Wykład z Algebry
Grupa ilorazowa. Twierdzenia o izomorfizmach
grup
B. Balcerzak
A
ódz
, 25 paz
dziernika 2013 r.
Wykład z Algebry
Spis treści
1 Warstwy
2 Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Grupa ilorazowa
3 Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Zadania
Wykład z Algebry
Warstwy
Niech G będzie grupą oraz H jej podgrupą. W zbiorze G
definiujemy dwie relacje H, Ä„H ‚" G × G w ten sposób, że dla
dowolnych x, y " G
Wykład z Algebry
Warstwy
Niech G będzie grupą oraz H jej podgrupą. W zbiorze G
definiujemy dwie relacje H, Ä„H ‚" G × G w ten sposób, że dla
dowolnych x, y " G
x H y Ð!Ò! y-1x " H,
Wykład z Algebry
Warstwy
Niech G będzie grupą oraz H jej podgrupą. W zbiorze G
definiujemy dwie relacje H, Ä„H ‚" G × G w ten sposób, że dla
dowolnych x, y " G
x H y Ð!Ò! y-1x " H,
x Ä„H y Ð!Ò! xy-1 " H.
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówczas
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówczas
(a) relacje H i ĄH są relacjami równoważności,
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówczas
(a) relacje H i ĄH są relacjami równoważności,
(b) klasami abstrakcji relacji H sÄ… zbiory
[g]H = {gh " G : h " H} =: gH, g " G,
które nazywamy warstwami lewostronnymi grupy G
względem podgrupy H,
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówczas
(a) relacje H i ĄH są relacjami równoważności,
(b) klasami abstrakcji relacji H sÄ… zbiory
[g]H = {gh " G : h " H} =: gH, g " G,
które nazywamy warstwami lewostronnymi grupy G
względem podgrupy H,
(c) klasami abstrakcji relacji Ä„H sÄ… zbiory
[g]Ä„H = {hg " G : h " H} =: Hg, g " G,
które nazywamy warstwami prawostronnymi grupy G
względem podgrupy H.
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówczas
(a) relacje H i ĄH są relacjami równoważności,
(b) klasami abstrakcji relacji H sÄ… zbiory
[g]H = {gh " G : h " H} =: gH, g " G,
które nazywamy warstwami lewostronnymi grupy G
względem podgrupy H,
(c) klasami abstrakcji relacji Ä„H sÄ… zbiory
[g]Ä„H = {hg " G : h " H} =: Hg, g " G,
które nazywamy warstwami prawostronnymi grupy G
względem podgrupy H.
(d) Dla każdego x " H, xH = H = Hx.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Dowód.
(a) Ćwiczenie.
(b) Dla dowolnego elementu g " G zachodzi
[g]H = {x " G : x H g}

= x " G : g-1x " H

= x " G : "h " H g-1x = h
= {x " G : "h " H x = gh}
= {gh " G : h " H}
= gH.
(c), (d) Ćwiczenie.
Wykład z Algebry
Warstwy
Definicja
Jeżeli G jest grupą i H < G, to zbiór ilorazowy (zbiór klas
abstrakcji) relacji H oznaczamy symbolem G/H, zaś zbiór
ilorazowy relacji Ä„H oznaczamy przez G\H,


G/H = [g]H = {gH} ,
g"G g"G


G\H = [g]Ä„H = {Hg} .
g"G g"G
Wykład z Algebry
Warstwy
Wniosek
Z zasady abstrakcji wynika, że
Wykład z Algebry
Warstwy
Wniosek
Z zasady abstrakcji wynika, że
dla dowolnych x, y " G, albo xH )" yH = ", albo xH = yH,
Wykład z Algebry
Warstwy
Wniosek
Z zasady abstrakcji wynika, że
dla dowolnych x, y " G, albo xH )" yH = ", albo xH = yH,

xH = G,
x"G
Wykład z Algebry
Warstwy
Wniosek
Z zasady abstrakcji wynika, że
dla dowolnych x, y " G, albo xH )" yH = ", albo xH = yH,

xH = G,
x"G
dla dowolnych x, y " G, albo Hx )" Hy = ", albo Hy = Hy,
Wykład z Algebry
Warstwy
Wniosek
Z zasady abstrakcji wynika, że
dla dowolnych x, y " G, albo xH )" yH = ", albo xH = yH,

xH = G,
x"G
dla dowolnych x, y " G, albo Hx )" Hy = ", albo Hy = Hy,

Hx = G.
x"G
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : k nZ 0} = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : k nZ 0} = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
[1] = {k " Z : k nZ 1} = {k " Z : n|k - 1} = {nk + 1 : k " Z}
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : k nZ 0} = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
[1] = {k " Z : k nZ 1} = {k " Z : n|k - 1} = {nk + 1 : k " Z}
[2] = {k " Z : k nZ 2} = {k " Z : n|k - 2} = {nk + 2 : k " Z} ,
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : k nZ 0} = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
[1] = {k " Z : k nZ 1} = {k " Z : n|k - 1} = {nk + 1 : k " Z}
[2] = {k " Z : k nZ 2} = {k " Z : n|k - 2} = {nk + 2 : k " Z} ,
.
.
.
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Niech n " N. Rozważmy parę grup Z, nZ (nZ < Z). Dla
wszystkich p, r " Z,
p nZ r Ð!Ò! -r + p " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : k nZ 0} = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
[1] = {k " Z : k nZ 1} = {k " Z : n|k - 1} = {nk + 1 : k " Z}
[2] = {k " Z : k nZ 2} = {k " Z : n|k - 2} = {nk + 2 : k " Z} ,
.
.
.
[n - 1] = {k " Z : k nZ (n - 1)} = {nk + (n - 1) : k " Z} .
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
(c.d.) StÄ…d
Z/nZ = {[0] , [1] , ..., [n - 1]} = Z\nZ.
Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Rozważmy podgrupę H := {id, (23)} grupy S3.
Elementy S3/H Elementy S3\H
(warstwy lewostronne) (warstwy prawostronne)
id H = H H id = H
(23) H = H H (23) = H
(12) H = {(12) , (123)} = H (12) = {(12) , (132)}

(13) H = {(13) , (132)} = H (13) = {(13) , (123)}

(123) H = {(123) , (12)} = H (123) = {(123) , (13)}

(132) H = {(132) , (13)} = H (132) = {(132) , (12)}

Wykład z Algebry
Warstwy
Example
Rozważmy podgrupę H := {id, (23)} grupy S3.
Elementy S3/H Elementy S3\H
(warstwy lewostronne) (warstwy prawostronne)
id H = H H id = H
(23) H = H H (23) = H
(12) H = {(12) , (123)} = H (12) = {(12) , (132)}

(13) H = {(13) , (132)} = H (13) = {(13) , (123)}

(123) H = {(123) , (12)} = H (123) = {(123) , (13)}

(132) H = {(132) , (13)} = H (132) = {(132) , (12)}

S3/H = {H, (12) H, (13) H} = {H, H (12) , H (13)} = S3\H.

Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie
Niech G będzie grupą, H < G. Dla każdego x " G zbiory xH i
Hx są równoliczne.
Dowód.
Wykład z Algebry
Warstwy
Niech x " G. Lewa translacja Lx o element x oraz prawa
translacja o element x w grupie G sÄ… elementami grupy
symetrycznej SG zbioru G. Zauważmy, że
Lx [H] = {Lx (h) " G : h " H}
= {xh " G : h " H}
= xH
oraz
Rx [H] = Hx.
Skoro Lx oraz Rx są odwzorowaniami różnowartościowymi, to
Lx|H : H Lx [H] i Rx|H : H Rx [H] sÄ… bijekcjami. StÄ…d
Lx [H] = H = Rx [H].
Wykład z Algebry
Warstwy
Definicja
Niech H < G. Moc zbioru G/H nazywamy indeksem podgrupy
H w grupie G i oznaczamy symbolem |G : H|.
Wykład z Algebry
Warstwy
Definicja
Niech H < G. Moc zbioru G/H nazywamy indeksem podgrupy
H w grupie G i oznaczamy symbolem |G : H|.
Twierdzenie Lagrange a
Jeżeli G jest grupą skończoną oraz H < G, to
|G : H| · |H| = |G| .
Wykład z Algebry
Warstwy
Definicja
Niech H < G. Moc zbioru G/H nazywamy indeksem podgrupy
H w grupie G i oznaczamy symbolem |G : H|.
Twierdzenie Lagrange a
Jeżeli G jest grupą skończoną oraz H < G, to
|G : H| · |H| = |G| .
Dowód.
Niech g1H *" ... *" gkH = G będzie rozkładem G na warstwy
rozłączne, gdzie gi " G, tzn. k = |G : H|. Skoro wszystkie warstwy
są równoliczne z H, to wówczas


k k k


|G| = giH = |giH| = |H| = k ·|H| = |G : H|·|H| .

i=1
i=1 i=1
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie (równoważne z twierdzeniem Lagrange a - choć
 ogólniejsze )
Jeżeli G jest grupą skończoną oraz K < H < G, to
|G : H| · |H : K| = |G : K| .
Wykład z Algebry
Warstwy
Twierdzenie (równoważne z twierdzeniem Lagrange a - choć
 ogólniejsze )
Jeżeli G jest grupą skończoną oraz K < H < G, to
|G : H| · |H : K| = |G : K| .
Dowód.
Z twierdzenia Lagrange a wynika, że
|G : H| · |H| = |G| ,
|G : K| · |K| = |G| ,
|H : K| · |K| = |H| ,
skÄ…d
|G| |H| |G:K|·|K|
|G : H| · |H : K| = · = = |G : K| .
|H| |K| |K|
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Definicja
Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm grupy G
na grupę G. Przez Aut (G) oznaczamy zbiór wszystkich
automorfizmów grupy G.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Definicja
Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm grupy G
na grupę G. Przez Aut (G) oznaczamy zbiór wszystkich
automorfizmów grupy G.
Niech G będzie grupą.
Twierdzenie
Aut (G) < SG.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Example
Dla dowolnego elementu g " G odwzorowanie
fg : G - G, fg (x) = gxg-1
jest automorfizmem grupy G. Istotnie, dla dowolnego g " G,
-1 -1
funkcjÄ… odwrotnÄ… do fg jest fg : G - G, fg (x) = g-1xg,
więc fg " SG oraz

fg (xy) = gxyg-1 = gx g-1g yg-1 = gxg-1 gyg-1
= fg (x) fg (y)
dla wszystkich x, y " G. Automorfizm fg nazywamy koniugacjÄ…
przez element g.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Example
Dla dowolnego elementu g " G odwzorowanie
fg : G - G, fg (x) = gxg-1
jest automorfizmem grupy G. Istotnie, dla dowolnego g " G,
-1 -1
funkcjÄ… odwrotnÄ… do fg jest fg : G - G, fg (x) = g-1xg,
więc fg " SG oraz

fg (xy) = gxyg-1 = gx g-1g yg-1 = gxg-1 gyg-1
= fg (x) fg (y)
dla wszystkich x, y " G. Automorfizm fg nazywamy koniugacjÄ…
przez element g.
Definicja

Inn (G) := Õ " Aut (G) : "g " G "x " G Õ (x) = gxg-1 .
Elementy zbioru Inn (G) nazywamy automorfizmami
wewnętrznymi grupy G lub koniugacjami.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Inn (G) < Aut (G)
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Inn (G) < Aut (G)
Dowód.
idG (x) = exe-1 dla każdego x " G, więc idG jest automorfizmem
wewnętrznym wyznaczonym przez element neutralny e grupy
G.Niech g, h " G oraz Õg, Õh : G G bÄ™dÄ… automorfizmami
wewnętrznymi grupy G,
Õg (x) = gxg-1, Õh (x) = hxh-1.
Wówczas
Õg ć% Õ-1 = Õg ć% Õh-1 = Õgh-1
h
jest koniugacją przez gh-1. Dowodzi to, że zbiór automorfizmów
wewnętrznych Inn (G) ze składaniem odwzorowań jest podgrupą
grupy Aut (G).
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Remark
Jeżeli grupa G jest abelowa, to Inn (G) = {idG}.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Example
Rozważmy grupę G = Cn zespolonych pierwiastków stopnia n z 1.
2Ä„ 2Ä„
Przypomnijmy, że Cn = µ , gdzie µ = cos + i sin . Niech k
n n
będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z n i mniejszą od n
(NWD (k, n) = 1, k < n). Definiujemy odwzorowanie
F : Cn - Cn, F (x) = xk.
Skoro Cn jest grupÄ… przemiennÄ…, to
F (xy) = (xy)k = xkyk = F (x) F (y)
dla wszystkich x, y " Cn, więc F jest homomorfizmem grup. Rząd
grupy Cn równa siÄ™ |Cn| = n. Pokażemy, że element F (µ) jest
rzÄ™du n. Istotnie, przypuśćmy, że rank F (µ) = s i 1 s < n.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Example
(c.d.) Wówczas
e = F (µ)s = (µs)k = µsk.
Skoro rank µ = n, to n|sk. Wynika stÄ…d, że n|s, gdyż zaÅ‚ożyliÅ›my,
że k < n oraz k i n są względnie pierwsze. Sprzeczność.
Skoro rank F (µ) = n, to Cn = F (µ) = Im F , skÄ…d wynika, że F
jest bijekcjÄ…. F " Aut (Cn).
Inn (Cn) = {idCn} .
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Definicja
Mówimy, że podgrupa H grupy G jest niezmiennicza względem
automorfizmu f " Aut (G), jeżeli f [H] ‚" H.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Definicja
Mówimy, że podgrupa H grupy G jest niezmiennicza względem
automorfizmu f " Aut (G), jeżeli f [H] ‚" H.
Definicja
PodgrupÄ™ N < G grupy G nazywamy dzielnikiem normalnym w
G lub podgrupÄ… normalnÄ… grupy G (co zapisujemy N G)
jeżeli jest niezmiennicza względem wszystkich automorfizmów
wewnętrznych, tzn.
f [N] ‚" N dla wszystkich f " Inn (G) .
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Niech N G. Wówczas gN = Ng dla każdego g " G, gdzie
gN = {gx " G : x " N} ‚" G,
Ng = {xg " G : x " N} ‚" G.
Istotnie, niech g " G oraz Õg " Inn (G) automorfizmem
wewnętrznym wyznaczonym przez element g. Wówczas
Õ-1 [N] = Õg-1 [N] ‚" N,
g
skÄ…d

N = Õg Õ-1 [N] ‚" Õg [N] .
g
Skoro Õg [N] ‚" N, to
N = Õg [N] = gNg-1,
czy równoważnie gN = Ng.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
N G,
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
N G,
N < G oraz Õ [N] = N dla każdego Õ " Inn (G) ,
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
N G,
N < G oraz Õ [N] = N dla każdego Õ " Inn (G) ,
N < G oraz gN = Ng dla każdego g " G,
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
N G,
N < G oraz Õ [N] = N dla każdego Õ " Inn (G) ,
N < G oraz gN = Ng dla każdego g " G,
N < G oraz gyg-1 " N dla dowolnych g " G, y " N,
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas równoważne są zdania:
N G,
N < G oraz Õ [N] = N dla każdego Õ " Inn (G) ,
N < G oraz gN = Ng dla każdego g " G,
N < G oraz gyg-1 " N dla dowolnych g " G, y " N,
G/N = G\N.
Twierdzenie
Jeżeli G jest grupą abelową, to H G wtedy i tylko wtedy, gdy
H < G.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
Example
(Przykład podgrupy, która nie jest dzielnikiem normalnym) W
przykładzie 3, gdzie H := {id, (23)} < S3 pokazaliśmy, że
(12) H = {(12) , (123)} = H (12) = {(12) , (132)}

oraz
S3/H = {H, (12) H, (13) H} = {H, H (12) , H (13)} = S3\H.

Example
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Dzielnik normalny
(Przykład podgrupy, która nie jest dzielnikiem normalnym)
Rozważmy G := S[0,+") grupę symetryczną zbioru [0, +") oraz

H := f " S[0,+") : f| (1, +") = id(1,+") .
H < G. Rozważmy odwzorowania

x2, jeżeli x " [0, 1] ,
f : [0, +") - [0, +") , f (x) =
x, jeżeli x " (1, +") ,
g : [0, +") - [0, +") , g (x) = 5x.
1
Wówczas g " S[0,+"), g-1 : [0, +") - [0, +"), g-1 (x) = x,
5
f " H oraz


4 16 16
g ć% f ć% g-1 (4) = (g ć% f) = g = = 4,

5 25 5
więc g ć% f ć% g-1 " H. H < G i H G.
/
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Niech G będzie grupą, N G, tj.
xNx-1 = N (1)
dla każdego x " N. Niech G/N = {gN : g " G} = G\N będzie
zbiorem ilorazowym relacji N ‚" G × G okreÅ›lonej w ten sposób,
że x N y Ð!Ò! y-1x " N dla dowolnych x, y " G; równoważnie

G/N = {gN}
g"G
jest zbiorem wszystkich lewostronnych warstw grupy G względem
N. W zbiorze G/N definiujemy mnożenie w ten sposób, że dla
każdego x, y " G:
(xN) · (yN) = (xy) N,
[x]N · [y]N = [xy]N .
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Tak zdefiniowane mnożenie klas abstrakcji nie zależy od wyboru
ich reprezentantów. Istotnie, niech [x]N = [x]N oraz
Ć
[y]N = [w
]N , tzn.
x-1x " N (2)
Ć
oraz
w
-1y " N. (3)
Wówczas

(xw
)-1 (xy) = w
-1 x-1x y " w
-1Ny = w
-1Nw
w
-1y
Ć Ć
(2)

= N w
-1y = N, więc [xy]N = [xw
]N .
Ć
(1) (3)
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Twierdzenie
Jeżeli N G, to zbiór warstw G/N z działaniem określonym
wzorem
(xN) · (yN) = (xy) N, x, y " G
jest grupÄ….
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Twierdzenie
Jeżeli N G, to zbiór warstw G/N z działaniem określonym
wzorem
(xN) · (yN) = (xy) N, x, y " G
jest grupÄ….
Definicja
GrupÄ™ G/N nazywamy grupÄ… ilorazowÄ… grupy G przez dzielnik
normalny N.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Example
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
(Grupa Zn) Niech n " N. Grupa Z jest abelowa, więc nZ Z. Dla
wszystkich p, r " Z,
pZ = rZ Ð!Ò! p - r " nZ
Ð!Ò! n|p - r
Ð!Ò! "k " Z p = nk + r.
Klasami abstrakcji relacji nZ sÄ… zbiory:
[0] = {k " Z : n|k} = {nk : k " Z} ,
[1] = {k " Z : n|k - 1} = {nk + 1 : k " Z} ,
[2] = {k " Z : n|k - 2} = {nk + 2 : k " Z} ,
.
.
.
[n - 1] = {k " Z : n|k - (n - 1)} = {nk + (n - 1) : k " Z} .
StÄ…d Zn = Z/nZ = {[0] , [1] , ..., [n - 1]} .
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Jeżeli (Zn, " n
) oznacza grupę z działaniem " n
, to
Ć : Zn - Z/nZ, k - kZ

jest izomorfizmem grup.
Example
Rozważmy grupę permutacji Sn oraz jej podgrupę alternującą An.
Zauważmy, że dla wszystkich à " Sn, Ä " An

sgn ÃÄÃ-1 = sgn (Ã) sgn (Ä) sgn Ã-1
= sgn (Ã) · 1 · sgn (Ã)
= (sgn (Ã))2
= 1,
więc
ÃÄÃ-1 " An.
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Zatem An Sn. Zauważmy, że dla dowolnych Ä…, ² " Sn,
Ä… An ² Ð!Ò! ²-1Ä… " An

Ð!Ò! sgn ²-1Ä… = 1
Ð!Ò! sgn (²) sgn (Ä…) = 1
Ð!Ò! sgn (Ä…) = sgn (²) .
Jeżeli n = 1, to S1/A1 = S1/S1 = {eA1} = {S1}.
Niech n 2 oraz e " Sn bÄ™dzie identycznoÅ›ciÄ…, Äo = (12) " Sn.
Wówczas
eAn = An, ÄoAn = {à " Sn : sgn à = -1} ,
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Sn/An = {An, ÄoAn}.
An ÄoAn
An An ÄoAn
ÄoAn ÄoAn Ä2An = An
o
Tabelka działania w Sn/An
Grupa Sn/An jest izomorficzna z O (1) = ({-1, 1} , ·). Ich
izomorfizmem jest odwzorowanie
F : Sn/An - O (1) , F (ÃAn) = sgn Ã,
F F
tj. An - 1, ÄoAn - -1. Zatem

Sn/An <" O (1) = C2.
=
Wykład z Algebry
=
Wykład z Algebry
Grupy niezmiennicze
Grupa ilorazowa
Definicja
Zbiór
Z (G) = {g " G : gx = xg dla każdego x " G}
nazywamy centrum grupy G.
Zadania
1. Pokazać, że jeżeli G jest grupą, to Z (G) G.
2. Pokazać, że jeżeli grupa G jest przemienna, to Z (G) = G.
3. Pokazać, że dla n 3, Z (Sn) = {id}.
4. Pokazać, że Z (GL (n)) = {a · In " GL (n) : a " R}.
5. Pokazać, że Z (A3) = A3 oraz Z (An) = {id} dla n > 3.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Jeżeli h : G H jest homomorfizmem grup, to ker h G oraz
<"
G/ ker h Im h.
=
Dowód.
Niech eG, eH będą jednościami odpowiednio w grupie G i H.
Wiadomo, że ker h < G. Niech x " G oraz y " ker h (tzn.
h (y) = eH). Wówczas

h xyx-1 = h (x) h (y) h x-1
= h (x) eHh (x)-1
= eH,
więc xyx-1 " ker h. Stąd ker h G.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Niech Ä„ : G G/ ker h oznacza rzutowanie,
Ä„ (x) = [x]ker h = x ker h, x " G.
Definiujemy h : G/ ker h - Im h w ten sposób, że przemienny
jest diagram
x | - - [x]
- ---
Ä„
G - - G/ ker h
---
|
|
h
|
h
“!
Im h
Zatem
h ([x]) = h (x) , x " G.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Poprawność definicji h: Jeżeli x, y " G i [x] = [y], to y-1x " ker h,
skÄ…d

h (x) = h y y-1x = h (y) h y-1x = h (y) eH = h (y) .
Zatem rzeczywiście h jest funkcją, dla której Im h = Im h.
Odwracając rozumowanie (rachunki!) w dowodzie poprawności
definicji h zauważamy, że dla dowolnych x, y " G, jeżeli
h (x) = h (y), to [x] = [y], więc h jest odwzorowaniem
różnowartościowym.
Ponadto dla dowolnych x, y " G,
h ([x] · [y]) = h ([xy]) = h (xy) = h (x) · h (y) = h ([x]) · h ([y]) ,
więc h jest również homomorfizmem grup. Obraz h równy jest
obrazowi odwzorowania h. Udowodniliśmy, że
h : G/ ker h - Im h jest izomorfizmem grup.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
Homomorfizm grup h : Z Zn, h (x) = x (mod n) indukuje
izomorfizm
<"
Z/nZ Zn.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
Homomorfizm grup h : Z Zn, h (x) = x (mod n) indukuje
izomorfizm
<"
Z/nZ Zn.
=
Example
Homomorfizm grup h : R S1, h (x) = e2Ä„ix indukuje izomorfizm
<"
R/Z S1.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
z
Homomorfizm grup h : C" S1, h (z) = indukuje izomorfizm
|z|
C"/R" <" S1.
=
+
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
z
Homomorfizm grup h : C" S1, h (z) = indukuje izomorfizm
|z|
C"/R" <" S1.
=
+
Example
Homomorfizm grup h : O(n) C2, h (A) = det A indukuje
izomorfizm
<"
O(n)/SO(n) C2 <" Z2.
= =
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
Homomorfizm grup h : S1 S1, h (x) = x2 indukuje izomorfizm
S1/C2 <" S1.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Uwaga
Jeżeli N jest dzielnikiem normalnym grupy G, to istnieje taki
homomorfizm grup Ć, że ker Ć = N.
Jeżeli N G, to G/N jest grupą oraz rzutowanie
Ä„ : G - G/N, g - [g]

jest homomorfizmem grup, którego jądrem ker Ą jest N.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas centrum Z(G) grupy G jest
<"
dzielnikiem normalnym G oraz G/Z(G) Inn G.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Pierwsze twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Twierdzenie
Niech G będzie grupą. Wówczas centrum Z(G) grupy G jest
<"
dzielnikiem normalnym G oraz G/Z(G) Inn G.
=
Dowód: Dla dowolnego g " G przez fg oznaczymy koniugację za
pomocą g, tzn. fg : G G, fg (x) = gxg-1. Wówczas
Z(G) = {g " G : gx = xg dla każdego x " G}
= {g " G : fg = idG} .
Skoro
È : G - Inn G, È (g) = fg
jest homomorfizm grup, którego obrazem jest Inn G oraz jądrem
jest Z(G), to pierwsze twierdzenie o homomorfiz
mie grup implikuje
<"
izomorfizm grup G/Z(G) Inn G.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Niech G będzie grupą. Iloczynem kompleksowym podzbiorów A,
B grupy G nazywamy zbiór
AB := {ab " G : a " A, b " B} .
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Niech G będzie grupą. Iloczynem kompleksowym podzbiorów A,
B grupy G nazywamy zbiór
AB := {ab " G : a " A, b " B} .
Przypomnijmy, że jeżeli H < G, x " G, to iloczyn kompleksowy
zbiorów {x} i H nazywamy lewostronną warstwą grupy G
względem podgrupy H wyznaczoną przez element x.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Niech G będzie grupą. Iloczynem kompleksowym podzbiorów A,
B grupy G nazywamy zbiór
AB := {ab " G : a " A, b " B} .
Przypomnijmy, że jeżeli H < G, x " G, to iloczyn kompleksowy
zbiorów {x} i H nazywamy lewostronną warstwą grupy G
względem podgrupy H wyznaczoną przez element x.
Twierdzenie
(a) Dla dowolnych podzbiorów A, B, C grupy G zachodzi równość
(AB) C = A (BC) .
(b) Jeżeli A < G i B < G, to AB jest podgrupą grupy G wtedy i
tylko wtedy, gdy AB = BA.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Dowód ad (b) A < G i B < G, więc element neutralny e grupy G
należy do A i do B oraz e = e · e " AB.
f& Załóżmy, że AB = BA. Wez
my dowolne a, å " A, b,Ú" B.
b
Ú-1
Skoro A i B sÄ… grupami, to å " A, b " B oraz b ·Ú " B.
b-1
Zauważmy, że
-1
(a · b) · å ·Ú = a · b ·Ú · å-1
b b-1
" A (BA) = A (AB) = (AA) B = AB.
f& Załóżmy, że AB jest podgrupą grupy G. Wówczas jeżeli a " A,
b " B, to wówczas b-1a-1 = (ab)-1 " AB. Istnieją takie a1 " A
oraz b1 " B, że b-1a-1 = a1b1 i wówczas a = b-1a-1b-1,
1 1
ab = b-1a-1b-1b = b-1a-1 " BA.
1 1 1 1
StÄ…d AB ‚" BA. Skoro AB ‚" BA oraz BA ‚" AB, to
BA = AB.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Jeżeli H oraz J są podgrupami grupy G oraz J G, to HJ < G
oraz H )" J H oraz
<"
HJ/J H/H )" J.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Dowód.
Skoro J jest normalnÄ… podgrupÄ… grupy G, to HJ = JH. Z
powyższego twierdzenia wynika, że HJ jest podgrupą G. Ponadto
J HJ, ponieważ J < HJ oraz J G.
H )" J < H jako iloczyn podgrup grupy G zawarty w H oraz
H )" J H, ponieważ H H oraz J G. Określamy odwzorowanie
Õ : H - HJ/J,
Õ (x) = xeJ = xJ,
które jest homomorfizmem grup oraz Im Õ = HJ/J. Istotnie, jeżeli
a " HJ, to a = xy dla pewnych x " H, y " J i wówczas ponieważ
y " J, więc
Õ (x) = xJ
= xyJ
= aJ.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Dowód c.d.
Zauważmy, że
ker Õ = {x " H : Õ (x) = J}
= {x " H : xJ = J}
= {x " H : x " J}
= H )" J.
Z pierwszego twierdzenia o izomorfiz
mie grup wynika, że
<"
odwzorowanie Õ indukuje izomorfizm grup H/ ker Õ Im Õ,
=
<"
H/H )" J = H/ ker Õ Im Õ = HJ/J.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Example
(Ilustracja) Dla G = Z, H = 12Z, J = 20Z z drugiego twierdzenia
o izomorfiz
mie grup 12Z)"20Z =H )" J H = 12Z,
12Z 12Z H HJ 12Z+20Z 4Z 4Z
<" <"
= = = = = = = Z5,
12Z)"20Z 60Z H )" J J 20Z 20Z 5 (4Z)
gdzie ostatni izomorfizm wynika z pierwszego twierdzenia o
izomorfiz
mie grup.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
G = C",
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
G = C", H = R" < C" = G
+
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
G = C", H = R" < C" = G ,
+
J = S1 = {z " C : |z| = 1} < C" = G.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
G = C", H = R" < C" = G ,
+
J = S1 = {z " C : |z| = 1} < C" = G.
Każdą liczbę zespoloną z " C \ {0} można zapisać w postaci
z = r · (cos Õ + i sin Õ) ,
gdzie r " (0, "), cos Õ + i sin Õ " S1, wiÄ™c
HJ = R" S1 = C".
+
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Drugie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
G = C", H = R" < C" = G ,
+
J = S1 = {z " C : |z| = 1} < C" = G.
Każdą liczbę zespoloną z " C \ {0} można zapisać w postaci
z = r · (cos Õ + i sin Õ) ,
gdzie r " (0, "), cos Õ + i sin Õ " S1, wiÄ™c
HJ = R" S1 = C".
+
Z drugiego twierdzenia o izomorfiz
mie grup
<"
C"/S1 = HJ/J H/H )" J = R" / {1} = R" .
=
+ +
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Jeżeli H i J sÄ… dzielnikami normalnymi grupy G oraz H ‚" J, to
J/H G/H oraz
<"
(G/H) / (J/H) G/J.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Dowód
Niech
Ä„H : G - G/H, x - xH,

Ä„J : G - G/J, x - xJ

oznaczajÄ… rzutowania. Definiujemy takie odwzorowanie
f : G/H - G/J,
że
f ć% ĄH = ĄJ,
tzn.
f
G/H xH - xJ " G/J.

Zauważmy, że f jest homomorfizmem grup, którego obrazem jest
Im f = G/J oraz jÄ…drem
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Dowód c.d.
ker f = {xH : x " G, f (xH) = J}
= {xH : x " G, xJ = J}
= {xH : x " J}
= J/H.
Z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie grup wynika, że
<"
(G/H) / (J/H) G/J.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład
Wez
my takie liczby naturalne n, d, że d|n. Niech m będzie taką
liczbÄ… naturalnÄ…, że n = d · m. Zauważmy, że
nZ Z, dZ Z,
nZ dZ.
Rozważając homomorfizm grup
f : Z - dZ/nZ, f (x) = (dx) Z = [dx] ,
dla którego Im f = dZ/nZ oraz
ker f = {x " Z : (dx) Z =nZ}
= {x " Z : dx " nZ}
= {x " Z : "p " Z dx = dmp}
= mZ
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Przykład c.d.
z pierwszego twierdzenia o izomorfiz
mie grup otrzymujemy, że
<"
Zm = Z/mZ = Z/ ker f Im f = dZ/nZ.
=
Wówczas, biorąc w 3. twierdzeniu o izomorfiz
mie grup G = Z,
H = nZ, J = dZ,
<"
Zd = Z/dZ = G/J (G/H) / (J/H) = (Z/nZ) / (dZ/nZ) .
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Trzecie twierdzenie o izomorfiz
mie grup
Wniosek
Wszystkie grupy cykliczne sÄ… izomorficzne z jednÄ… z grup
Z, Zn, n " N.
Jedynymi podgrupami grupy Z sÄ… grupy pZ = p dla p " N *" {0}
<"
oraz Z/pZ Zp = 1 . Z poprzedniego przykładu wynika, że jeżeli
=
n
" N dla n, m " N,
m
to
Z /nZ
<"
Z n
= .
n
m Z /nZ
m
Oznacza to, że wszystkie podgrupy grup cyklicznych i
wszystkie ich grupy ilorazowe sÄ… cykliczne.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Zadania
Zadanie
Rozważamy zbiór H := {id, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)} ‚" S4
<"
ze skÅ‚adaniem funkcji. Wykazać, że H S4, H Z2 × Z2 oraz
=
<"
S4/H S3.
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Zadania
Zadanie
Rozważamy zbiór H := {id, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)} ‚" S4
<"
ze skÅ‚adaniem funkcji. Wykazać, że H S4, H Z2 × Z2 oraz
=
<"
S4/H S3.
=
Zadanie
Pokazać, że Õ : G H jest homomorfizmem grup wtedy i tylko
wtedy, gdy {(x, Õ (x)) " G × H : x " G} jest podgrupÄ… grupy
G × H.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Zadania
Zadanie
Rozważamy zbiór H := {id, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)} ‚" S4
<"
ze skÅ‚adaniem funkcji. Wykazać, że H S4, H Z2 × Z2 oraz
=
<"
S4/H S3.
=
Zadanie
Pokazać, że Õ : G H jest homomorfizmem grup wtedy i tylko
wtedy, gdy {(x, Õ (x)) " G × H : x " G} jest podgrupÄ… grupy
G × H.
Zadanie
Pokazać, że G × {e} jest normalnÄ… podgrupÄ… grupy G × H oraz
grupa ilorazowa (G × H) / (G × {e}) jest izomorficzna z H.
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Zadania
Zadanie
Pokazać, że jeżeli A jest dzielnikiem normalnym grupy G oraz B
jest dzielnikiem normalnym grupy H, to A × B jest dzielnikiem
normalnym grupy G × H oraz
<"
(G × H) / (A × B) (G/A) × (G/H) .
=
Wykład z Algebry
Twierdzenia o izomorfizmach
Zadania
Zadanie
Pokazać, że jeżeli A jest dzielnikiem normalnym grupy G oraz B
jest dzielnikiem normalnym grupy H, to A × B jest dzielnikiem
normalnym grupy G × H oraz
<"
(G × H) / (A × B) (G/A) × (G/H) .
=
Zadanie
Oznaczmy przez G zbiór wszystkich takich funkcji f : R R, że
istnieją takie a " R \ {0}, że f (x) = ax + b dla każdego x " R.
Definiujemy

H = f " RR : "b " R "x " R f (x) = x + b .
Pokazać, że G ze składaniem odwzorowań jest grupą, H jej
<"
normalnÄ… podgrupÄ… oraz G/H R".
=