ÿþP r o g r a m o w a n i e l i n i o w e c a Bk o w i t o l i c z b o w e
P C L M e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D B r a n c h a n d B o u n d T e c h n i q u e
( B & B )
T
m a x x = c x ,
0
A x = b ,
x e" 0 , x " Z
" P o d s t a w m e t o d o l o g i i B & B j e s t p r z e g l d d r z e w a r o z w i z a D.
" W y k o r z y s t u j e s i f a k t s k o Dc z o n o [c i z b i o r u m o \l i w y c h w a r t o [c i
z m i e n n y c h c a Bk o w i t o l i c z b o w y c h w p r z y p a d k u o g r a n i c z o n y c h
z a d a D P C L .
" E t a p y m e t o d y : - p o d z i a B
- g a Bz i e n i e
- o b l i c z a n i e g ó r n y c h i d o l n y c h o s z a c o w a D
f u n k c j i c e l u .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
M e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D B & B
j j
S = { x A x = b , x e" 0 i c a l k o w i t o l i c z b o w y } ,
j
O s Ba b i e n i e , k t ó r e p r o w a d z i d o z a d a n i a P L :
j j
T j = { x A x = b , x e" 0 }
T j ‡" S
j
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
M e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D B & B
P o d z i a B. P r z y j m i j m y , \e z a d a n i e P L z o s t a Bo r o z w i z a n e d l a
w i e r z c h o Bk a v j , p r z y c z y m x ( j ) m a n i e w s z y s t k i e s k Ba d o w e
c a Bk o w i t o l i c z b o w e . P r z y k Ba d o w o n i e c h p e w n a z m i e n n a
x B i = [ y i 0 ] + f i 0 , 0 < f i 0 < 1 .
P o d z i a B S j , k t ó r y j e s t p r z y t y m r o z b i c i e m z b i o r u , j e s t n a s t p u j c y :
S * = { S j )"{ x x B i d"[ y i 0 ] } , S j )"{ x x B i e"< y i 0 > } } ,
j
G d z i e < a > j e s t n a j m n i e j s z l i c z b c a Bk o w i t w i k s z l u b r ó w n a , [ a ]
z a [ o z n a c z a n a j w i k s z l i c z b c a Bk o w i t m n i e j s z l u b r ó w n a .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
M e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D B & B
S k o Dc z o n o [. Z a Bó \m y , \e k a \d a z e z m i e n n y c h x j j e s t
o g r a n i c z o n a i j e j g r a n i c a g ó r n a w y n o s i u j . N i e c h
k k
S = { x A x = b , 0 d" ± d" x d" ² d" u , j = 1 , . . . , n } ,
c a Bk o w i t e
k j j j j
k k
H = { x 0 d" ± d" x d" ² d" u , x j = 1 , . . . , n } .
c a Bk o w i t e
k j j j j j
Z a d a n i e P L j e s t p o \d a n y m o s Ba b i e n i e m z a d a n i a P C L , g d y \
d o Bc z o n e o g r a n i c z e n i a d a j g ó r n i d o l n g r a n i c d l a
p o s z c z e g ó l n y c h z m i e n n y c h .
Z a g a d n i e n i a P L p r z y z a Bo \e n i u o g r a n i c z o n o [c i z m i e n n y c h
r o z w i z u j e s i a l g o r y t m e m d u a l n y m s y m p l e k s .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
D r z e w o r o z w i z a D
z = - 1 5
0
0
z = - 1 7
x e" 4
x 2 d" 3
2
1
1
2
2
x 1 e" 1
x 1 e" 1
x 1 d" 0
x 1 d" 0
3
3
z = - 1 7
4 5 6
4 5 6
z = - 1 8 z = - 1 5 z = - 1 5
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P r z y k Ba d z a d a n i a P C L
m a x x 0 = - 7 x 1 - 3 x 2 - 4 x 3
x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 - x 4 = 8
3 x 1 + x 2 + x 3 - x 5 = 5
x 1 , x 2 , x 3 e" 0
R o z w i z a n i e P L
R o z w i z a n i e P C L
- x 1 - x 3 - x 5
- x 1 - x 3 - x 5
x 0 - 1 5 2 1 3
x 0 - 1 4 . 2 2 . 2 0 . 6 0 . 4
x 2 3 . 8 0 . 2 1 . 6 - 0 . 6
x 2 5 3 1 - 1
x 1 0 . 4 - 0 . 4 - 0 . 2 0 . 2
x 4 2 5 - 1 - 2
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P r z e g l d p o [r e d n i
m e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D d l a w e k t o r a b i n a r n e g o
[d a n i e b i n a r n o [c i w e k t o r a x n i e j e s t o g r a n i c z e n i e m
[d a n i e b i n a r n o [c i w e k t o r a x n i e j e s t o g r a n i c z e n i e m
z a d a n i a g d y j e s t z n a n a s k o Dc z o n a g ó r n a g r a n i c a u j d l a
z a d a n i a g d y j e s t z n a n a s k o Dc z o n a g ó r n a g r a n i c a u j d l a
s k Ba d o w e j x j
s k Ba d o w e j x j
d l a x " Z i 0 d" x d" u
j j j
x " S = { s 1 j , . . . , s p j }
j j
J e s t o n o r ó w n o w a \n e u k Ba d o w i o g r a n i c z e D:
p
x j =
"s ´k j
k j
k = 1
p
"´ = 1 d l a k a \ d e g o j
k j
k = 1
´k j = 0 l u b 1 , k = 1 , 2 , . . . , p d l a k a \ d e g o j
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P r z e g l d p o [r e d n i
m e t o d o l o g i a p o d z i a Bu i o s z a c o w a D d l a w e k t o r a b i n a r n e g o
E t a p y m e t o d y :
p o d z i a B w y b ó r p e w n e j z m i e n n e j x j i p r z y j c i e
*
{ { } { } }
S k = S k )" x , x j = 0 , S k )" x , x j = 1
o r a z
+
{ }
S k = j , j "W k i x j = 1
-
{ }
S k = j , j "W k i x j = 0
F k = { j , j "W k }
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P o d z i a B p o [r e d n i
o s z a c o w a n i a w i e r z c h o Bk o w i v k p r z y p o r z d k o w a n y j e s t p r o b l e m :
m a x z k =
"c x j + "c ,
j j
+
j "F k
j "S k
i = 1 , . . . , m ,
"a x j d" b i - "a = s i ,
i j i j
+
j "F k
j "S k
x j = 0 l u b 1 , j " F k .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P r o g r a m o w a n i e l i n i o w e c a Bk o w i t o l i c z b o w e
m e t o d o l o g i a o d c i
T
m a x x = c x ,
0
( 1 )
( 1 )
x " S = { x A x = b , x e" 0 i x " Z } .
Z a Bó \m y , \e i s t n i e j o r a z t a k i e , \e :
A b
T = { x A x = b , A x = b , x e" 0 }
S †" T
o r a z z a d a n i e o s Ba b i o n e w s t o s u n k u d o z a d a n i a ( 1 ) :
m a x x 0 = c T x , x "T
m a c a Bk o w i t o l i c z b o w e r o z w i z a n i e o p t y m a l n e x o p t .
W ó w c z a s x o p t j e s t r o z w i z a n i e m o p t y m a l n y m z a d a n i a ( 1 ) .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
M e t o d a o d c i
m a x x = c T x ,
0
( 2 )
x "Q = { x A x = b , x e"0 } .
Z a Bó \m y , \e m a m y r e p r e z e n t a c j p r o b l e m u ( 2 ) w p o s t a c i
x B = y i 0 - y i j x , i = 0 , 1 , . . . , m ,
" j
i
j "R
P o d s t a w o w e o d c i c i e
P o d s t a w o w e o d c i c i e
( [ h ] y i j - [ h y ] ) x e" [ h ] y i 0 - [ h y ]
" i j j i 0
j "R
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
O d c i c i a w m e t o d z i e f o r m c a Bk o w i t y c h
( y i j - [ y i j ] ) x e" y i 0 - [ y i 0 ] .
" j
j "R
y i j = [ y i j ] + f i j
f i j x e" f i 0 ,
" j
j "R
s = - f i 0 + f i j x , s e" 0 .
" j
j "R
s m u s i b y l i c z b c a Bk o w i t :
x B i = - ( - f i 0 + f i j x ) + ( [ y i 0 ] - [ y i j ] x ) ,
" j " j
j "R j "R
a [ y i 0 ] - [ y i j ] x
j e s t c a Bk o w i t e .
j e s t c a Bk o w i t e .
" j
j "R
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
H e u r y s t y c z n e r e g u By w y b o r u w i e r s z a zr ó d Bo w e g o
N a l e \y z b u d o w a o d c i c i e u s u w a j c e n a j w i k s z y m o \l i w y
o b s z a r n i e z a w i e r a j c y p u n k t ó w c a Bk o w i t o l i c z b o w y c h .
O d c i c i e s t a j e s i g Bb s z e , j e [l i
f i j “! a f i 0 ‘!
P o \d a n e j e s t a b y f i 0 b y Bo m o \l i w i e d u \e a
f i j b y Bo m o \l i w i e m a Be d l a j "
"R
"
"
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
R e g u By w y b o r u w i e r s z a w m e t o d z i e f o r m c a Bk o w i t y c h
f r 0 = m a x f i 0
( I )
i
f r 0 f i 0
= m a x
( I I )
i
f r j f i j
" "
j "R j "R
f r 0 f i 0
( I I I )
= m a x
i
f r k f i k
D l a o k r e [l o n e g o
k " R
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
B a d a n i e c a Bk o w i t o l i c z b o w o [c i r o z w i z a n i a P C L
W o b l i c z e n i a c h k o m p u t e r o w y c h l i c z b a r z e c z y w i s t a r j e s t
t r a k t o w a n a j a k o l i c z b a c a Bk o w i t a , j e [l i
m i n { 1 - f r , f r } d" µ
N i e r o z p o z n a n i e c a Bk o w i t o l i c z b o w o [c i m o \e p o w o d o w a :
w y k o n a n i e n i e p o t r z e b n y c h i t e r a c j i ,
d o Bc z e n i e n i e p o p r a w n y c h o d c i
u t r a t r o z w i z a n i a o p t y m a l n e g o .
I n a o d w r ó t b Bd n e s t w i e r d z e n i e c a Bk o w i t o l i c z b o w o [c i m o \e
s p o w o d o w a n i e p o p r a w n e z a k o Dc z e n i e o b l i c z e D.
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
O p t y m a l n e r o z w i z a n i e z a d a n i a P C L
R o z w i z a n i e d o p u s z c z a l n e x z a d a n i a P C L j e s t j e g o
r o z w i z a n i e m o p t y m a l n y m , g d y s s p e Bn i o n e t r z y
w a r u n k i :
y i 0 e" 0 , i = 1 , . . . , m ;
( i ) p r y m a r n a d o p u s z c z a l n o [,
y i = 1 , . . . , m ;
( i i ) c a Bk o w i t o l i c z b o w o [, c a Bk o w i t e ,
i 0
y e" 0 j " R
( i i i ) d u a l n a d o p u s z c z a l n o [, d l a w s z y s t k i c h
0 j
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
P r z e g l d a l g o r y t m ó w m e t o d o l o g i i o d c i
1 . M e t o d a f o r m c a Bk o w i t y c h - n i e s p e Bn i o n y w a r u n e k
c a Bk o w i t o l i c z b o w o [c i y i 0 d l a i = 1 , . . . , m
2 . C a Bk o w i t o l i c z b o w y a l g o r y t m d u a l n y n i e s p e Bn i o n y
w a r u n e k p r y m a l n e j d o p u s z c z a l n o [c i :
y i 0 e" 0 d l a i = 1 , . . . , m
3 . C a Bk o w i t o l i c z b o w y a l g o r y t m p r y m a l n y n i e s p e Bn i o n y
3 .
w a r u n e k d u a l n e j d o p u s z c z a l n o [c i :
y 0 j e" 0 d l a "j " R
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
A l g o r y t m o d c i d l a z a d a n i a P C L
K r o k 1
Z n a j d z r o z w i z a n i e s p e Bn i a j c e d w a s p o [r ó d t r z e c h
w y m i e n i o n y c h w a r u n k ó w . I d z d o K r o k u 2 .
K r o k 2 - T e s t n a o p t y m a l n o [
J e [l i t r z e c i w a r u n e k j e s t s p e Bn i o n y S t o p . W
p r z e c i w n y m w y p a d k u i d z d o K r o k u 3 .
K r o k 3 - O d c i n a n i e i e l i m i n a c j a
D o d a j o d c i c i e z o d p o w i e d n i o d o b r a n w a r t o [c i h .
D o k o n a j e l i m i n a c j i a b y z a c h o w a d w a w y b r a n e w a r u n k i .
M o \e z a i s t n i e k o n i e c z n o [ w y k o n a n i a w i k s z e j l i c z b y
k r o k ó w e l i m i n a c j i . W r ó d o K r o k u 2 .
T e o r i a i m e t o d y o p t y m a l i z a c j i W y d z i a B E l e k t r o n i k i s t u d i a I I s t .
D r i n \. E w a S z l a c h c i c k i e r . A u t o m a t y k a i R o b o t y k a
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