Index

intro
vivo
lectio
audio
video
relaxo
conecto


baczność! izaak a pojęcie autorytetu?



Teoria gier w naukach społecznych

Wstęp

Początki teorii gier (TG) sięgają lat dwudziestych XX w. i wiążą się z
nazwiskami między innymi takich matematyków jak Borel, Ville i Von Neumann.
Uważa się jednak, że teoria rozwinięta została dopiero w roku
1944[1]. Von Neumann
i Morgenstern uzyskali wtedy wystarczający stopień ogólności i udowodnili na
tyle nietrywialne twierdzenia by można było teorię uznać za wartościową
matematycznie.
Specyficzna sytuacja tamtego okresu - II Wojna Światowa i przygotowania do
zimnej wojny - wpływała na kierunki badań całego świata naukowego. Dla
matematyków oznaczało to odejście od bardziej abstrakcyjnych działów królowej
nauk i zwrócenie się bardziej w stronę zastosowań matematyki. TG jest tego
bardzo wyraźnym przykładem - jest teorią matematyczną stworzoną bezpośrednio do
modelowania sytuacji konfliktowych, i jak wskazuje sam tytuł dzieła von Neumanna
i Morgensterna, ma znajdować zastosowanie w naukach ekonomicznych lub szerzej,
społecznych.
Zdaje się więc, że w większym stopniu niż to dotyczy innych działów uzasadnione
jest ocenianie aplikowalności TG. Taką próbą jest dzieło R. D. Luce i H. Raiffy
"Gry i decyzje"[2], które, jak mówi to nam podtytuł wydania oryginalnego, miało
pełnić rolę wprowadzenia i badania krytycznego. Książka ta jest uznaną pozycją w
świecie naukowym i postaramy się zreferować metodologiczne uwagi autorów
odnośnie teorii gier.
By praca nasza była zrozumiała musimy również przedstawić zarys teorii jako
takiej, ale jeszcze bardziej postaramy się ograniczyć formalną
stronę teorii. Punkty odnoszące się do opisanych w książce problemów pojęciowych
w kontekście zastosowań TG bezpośrednio w naukach społecznych zostaną oznaczone
gwiazdką(*). Przykłady, dotyczące samej teorii które nb. nie są zawsze
zaczerpnięte z omawianej przez nas książki, przeniesione są do przypisów.

1. Podstawowe pojęcia teorii gier.

1.1. By można było mówić o grze musimy mieć do czynienia z graczami, ruchami i
wynikami.
1.2. Graczy może być dowolna ilość ale gry dwuosobowe istotnie się różnią od
pozostałych gier n-osobowych. My zajmiemy się jedynie grami dwuosobowymi gdyż
ogólniejszy przypadek wymaga bardziej zaawansowanego aparatu matematycznego.
1.2.1.* Gracze mogą odpowiadać dowolnym instytucjom, osobom itd. Dla TG nie ma
znaczenia czy stroną konfliktu jest np. państwo czy pojedyncza osoba. Dla
efektywności modelu to ma znaczenie i bardzo trudno jest taką asymetrię
matematycznie oddać.
1.2.2.* Założenie racjonalności graczy stwierdza, że każdy gracz dąży do
maksymalizacji oczekiwanej użyteczności. Przyjęcie faktu, że wszyscy gracze są
nieomylni w swoich decyzjach bardzo ogranicza nam możliwe końcowe wyniki wielu
gier.
1.3. Gdy opisujemy pojedyncze ruchy jest to tzw. gra w postaci ekstensywnej,
poza tym wyróżniamy gry w postaci normalnej i w postaci funkcji
charakterystycznych.
1.3.1. Gra w postaci normalnej powstaje z postaci ekstensywnej gdy zauważymy, że
decyzja o tym, jaki ruch gracz wykona nie musi zapadać w trakcie gry. Na każdy
ruch przeciwnika możemy (teoretycznie) zaplanować przed grą naszą odpowiedź i
każdy taki nasz ciąg planowanych odpowiedzi rozpatrywać jako jedną strategię.
Wynik gry będzie zależał wyłącznie od przyjętych strategii każdego gracza i
ewentualnych ruchów losowych.
1.3.1.1. Strategia jako plan konkretnych ruchów jest to tzw. strategia czysta,
lecz chcąc znaleźć optymalną strategię często musimy wyznaczyć strategię
mieszaną, czyli taką, w której najpierw dokonujemy losowania a później z
określonym prawdopodobieństwem wybieramy jedną strategię
czystą.[3]
1.3.2.* TG zakłada, że każdy ruch jest jasno określony. Każdy gracz, wie jakie
ma możliwości do wyboru, choć nie musi znać ich konsekwencji. Choć to założenie
może wywołać pewne kłopoty, bo jest daleko idącą idealizacją, nie wydaje się
sensowne (czy nawet możliwe) konstruować teorię bez niego.
1.4. Każdy z graczy ma określone preferencje odnośnie każdego możliwego
zakończenia gry. Jako wynik gry tutaj będziemy rozumieć n-elementowy ciąg liczb
określający użyteczność (patrz rozdział 2.) każdego z graczy z danego
zakończenia gry.
1.4.1* Każdy gracz zna preferencje swoich przeciwników. To założenie jest
szczególnie kłopotliwe jeśli chodzi o zastosowania TG. Często podstawą
rozwiązywania prawdziwych sytuacji konfliktowych jest ukrywanie przed
przeciwnikiem swoich preferencji.

2. Teoria użyteczności.

2.1.Gdy chcemy nadać wartość liczbową wynikowi gry musimy określić funkcję
użyteczności gracza. Użyteczność nie sprowadza się do wygranej (np. pieniężnej),
jest również czymś więcej niż intuicyjnym liczbowym odpowiednikiem zadowolenia.
Została zbudowana cała aksjomatyczna teoria użyteczności (TU), która pełni ważną
rolę u podstaw TG.
2.2. Ważną sprawą jest to, że TG stawia sobie za cel rozpatrywać podejmowanie
decyzji nie tylko w sytuacji pełnej informacji; TU musi więc także ustalać
preferencje między loteriami.
2.2.1. Wiedza gracza jaką posiada na temat konsekwencji swoich ruchów wyznacza
nam ostatecznie odmienne rodzaje gry. Jeśli nie będziemy traktować zdarzenia
pewnego wyłącznie jako zdarzenia o prawdopodobieństwie równym jeden, mamy trzy
możliwości:
2.2.1.1. Pewność jest to sytuacja, gdy każde działanie ma z góry określone
konsekwencje.
2.2.1.2. Ryzyko - dla każdego działania mamy określony zbiór wyników wraz z
prawdopodobieństwami ich zajścia.
2.2.1.3. Niepewność zachodzi wtedy, gdy mamy określone możliwe konsekwencje ale
nie znamy ich prawdopodobieństw.
2.2.2.* TG w sytuacjach losowych rozważa najczęściej dwa kryteria podejmowania
decyzji: wartość oczekiwaną gry i poziom bezpieczeństwa. Obie te metody wykazują
pewne wady w konkretnych grach, choć kierowanie się nimi wydaje się być w pełni
racjonalne.[4]
2.3. Użyteczność ma mieć postać funkcji odzwierciedlającej nasze preferencje na
zbiór liczb. TU nakłada na użyteczność pewne warunki, wiele z nich budzi
wątpliwości odnośnie ich intuicyjnego rozumienia.
2.3.1. Uporządkowanie alternatyw to założenie, które stwierdza, że z każdej pary
wygranych wolimy jedną lub drugą, albo jesteśmy wobec nich indyferentni; oraz,
że nasze preferencje są przechodnie.
2.3.1.1.* Tak się może nie dziać z kilku powodów. Jednym z nich jest to, że
niektóre dwie sytuacje (wygrane) nie dają się porównywać. Są na zupełnie innych
płaszczyznach.
2.3.1.2.* Przechodniość też jest problematycznym założeniem. Często jedna osoba
nie ma jednego ustalonego kryterium wyboru alternatyw, ale każdą alternatywę
wybiera pod innym względem. Wyraźniej wady tego założenia widać na przykładzie
gracza, który jest zbiorowością, wtedy, nawet często, mamy do czynienia z
zapętleniem preferencji[5].
2.3.2. Założenie o redukcji loterii złożonych stwierdza, że loteria złożona
(czyli np. loteria między loteriami) daje się sprowadzić, zgodnie z teorią
prawdopodobieństwa, do równoważnej loterii prostej.
2.3.2.1.* Z punktu widzenia prawdziwych graczy redukcje takie nie są obojętne,
dla wielu więcej znaczy "atmosfera gry", niż rzeczywiste szanse na wygranie.
2.3.3. Trzecim założeniem jest ciągłość użyteczności, którą można traktować jako
postulat czysto techniczny, ale to założenie ma pewne budzące wątpliwości
konsekwencje.
2.3.3.1.* Gdy założymy ciągłość użyteczności dojdziemy np. do wniosku, że musi
istnieć takie prawdopodobieństwo, że gracz otrzyma 1 grosz gdy loteria o tym
prawdopodobieństwie się powiedzie a umrze gdy nie będzie miał szczęścia. Choć
prawdopodobieństwo to może przyjmować wartość bliską zeru lub jedynce, zdaje
się, że dla niektórych taka gra nigdy nie będzie do przyjęcia.
2.3.4. Założenie czwarte to podstawialność użyteczności. W skrócie: gdy jakieś
dwa wyniki są dla nas obojętne to możemy je równoważnie zastępować w loteriach.

2.3.5. Przechodniość obowiązuje też loterie, co może wywoływać te same problemy
co w punkcie 2.3.1.
2.3.6. Ostatnim warunkiem na użyteczność jest monotoniczność, przybliżymy to
założenie przykładem: gdy wolimy "A" niż "nie-A" a w loterii "1" "A" ma większe
prawdopodobieństwo niż w loterii "2", to wybierzemy loterię "1".
2.3.6.1.* Autorzy znaleźli i to założenie niewłaściwym w kontekście zastosowań,
lecz sami swoje przykłady uznali za naciągane. Ostatecznym wnioskiem z
porównania tego założenia teorii z możliwą praktyką jest przyjęcie konieczności
przyjmowania bogatszego zbioru alternatyw podstawowych niż proste sytuacje.
2.4. Każda wyznaczona dla jednego gracza funkcja jest równoważna ze swoim
przekształceniem liniowym. Tak ujęta użyteczność powoduje problem
międzyosobowego porównywania użyteczności. Nasza TU nie daje nam takiej
możliwości. Nie da się znaleźć także żadnej konwencjonalnej miary, o której
byśmy wiedzieli, że dla każdych dwóch graczy wyznacza ona tę samą
użyteczność.[6]

3. Gry dwuosobowe o sumie zerowej.

3.1. W grach tego typu mamy dwóch graczy, których struktura preferencji jest
względem siebie odwrotna. W każdej sytuacji wypłata jednego gracza równa się
odwrotności wypłaty drugiego gracza. Gry o sumie zerowej nazywa się grami
ściśle konkurencyjnymi.
3.1.1. Tego typu grami jest większość gier towarzyskich, gdy jeden z graczy
przegrywa, drugi wygrywa; jeden przegrywa z kretesem, drugi wygrywa z kretesem.

3.1.2.* W grach ściśle konkurencyjnych nie ma miejsca na współpracę; wśród
poważnych gier trudno znaleźć ten rodzaj gier, gdyż nawet w tak skrajnie
antagonistycznej sytuacji jak wojna jest miejsce na pokojowe negocjacje, bo
przeciwnicy najczęściej nie dążą do całkowitego wyniszczenia się nawzajem.
3.2. Gdy chcemy rozpatrywać konkretne gry dwuosobowe najłatwiej jest grę taką
zapisać w postaci macierzy (tabeli). Rzędy odpowiadają strategiom (czystym)
gracza pierwszego a kolumny drugiego. W polach odpowiadających kolejnym parom
strategii umieszczamy wyniki. Wyniki jako dwuelementowe ciągi mają tę własność,
że pierwsza z liczb ciągu (wypłata gracza pierwszego) jest zawsze przeciwna do
liczby odpowiadającej wypłacie drugiego gracza. Możemy więc, dla wygody,
zapisywać wynik jako pojedynczą liczbę np. wypłatę gracza
pierwszego.[7]
3.3. Przed naszkicowaniem dalszego rozwinięcia teorii, zwróćmy uwagę na to, co
autorzy mówią na temat charakteru teorii gier w ogólności. Nie ma ona charakteru
opisowego ale (warunkowo) normatywny. Określa ona jak powinni zachować się
gracze gdy chcą osiągnąć wynik, mający zadane cechy formalne.
3.4. Najczęstszym celem jaki stawiamy sobie badając jakąś grę jest
maksymizowanie poziomu bezpieczeństwa. Związane są z tym pojęcia strategii
dominującej i par strategii w równowadze.
3.4.1. Strategia A dominuje strategię B gdy strategia A zapewnia nie mniejszą
wypłatę dla dowolnej strategii przeciwnika. Ponieważ gracze są racjonalni i dążą
do jak najwyższych wypłat wiadomo, że strategia zdominowana nigdy nie zostanie
obrana, możemy więc rozpatrywać od razu zredukowaną macierz gry - bez kolumny
lub rzędu strategii zdominowanej.
3.4.2. Strategie są w równowadze gdy żadnemu z graczy nie opłaca się zmieniać
obranej strategii gdy przeciwnik pozostanie przy swojej. Takie strategie nazywa
się minimaksową i maksyminową i wyznaczają one tzw. punkt siodłowy bo jest w nim
wypłata najwyższa w kolumnie a najniższa w rzędzie (dla konwencji zapisu z
3.2.).[8]
3.5. Podamy teraz kilka własności gier o sumie zerowej dotyczących par strategii
w równowadze.
3.5.1. Nie wszystkie gry konkurencyjne mają pary strategii w równowadze.
3.5.2. Może istnieć kilka par strategii w równowadze ale dają taką samą
wypłatę.
3.5.3. Gdy pary strategii (a0, b0) i (a1, b1) są w równowadze, to pary
(a0, b1) i (a1, b0) również są w równowadze.
3.5.4. Każda strategia równowagi maksymizuje poziom bezpieczeństwa gracza, ale
nie odwrotnie.
3.6. Doniosłym wynikiem teorii gier jest twierdzenie minimaksowe stwierdzające,
że w każdej dwuosobowej grze o sumie zerowej istnieje strategia zapewniająca
maksymalizująca poziom bezpieczeństwa. Strategia w tym przypadku może, a nawet
- dla gier bez punktów siodłowych - musi, być strategią mieszaną
maksymalizującą poziom wartości oczekiwanej gry.
3.6.1.* Dla zastosowań teorii gier problem stanowi kwestia wybierania strategii
mieszanej, Absurdalnym wydaje się by np. dowódca wojskowy opracowując plan bitwy
ustalił (matematycznie w łatwy sposób) optymalną strategię mieszaną i rozmieścił
swoje wojska przy pomocy rzutu kostkami. Ostateczny wybór zawsze wydaje się
dotyczyć strategii czystej. Bardziej na miejscu strategia mieszana wydaje się w
przypadku, gdy grę przeprowadza się wielokrotnie (gry iterowane).
3.6.2.* Najczęściej podaje się, że zyskiem z przyjęcia strategii mieszanej jest
zachowanie tajności. Nie dajemy w ten sposób żadnej pewnej informacji na temat
wyboru jakiego dokonamy, ale TG wskazuje nam strategie mieszane jako optymalne
również w grach przeciwko ruchom losowym (przeciwnik nieracjonalny, gry
przeciwko przyrodzie), gdy nikt nie próbuje dociekać naszych strategii.
3.7. Schodząc na poziom ekstensywny, autorzy przedstawiają, bardziej złożony i
nie oczywisty, przykład gry, w której strategia, która nie maksymizuje poziomu
bezpieczeństwa, jest jednocześnie nie zdominowana przez żadną inną strategię i
byłaby psychologicznie pożądana podczas rozgrywania tej gry.

4. Niekooperacyjne gry dwuosobowe o sumie niezerowej.

4.1. Tym razem, w grach nieściśle konkurencyjnych strata jednego gracza nie musi
równać się zyskowi drugiego. Ściślej: "istnieje co najmniej jedna para loterii L
i L' oparta na wynikach gry, taka, że jeden z graczy przekłada L nad L', a drugi
nie przekłada L' nad L".[9]
4.1.1. Widzimy stąd, że musimy powrócić do opisywania wyników gry ciągami
dwuelementowymi, a pojedyncze liczby nie wystarczą.
4.1.2. W przypadku gier nieściśle konkurencyjnych autorzy stosują często jeszcze
inny sposób przedstawiania gier. Na osi współrzędnych zaznaczamy te punkty dla
których istnieje strategia mieszana, dla której współrzędne tego punktu są
wypłatą (właściwie wartością oczekiwaną wypłaty). Wyraźnie widać (z racji
1.2.2.), że jako zbiór wyników gry będzie możliwy brzeg narysowanej figury (i to
północno-wschodni brzeg).
4.2.1. Gry nieściśle konkurencyjne nadają się w większym stopniu do zastosowań,
jednak autorzy zauważają, że teoria, przy omawianiu tych, bardziej
skomplikowanych gier, nie jest już tak zwarta i elegancka. Dużo większe
zamieszanie wprowadzi umożliwienie graczom porozumienia się przed grą.
4.2.2. Istnieje jednak więcej sytuacji o charakterze gry nieściśle
konkurencyjnej, których TG nie może opisywać m.in. z powodu swojego normatywnego
charakteru.
4.3. Trudność teorii niekooperacyjnych gier dwuosobowych jawi się nam już przy
samym precyzowaniu naszego celu badań. Nie ma jasności co powinno stanowić
"rozwiązanie" gry.
4.3.1. Nie może to być wskazanie strategii w równowadze, bo tego rodzaju gry
mogą mieć kilka strategii w równowadze i to o różnych wynikach, a co gorsza,
jako, że nie możemy porozumieć się z przeciwnikiem, gdy wybierzemy strategię,
która należy do pary równowagi, nie mamy pewności czy nasz przeciwnik dobierze
"do pary". W grach nieściśle konkurencyjnych nie musi zachodzić zamienność par
strategii w równowadze (jak w 3.5.3).
4.3.1.1. Gra jest rozwiązalna w sensie Nasha gdy każde dwie pary strategii w
równowadze są zamienne.
4.3.2. Udowodnione jednak zostało, że każda gra niekooperacyjna ze skończonymi
zbiorami strategii czystych posiada co najmniej jedną parę strategii mieszanych
w równowadze.[10]
4.3.3. Autorzy wyróżniają jeszcze inne rodzaje "rozwiązań", zostają one
wprowadzone przez liczne pojęcia jak: niedopuszczalność łączna, dominacja
łączna, równoważność, rozwiązalność w ścisłym/słabym/kompletnie słabym sensie i
inne; nie będziemy ich dokładnie omawiać.
4.4.3.1. Przy okazji tych rozważań autorzy ubolewają, że pomimo licznych
wprowadzonych pojęć wyniki analizy w tym dziale TG są nadal "żałośnie
niekompletne".
4.4. Dalej R. Luce i H. Raiffa przedstawiają przykład gry, w której występują
dwie łącznie dopuszczalne pary strategii w równowadze i nie są one ani zamienne
ani równoważne. W tej sytuacji teoria rozstrzyga, że gra ta nie jest
rozwiązywalna w żadnym sensie. Przekonująco argumentują, że w sytuacji
rzeczywistego rozgrywania gry jedna para "dominuje psychologicznie" drugą - są
przekonani, że w każdej partii tej gry zostałaby wybrana ta właśnie dominująca
para strategii.
4.4.1. Taki wynik analizy wiąże się z bardzo dużą ujemną wypłatą w przypadku
drugiej pary strategii. Autorzy twierdzą, że TG nie może (póki co) modelować
tego typu sytuacji z powodu zaniedbania aspektu ilościowego na rzecz
jakościowego.
4.5. Gdy grę niekooperacyjną będziemy powtarzać dużą ilość razy, daje nam to
szanse na efekt "zmowy" bez negocjacji przed grą. Przez to, że gracze mogą
odkryć schemat, według którego gra przeciwnik, mogą dostosować swoją strategię,
co może przynieść korzyści zarówno jednemu jak i drugiemu.
4.5.1.* Poprzez przykłady autorzy wskazują, że taka sytuacja jest realistyczna.
W ogólnym przypadku taka gra odpowiada m.in. dylematowi używania dóbr
publicznych czy własności wspólnej. Intensywnie używając wspólne środki
podnosimy swoją użyteczność, chyba że każdy lub większość graczy przyjęła
intensywną strategię. Często optymalna strategia w społeczeństwie na odpowiednim
stopniu rozwoju jest "uświęcona" tradycją - ukształtowała się na zasadzie "prób
i błędów" przez wiele powtórzeń gry.

5. Dwuosobowe gry kooperacyjne.

5.1. W kwestii dwuosobowych gier kooperacyjnych ograniczymy się do naszkicowania
podstawowych problemów. Przyjmujemy, że sama idea gry kooperacyjnej jest
intuicyjnie zrozumiała, nie tracimy na ogólności ustalając, że porozumiewać się
gracze mogą przed grą (analogicznie do 1.3.1). Zaczniemy ogólnych założeń tego
działu TG.
5.1.1. Wszystkie wiadomości poprzedzające grę, formułowane przez jednego gracza,
są przekazywane bez zniekształceń drugiemu graczowi.
5.1.2. Wszystkie umowy są wiążące i wymuszane siłą przez reguły gry.
5.1.3. Wartościowanie przez gracza wyników gry nie ulega zniekształceniu wskutek
negocjacji przed grą.
5.2. Przy rozważaniu gier kooperacyjnych celowe wydaje się wprowadzenie jeszcze
kilku modyfikacji naszych założeń dotyczących poprzednich rodzajów gier, autorzy
pokazują jak się zmieni sytuacja w teorii przy różnych (nie wszystkich)
kombinacjach poniższych założeń.
5.2.1. Można przyjąć, że międzyosobowe porównywanie użyteczności jest sensowne
(chociażby częściowo). Taka sytuacja jest wyłącznie zakładana, nie przekłada się
ona z wprowadzonej TU.
5.2.2. Można wprowadzić instytucję wypłat ubocznych - są to wypłaty, które nie
są przewidziane przez reguły gry, ale mogą zostać ustalone (dla odpowiednich
sytuacji) w trakcie negocjacji przed grą przez współpracujących graczy.
5.2.3.* Autorzy podkreślają, że TG nie rozpatruje sytuacji z uchylonym
założeniem znajomości wypłat ani z uchylonym założeniem zmian użyteczności w
wyniku negocjacji, co uważają za obniżanie realizmu teorii.
5.3. Obszar negocjacji gry jest to zbiór możliwych rozwiązań, takich, że dla
każdego z graczy wypłata jest nie mniejsza niż ta którą zapewniałby sobie grając
niezależnie od podejmowania negocjacji.
5.3.1. Obszar negocjacji jest zbiorem optymalnym w sensie Pareto, czyli zachodzi
sytuacja, że nie można poprawić użyteczności jednego gracza bez obniżania
użyteczności drugiego.
5.4. Inną sprawą jest, że są takie gry, które bez etapu negocjacji potoczyłyby
się dla jednego z graczy (np. gracza A) lepiej niż w swojej wersji
kooperacyjnej. Przeciwnik (gracz B) tego pechowego gracza A ma strategię, która
daje dużą stratę graczowi A, przy relatywnie małej swojej wypłacie i może on
użyć swego rodzaju groźby narażając gracza A na duże straty gdy ten nie
zobowiąże się do stosowania strategii dla gracza B korzystnej. Bez etapu
negocjacji gracz B nic nie zyska na używaniu agresywnej strategii chyba, że gra
jest iterowana jak w punkcie 4.5.
5.5.* Bardzo ciekawym konstruktem TG są schematy arbitrażowe. Mają one modelować
sytuację, gdy gracze chcąc rozstrzygnąć spór i mając możliwość negocjacji
zwracają się do niezależnego arbitra by wyznaczył strategie, które będą ich
obowiązywać w trakcie gry. TG chce ustalić schematy, według których arbiter
wyznacza kombinację optymalnych strategii.
5.5.1.* Upraszczając, możemy mówić, że TG stara się precyzyjnie, matematycznie
uchwycić ideę sprawiedliwości czy uczciwości.
5.5.2. Przed scharakteryzowaniem schematów arbitrażowych, autorzy przestawiają
interesującą analogię między sytuacją społeczną a samym budowaniem teorii.
Głosując na osobę, która będzie pełniła rolę arbitra w społeczeństwie musimy
ocenić jego zdolność rozstrzygania w nieograniczonej klasie gier. Wybieramy więc
jedynie platformę, zbiór ogólnych zasad, które charakteryzują istotę decyzji
sędziego. Analogicznie, przy budowie teorii ustalamy jedynie pewne aksjomaty
schematów arbitrażowych.
5.5.2.1. Rozwiązanie arbitrażowe powinno zawierać się w obszarze negocjacji gry.

5.5.2.2. Rozwiązanie arbitrażowe nie powinno zależeć od konkretnych jednostek
użyteczności, użytych dla abstrakcji tego problemu w model formalny.
5.5.2.3. Schemat arbitrażowy powinien być powszechny - niezależny od indeksów
("nazwisk") indywiduów wchodzących w skład konfliktu.
5.5.2.4. Jeśli dwie gry są "bliskie" to ich rozwiązania arbitrażowe również
powinny być bliskie.
5.5.2.5. Rozwiązanie powinno odzwierciedlać możliwości groźby, jakimi gracze
dysponują w sytuacji konfliktowej (patrz 5.4).
5.5.3. Schematy arbitrażowe są stosowane najczęściej do znajdywania rozwiązań
gier targu, czyli takich gier które modelują wymianę dóbr.
5.6. Autorzy omawiają kilka wersji schematów arbitrażowych, z których każdy może
dawać inne rozwiązanie. Jak sami zauważają nie ma przekonujących argumentów, dla
których mielibyśmy wybrać jeden z nich, mają one różne zalety lecz raczej w
dziedzinie matematycznej elegancji, lub wygody stosowania w różnych
sytuacjach.


Zakończenie

TG jest niewątpliwie zacnym osiągnięciem współczesnej matematyki. Od czasu
napisania książki "Gry i decyzje" znalazła ona zastosowanie nie tylko w naukach
modelowych lecz również przy rozwiązywaniu problemów teoretycznych topologii,
logiki czy teorii modeli choć największe triumfy święci stale w naukach
społecznych. Nic dziwnego, że możemy zauważyć swego rodzaju modę na TG wśród
badaczy tych dziedzin, choć z drugiej strony, w wyniku tej mody, jak donoszą
R. Luce i H. Raiffa, u niektórych naukowców rodzi się pewien zawód z powodu
bardzo dużych względem teorii oczekiwań.
Pomimo licznych problemów na jakie natrafiamy stosując TG do nauk ekonomicznych,
socjologicznych czy politycznych nie ulega wątpliwości, że dalsze rozwijanie
teorii jest bardzo dla nauki wartościowe i na pewno będzie się dokonywać, a
problemy związane ze stosowaniem TG wynikają, być może, w większej mierze z
ogromnej złożoności przedmiotu nauk społecznych niż z niedostatków samej teorii.



[1]
J. Von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behaviour,
Princeton 1944.
[2]
R. D. Luce, H. Raiffa, Gry i decyzje, Warszawa 1964; tytuł oryginału:
Games and Decisions, Introduction and Critical Survey.
[3]
Rozpatrzmy grę, w której gracze jednocześnie wybierają po elemencie ze zbioru
dwuelementowego. Pierwszy gracz wygrywa gdy wybiorą ten sam element, a drugi gdy
inne elementy. Strategią optymalną jest tutaj wybór oparty na losowaniu (z
prawdopodobieństwem 1/2).

[4]
Paradoks petersburski, pochodzący od Bernoulliego, przedstawia nam grę, w której
rzucamy rzetelną monetą aż do momentu gdy wypadnie orzeł. Gdy orzeł wypadnie po
n rzutach grający otrzymuje wypłatę 2^n zł. Wartość oczekiwana tej gry dąży do
nieskończoności, zdawałoby się więc, że przy dowolnej cenie uczestnictwa w tej
grze jest ona korzystna dla grającego.

[5]
Rozpatrzmy gracza, którym jest grupa trzech osób o preferencjach: A>B>C, B>C>A i
C>A>B, gdzie A, B i C są ocenianymi sytuacjami. Gdy będą te osoby dokonywały na
podstawie głosowania wyboru w parach (A,B), (B,C), (C,A) wszystkie trzy pary
alternatyw nie utworzą nam łańcucha preferencji

[6]
Użyteczności próbuje się nadać czasem jednostki zwane utilami, nie jest to
jednak przydatne gdy jednostka niczemu nie odpowiada. Podejmuje się także próby
konstrukcji innych rodzajów TU np. teorii wielowymiarowych.

[7]
Gra, której przyglądaliśmy się w przypisie trzecim mogłaby wyglądać następująco
dla zbioru {a,b}:

Wypłaty mogą równie dobrze przyjmować inne wartości (patrz: 2.4.)


[8]
O strategiach maksyminowych/minimaksowych również w: J. J. Jadacki, Spór o
granice języka, Warszawa 2002.

[9]
Klasycznym przykładem gry nieściśle konkurencyjnej jest tzw. dylemat więźnia.
Przedstawia się go jako grę pomiędzy dwoma przestępcami złapanymi i
przesłuchiwanymi osobno w sprawie przestępstwa, które wspólnie popełnili. Obaj
mają do dyspozycji dwie strategie: wsypać kolegę lub nie wsypywać. Analizę
przykładowej macierzy wypłat (lewy górny róg odpowiada sytuacji gdy obaj milczą)
pozostawiamy czytelnikowi.


[10]
Autorzy przedstawili ciekawy przykład gry, w której wszystkie pary strategii są
w równowadze i zamienne, a ma ona ponadto inną niecodzienną właściwość -
strategia gracza nie wpływa na jego wypłatę: