7 Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne 1 Podstawy teorii miary probabilistycznej
n
Słabe wielkich liczb. Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk, Sn = Xn. Jeżeli
1.1 Zbiory mierzalne  à ciaÅ‚o zbiorów
k=1
prawo
n
(Xk-mk)
k=1
ciąg zbiega według prawdopodobieństwa do 0 to mówimy, że Xn spełnia słabe prawo wielkich liczb
n Załóżmy, że mamy jakiś zbiór &!. Niech F będzie taką rodziną podzbiorów &!, że:
Sn-ESn
(SPWL). Warunek z definicji można równoważnie zapisać: " >0 limn" P (| | ) = 0.
n

" &! " F " A " F Ò! A " F " "i"IAi " F Ò! Ai " F
i"I
Tw. Czebyszewa Ciąg niezależnych zmiennych losowych Xn spełnia SPWL, gdy istnieją wartości oczekiwane E(Xi)
2
i wariancje Ãi zmiennych Xi istniejÄ… i sÄ… wspólnie ograniczone (tzn. "Ã2"nV ar(Sn) Ã2).
Wtedy rodzinÄ™ F nazywamy à ciaÅ‚em zbiorów.
Gdy dana jest pewna rodzina A podzbiorów zbioru &!, à ciaÅ‚em generowanym przez tÄ… rodzinÄ™, nazywamy naj-
2
Tw. Markowa CiÄ…g zmiennych losowych Xn speÅ‚nia SPWL, gdy istniejÄ… wartoÅ›ci oczekiwane E(Xi) i wariancje Ãi
mniejsze (w sensie zawierania) à ciaÅ‚o zawierajÄ…ce A i oznaczamy Ã(A). Można udowodnić, że Ã(A) jest przekrojem
zmiennych Xi oraz limn" V ar(Sn) = 0.
n2
wszystkich à ciaÅ‚ zawierajÄ…cych A. Gdy A ma n elementów i sÄ… one parami rozÅ‚Ä…czne, oraz speÅ‚niajÄ… warunek
n
Ai = &! to Ã(A) ma 2n elementów.
Wniosek Jeśli Xn ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, dla którego istnieje wariancja,
i=1
to ciąg ten spełnia SPWL.
1.2 Zbiory borelowskie
Tw. Chinczyna Ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach i wspólnej wartości oczekiwanej
speÅ‚nia SPWL. Niech &! = R. Wówczas à ciaÅ‚o generowane przez wszystkie zbiory otwarte zawarte w R oznaczmy przez B(R) i
nazywamy rodziną zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera w szczególności wszystkie przedziały (a, b).
Funkcję f : R R nazywamy funkcją borelowską, gdy przeciwobrazy zbiorów postaci (-", a) są borelowskie.
Mocne prawo wielkich liczb. Xn jest ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk. Ciąg Xn spełnia mocne prawo
n
(Xk-mk) W szczególności wszystkie funkcje ciągłe, są borelowskie (ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe).
k=1
wielkich liczb (MPWL), gdy ciąg zbiega do 0 z prawdopodobieństwem jeden.
n
Uwaga. Jeśli ciąg spełnia MPWL to spełnia też SPWL.
1.3 Miara probabilistyczna
"
V ar(Xn)
n=1
Tw. Kołomogorowa Jeśli Xn są niezależne, V ar(Xn) istnieją oraz szereg jest zbieżny, to (Xn)n
n2 Niech dany bÄ™dzie pewien zbiór &! i à ciaÅ‚o F. FunkcjÄ™ P : F R+, speÅ‚niajÄ…cÄ…:
spełnia MPWL.

" P (") = 0, " P ( Ai) = P (Ai) dla parami rozłącznych
i"I i"I
Wniosek JeÅ›li (Xn)n jest ciÄ…giem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkÅ‚adzie i "nV ar(Xn) = Ã2 <
zbiorów Ai.
+", to Xn spełnia MPWL.
Wniosek Jeśli Xn spełnia założenia tw. Czybyszewa to spełnia MPWL. nazywamy miarą. Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek: P (X) = 1 to P nazywamy miarą probabilistyczną
lub prawdopodobieństwem.
Trójkę (&!, F, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy ego. Jeżeli {Xn} jest losowym ciągiem niezależnych zmien-
nych o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej ą1
i skoÅ„czonej wariancji Ã2 > 0, to ciÄ…g (Fn) dystrybuant
n
n Xi-nÄ…1
Xn-Ä…1 i=1
"
standaryzowanych średnich arytmetycznych Xn (standaryzowanych sum Xi) Yn = = jest
Ã
2 Rozkład prawdopodobieństwa
i=1 "
à n
n

1
y
"1 t2
zbieżny do dystrybuanty Ś rozkładu N(0, 1): limn" Fn(y) = e- 2
dt a" Åš(y)
2Ä„ -"
2.1 Rozkład dyskretny
Niech (X, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że rozkład prawdopodobieństwa P jest dyskretny, jeśli
istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór A " F taki, że P (A) = 1.
2.2 Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa
Rozpatrzmy przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P ). Funkcję F : R R, daną wzorem: F (t) = P ((-", t)) nazywa-
my dystrybuantą rozkładu P . Dystrybuanta posiada następujące własności:
" "t"R0 F (t) 1, " F (-") = limt-" F (t) = 0,
" F jest lewostronnie ciągła,
" F jest niemalejÄ…ca, " F (+") = limt+" F (t) = 1.
Punkty nieciągłości (punkty skokowe) F są tzw. nośnikami prawdopodobieństwa  tzn. prawdopodobieństwo
każdego takiego punktu jest niezerowe. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, to dystrybuanta jest ponadto
stała między punktami skokowymi.
2.3 Rozkład ciągły
Mówimy, że probabilistyczna P określona na (R, B(R)) jest typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f : R R, taka,
miara
że P (A) = f(x)dx dla dowolnego A " B(R). Funkcję f nazywamy gęstością miary P .
A
8 1
Własności gęstości miary probabilistycznej " f(x) 0 prawie wszędzie (czyli zbiór punktów w 5.3 Rozkład brzegowy

których to nie jest prawda, ma miarę równą 0).
" f(x)dx = 1,
Niech X : &! R2 wektor losowy o dystrybuancie F . Wówczas funkcje FX(x) = limy" F (x, y) oraz FY (y) =
R
limx" F (x, y) są dystrybuantami rozkładów na R. Rozkłady te nazywamy brzegowymi.

Każda funkcja f : R R która spełnia te własności jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Jeśli dodatkowo wektor losowy posiada gęstość f, to funkcje fX(x) = f(x, y)dy oraz fY (y) = f(x, y)dx są
R R
Niech f będzie gęstością, a F dystrybuantą. Wtedy zachodzi:
gęstościami rozkładów brzegowych na R.

x
F (x) = P ((-", x)) = f(t)dt
5.4 Parametry liczbowe
-"
Wartość oczekiwana Jeśli X = (X1, X2, . . . , Xn) jest wektorem losowym, to wektor liczb (EX1, EX2, . . . , EXn)
Dystrybuanta rozkładu typu ciągłego jest funkcją ciągłą. W punktach ciągłości f istnieje pochodna dystrybuanty i
nazywamy wartością średnią (oczekiwaną) wektora X. Jest ona określona jeśli wszystkie wartości oczekiwane EXi

zachodzi: f(x) = F (x).
istniejÄ….

Uwaga. Nie każda ciągła dystrybuanta jest dystrybuantą rozkładu typu ciągłego. Istnieją rozkłady które nie są
JeÅ›li Õ: Rn R funkcja borelowska, oraz X wektor losowy typu ciÄ…gÅ‚ego, to EÕ(X) = Õ(x)f(x)dx.
Rn
ani ciągłe ani dyskretne.
5.5 Przykłady
3 Zmienna losowa
Gęstości sumy, iloczynu, ilorazu zmiennych losowych:

ZmiennÄ… losowÄ… nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™ X : &! R takÄ…, że "x"R{É : X(É) < x} " F. W przypadku gdy
1. U = X + Y : k1(u) = f(x, u - x)dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(x)f2(u - x)dx
R R
F = 2&!, dowolna funkcja X : &! R jest zmiennÄ… losowÄ….

u 1 u 1
2. U = XY : k1(u) = f(x, ) dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(x)f2( )|x| dx
3.1 Definicje podstawowe
R x |x| R x
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (&!, F, P ), oraz pewna zmienna losowa X. Wówczas funkcja PX(A) =

X
3. U = : k1(u) = f(uy, y)|y|dy; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = f1(uy)f2(y)|y|dy
P (X-1(A)) jest miarÄ… probabilistycznÄ…, oraz (R, B(R), PX) jest przestrzeniÄ… probabilistycznÄ…. MiarÄ™ PX nazywamy
Y R R
prawdopodobieństwem generowanym przez zmienną losową X.
Mając miarę PX odpowiadającą pewnej zmiennej losowej X możemy więc zdefiniować pojęcie dystrybuanty
zmiennej losowej. DystrybuantÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™ FX : R R danÄ… wzorem1:
Dwuwymiarowy rozkład normalny ma gęstość daną wzorem:

FX(t) = PX((-", t)) = P (X-1(-", t)) = P (X < t). 1 1 (x - µ1)2 (x - µ1)(y - µ2) (y - µ2)2
f(x, y) = exp - - 2Á + dla (x, y) " R2
2 2
2Ä„Ã1Ã2 1 - Á2 2(1 - Á2) Ã1 Ã1Ã2 Ã2
3.2 Dyskretna zmienna losowa
" "
gdzie: µ1 = EX, µ2 = EY , Ã1 = D2X > 0, Ã2 = D2Y > 0, Á współczynnik korelacji zm.los. X i Y , przy czym
Zmienną losową X nazywamy zmienną typu dyskretnego, gdy istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór B " B(R),
|Á| < 1.
taki, że PX(B) = 1.
6 Zbieżność ciągów zmiennych losowych
3.3 Ciągła zmienna losowa
ZmiennÄ… losowÄ… X zmiennÄ… typu ciÄ…gÅ‚ego, gdy istnieje gÄ™stość rozkÅ‚adu prawdopodobieÅ„stwa PX. 1. Zbieżność z prawdopodobieÅ„stwem 1 (prawie na pewno, prawie wszÄ™dzie): P ({É : limninf Xn(É) X(É)}) = 1.
z pr. 1
Oznaczenie: Xn - X.
---
(p.n.)
3.4 Funkcja zmiennej losowej
wg pr.
2. Zbieżność wedÅ‚ug prawdopodobieÅ„stwa: " >0 limn" P ({É : |Xn(É) - X(É)| }) = 0. Oznaczenie: Xn -
---
Jeśli X jest zmienną losową, a g funkcją borelowską, to złożenie Y = g ć% X jest również zmienną losową. Ponadto
(P )
zachodzi:
X.
PY (B) = Pgć%X(B) = P ({É : g(X(É)) " B}) = P ({É : X(É) " g-1(B)}) = PX(g-1(B))
3. Zbieżność według dystrybuant (zbieżność względem rozkładu, słabo zbieżny)  ciąg dystrybuant Fn jest zbieżny
Ponadto jeśli X jest typu ciągłego to mamy:
D
do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F . Oznaczenie: Xn - X.
-

(s)
FY (y) = fX(x)dx.
{x:g(x)zbieżność według prawdopodobieństwa, a z niej wynika zbieżność według dystrybuant.
Jeśli dodatkowo, wiemy że g jest różniczkowalna i ściśle rosnąca (g (x) = 0), to:

Następujące warunki są równoważne ze zbieżnością z prawdopodobieństwem 1:

y "
" " >0 limk" n=k{|Xn - X| < } = 1
FY (y) = (g-1(t)) fX(g-1(t))dt
g-1(-") "
" " >0 limk" n=k{|Xn - X| } = 0
oraz
1
fY (y) = fX(g-1(y))(g-1(y)) = fX(g-1(y)) .
6.1 Twierdzenie o ciągłości
g (g-1(y))
CiÄ…g (Xn)n jest zbieżny wedÅ‚ug rozkÅ‚adu do X wtedy i tylko wtedy, gdy ciÄ…g funkcji charakterystycznych Õn jest
3.5 Niezależne zmienne losowe
zbieżny w każdym punkcie do funkcji ciÄ…gÅ‚ej Õ. Takie Õ jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej X.
Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich B1, B2, . . . , Bn zachodzi:
P (X1 = B1 '" X2 = B2 '" . . . '" Xn = Bn) = P (X1 = B1)P (X2 = B2) · · · P (Xn = Bn)
1
Wzór podany jest na kilka sposobów  stosuje się zamiennie kilka równoważnych form zapisu.
2 7
Normalny (Gaussowski) Cauchy ego 3.6 Charakterystyki zmiennych losowych
3.6.1 Wartość oczekiwana
" Parametry ¸, 
" Oznaczenie N(p, Ã2), N(0, 1) nazywamy standardo-

wym.
1 1 x-¸ WartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™ EX.
" F (x) = + arctan
2 Ä„ 
W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego wartość oczekiwana ma wartość:

(t)2
t 1
dt
" f(x) =
"1
" F (x) = e- 2 x-¸
= Åš(x)
Ä„ 1+( )2)
2Ä„ -" [ ]

EX = xipi.
i"I
(x-m)2 " Õ(t) = e-|t|
1
"
" f(x) = e- 2Ã2
dla x " R
à 2Ą
o ile szereg jest bezwzględnie zbieżny (jeśli nie jest to EX nie istnieje).
" Wartość oczekiwana i wariancja są niezdefiniowane
W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego o gęstości f, wartość oczekiwana wyraża się wzorem:
 nie istnieją gdyż całki rozbiegają do nieskończono-
" EX = m

ści.
EX = xf(x)dx
" V ar(X) = Ã2
" Uwaga. Jeśli X i Y mają standardowy rozkład nor-
R
malny to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy ego z
-t2
i istnieje, gdy całka jest zbieżna.
2
" Dla standardowego: Õ(t) = e
parametrami ¸ = 0 i  = 1
Własności wartości oczekiwanej
5 Zmienne losowe wielowymiarowe
" X 0 Ò! EX 0
Wektorem losowym lub zmienną losową wielowymiarową nazywamy dowolną funkcję X : &! Rn, która spełnia
" |EX| E|X|
warunek: "B"B(Rn X-1(B) " F, czyli przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego z przestrzeni2 Rn musi należeć
)
do à ciała.
" dla a, b " R zachodzi E(aX + bY ) = aEX + bEY
Każdą funkcję wielowymiarową X : &! Rn możemy przestawić w postaci: X = (X1, X2, . . . , Xn), gdzie dla
" dla a " R zachodzi Ea = a
każdego 1 i n Xi : &! R. Funkcja X jest zmiennÄ… losowÄ… wielowymiarowÄ… Ð!Ò! każde Xi jest ( zwykÅ‚Ä… )
zmiennÄ… losowÄ….
" E(X - EX) = 0
Odwzorowanie Õ: Rn Rm nazywamy funkcjÄ… borelowskÄ… gdy przeciwobrazy zbiorów borelowskich z Rm sÄ…
zbiorami borelowskim w Rn.
" E(XY ) = EX " EY , gdy X i Y są niezależne
ZÅ‚ożenie Õ ć% X, gdzie X wektor losowy a Õ funkcja borelowska, jest też wektorem losowym.
Wektor losowy jest wektorem typu dyskretnego, gdy istnieje taki co najwyżej przeliczalny zbiór B borelowski,
Wartość oczekiwana z funkcji zmiennej losowej JeÅ›li Õ jest funkcjÄ… borelowskÄ…, a zmienna losowa X jest typu
że PX(B) = 1.
dyskretnego, to:

Wektor losowy jest wektorem typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f taka, że PX(B) = . . . f(x)dx, dla dowol-
B
EÕ(X) = Õ(xi)P (X = xi)
nego B borelowskiego. Funkcję tą nazywamy gęstością (musi ona spełniać dodatkowe warunki, o czym niżej).
i"I
a gdy X jest typu ciągłego, o gęstości f, to:
5.1 Dystrybuanta

Gdy X : &! Rn jest wektorem losowym, dystrybuanta ma postać: F : Rn R, F (t1, t2, . . . , tn) = PX((-", t1) ×
EÕ(X) = Õ(x)f(x)dx
R
(-", t2) × . . . (-", tn)). W przypadku gdy n = 2 mamy: F (x, y) = P (X < x, Y < y) dla(x, y) " R2.
3.6.2 Wariancja
Własności
WariancjÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™ V ar(X) danÄ… wzorem: V ar(X) = EX2 - (EX)2.

" Jest lewostronnie ciągła i niemalejąca ze względu na każdą zmienną z osoba.
W przypadku zmiennej losowej X typu dyskretnego zachodzi wzór: V ar(X) = (xi - EX)2pi.
i"I
" "x"R limy-" F (x, y) = 0, "y"R limx-" F (x, y) = 0
WÅ‚asnoÅ›ci wariancji " V ar(X) = 0 Ð!Ò! "cP (X = c) = 1
" limx",y" F (x, y) = 1
" V ar(X) 0
" Dla dowolnych punktów (x1, y1), (x2, y2) takich, że x1 x2 i y1 y2 zachodzi nierówność F (x2, y2)-F (x2, y1)-
" V ar(cX) = c2V ar(X) dla c " R
" V ar(X Ä… Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) gdy X i Y sÄ…
F (x1, y2) + F (x1, y1) 0
" V ar(X + c) = V ar(X) niezależne
"
5.2 Gęstość
LiczbÄ™ V arX nazywa siÄ™ czasem odchyleniem standardowym i oznacza przez Ã(X).
Własności

3.6.3 Kowariancja i współczynnik korelacji
" PX(B) = . . . f(x)dx
B
Niech X, Y będą zmiennymi losowymi. Liczbę cov(X, Y ) = E[(X - EX)(Y - EY )] nazywamy kowariancją zmiennych

t1 tn
" F (t1, t2, . . . , tn) = . . . f(t1, t2, . . . , tn)dt1dt2 . . . dtn
X i Y . Kowariancję możemy wyliczyć również ze wzoru: cov(X, Y ) = EXY - EXEY . Zauważmy, że gdy X = Y to
-" -"

cov(X, Y ) = cov(X, X) = V ar(X).

" f(x, y)dxdy = 1
R2
TW. |cov(X, Y )| V ar(X)V ar(Y )
2 4
"nFx(x1,...,xn) Ponadto zachodzi: cov(aX +b, cY +d) = ac·cov(X, Y ), cov(a1X1 +a2X2, a3X3 +a4X4) = aiajcov(Xi, Xj).
i=1 j=3
" w punktach ciągłości: f(x1, . . . , xn) = .
"x1..."xn
cov(X,Y )
"
LiczbÄ™ Á(X, Y ) = nazywamy współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y .
V ar(X)V ar(Y )
Niezależność zmiennych: "(x,y)"R2F (x, y) = FX(x)FY (y) lub f(x, y) = fX(x)fY (y)
Gdy Á(X, Y ) = 0, to mówimy, że zmienne sÄ… nieskorelowane. Gdy Á(X, Y ) = Ä…1 to P (X = aY +b) = 1 dla pewnych
a, b " R.
2
Zbiory borelowskie w Rn, to à ciaÅ‚o zbiorów zawierajÄ…ce wszystkie zbiory otwarte z tej przestrzeni. Generowane jest np. przez wszystkie
otwarte kostki (iloczyny kartezjańskie przedziałów otwartych).
6 3
3.6.4 Inne charakterystyki liczbowe 4 Katalog zmiennych losowych
Zmienna typu dyskretnego
4.1 Dyskretne

Moment zwykły rzędu r ąr
= EXr = xrpi
i"I i
Równomierny " EX = np

Moment centralny rzÄ™du r µr = E(X - Ä…1
)r = (xi - Ä…1
)rpi
i"I
1
" pi =
" V ar(X) = npq
n
Mediana każda liczba x0,5 spełniająca warunki F (x0,5) 0, 5 limxx0,5 F (x); pi 0, 5 pi
xix1+...+xn
" EX =
" Õ(t) = (peit + q)n
n
Kwantyl rzędu p każda liczba xp, 0 < p < 1 spełniająca warunki F (xp) p limxxp F (x); pi p
xi
pi
xi xp Jednopunktowy
Poissona
Dominanta m0  punkt skokowy xk, różny od min(xi) i max(xi), dla którego p(xk) osiąga maksimum absolutne.
" P (x0) = 1
" Oznaczenie: P()
" EX = x0
Zmienna typu ciągłego " Parametr:  > 0

" V ar(X) = 0
Moment zwykły rzędu r ąr " P (k) = e- k dla k " N
= EXr = xrf(x)dx
R
k!

" Õ(t) = eita
Moment centralny rzÄ™du r µr = E(X - Ä…1 - Ä…1
)r = (x )rf(x)dx
" EX = 
R
Mediana F (x0,5) = 0, 5
Zero-jedynkowy " V ar(X) = 
Kwantyl rzędu p F (xp) = p it
" P (1) = p, P (0) = 1 - p = q
" Õ(t) = e(e -1)
Dominanta m0  odcięta maksimum absolutnego gęstości.
" EX = p
Geometryczny
" V ar(X) = pq
3.7 Funkcja charakterystyczna
" Oznaczenie: Geom(p).
" Õ(t) = peit + q
FunkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™ zespolonÄ… Õ: R C danÄ… wzorem Õ(t) =
" P (1) = p, P (0) = 1 - p
EeitX. W przypadku gdy X jest zmienną losową typu dyskretnego, funkcja charakterystyczna wyraża się wzorem:
Dwumianowy (Bernouliego)

" EX = p
Õ(t) = pkeitxk
" Oznaczenie: B(n, p), n-liczba prób, p-
1-p
k
" V ar(X) =
p2
prawdopodobieństwo sukcesu,
W przypadku ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f mamy natomiast:
n
peit
" P (k) = pkqn-k " Õ(t) =
k 1-(1-p)eit
eitxf(x)dx
R
4.2 Ciągłe
Własności funkcji charakterystycznej
Jednostajny(równomierny) Gamma
1. Õ(0) = 1.
" J((a, b)), gdzie (a, b)  przedział
" Oznaczenie: “(p, Ä…)
Å„Å‚
2. "t"RÕ(t) = Õ(-t), gdzie Õ(-t) oznacza liczbÄ™ zespolonÄ… sprzężonÄ… z Õ(-t).
x+a
ôÅ‚ dla a x b Ä…p
òÅ‚
b-a xp-1e-Ä…x dla x > 0
“(p)
" f(x) =
3. "t"R|Õ(t)| 1.
" F (x) = 0 dla x < a
0 dla pozostałych x
ôÅ‚
ół1 dla x > b

"
4. Õ jest funkcjÄ… jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… (co w szczególnoÅ›ci oznacza, że jest ona ciÄ…gÅ‚a).
gdzie “(p) = xp-1e-xdx, n = 1, 2, 3, . . ., “(n) =
0

(n - 1)!
1
5. Õ jest funkcjÄ… rzeczywistÄ… Ô! rozkÅ‚ad zmiennej losowej X jest symetryczny wzglÄ™dem x = 0. dla a x b
b-a
" f(x) =
it
" Õ(t) = (1 - )-p
0 dla pozostałych x
Ä…
6. JeÅ›li ÕX(t) jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X to, funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej Y = aX+b
jest funkcja ÕY (t) = eitbÕX(at). b-a
" Uwaga: “(1, Ä…) to rozkÅ‚ad wykÅ‚adniczy.
" EX =
2
n 1
7. Jeżeli istnieje k-ty moment zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej Õ, to Õ jest k-krotnie różniczkowalna
(b-a)2 " Uwaga: “( , ) to tak zwany rozkÅ‚ad Ç2 (chi kwa-
2 2
" V ar(X) =
1
12
i zachodzi zwiÄ…zek Ä…k drat) z n stopniami swobody.
= EXk = Õ(k)(0)
ik
eiat-1
" Dla J((0, a)): Õ(t) =
8. Funkcja charakterystyczna skończonej sumy niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji cha- iat
Beta
rakterystycznych tych zmiennych.
sin at
" Dla J((-a, a)): Õ(t) =
at
" Parametry: p, q > 0
TW. Niech F bÄ™dzie dystrybuantÄ…, zaÅ› Õ funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X. Wtedy:

Wykładniczy
1
xp-1(1 - x)q-1 x " (0, 1)
1. Dla a < b takich że, F jest ciągła (w tych punktach) zachodzi
²(p,q)
" f(x) =
" Parametr  > 0
0 w p.p.
R

1 e-ita - e-itb
“(p)“(q)
lim Õ(t)dt = F (b) - F (a)
1 - e-x dla x 0
²(p, q) :=
“(p+q)
R" 2Ä„ it
" F (x) =
-R
0 dla x < 0

1
Laplace a
2. JeÅ›li ponadto |Õ(t)|dt +", to X ma rozkÅ‚ad typu ciÄ…gÅ‚ego, o gÄ™stoÅ›ci f(x) = e-itxÕ(t)dt.
R 2Ä„ R
e-x dla x 0
" f(x) =
" Parametr  > 0
Wniosek. Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej.
0 dla pozostałych x
TW. JeÅ›li Õ jest funkcjÄ… charakterystycznÄ… zmiennej losowej X, okresowÄ… o okresie T = 2Ä„, to X jest zmiennÄ… typu


Ä„ " f(x) = e-|x| dla x " R
1 
2
dyskretnego o wartoÅ›ciach caÅ‚kowitych oraz P (X = k) = e-itkÕ(t)dt, k " Z. " Õ(t) =
2Ä„ -Ä„ 1+t2
4 5