WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPR
ŻENIACH
Stan naprężenia w punkcie ciała
Załóżmy, że pewne ciało (rys. 1.1), obciążone układem sił zewnętrznych czynnych i
biernych, znajduje się w równowadze. Poprowadzimy myślowo pewną zamkniętą
powierzchnię A wewnątrz obszaru ciała. Interesuje nas, jakie jest oddziaływanie materiału
części zewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią A.
Rys. 1.1
Rozważmy element powierzchniowy "A na uprzednio wydzielonej powierzchni A oraz
poprowadz
my wektor jednostkowy ½ normalny do "A i skierowany na zewnÄ…trz powierzchni
A. W ten sposób uzyskaliśmy orientację "A w rozpatrywanym obszarze ciała, a ponadto
jesteÅ›my w stanie rozróżnić dwie strony "A w stosunku do wektora ½. MateriaÅ‚ leżący po
stronie dodatniej A, odpowiadajÄ…cej dodatniemu kierunkowi wektora ½, wywiera siÅ‚Ä™ "F na
część przylegÅ‚Ä… "A, ale leżącÄ… po stronie ujemnej normalnej ½. RównoczeÅ›nie siÅ‚a "F,
wynikająca z obciążenia zewnętrznego oraz odciętego przez A ciężaru ciała, staje się funkcją
pola elementu powierzchniowego "A, a poprzez ½ jest jednoznacznie zorientowana na
wydzielonej powierzchni A.
"F dF
Gdy "A zmierza do zera, to granica ilorazu "A zmierza do granicy skończonej dA przy
czym moment sił działających na element "A, względem dowolnego punktu tego elementu
powierzchniowego zanika.
Wektor graniczny o kierunku "F
dF
p½ = dA (1.1)
nazywamy wektorem naprężenia lub krótko naprężeniem.
Wynika stąd zasada naprężenia Eulera i Cauchy ego, która mówi, że na dowolnej,
myślowo poprowadzonej, zamkniętej powierzchni A wewnątrz danego materiału istnieje pole
wektorowe naprężeń, którego działanie na materiał wewnątrz A jest równoważne z
oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego.
Rys. 1.2
Przyjmijmy, że normalna zewnÄ™trzna ½ elementu "A jest skierowana tak jak na rys. 1.2,
ale siÄ™ z niÄ… nie pokrywa. Wobec tego wektor p½ = px może być rozÅ‚ożony (wzór 1.1.) na trzy
składowe o kierunkach przyjętego układu osi współrzędnych: pxx, pxy, pxz, przy czym:
px = pxxi + pxyj + pxzk
Podobnie dla innych powierzchni elementu "A zorientowanych względem przyjętego układu
współrzędnych będzie:
py = pyxi + pyyj + pyzk
pz = pzxi + pzyj + pzzk (1.2)
Składowe o indeksach równoimiennych są skierowane wzdłuż normalnych do
rozpatrywanych powierzchni, a odpowiadające im naprężenia nazywamy naprężeniami
normalnymi i oznaczamy przez ś, pozostałe zaś składowe nazywamy naprężeniami stycznymi
i oznaczamy przez ·.
Jednostką naprężenia jest Pascal (Pa).
N
Pa =
m2 .
Wobec powyższego składowe naprężeń, działających na pola elementarne, równoległe do
płaszczyzn przyjętego układu osi współrzędnych, można zapisać w postaci wyznacznika o
składnikach:
składowa stanu naprężenia:
- powierzchnia normalna do x Å›x ·xy ·xz
- powierzchnia normalna do y ·yx Å›y ·yz (1.3)
- powierzchnia normalna do z ·zx ·zy Å›z
co zostało przedstawione na rys. (1.3)
Rys. 1.3
Układ (rys. 1.3) zawiera składowe ogólnego stanu naprężenia w dowolnym punkcie
rozpatrywanego ciała.
Z podanych założeń i opisu stanu naprężenia wynika znakowanie naprężeń, przy czym
jednoznacznie określony jest tylko znak naprężenia ś; gdy działa ono wzdłuż osi na zewnątrz
przekroju, to uważamy go za dodatni, co w rzeczywistości odpowiada skutkom przez niego
wywoÅ‚anym. Natomiast znak naprężenia stycznego · jest umowny, przy czym najwygodniej
jest, aby podstawę znakowania tworzył przyjęty układ współrzędnych.
Rys. 1.4
Rozważmy obecnie stan równowagi prostopadłościanu o ściankach równoległych do
płaszczyzn współrzędnych. Naprężenia działające na poszczególnych ściankach zaznaczone
´Å›x
są na rys. 1.4, z którego wynika, że sile (śx + dx)dxdy działającej na ściance pionowej
´x
przedniej odpowiada siła śxdydz, działająca na ściance pionowej tylnej itd. Jako ciężar
elementu przyjmujemy siÅ‚Ä™ masowÄ… myÅ›lowo wyciÄ™tego elementu, przy gÄ™stoÅ›ci Á, równÄ…
ÁXdxdydz. Warunek równowagi wymaga, aby suma siÅ‚ i momentów siÅ‚ byÅ‚y równe zeru. Dla
sumy rzutów na oś x otrzymamy:
´Å›x ´·yx
Å›x + dx dydz - Å›xdydz + ·yx + dy dzdx  ·yxdzdx +
´x ´y
´·zx
+ ·zx + dz dxdy  ·zxdxdy + ÁXdxdydz = 0
´z
Pisząc pozostałe równania rzutów na osie y i z oraz porządkując i dzieląc obie strony
równania przez dxdydz otrzymamy:
´Å›x ´·yx ´·zx
+ + + ÁX = 0
´x ´y ´z
´·xy ´Å›y ´·zy
+ + + ÁY = 0 (1.4)
´x ´y ´z
´·xz ´·yz ´Å›z
+ + + ÁZ = 0
´x ´y ´z
Następnie piszemy pozostałe trzy równania momentów względem poszczególnych osi.
Rys. 1.5
Równanie momentów względem osi x lub dla wygody względem osi x (co nie zmienia
istoty zagadnienia - rys. 1.5), na którym zaznaczono tylko te naprężenia, które względem osi
x dają momenty różne od zera, znajdujemy:
´·yz 1 1 ´·zy 1
·yz + dy dzdx 2 dy + ·yzdzdx 2 dy  ·zy + dz dxdy 2 dz +
´y ´z
1
 ·zydxdy 2 dz = 0
Wykonując odpowiednie działania i skracając obie strony przez dxdydz otrzymujemy:
´·yz ´·zy
2·yz + dy  2·zy - dz = 0,
´y ´z
a następnie skreślając wyrażenia małe wyższego rzędu, otrzymamy:
·yz = ·zy
Analogicznie, pisząc równania momentów względem pozostałych dwóch osi: y oraz z i
wykonując odpowiednie działania otrzymamy:
·xy = ·yx
·xz = ·zx (1.5)
Te trzy równania wyrażają prawo równości odpowiadających sobie naprężeń stycznych
tzw. aksjomat Boltzmana, który możemy sformułować nastepująco: składowe naprężeń
stycznych, prostopadłe do krawędzi przecięcia się dwóch elementarnych przekrojów
wzajemnie prostopadłych są sobie równe.
Ta zależność zmniejsza ilość składowych stanu naprężenia w dowolnym punkcie z
dziewięciu do sześciu.
x xy xz
p (1.6)
y yz
z
1.2. Naprężenia główne
Stan naprężenia w otoczeniu punktu, który nazywamy stanem naprężenia w punkcie,
jest to stan fizyczny określony właściwościami materiału i oddziaływaniami zewnętrznymi.
Został on scharakteryzowany sześcioma składowymi stanu naprężenia.
Istnieje taki układ współrzędnych, związany z rozpatrywanym punktem ciała, dla
którego składowe stanu naprężenia przyjmują postać:
ś1, ś2, ś3, 0, 0, 0
a więc:
·xy = 0
·yz = 0 (1.7)
·xz = 0
Trzy osie, dla których otrzymamy takie wartości, nazywamy osiami głównymi stanu
naprężenia i oznaczamy je przez 1, 2, 3 natomiast naprężenia: ś1, ś2, ś3 nazywamy
naprężeniami głównymi.
Naprężenia główne ś1, ś2, ś3 możemy łatwo wyliczyć korzystając z tzw. równania
wiekowego (sekularnego):
ś3  ś2SI + śSII  SIII = 0 (1.8)
gdzie:
SI, SII, SIII  niezmienniki stanu naprężenia, które wynoszą odpowiednio:
SI = śx + śy + śz
SII = Å›x Å›y + Å›y Å›z + Å›z Å›x  ·2x  ·2y  ·2z (1.9)
SIII = Å›x Å›y Å›z + 2·x·y·z  Å›x ·2x  Å›y ·2y  Å›z ·2z
Równanie (1.8) zawsze posiada trzy pierwiastki rzeczywiste, przedstawiające
poszukiwane naprężenia główne ś1, ś2, ś3, przy czym pomiędzy tymi wartościami musi
zachodzić zależność:
ś1 > ś2 > ś3
Naprężenia te leżą wzdłuż trzech osi głównych 1, 2, 3 stanu naprężenia  wzajemnie do siebie
prostopadłych.
Jeśli rozpatrywany punkt ciała otoczymy elementarnym równoległościanem o bokach
równoległych do płaszczyzn głównych w tym punkcie, to na bokach tego równoległościanu
będą działać tylko naprężenia normalne równe naprężeniom głównym. Jest to fizycznie
istotna i bardzo ważna właściwość stanu naprężenia, pozwalająca na określenie naprężenia na
dowolnej płaszczyz
nie, zorientowanej wektorem ½, zależnoÅ›ciÄ…:
Å›½ = Å›1 l2 + Å›2 m2 + Å›3 n2 (1.10)
1.3. Płaski stan naprężenia
Gdy jedno z naprężeń głównych jest równe zeru, to taki stan naprężenia nazywamy
płaskim (spotykamy również określenie  dwukierunkowy stan naprężenia).
Przyjmujemy, że naprężenie główne ś3 = 0, czyli kierunkowi jego występowania
odpowiada oÅ› z. W tym przypadku mamy (rys. 1.6):
ś3 = śz = 0
oraz:
·xz = ·zx = 0,
a także
·zy = ·yz = 0.
Dla takiego przypadku niezmiennik SIII stanu naprężenia jest równy zeru, co jest
wystarczającym warunkiem do stwierdzenia płaskości stanu naprężenia.
 Rys. 1.6
Równanie (1.8) przyjmie postać:
ś2  śSI + SII = 0 (1.11)
Pierwiastkami tego równania, odpowiadającym wartościom ekstremalnym naprężeń, są
naprężenia główne płaskiego stanu naprężeń (dwukierunkowego):
S1 S2I
ś1,2 = ą - SII
2 4
PodstawiajÄ…c
SI = śx + śy
oraz
SII = Å›x Å›y  ·2x
znajdujemy
1 1
Å›1,2 = 2 Å›x + Å›y Ä… 2 (Å›x - Å›y)2 + 4·2xy (1.12)
Natomiast kąt nachylenia płaszczyzny głównej znajdujemy z następującego wzoru:
2·
tg2ąn = ś - śy (1.13)
x
przy czym:
nĄ
Ä…n = Ä…1 + ,
2
gdzie: n = 0, 1, 2, ...
Ä„
Interesują nas jedynie wartości ą1 przy n = 0 oraz ą2 = ą1 + 2 przy n = 1. Oznacza to, że
wartości ekstremalne ś1 = śą1 i ś2 = ś ą2 są do siebie wzajemnie prostopadłe.
Załóżmy, że znane są wartości naprężeń ś1 i ś2 a także położenie odpowiadających im
osi: 1 oraz 2. Dla wybranej przez nas pÅ‚aszczyzny, okreÅ›lonej wektorem ½ (rys. 1.7), jeżeli:
l = cosÄ…,
m = cos² = sinÄ…,
n = cosł = 0
to wartości naprężeń (zgodnie z 1.10) wynoszą:
1 1
Å›½ = śą = Å›1 cos2Ä… + Å›2 sin2Ä… = 2 Å›1 + Å›2 - 2 Å›1 - Å›2 cos2Ä… ,
1
·½ = ·Ä… = (-Å›1 + Å›2) sinÄ… cosÄ… = - 2 Å›1 - Å›2 sin2Ä… , (1.14)
gdyż:
·½ = p½ s = (iÅ›1l + jÅ›2m) (-im + jl).
Rys. 1.7
Z warunku istnienia ekstremum:
´·½ d·½
´Ä… = dÄ… = 0 ,
otrzymamy:
ś1 - ś2 = 0,
lub:
sin 2Ä… = 0,
oraz:
ś1 `" ś2 .
W pierwszym przypadku naprężenia styczne są równe zeru na dowolnej płaszczyz
nie
równoległej do osi z, tzn., że wszystkie takie płaszczyzny są płaszczyznami głównymi. W
Ą ś1 - ś2
drugim przypadku Ä… = Ä… 4 , co oznacza, że wartoÅ›ci maksymalne ·1,2 = Ä… wystÄ™pujÄ… na
2
płaszczyznach odchylonych o kąt ą 45o od płaszczyzn głównych. Naprężenia maksymalne
ś1 - ś2
·1,2 = Ä… otrzymujemy podstawiajÄ…c obliczone wg (1.12) Å›1 i Å›2:
2
1
·1,2 = Ä… 2 (Å›x - Å›y)2 + 4·2xy (1.15)
W naszych rozważaniach będziemy się zajmowali tylko płaskim stanem naprężenia
(dwukierunkowym).
OGÓLNE WIADOMOŚCI O ODKSZTAA
CENIACH
Opis geometryczny odkształceń
W założeniach wytrzymałościowych mechaniki ciała odkształcalnego przyjmuje się, że
zachodzące w nim, wskutek pewnych oddziaływań fizycznych, zmiany mają charakter ciągły.
Oznacza to, że dwa sąsiadujące ze sobą przed odkształceniem punkty ciała pozostają
punktami sąsiednimi także po odkształceniu. Wydzielmy z pewnego ciała odkształcalnego
element prostopadłościenny o krawędziach dx, dy, dz. Po odkształceniu przekrój ten ulegnie
odpowiednim przemieszczeniom, zależnym zarówno od zaistniałych oddziaływań fizycznych,
jak i własności materiałowych ciała. Element prostopadłościenny zmienia się zatem na
równoległościenny, a odkształcenie polega na zmianie kątów ściennych elementu (rys. 2.1).
 Rys. 2.1
DÅ‚ugoÅ›ci krawÄ™dzi: dx, dy, dz doznajÄ… przyrostów algebraicznych µxdx, µydy, µzdz, zaÅ›
proste przed odkształceniem kąty dwuścienne przyjmują po odkształceniu wartości: Ą/2-łxy,
Ą/2-łyz, Ą/2-łzx. Zatem odkształcenie elementu dx, dy, dz może być określone przez sześć
wielkości jednostkowych;
trzy wielkoÅ›ci wydÅ‚użenia wzglÄ™dnego µx, µy, µz,
-
- oraz trzy wielkości odkształcenia postaci, wyrażone zmianami kątów łxy, łyz, ł zx.
Przez wydłużenie względne rozumiemy stosunek przyrostu "l pewnej długości do jej
wymiaru pierwotnego l.
 Rys. 2.2
Wyobraz
my sobie (rys. 2.2), że rozpatrywany element prostopadłościenny składa się z
dużej liczby cienkich warstewek. Przyjmijmy, że odkształcenie nastąpiło na skutek poślizgu
poszczególnych warstw po sobie, ale w ten sposób, że krawędz
BE pozostała nieruchoma, zaś
krawędz
BC przeszła w BC , a krawędz
ED w ED . Przy dostatecznie małych wymiarach
elementu odkształcenie takie nie wpływa na wielkość pola jego powierzchni, a powoduje
jedynie zmianę kształtu, wyrażoną przez nachylenie boku BC i powstanie kąta ł. Miarą tego
odkształcenia jest, odniesione do jednostki długości boku BC, przemieszczenie CC które
wynosi (rys. 2.2)
CC = ´ = BCtgÅ‚ = BCÅ‚
Rodzaje odkształceń
W ogólnym stanie odkształcenia, gdy wszystkie składowe odkształceń są różne od zera,
objętość V równoległościanu, powstałego z prostopadłościanu V = dxdydz, można obliczyć
mnożąc (rys. 2.1):
- podstawę prostopadłościanu
Ä„
(1 + µx)dx(1 + µy)dy sin
2 - Å‚xy = (1 + µx)(1 + µy)dxdy cosÅ‚xy
- przez jego wysokość, która wynosi:
Ä„ Ä„
1 + µz dz sin
2 - Å‚yz sin 2 - Å‚zx = 1 + µz dz cosÅ‚yz cosÅ‚zx
Otrzymujemy wtedy
V = (1 + µx)(1 + µy)(1 + µz) cosÅ‚xy cosÅ‚yz cosÅ‚zx (2.1)
Objętość ta, będzie różna od objętości pierwotnej. Stąd przyrost jednostkowy objętości
wyrazi się zależnością:
"V V' - V
= = ( 1 + µx )( 1 + µy )( 1+ µz ) cos Å‚xycos Å‚yzcos,Å‚zx  1 (2.2)
V V
Po wymnożeniu dwumianów w nawiasach i po odrzuceniu iloczynów µ jako wielkoÅ›ci
małego rzędu znajdujemy:
"V
= (1 + µx+ µy+ µz) cosÅ‚xy cosÅ‚yz cosÅ‚zx  1 (2.3)
V
Podany we wzorze (2.3) przyrost objętości uwzględnia wszystkie składowe stanu
odkształcenia, zwanego mieszanym. Mogą zaistnieć przypadki, gdy odkształceniu będzie
towarzyszyła wyłącznie zmiana objętości bez zmiany kształtu lub odwrotnie, gdy zmieni się
kształt bez zmiany objętości. Pierwszy rodzaj odkształcenia nazywamy odkształceniem
objętościowym, natomiast drugi odkształceniem postaci.
Aby zaistniało odkształcenie czysto objętościowe, muszą być spełnione następujące
warunki:
Å‚xy = Å‚yz = Å‚zx = 0 i równoczeÅ›nie µx = µy = µz = µ `" 0, (2.4)
gdyż tylko w takim przypadku wszystkie kąty łij będą równe zeru.
Rys. 2.3
Gdyby skÅ‚adowe odksztaÅ‚ceÅ„ jednostkowych różniÅ‚y siÄ™ miÄ™dzy sobÄ…, np. µx `" µy, to
zgodnie z rysunkiem 2.3 musiałby powstać kąt ł, gdyż:
(1 + µy)dy 1 + µy
tg(Ä… + Å‚) = (1 + µ ) dx = 1 + µx tgÄ… .
x
Natomiast przy µx = µy = µ otrzymamy:
1 + µ
tg(Ä… + Å‚) = 1 + µ tgÄ… ,
co jest możliwe tylko przy ł = 0 (co należało udowodnić).
Dlatego też, przy µx = µy = µz = µ prostopadÅ‚oÅ›cian dx, dy, dz zmieni siÄ™ na podobny o
krawędziach zmienionych w stosunku do pierwotnego w proporcji
(1 + µ)
,
1
i wówczas otrzymamy:
"V
= 3µ . (2.5)
V
Przy odkształceniu czysto postaciowym objętość musi pozostać niezmieniona, czyli:
"V = 0, co wyraża zależność:
"V
= (1 + µx+ µy+ µz) cosÅ‚xy cosÅ‚yz cosÅ‚zx  1 = 0 (2.6)
V
W przybliżeniu, biorąc pod uwagę, że kąty łij są bardzo małe i wobec tego cosłij H" 1, warunek
(2.6) przyjmie postać:
µx + µy+ µz = 0 (2.7)
Jednoczesne niespełnienie warunku (2.4) i (2.7) świadczy o tym, że mamy do czynienia
z odkształceniem mieszanym: objętościowo  postaciowym.
Do zaistnienia odkształcenia czysto objętościowego musi być spełniony następujący
warunek:
Å‚ij = 0
oraz
µx = µy = µz = µ `" 0.
Natomiast dla odkształcenia postaciowego
Å‚ij `" 0,
ale
µx + µy+ µz = 0.
PRAWO HOOKE A
Zależność między stałymi sprężystości
W ogólnym stanie naprężenia ciała otrzymaliśmy sześć składowych stanu naprężenia:
Å›x, Å›y, Å›z, ·xy, ·yz, ·zx, oraz sześć skÅ‚adowych stanu odksztaÅ‚cenia: µx, µy, µz, Å‚xy, Å‚yz, Å‚zx. ZwiÄ…zki
łączące stan naprężenia ze stanem odkształcenia szczegółowo badał angielski fizyk Robert
Hooke (1635  1703) i zależności które podał, nazywamy prawem Hooke a.
Hooke przyjął liniową zależność pomiędzy składowymi stanu naprężenia a
odkształcenia. Składowe stanu naprężenia są jednorodnymi liniowymi funkcjami składowych
stanu odkształcenia. Właściwość tę wyrażamy w postaci prawa Hooke a;
1
µ = E Å› , (3.1)
które mówi nam: odkształcenie jest proporcjonalne do naprężeń, które je spowodowały, przy
czym E, zwane modułem sprężystości podłużnej lub modułem Younga, określa
proporcjonalność pomiÄ™dzy µ a Å›.
Wielkość E charakteryzuje odkształcalność materiału. Jest to tzw. stała materiałowa,
którą wyznaczamy doświadczalnie (jest stała dla danego rodzaju materiału). Prawo Hooke a,
jak wynika ze wzoru (3.1) definiuje nam związki fizyczne między odkształceniami a
naprężeniami jako liniowe.
µ'
Zmiany przekroju poprzecznego są proporcjonalne do naprężenia ś, zaś stosunek
µ jest
liczbą stałą zależną od właściwości materiału.
µ = - ź µ
gdzie:
µ  odksztaÅ‚cenie poprzeczne,
µ  odksztaÅ‚cenie wzdÅ‚użne.
Uwzględniając (3.1) otrzymamy:
1
µ2 = µ3 = - ź E Å›1 (3.2)
z uwagi na to, że
ś2 = ś3 = 0.
Stała ź, zwana współczynnikiem Poissona, jest obok E drugą stałą charakteryzującą
1
materiał, która przyjmuje wartości 0 < ź < 2 dla wszystkich materiałów.
Istnieje jeszcze trzecia stała materiałowa, którą oznaczamy przez G i określamy jako
moduł sprężystości poprzecznej lub moduł Kirchoffa.
Cecha ta odnosi się do kąta odkształcenia postaciowego ł, zwana prawem Kirchoffa.
1
Å‚ = G · (3.3)
Wielkość ta jest ściśle związana z podanymi wyżej dwoma stałymi materiałowymi i
wynosi:
E
G = 2(1 + ź) . (3.4)
Mamy więc formalnie trzy stałe materiałowe. Jednak ze względu na wzór (3.4), faktycznie w
materiale izotropowym występują tylko dwie stałe materiałowe (sprężystości).
W obliczeniach wytrzymałościowych bardzo często stosuje się zasadę superpozycji.
Oznacza ona, że jeśli szereg przyczyn Pi wywołuje odpowiednie skutki Si, związane z
przyczynami jednakową zależnością funkcyjną:
Si = f(Pi) (3.5)
to suma tych przyczyn:
n
P = Pi ,
i 1
wywoła skutek równy sumie poszczególnych skutków:
n
S = Si ,
i 1
przy czym dla sumy będzie spełniona ta sama zależność funkcyjna, jak dla poszczególnych
wielkości (3.5).
Aby można było stosować zasadę superpozycji, zależność pomiędzy przyczyną a
skutkami musi być funkcją liniową, czyli:
Si = kPi ,
gdzie:
k - współczynnik proporcjonalności, dlatego przy dodawaniu przyczyn współczynnik ten
można wyłączyć przed nawias,
S1 + S2 + ... + Sn = k(P1 + P2 + ... + Pn),
czyli:
S = kP. (3.6)
W przypadku zagadnień wytrzymałościowych o zastosowaniu zasady superpozycji
można mówić m. in. przy związkach między naprężeniami ś jako przyczynami, a
odksztaÅ‚ceniami µ, jako skutkami.
Można przyjąć, że zasada ta może być stosowana do materiałów podlegających prawu
Hooke a. Jeśli w materiale podlegającym prawu Hooke a wywołamy naprężenia: ś1, ś2, ...śn i
gdy zarówno każda wartość śi jak i ich suma jest mniejsza od wartości na granicy
proporcjonalności RH = śH, to znając poszczególne wydłużenia:
1
µ1 = E Å›1,
1
µ2 = E Å›2,
1
µn = E Å›n ,
możemy powiedzieć, że odksztaÅ‚cenie caÅ‚kowite jest równe sumie odksztaÅ‚ceÅ„ µi:
1 Å›
µ = " µi = E " Å›i = E (3.7)
Gdyby natomiast którekolwiek z poszczególnych naprężeń śi lub naprężenie sumaryczne
ś było większe od wartości RH, powyższe równanie nie będzie spełnione.
JeÅ›li znany jest ogólny stan naprężenia, okreÅ›lony przez ukÅ‚ad naprężeÅ„: Å›x,..., ·xy,..., oraz
jeśli są znane odpowiadające im odkształcenia, to możemy stosując zasadę superpozycji
wyznaczyć związki pomiędzy odkształceniami a naprężeniami w złożonym stanie naprężeń
(rys. 3.1).
Zakładając, że żadne z naprężeń ani ich sumy nie wywołują przekroczenia granicy
proporcjonalności, przyjmując ponadto wg (3.1), że:
Å›
µ'i = Ei ,
oraz wg (3.2):
1
µ  i = - źE Å›i ,
a także wg (3.3),
1
Å‚i = G ·i ,
możemy znalez
ć poszczególne składowe odkształceń, jak to podano w tabeli (rys. 3.1).
W związku z tym, sumując zgodnie z zasadą superpozycji poszczególne wiersze tabeli
(rys. 3.1) dla materiału izotropowego prawo Hooke a przyjmie postać:
Naprężenia Odkształcenia
µx µy µz Å‚xy Å‚yz Å‚zx
śx śx śx 0 0 0
-ź -ź
E E E
śy śy śy
0 0 0
-ź -ź
E E E
ś ś śz 0 0 0
-ź Ez -ź Ez
E
·xy
0 0 0 0 0
G
·yz 0
0 0 0 0
G
·zx
0 0 0 0 0
G
Rys. 3.1
1
µx = E Å›x  ź(Å›y + Å›z)
1
µy = E Å›y  ź(Å›z + Å›x)
1
µz = E Å›z  ź(Å›x + Å›y) (3.8)
·xy
Å‚x =
G
·yz
Å‚y =
G
·zx
Å‚z =
G
Wzory te wyrażają dla trójosiowego (trójkierunkowego) stanu naprężenia tzw.
uogólnione prawa Hooke a: składowe stanu odkształcenia są liniowymi jednorodnymi
funkcjami składowych stanu naprężenia.