Rozwiązania zadań z tych zestawów (ze szczegółowymi opisami) mo\
na zamawiać: [e-mail].
W zamówieniu proszę podać numer umieszczony na dole strony.
Stara matura
maj 2003
profil ogólny
1. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których dziedziną funkcji
3x2 - 4x + 5
f (x) =
(m + 2)x4 + 6(m + 2)x2 + m2
jest zbiór liczb rzeczywistych.
2. Zaznacz na płaszczyz
nie zbiory A, B oraz A)"B, gdy:
A = {(x, y): x " ! '" y " ! '" y e" x2 - 2x +1}
B = {(x, y): x " ! '" y " ! '" y d" 2 + x +1}
3. Dany jest prostokÄ…t o obwodzie 4p. Ka\
dy bok prostokąta jest średnicą półokręgu
le\
ącego na zewnątrz tego prostokąta. Wyznacz długości boków prostokąta tak, aby
pole figury ograniczonej krzywą zło\
oną z tych czterech półokręgów było
najmniejsze..
4. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny prostokątny, którego
przeciwprostokątna ma długość a. Wszystkie krawędzie boczne są nachylone do
płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem ą. Oblicz pole powierzchni bocznej tego
ostrosłupa.
5a. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, & , 2n+5} losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania.
a) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech liczb, których iloczyn jest
liczbÄ… parzystÄ….
b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech liczb, których suma jest liczbą
parzystÄ….
5b. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, & , 2n+5} losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania.
Przyjmujemy, \
e An oznacza zdarzenie: otrzymamy trzy liczby, których iloczyn jest
liczbÄ… parzystÄ…, zaÅ› Bn oznacza zdarzenie: otrzymamy trzy liczby, suma jest liczbÄ…
parzystÄ…. Oblicz:
lim P(An Bn ).
n"
PS/ZO/001 1
Rozwiązania zadań z tych zestawów (ze szczegółowymi opisami) mo\
na zamawiać: [e-mail].
W zamówieniu proszę podać numer umieszczony na dole strony.
maj 2004
1. Dana jest funkcja f(x) = x2  2mx + 2m2  m  2.
a) Dla m=1 podaj postać kanoniczną funkcji f. Wykres funkcji f przekształcono
symetrycznie względem początku układu współrzędnych otrzymując wykres
funkcji g. Podaj zbiór wartości funkcji g oraz wyznacz najmniejszą i największą
jej wartość w przedziale - 2 2, 3 .
b) Dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = 0 ma dwa ró\
ne pierwiastki
x1, x2 spełniające warunek (x1  1)2 + (x2  1)2 d" 4?
c) Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których f(m) jest kwadratem liczby
całkowitej.
2. Punkty A = (1, 2) i C = (3, 4) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD.
Wierzchołek B rombu nale\
y do prostej o równaniu x  3y  1 = 0. Wyznacz
współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. Oblicz pole rombu ABCD oraz
długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.
3. Ciąg (an) określony jest wzorem an = n2 + n. Zbadaj na podstawie definicji
monotoniczność ciągu (an).
a) Wyrazy drugi i trzeci ciągu (an) są odpowiednio równe trzeciemu i drugiemu
wyrazowi ciągu geometrycznego (bn). Który wyraz ciągu (bn) jest równy liczbie
a2
?
a3 + 2a1
b) Wyrazy czwarty i piąty ciągu (an) są odpowiednio równe trzynastemu i
osiemnastemu wyrazowi ciÄ…gu arytmetycznego (cn). Wyznacz wszystkie wyrazy
2 2
ciągu (cn), które spełniają warunek c2n - cn+3 < 36 .
4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędz
boczna ma długość 10, a cosinus
9
kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest równy - .
16
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od jego ściany bocznej.
5. Ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie liczby x i y. Niech
A, B, C będą następującymi zdarzeniami:
A  iloczyn wylosowanych liczb nie jest liczbÄ… ujemnÄ…,
B  liczby x i y spełniają warunek x d" y + 1,
C  punkt o współrzędnych (x, y) nie nale\
y do trójkąta o wierzchołkach K = (0, -4),
L = (2, 2), M = (-2, 2).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A, B, C, C )"B.
PS/ZO/001 2
Rozwiązania zadań z tych zestawów (ze szczegółowymi opisami) mo\
na zamawiać: [e-mail].
W zamówieniu proszę podać numer umieszczony na dole strony.
zestaw
1. Niech zbiór D będzie zbiorem tych wartości parametru m, dla których równanie
(m - 5)x2 - 4mx + m = 0 ma dwa ró\
ne pierwiastki. Wyznacz zbiór D, a następnie
sporzÄ…dz
wykres funkcji, która ka\
demu elementowi zbioru D przyporzÄ…dkowuje
iloczyn ró\
nych pierwiastków tego równania.
2. Bok AC trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu 7x - 8y + 34 = 0 , natomiast
wysokości tego trójkąta poprowadzone z wierzchołków A i C zawierają się
odpowiednio w prostych o równaniach x + 5y - 32 = 0 i 2x - y - 7 = 0 . Wyznacz
równania prostych, w których zawierają się pozostałe boki trójkąta ABC.
3. Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego jest równy -80, ró\
nica ciÄ…gu jest
1
równa 4. Ostatni wyraz stanowi sumy wszystkich wyrazów go poprzedzających.
50
Wyznacz liczbę wszystkich wyrazów tego ciągu i oblicz ich sumę.
4. Oblicz stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, w którym
stosunek długości wysokości i środkowej poprowadzonych z wierzchołka kąta
prostego jest równy 24:25.
Ä„ Ä„ 2Ä„ 4Ä„ 11Ä„
Å„Å‚ üÅ‚
5. Ze zbioru Z = , , , ,Ä„ , wybieramy losowo jednÄ… liczbÄ™. Niech A
òÅ‚ żł
3 2 3 3 3
ół þÅ‚
1
2
oznacza zdarzenie, \
e wybrana losowo liczba spełnia równanie sin x - cos2 x = , a
2
B zdarzenie, \
e wybrana losowo liczba jest odciętą punktu P = (x, 1) nale\
Ä…cego do
wykresu funkcji f(x) = cos3x. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A, B, A*"B, A)"B
oraz sprawdz
, czy zdarzenia A i B sÄ… niezale\
ne.
PS/ZO/001 3
Rozwiązania zadań z tych zestawów (ze szczegółowymi opisami) mo\
na zamawiać: [e-mail].
W zamówieniu proszę podać numer umieszczony na dole strony.
Stara matura
marzec 1997
Gdańsk
profil ogólny
1. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A = (3, 0) i B = (3, 6), którego
środek S le\
y na prostej y + x  3 = 0.
a) Wyznacz stosunek pola koła opisanego na trójkącie ABS do pola koła wpisanego
w ten trójkąt.
b) Napisz równanie okręgu wpisanego w trójkąt ABS.
2
2. Liczby: log2 x2 -1; log2 4x + 4; log2 +10 sÄ… odpowiednio pierwszym, trzecim i
x
czwartym wyrazem ciÄ…gu arytmetycznego (an). Wyznacz ten ciÄ…g i oblicz sumÄ™
a21 + a22 + ... + a100 .
m
îÅ‚ëÅ‚ 1 öÅ‚m Å‚Å‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
x2 + +1śłx + + 9
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
7
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚íÅ‚ 7 Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3. Dla jakich wartości parametru m równanie = 0 ma
x + 4
rozwiÄ…zanie?
ax5
4. Dana jest funkcja f (x) = . Wyznacz ekstrema funkcji f wiedzÄ…c, \
e styczna do
x - x3
jej wykresu w punkcie o odciętej x = 2 jest równoległa do prostej o równaniu
32x + 9y -1 = 0 .
5. a) Na kuli o promieniu długości R opisano ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym
miara kąta dwuściennego utworzonego przez ścianę boczną i płaszczyznę podstawy
jest równa 2ą. Oblicz objętość V i pole powierzchni całkowitej P ostrosłupa oraz
1
sprawdz
, czy V = RP .
3
" b) Na kuli o promieniu długości R opisano wielościan o polu powierzchni całkowitej
równym P1. Oblicz objętość tego wielościanu. Przy jakich wartościach P1 zadanie
traci sens? Odpowiedz
uzasadnij.
PS/ZO/001 4