò! Ä… = 45o
4 Äo
" zatem maksymalna wysokość skarpy moze wynieśc: Hmax =
Å‚
13