Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-
technicznych:
Wybór modelu opisowego, a w konsekwencji struktury
matematycznej modelu jest w znacznym stopniu arbitralny,
Struktura matematyczna u\
yta do modelowania powinna by
skończenie wymiarowa  tzn.: wyczerpująco opisana za pomocą
skończonej liczby parametrów,
Kryteria oceny modelu są ściśle związane z jego przeznaczeniem.
Wniosek:
Model uznany za adekwatny w jednym zastosowaniu mo\
e siÄ™
okazać nieadekwatny w innym.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Zadanie programowania liniowego PL
max f (x)= cT x
przy ograniczeniach:
A1x d" b1
A2 x e" b2
x e"0
dim x=n, dim c=n
Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w m1 i m2
ograniczeniach
dim A1 =[m 1 x n], dim A2 =[m 2 x n]
Wektory b1, b2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń
dim b1=m1, dim b2=m2
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Zadanie programowania liniowego - przykłady
x1 + x2 d" 5
Å„Å‚ üÅ‚
max x0 = 2x1 +1x2
ôÅ‚x
x"X
X = : - x1 + x2 d" 0 , x e" 0ôÅ‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
6x1 + 2x2 d" 21
ół þÅ‚
Przykład I System produkcji  maksymalizacja zysku
Przykład II System cięcia dłu\
yc
min x = 0.3x + 0.6x + 0.2x
0 1 2 3
7x + 3 x + 0x e" 2100
1 2 3
przy ograniczeniach
0x + 1x + 2x e" 1200
1 2 3
x , x , x e" 0
1 2 3
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Przykład III
Maksymalizacja zysków w procesie produkcji w fabryce papieru.
Cel: Optymalny poziom produkcji papieru niskiej i wysokiej jakości
przy uwzględnieniu ograniczeń.
Zakład przemysłowy produkuje papier niskiej i wysokiej jakości. Do produkcji
wykorzystywane są następujące składniki:
pulpa drzewna
chemikalia
szmaty lniane
woda
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Ceny surowców kształtują się Surowiec Cena jednost.
następująco: [zł/jedn.]
Pulpa 3
Woda jest wolna od opłat.
Chemikalia 4
Jej zu\
ycie jest nielimitowane.
Szmaty lniane 9
Surowiec/jedn Jakość papieru
W zale\
ności od tego, czy
ostkÄ™
Niska Wysoka
produkowany
jest papier niskiej, czy wysokiej
Pulpa 1,10 1,50
jakości zu\
ywana jest ró\
na
Chemikalia 0,10 0,20
ilość surowców.
Szmaty 0,10 0,40
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Koszt wyprodukowania jednostki papieru:
niskiej jakości wynosi - 1,8 [zł], natomiast
wysokiej jakości - 1,5 [zł].
Cena sprzeda\
y jednostki produktu końcowego wynosi :
10 [zł] dla produktu niskiej jakości
16,5 [zł] dla produktu wysokiej jakości.
Efektem ubocznym przy produkcji papieru są ścieki. Podczas wytwarzania
jednostki papieru niskiej jakości powstają 3 jednostki ścieków, zaś w przypadku
papieru o wysokiej jakości powstaje 6 jednostek ścieków.
Część ścieków poddawana jest procesowi oczyszczania w wyniku czego ilość
zanieczyszczenia jest redukowana o 50%. Pozostała część ścieków jest
odprowadzana do kanałów. Koszt tych operacji przedstawia się następująco:
Oczyszczanie ścieków powstałych przy produkcji papieru niskiej jakości = 0,11
[zł] na jednostkę produkcyjną,
oczyszczanie ścieków powstałych przy produkcji papieru wysokiej jakości =0,12
[zł] na jednostkę produkcyjną,
Koszt odprowadzenia jednostki ścieków do kanałów = 0,3 [zł].
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Proces produkcyjny obarczony jest z góry nało\
onymi ograniczeniami:
Zakład mo\
e zakupić maksymalnie 50 jednostek pulpy drzewnej
Maksymalna przepustowość oczyszczalni ścieków wynosi 60 jednostek
Ze względu na kooperację zakład musi wytworzyć przynajmniej 12
jednostek papieru niskiej jakości
Cel: znalezienie optymalnego poziomu produkcji papieru niskiej i wysokiej
jakości, takiego aby zysk przedsiębiorstwa był maksymalny.
Uwzględnić nale\
y wszystkie koszty generowane przez proces
produkcyjny oraz ograniczenia tego\
procesu.
W celu znalezienia maksymalnego dochodu , nale\
y zmaksymalizować
funkcję celu przedstawiającą dochód zakładu produkcji papieru.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Definicja problemu programowania liniowego PL
T
Wektor zmiennych decyzyjnych:
x = [x , x , x , x ]
1 2 3 4
gdzie:
- wielkość produkcji papieru niskiej jakości
x1
x2
-wielkość produkcji papieru wysokiej jakości
x3
-ilość oczyszczanych ścieków przy produkcji papieru niskiej jakości
x4
- ilość oczyszczanych ścieków przy produkcji papieru wysokiej jakości.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Pulpa drzewna Chemikalia Szmaty lniane
(koszt jednostki 3) (koszt jednostki 4) (koszt jednostki 9)
1,1x1 0,1x1 0,1x1 1,5x2 0,2x2 0,4x2
Koszt produkcji Koszt produkcji
jednostki papieru jednostki papieru
niskiej jakości 1,8 wysokiej jakości 1,5
3x1 6x2
3x1-x3 6x2-x4
x3 x4
x1 Koszt oczyszczania jednostki Koszt oczyszczania jednostki x2
ścieków przy produkcji papieru ścieków przy produkcji papieru
niskiej jakości 0,11 wysokiej jakości 0,12
0,5x3 0,5x4
Cena sprzeda\
y Koszt jednostki Cena sprzeda\
y
10 usuwanych ścieków 0,3 16,5
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Wyznaczenie funkcji celu i ograniczeń zadania produkcji papieru
dochód
10x1 +16,5x2
1,8x1 +1,5x2 koszty produkcji
koszty materiałów do produkcji papieru niskiej jakości
3Å"1,1x1 + 4 Å" 0,1x1 + 9 Å" 0,1x1
3Å"1,5x2 + 4 Å" 0,2x2 + 9 Å" 0,4x2 koszty materiałów do produkcji papieru wysokiej jakoÅ›ci
koszty oczyszczania ścieków
0,11x3 + 0,12x4
koszt odprowadzenia ścieków
0,3[(3x1 - x3 )+ 0,5x3 + (6 x2 - x4 )+ 0,5x4 ]
W celu znalezienia maksymalnego zysku, nale\
y maksymalizować funkcję celu w
postaci: dochód  koszty.
max F(X ) = 10x1 +16,5x2 -(1,8x1 +1,5x2)-(3Å"1,1x1 + 4Å"0,1x1 + 9Å"0,1x)+
X
-(3Å"1,5x2 + 4Å"0,2x2 + 9Å"0,4x)-(0,11x3 + 0,12x4)+
-(0,3[(3x1 - x3)+ 0,5x3 + (6x2 - x4)+ 0,5x4])=
= 2,7x1 + 4,4x2 + 0,04x3 + 0,03x4
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Zatem funkcja celu jest postaci:
max F(X ) = 2,7x1 + 4,4x2 + 0,04x3 + 0,03x4
X
Uwzględniając następujące ograniczenia :
maksymalna ilość pulpy
1,1x1 +1,5x2 d" 50
maksymalna przepustowość oczyszczalni
x3 + x4 d" 60
ścieków
3x1 - x3 d" 0
wymaganie nieujemnego przepływu
6x2 - x4 d" 0
wymaganie nieujemnego przepływu
wymaganie wyprodukowania określonej x1 e" 12
liczby papieru niskiej jakości
x e" 0
Wymaganie produkowania określonej liczby
2
papieru wysokiej jakości:
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Zadanie maksymalizacji zysku produkcji papieru
max x = 2.7x +1.5x + 0.04x + 0.03x
0 1 2 3 4
x"X
1.1x1 +1.5x2 d" 50
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x1 + x2 d" 60
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚3x - x3 e" 0, x e" 0ôÅ‚
òÅ‚ żł
1
ôÅ‚ ôÅ‚
6x2 - x4 e" 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x1 e" 12 ôÅ‚
ół þÅ‚
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Zadanie programowania nieliniowego PN
'"
ëÅ‚xöÅ‚
f (x)= f
ìÅ‚ ÷Å‚
min
íÅ‚ Å‚Å‚
x"X
przy ograniczeniach:
X = x gi(x)d"0, i=1,...,m
{ }
Zadanie programowania nieliniowego polega na znalezieniu wektora zmiennych
'"
decyzyjnych , nale\
ącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci:
x
takiego, \
e dla
"x"X
'"
ëÅ‚ öÅ‚
f x d" f (x )
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Przykład zadania programowania nieliniowego
Przykład IV. Zadania sterowania siecią dystrybucji wody minimalizujące
zu\
ycie energii elektrycznej
Dana jest sieć dystrybucji wody w postaci:
m- węzłów,
s - odbiorców z odpowiednimi potrzebami, w których utrzymywane jest
à "Rs
odpowiednie ciśnienie oraz n łuków,
ka\
dy łuk  i charakteryzuje się przepływem yi:
y"Rn
Opis sieci:
spadek ciśnienia xi na łuku  i :
x"Rn xi =ri yi2 sgn yi + di
gdzie: ri- opór hydrauliczny łuku  i
di- ró\
nica wysokości geodezyjnych łuku  i
Ograniczenia wynikajÄ…ce ze struktury sieci: A y = Ã
I prawo Kirchhoff a:
A  macierz incydencji dla węzłów sieci wodociągowej,
II prawo Kirchhoff a:
B x = 0
B  macierz oczkowa dla węzłów sieci wodociągowej.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Sterowanie sieciÄ… dystrybucji wody minimalizujÄ…ce zu\
ycie energii
elektrycznej
n
min f ( y) = fi(yi )
"
i=1
gdzie: fi(yi )= xi yi = ri yi3 sgn yi + di yi
przy ograniczeniach:
A y = Ã
B x = 0
xi =ri yi2 sgn yi + di
y"Rn
x"Rn
à "Rs
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Przykład V: Znalez
ć najlepszą liniową aproksymację nieznanej funkcji
określonej poprzez tabelę 20 pomiarów.
Wyznaczyć optymalne wartości wektora współczynników b=[b1 , b , b , b4] formy liniowej :
2 3
y = bT u
gdzie: u - wektor wielkości sterujących, y - wektor wielkości wyjściowych
Dane: tabela z 20 pomiarami wektora u wielkości sterujących oraz wektora wielkości
~
yi i =1,...,20
wyjściowych
dla następujących kryteriów jakości:
1. minimum sumy wartości bezwzględnych ró\
nic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
20
~
min [ f (b ) = y - y (b )
" i i
i =1
yi (b)
gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych
i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
yi (b)= b1u1i + b2u2i + b3u3i + b4u4i
Zadanie trudne do rozwiÄ…zania, poniewa\
funkcja celu jest nie-ró\
niczkowalna.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Równowa\
ne zadanie programowania liniowego
~
zi = yi - yi(b)
Wprowadzono nowÄ… zmiennÄ…:
- Zwiększenie wymiaru zadania: 24 zmienne niezale\
ne
20
min f (b ) = zi
"
i =1
przy ograniczeniach:
~
- zi d" yi -b1u1i -b2u2i -b3u3i - b4u4i d" zi
dla i=1,...,20
Zadanie programowania liniowego:
- funkcja celu jest wypukła
- rozwiÄ…zano metodÄ… dwufazowÄ… simpleks.
.
Wektor b optymalnych współczynników :
Wektor b optymalnych współczynników :
b = 51,87 b = 1,232 b = -0,122 b = -1,08
1 2 3 4
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Drugie kryterium jakości
2. minimum sumy kwadratów ró\
nic między wartościami wektora wyjść a
wartościami otrzymanymi z modelu liniowego:
2
20
min [ f (b) = (~ - yi (b))
yi
"
i=1
~
yi i =1,...,20
gdzie: - wartości zmierzone wielkości wyjściowych
yi (b)
- i=1,...,20 - wielkości wyjściowe obliczone na podstawie
modelu
yi(b)= b1u1i +b2u2i +b3u3i + b4u4i
Zadanie programowania nieliniowego:
funkcja celu jest wypukła
rozwiązano metodą gradientów sprzę\
onych w wersji Polak a-Ribiere y.
b = 39,28 b = 1,07 b = 0,16 b = -0,94
1 2 3 4
Wyniki identyfikacji zale\
ą od wyboru kryterium optymalizacji i przyjętej
dokładności obliczeń.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Przykład VI- Symulacja ruchu ramienia robota przemysłowego
Adekwatny model matematyczny dla szerokiej klasy obiektów sterowania- to układ równań
ró\
niczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.
W tym celu:
1. Konkretne ustalenie liczby równań
2. Oznaczenie wartości parametrów tych równań
3. Ustalenie warunków początkowych
4. Je\
eli to mo\
liwe - uproszczenie modelu do postaci równań liniowych
5. Poszukiwanie rozwiązania, minimalizującego błędy, wynikające z opisu w postaci modelu
matematycznego  układu równań ró\
niczkowych .
Proces symulacji:
Numeryczne rozwiązanie równań ró\
niczkowych poprzez:
" Zastąpienie pochodnych  ilorazami ró\
nicowymi
" Rozwiązanie wynikającego z tego faktu układu równań liniowych.
" Minimalizacja błędu dla układu równań ró\
niczkowych.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Przykład VII- Zadanie lokalizacji magazynu i ustalania tras dostaw
optymalizacji sieci tras dostaw z wyborem najlepszego poło\
enia dla
magazynu
Przykład VIII 
Zadania klasy VRP
np..: Firma CorbitConnect - obsługa rynku dostaw
np.: - procedury logistyczne:
- Route scheduling, optimisation and disposition
- Fleet management and controlling
- Fleet controlling
- Mobile navigation with tour management
- Mobile tour management
np.: Program PLANTOUR - Firma CorbitConnect
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka
Rozwiązywanie zadań in\
ynierskich  to umiejętność sprowadzania tych
zadań do standardowych problemów numerycznych, takich jak:
Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych,
Rozwiązywanie układu nieliniowych równań algebraicznych,
Aproksymacja i interpolacja funkcji jednej i wielu zmiennych,
Ró\
niczkowanie funkcji jednej i wielu zmiennych,
Całkowanie układów równań ró\
niczkowych zwyczajnych,
Rozwiązywanie zadań optymalizacji liniowej,
Rozwiązywanie zadań optymalizacji nieliniowej.
Zadanie numeryczne  to proces przetwarzania pewnego elementu zbioru
danych D w taki element zbioru wyników W, który spełnia zadane wymagania
D W,
R1, R2,& .
Układ {D,W, R1, R2,...} To klasa zadań numerycznych.
Teoria i metody optymalizacji Wydział Elektroniki studia II st.
Dr in\
. Ewa Szlachcic kier. Automatyka i Robotyka