SGGW
Katedra Ekonometrii i Statystyki
Przykład egzaminu
z rachunku prawdopodobieństwa
Stanisław Jaworski
Uwaga: Każdy punkt jest wliczany do ogólnej
punktacji tylko wtedy, gdy są w nim zaznaczo-
ne wszystkie i wyłącznie prawidłowe odpowie-
dzi.
Copyright � 2009
Last Revision Date: 23 czerwca 2009
Egzamin #0 Imię:
Nazwisko:
Rachunek prawdopodobieństwa Album:
Zaznacz wszystkie dobre odpowiedzi.
1. Niech A, B, C będą zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 0.2,
P (B) = 0.3 oraz P (A *" B) = 0.5. Wówczas
zdarzenia A, B są rozłączne.
Zdarzenia A, B są niezależne.
P (A )" B) = 0.
P (A|B) = 0.
P (B|B) = 1.
2. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F . Wówczas
P (a < X b) = F (b) - F (a).
limt" F (t) = 0.
limt" F (t) = 1.
3
3. Zmienne losowe X oraz Y są niezależne. Niech X <" U(0, 1) oraz
Y <" P o(4). Wówczas
EX = 0.5
D2Y = 4
2
EY = 8
2
E(-3XY + 4Y - 6) = -14
4. Niech X, Y będą takimi zmiennymi losowymi, dla których
EX = 3, EY = 10, D2Y = 44
oraz niech t0 będzie taką wartością, że
2 2
min E(X + Y - t)2 = E(X + Y - t0)2.
t"R
Wówczas
t0 = 112 t0 = 101 t0 = 147 t0 = 144
5. Gęstość zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

4
(8 - x3) dla x " [1, 2]
17
fX(x) =
0 dla x " [1, 2]
/
4
Wówczas P (X " [-2, 1.5)) wynosi (z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku)
0.32 0.41 0.80 0.22
6. Macierz kowariancji wektora losowego X = [X1, X2, X3] ma po-
stać
�ł �ł
3 -1 1
�ł-1 3 1łł .
1 1 3
Zatem współczynnik korelacji (2X1, -3X2) wynosi
1 1 2
-
3 9 3
7. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 trafia z prawdopo-
dobieństwem 2/3, a strzelec 2 z prawdopodobieństwem 1/2. Po
oddaniu po jednym strzale okazało się, że tarcza została trafiona
dokładnie raz. Prawdopodobieństwo, że trafił strzelec 1 wynosi:
1 1 2
3 2 3
"1
8. Zmienna losowa X ma gęstość fX(x) = exp (-1 x2) dla x "
2
2Ą
R. Wówczas zmienna losowa Y = X3 ma gęstość fY , gdzie
1 1
"
fY (y) = exp (- y2/3)y-2/3 dla y " R.
2
3 2Ą
"3
fY (y) = exp (-y6)y2 dla " R dla y " R.
2Ą
5
1 1
"
fY (y) = exp (- y2/3) dla y " R.
2
3 2Ą
1
12
9. Gęstość wektora losowego (X, Y ) ma postać f(x, y) = (2x2 +
11
xy)I(0,1)2(x, y). Oznaczając przez fX gęstość zmiennej losowej X
oraz f(x|y) gęstość zmiennej losowej X przy warunku Y = y,
mamy
6
fX(x) = (4x2 + x)I(0,1)(x) dla x " R
11
12
fX(x) = (2x2 + x)I(0,1)(x) dla x " R
11
2
f(x|y) = 22x +xy I(0,1)(x) dla x " R
4x2+x
x2+xy
f(x|y) = I(0,1)(x) dla x " R
2x2+x
Wynik: